第十五章 轴对称 探究与发现 三角形中边与角之间的不等关系 教学设计 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦三角形中边与角的不等关系，通过情境提问“两边不等时对角关系”引出探究，承接等腰三角形“等边对等角”，构建完整边角关系体系，为后续学习提供支架。 亮点在于采用实验探究与小组合作，学生动手画图度量、折叠构造等腰三角形证明，发展几何直观与推理意识，例题变式结合易错警示强化应用，助力学生提升推理能力，教师可高效突破重难点。

人教版八年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 八年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 探究与发现 三角形中边与角之间的不等关系 课 型 新授课 教学 目标 1.通过探究，理解三角形中“大边对大角、大角对大边”的不等关系。 2.会用不等关系比较三角形中边或角的大小。 3.经历实验、猜想、证明的探究过程，发展推理能力。 重点 三角形中边与角的不等关系（大边对大角、大角对大边）。 难点 理解不等关系的证明（作辅助线构造等腰三角形），并在比较大小中准确应用。 教学 方法 实验探究法、讲练结合法、小组合作法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境导入：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角有什么关系？反过来呢？引出探究。 2.出示学习目标：①探究边与角的不等关系；②会用不等关系比较大小。 任务驱学 任务1：画一个△ABC，使AB＞AC，度量∠C和∠B，比较大小。 任务2：再画一个使∠C＞∠B的三角形，度量AB和AC，比较大小。 任务3：猜想并归纳边与角的不等关系。 二次备课 探究新知 二、合作探究 探究1 大边对大角：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。 【动手操作】每人准备一张纸，画一个△ABC，使AB>AC。①测量∠B和∠C的大小，比较它们的关系；②将△ABC沿∠A的平分线折叠，使AC落在AB上，观察点C落在AB上的位置，你发现了什么？ 【猜想】在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。即：在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B。简记为"大边对大角"。 【证明】已知：在△ABC中，AB>AC。求证：∠ACB>∠B。证明：在AB上截取AD=AC，连接CD。由AD=AC得∠ADC=∠ACD。由外角定理∠ADC=∠B+∠BCD>∠B。又∠ACB=∠ACD+∠BCD>∠ACD=∠ADC>∠B，所以∠ACB>∠B。 探究2 大角对大边：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。 【逆命题】在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。即：在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC。简记为"大角对大边"。 【证明】已知：在△ABC中，∠ACB>∠B。求证：AB>AC。证明（反证法）：假设AB≤AC。若AB=AC，则∠ACB=∠B，与已知矛盾；若AB<AC，由"大边对大角"得∠ACB<∠B，也与已知矛盾。所以假设不成立，AB>AC。 【关系总结】在同一个三角形中：①等边对等角，等角对等边（等腰三角形）；②大边对大角，大角对大边（不等关系）；③小边对小角，小角对小边。这三组关系是三角形边角关系的完整体系。 探究3 证明（大边对大角）：在△ABC中，AB＞AC，在AB上截取AD=AC，连接CD。则∠ADC=∠ACD（等边对等角）。∵∠ADC是△BCD的外角，∴∠ADC＞∠B。又∠ACB＞∠ACD，∴∠ACB＞∠B，即大边AB对大角∠C。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 在△ABC中，AB＞BC＞AC，比较∠A、∠B、∠C的大小。 【变式1】在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，比较∠A、∠B、∠C的大小。 【变式2】在△ABC中，∠A=80°，∠B=50°，比较AB、BC、AC的大小。 【思路点拨】大边对大角，大角对大边。先确定边的大小关系，再对应到角；或先确定角的大小关系，再对应到边。注意：边和角是"对"的关系，不是"邻"的关系。 （大边对大角：AB对∠C，BC对∠A，AC对∠B，∴∠C＞∠A＞∠B） 例2 在△ABC中，∠A=80°，∠B=50°，比较AB、BC、AC的大小。 （∠C=50°，大角对大边：∠A对BC，∠B对AC，∠C对AB，∠A最大∴BC最大；∠B=∠C∴AC=AB，即BC＞AC=AB） 方法归纳：比较角大小看对边，比较边大小看对角；等边对等角、大边对大角。 【应用场景】边角不等关系的应用：①比较角的大小（已知边的关系）；②比较边的大小（已知角的关系）；③证明线段不等（大角对大边）；④证明角不等（大边对大角）；⑤判断三角形是否存在（两边之和大于第三边）。 【易错警示】①"大边对大角"必须在同一个三角形中，不同三角形不能直接比较；②边和角是"对"的关系，要找准对应关系（边a对∠A，边b对∠B，边c对∠C）；③反证法的步骤要完整：假设→推理→矛盾→结论。 二次备课 展示交流，深化理解 学生板演例1、例2；教师点评不等关系的证明思路和应用方法。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.在三角形中，大边对____，大角对____。 2.在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=6，则最大角是____。 3.在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则最长边是____。 4.解答：在△ABC中，AB>AC，AD是∠BAC的平分线，求证：BD>DC。 5.拓展：在△ABC中，∠A=120°，AB=3，AC=2，求BC的取值范围。 【参考答案】1.大角；大边 2.∠A（BC最长=7，对的角最大） 3.BC（∠A=70°最大，对边最长） 反馈订正：讲评“边与角对应关系”的准确识别。 反馈订正 学生互批、汇报；重点讲评边与角对应关系和不等关系应用。 二次备课 课 堂 小 结 1.大边对大角，大角对大边。 2.证明：作辅助线构造等腰三角形+外角性质。 3.应用：比较角大小看对边，比较边大小看对角。 课后 作业 1.必做：完成探究与发现的思考题。 2.选做：用不等关系说明“直角三角形中斜边最长”。 板 书 设 计 探究与发现 边角不等关系 一、大边对大角 二、大角对大边 三、证明：构造等腰+外角 课 后 反 思 两优：1. 2. 三不足：1. 2. 3. 学科网（北京）股份有限公司 $