第8讲 等腰三角形中易漏解或多解问题 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学等腰三角形中易漏解或多解问题，承接等腰三角形性质与判定，系统梳理周长计算忽略三边关系、腰底不明求角度未分类讨论等五大易错题型，通过分类讨论与验证构建解题支架。 资料以典型例题为核心，通过分类讨论培养推理意识，新定义题型发展创新意识，如周长计算中验证3、7为边的合理性，角度问题中分类顶角底角。课中辅助教师教学，课后练习助力学生查漏补缺，形成严谨思维。

第8讲 等腰三角形中易漏解或多解问题 典 型 例 题 题型 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1 1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。 2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。 1 例 一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为 ． 1-1 变式变式 等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是 ． 1-2 变式变式 已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 1-3 变式变式 解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 题型 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 2 1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180° - 70°)÷2 = 55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40° 。 2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。 2 例 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 2-1 变式变式 若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 2-2 变式变式 等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 2-3 变式变式 已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 题型 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 3 1. 边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角。 2. 图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。 3 例 如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 3-1 变式变式 如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 3-2 变式变式 如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 3-3 变式变式 如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为 ． 3-4 变式变式 如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为 ． 题型 三角形形状不明时没有分类讨论产生易错 4 1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。 2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。 4 例 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 4-1 变式变式 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和11两部分，则此三角形的底边长为 ． 4-2 变式变式 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 4-3 变式变式 在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 4-4 变式变式 在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是 ． 题型 等腰三角形与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 5 1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。 2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解。 5 例 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 5-1 变式变式 定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 5-2 变式变式 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为 ． 5-3 变式变式 经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 课 后 练 习 1 练 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 2 练 等腰三角形两边长是方程组的解，则该等腰三角形周长（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．6 3 练 若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 4 练 已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 5 练 如图，已知中，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 6 练 已知：如图，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t为（   ）时，是直角三角形． A．或 B．或 C．或 D．或 7 练 在中，，，点P为射线上一动点，连接，．作点B关于线段的对称点D，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为 ． 8 练 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 9 练 如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，作点关于直线的对称点为点（点在下方）连接．当与重叠的部分为等腰三角形时， ． 10 练 在中，，，D是直线上一点，，直线l与直线关于直线对称，过点D作直线于点F，交直线l于点E，，则线段的长为 ． 11 练 约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为 ． 12 练 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿路径行进，到达点后停止，设移动时间为（s），当是以为腰的等腰三角形时， s． 13 练 如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 14 练 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 15 练 【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 第8讲 等腰三角形中易漏解或多解问题 典 型 例 题 题型 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1 1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。 2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。 1 例 一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长分别为3，3，7， ∵，∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长分别为3，7，7， ∵，∴此时能构成三角形，符合题意，∴此三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为，故答案为：． 1-1 变式变式 等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是 ． 【答案】/15厘米 【详解】解：当等腰三角形的腰为时，三边为，，， ∵，∴三角形不存在， 当等腰三角形的腰为时，三边为，，，∵，∴三角形存在， ∴周长为（）．故答案为：． 1-2 变式变式 已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 【答案】27 【详解】解：∵，且，∴， ∴； 若三边是11，11，5，则；若三边是11，5，5，则，不能构成三角形，不符合题意；∴的周长为27； 故答案为：27． 1-3 变式变式 解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ，∴可构成三角形，∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 题型 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 2 1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180° - 70°)÷2 = 55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40° 。 2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。 2 例 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】或 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，则它的底角的度数是或． 故答案为：或． 2-1 变式变式 若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 【答案】或 【详解】解：当的角为顶角时：两个底角的度数为：； 当的角为底角时，则顶角的度数为：； 故答案为：或． 2-2 变式变式 等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【答案】或或 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，，解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，，解得，所以，底角是； ③与都是底角时，，解得，所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 2-3 变式变式 已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或或 【详解】①当和是两个底角时，，解得， 则底角为，顶角为：； ②当是顶角，是底角时，，解得，则， ∴顶角为； ③当是顶角，是底角时，，解得， 则，∴顶角为． 综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或， 故答案为：或或 题型 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 3 1. 边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角。 2. 图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。 3 例 如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【详解】解：，为等腰三角形，是等腰直角三角形， ，由折叠的性质可知，，，， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或故答案为：或． 3-1 变式变式 如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：在中，，， 由折叠的性质得：，当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ，， ，； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ，， ，； ； ③当时，如图3所示： ，，， ，综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 3-2 变式变式 如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：∵，，∴， ∴，∵，∴， 当为等腰三角形时，①当时，， ②当时，，③当时，， 3-3 变式变式 如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴，，， ，， ，， 在和中，，， ∴，； ②当时，则，，， 根据三角形外角性质得：，这种情况不存在； ③如图所示，当时， ，， 设，则， 在中，，， 解得：，∴，∴， 当为等腰三角形时，或．故答案为：或． 3-4 变式变式 如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为 ． 【答案】或 【详解】解：过点作交于点， ∵，，，， 设，则， 在中，，即， ，（负值已舍去），； 当时，∵， ∴； 当时， 过点作交于点， ，∵，，， ， ， ∴点A与点E重合，不符合题意； 当时，过点作交于点，， 设，则，在中，， 即，解得：，（负值舍去）， ，∴；综上分析，线段的长度为或； 故答案为：或． 题型 三角形形状不明时没有分类讨论产生易错 4 1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。 2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。 4 例 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理， 正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角 和定理进行计算即可． 【详解】解：①等腰三角形为锐角三角形， ，； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 4-1 变式变式 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和11两部分，则此三角形的底边长为 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得： ．可设， ∴．由题意得：或，解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，符合三角形的三边关系， 当时，即此时等腰三角形的三边为，符合三角形的三边关系， 综上可知这个等腰三角形的底边长是或．故答案为：或． 4-2 变式变式 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【答案】/厘米 【详解】解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则， 由题意，分以下两种情况： ①当时则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当时， 则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为．故答案为：． 4-3 变式变式 在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设，则，， 三角形内角和为，， ，解得：，； 如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则，，三角形内角和为， ，， 解得：，；综上所述，的度数可以是或． 故答案为： 或． 4-4 变式变式 在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【详解】解：如图1中，当，时，满足条件． 如图2中，当，时，可得， ∴． 如图3中，当，时，， ∴，故答案为：或或． 题型 等腰三角形与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 5 1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。 2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解。 5 例 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【详解】解：当为腰长时，∵等腰的周长为20，∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时，的腰长为：，∴“优美比”为；故选D． 5-1 变式变式 定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【答案】或 【详解】设等腰三角形的腰长为，底长为． （1）当时，分两种情况： ①若，解得．则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得，则的三边长为，，，符合题意．的周长为． （2）当时，分两种情况： ①若，解得，则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得，则的三边长为，，，符合题意． ，三角形的周长为．综上所述，的周长为或． 5-2 变式变式 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为 ． 【答案】6或3 【详解】解：是等腰三角形，∴设， 是“倍长三角形”，且有一边为3； ①当时，则底边为，此时符合题意； ②当时，，此时符合题意， 所以，若等腰是“倍长三角形”， 且有一边为3；，则腰的长为3或6， 故答案为：3或6． 5-3 变式变式 经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【详解】解：当，时，如图所示： ∵，∴， ∴，∵， ∴，即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 课 后 练 习 1 练 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：如图，中，，为的中线， 设腰，∵为的中线，∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，，解得； 当时，，解得；∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 2 练 等腰三角形两边长是方程组的解，则该等腰三角形周长（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．6 【答案】B 【详解】解：解方程组得：，因此，等腰三角形的两边长为2和1． 若腰长为2，底边为1，则三边为2、2、1． 验证三角形三边关系：，，均成立．此时周长为． 若腰长为1，底边为2，则三边为1、1、2． 验证三角形三边关系：，不满足两边之和大于第三边，故不成立．综上所述，周长为5， 3 练 若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 【答案】C 【详解】解：A．若第三条边长为2，则三边为2、2、4，此时两边之和，等于第三边4，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立，此项不符合题意； B．若第三条边的长是3，则，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立，此项不符合题意； C．若第三条边的长为4，则三边为4、4、2，此时：，，故此项符合题意，此项正确； D．若第三条边的长为2或4，则三边为4、4、2或2、2、4，当三边长为2、2、4时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立，此项不符合题意． 故选：C． 4 练 已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】如图所示，中，． 有两种情况：当顶角时 当底角是时，，， ， ， 这个等腰三角形的顶角为或．故选：D． 5 练 如图，已知中，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】B 【详解】解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形． 这样的直线最多可画4条．故选：B． 6 练 已知：如图，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t为（   ）时，是直角三角形． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，∴是边长的等边三角形 当时，即得，当时 ，即得故当或时，是直角三角形．故选：B． 7 练 在中，，，点P为射线上一动点，连接，．作点B关于线段的对称点D，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当在线段上时， ，， ， 点B关于线段的对称点D，，， ，， ， 如图，当在线段延长线上时， ，， ， 点B关于线段的对称点D，，， ，， ， 设，则，， ，，， ，，, 根据对称可得，即，解得，， 综上所述，的长为或，故答案为：或． 8 练 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】或 【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分． 又，等腰三角形的腰与底边相差， 下面分两类讨论： ①腰比底边大，设腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为， 三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形． ②底边比腰大，若腰长为，则底边长为．由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为或．故答案为：或． 9 练 如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，作点关于直线的对称点为点（点在下方）连接．当与重叠的部分为等腰三角形时， ． 【答案】或或 【详解】解：如图，当时， ∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ，，， ∴，∴， ∴， ∴； 如图，设交于点，当时， 由折叠性质可知，， 设， ∵，∴，由上得， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 如图，设交于点，当时， 由折叠性质可知，，设， ∴，∵，∴， ∵，∴，解得：， ∴；故答案为：或或． 10 练 在中，，，D是直线上一点，，直线l与直线关于直线对称，过点D作直线于点F，交直线l于点E，，则线段的长为 ． 【答案】5或3 【详解】解：∵在中，，，∴， ∵，∴，∴，∴， 当点D在线段上时，如图所示： ∵直线l与直线关于直线对称，∴， ∵，∴， ∴，∴为等边三角形， ∴，∴， ∵，，∴， ∴， ∵，，∴； 当点D在线段延长线上时，如图所示： ∵直线l与直线关于直线对称，∴， ∴，∵， ∴，∴， ∴为等边三角形，∴， ∴，∵，， ∴，∴， ∵，，∴；综上分析可知：的长为5或3． 11 练 约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：∵平分，∴． ∵，，∴． ∵与互为“完美关联角”，∴， 即或， 解得或． 在中，或． 故答案为：或． 12 练 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿路径行进，到达点后停止，设移动时间为（s），当是以为腰的等腰三角形时， s． 【答案】或19或 【详解】解：根据题意，得，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时构成等腰三角形，根据题意，得， 故， ，解得； 当时，点P在上运动，此时不存在， 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 若，则构成等腰三角形，符合题意， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∴,解得； 若，则构成等腰三角形，符合题意， 根据题意，运动总路程长为，此时， 取的中点D，连接，则， 则，∴， ∴，∴，∴, 解得； 故当或或时，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或19或． 13 练 如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【详解】（1）证明：由等边知，， ∵，∴，， ∴，∴是等边三角形． （2）解：由（1）知是等边三角形，∴， ∵，，∴，∴． （3）解：∵，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴，， 当时，则，∴，∴； 当时，则，∵， ∴，∴； 当时，则， ∵，∴，∴； 综上所述，或或． 14 练 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 【答案】（1）是；（2）或；（3）2或 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， ∵ ∴顶角为的等腰三角形是“角差三角形”；故答案为：是； （2）∵是“角差三角形”， ，， ∴分两种情况：当时，∴，∴； 当时，∵，∴，∴， ∴；综上所述：的度数为或； （3）∵，，，∴，， ∵是“角差三角形”， ∴分两种情况： 当时，∴，∴，∵， ∴，解得：或（舍去）， ∴；当时， 过点D作，垂足为E，则， ∵，∴， ∴，∴， ∴∴是等腰直角三角形， ∴，∴， 设，在中，，∴， ∴，∵，，解得：， ∴，∴； 当时，则，此时点D与点A重合，不符合题意． 综上所述： 的长为或． 15 练 【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 【答案】(1)与，与，与 (2)见解析 (3)或或或 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，同理，，∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）证明：∵在中，，，∴， ∵为角平分线，∴，∴， ∴，∵在中，，∴， ∴，∵，， ∴为的等角分割线； （3）解：当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时，    ∴， 当是等腰三角形，如图，时，，    设，则，， 由题意得，，解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在，∴的度数为或或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $