精品解析：陕西汉中市多校2027届高三上学期学情调研数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】存在量词命题的否定为全称命题，则“，”的否定为“，”. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，解得或， 所以，所以. 3. 声强级是表示声强度相对大小的物理量．定义为，单位为分贝（），其中为实际声强（单位：），为基准声强．居民区噪音执行《声环境质量标准》（GB 3096—2008）核心限值：纯居住或文教区昼间声强级不超过，夜间不超过；商住混合区昼间声强级不超过，夜间不超过．夜间时段为22：00至次日6：00．按此标准，若某商住混合区在19：00时的噪音不超标，则在此时此地，实际声强的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由 落在昼间确定声强级上限为 ，再按声强级的定义解对数不等式，把声强级限制转化为实际声强的范围. 【详解】 位于 到 之间，属昼间时段，故该商住混合区的声强级应满足 ； 由 得 ，即 ，故 ， 最大值为 ； 4. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集确定的符号以及与的等量关系，再代入所求不等式化简求解即可. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以，且方程的两个实根为，， 根据韦达定理得，所以，即， 则不等式，即为，即， 由于，因此，解得， 即不等式的解集为. 5. 已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数在上单调递增，可得两段函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解即可. 【详解】由为上的增函数，可得：，即， 解得，即实数的取值范围是. 6. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得到条件""的解集，再把"必要不充分"转化为两解集的真包含关系，由正向包含定出 的下界，并举例验证反向包含不成立. 【详解】由得，即， 记其解集为，条件""的解集为， 由于“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 所以，即的取值范围是. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】通过对已知等式中的“1”进行整体代换，结合基本不等式求解目标式的最小值. 【详解】由，则 ， 由可得，，根据基本不等式可得， 当且仅当，即， 又得，代入，解得时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9. 8. 已知函数的最大值为，最小值为，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将函数拆分为常数项与奇函数之和，利用奇函数最大值与最小值互为相反数的性质建立方程求解. 【详解】 ， 设，则，的定义域为， 对任意， ，故是奇函数， 设的最大值为，最小值为，由奇函数性质得， 则的最大值，最小值， 因此 ， 由题设，得，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A、D作差分解后符号不能确定，分别用与的反例否定；B、C直接由同向不等式可加性与不等式两边同加同一个数的不变性证得. 【详解】由得，，，； 对于A，，由知该差的符号由的符号决定， 取，，得，A错误； 对于B，由与相加得，B正确； 对于C，由两边同加得，C正确； 对于D，，由知仅当时才有， 取（此时）得，D错误. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】 选项A：对两边平方得 ，得，A正确； 选项B：指数函数为单调递增函数，等价于， 解得，B错误； 选项C：由得，得，故，C正确； 选项D：，D正确. 11. 已知函数满足：，，，且，则（ ） A. B. 直线为的图象的一条对称轴 C. 为偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令得到，令即可判断A；令即可判断B；令可判断C，结合BC可得函数为周期函数，周期为，即可求出，可判断D. 【详解】令，则， 又，则，所以， 令，则，故A正确； 令，则，即， 所以直线为的图象的一条对称轴，故B正确； 令，则， 因为且不恒为，则， 又定义域为，定义域关于原点对称，所以为奇函数，故C错误； 由可知， 又，所以，即， 则，所以函数为周期函数，周期为， 由得，， 所以， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是奇函数，则实数的值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数是奇函数，得到，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数是奇函数，所以，解得， 当时，函数满足， 所以. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13. 已知为偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式转化为，再结合上的单调性脱去函数符号，求解对数不等式即得. 【详解】 因为是偶函数，则原不等式等价于， 又因在上单调递减，则得，即，解得. 故的取值范围为. 14. 表示不超过的最大整数，则集合中的元素个数为______． 【答案】76 【解析】 【分析】根据已知条件建立不等关系式，分两种情况，并进行计算. 【详解】令，当时，可得， 对于，对应的值分别为，且两两互异， 即都是集合的元素，共有个元素， 当时，，，，，， ，，因为，则值每次最多增加， 所以为集合的元素，共个元素， 则共个，所以集合的元素为个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别求出集合和集合，再根据集合的交并补运算，即可求解； （2）对的取值进行分类讨论，根据集合的交集为空集，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 当时，解方程得，即集合， 又不等式，即，解得，即集合， 所以， 又，所以，所以； 【小问2详解】 当时，，满足， 当时，解方程得，即集合， 又由（1）得集合， 若，则或， 解得或， 综上所述，的取值范围是. 16. 已知函数满足：，． （1）求的解析式； （2）若，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将原式中替换为得到新的等式，联立两个等式构成关于和的方程组，通过消元法求解； （2）通过的解析式求出的表达式，通过换元将转化为二次函数，结合二次函数单调性求出给定区间上的值域. 【小问1详解】 由，，得，解得； 即的解析式为. 【小问2详解】 由，，得. . 当时，，则. 令，则. . 二次函数开口向上，对称轴为，在上单调递减； 当时，函数取得最大值，即； 当时，函数取得最小值，即； ，则在上的值域为. 17. 解关于的不等式． （1）； （2）． 【答案】（1） . （2） 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 【解析】 【分析】（1）将不等式进行移项通分，化为标准的分式不等式形式，再根据分式不等式的性质求解. （2）对参数进行分类讨论，根据的不同取值范围，确定不等式的解集. 【小问1详解】 由题意移项得：， 故，解集为 . 【小问2详解】 当时，，得 ； 当时，； 时，，除以得 或 ； 时，，得 ； 时，，解集为 ； 时，，得. 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若函数仅有一个零点，求的取值范围； （3）若，，，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域，解指数不等式即可求解； （2）根据指对互化，由题意可知仅有一个实数解，令，结合二次函数的图象即可求解； （3）根据复合函数的单调性可知为减函数，不妨设，则，不等式可化为，由题意进而得到，结合的范围即可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，解得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 由题意得方程仅有一个实数解，即仅有一个实数解， 令，则在上仅有一个实数解， 而函数开口向上，对称轴为，且时，， 则或，即的取值范围为. 【小问3详解】 根据复合函数的单调性，易知在定义域上为减函数， 根据对数函数的定义域可知在上恒成立， 即在上恒成立，则， 不妨设，则，则可化为， 即，即，则， 即， 由题意知，，，则， 则， 则，，则，则， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，将曲线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到曲线． （1）判断的奇偶性； （2）求的值； （3）若实数，满足，求的最大值． 【答案】（1）是奇函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用奇偶性的定义求解； （2）根据图像变化求出的函数解析式，分析的对称性求解； （3）根据的单调性求解. 【小问1详解】 由得，的定义域关于原点对称， ，所以是奇函数. 【小问2详解】 由题意知， ， 则. 【小问3详解】 的定义域为，在上单调递增， 由，，，得， 即，，由，当时等号成立，得，即， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 声强级是表示声强度相对大小的物理量．定义为，单位为分贝（），其中为实际声强（单位：），为基准声强．居民区噪音执行《声环境质量标准》（GB 3096—2008）核心限值：纯居住或文教区昼间声强级不超过，夜间不超过；商住混合区昼间声强级不超过，夜间不超过．夜间时段为22：00至次日6：00．按此标准，若某商住混合区在19：00时的噪音不超标，则在此时此地，实际声强的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 8. 已知函数的最大值为，最小值为，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数满足：，，，且，则（ ） A. B. 直线为的图象的一条对称轴 C. 为偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是奇函数，则实数的值是_________. 13. 已知为偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的的取值范围为______． 14. 表示不超过的最大整数，则集合中的元素个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数满足：，． （1）求的解析式； （2）若，求在上的值域． 17. 解关于的不等式． （1）； （2）． 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若函数仅有一个零点，求的取值范围； （3）若，，，，求的取值范围． 19. 已知函数，将曲线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到曲线． （1）判断的奇偶性； （2）求的值； （3）若实数，满足，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $