精品解析：黑龙江哈尔滨市萧红中学校2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题

哈尔滨市萧红中学校2026—2027学年度上学期 八学年·数学学科·阶梯作业 （★同学们，请将所有试题答案完整书写在“答卷页”上，否则无效．★） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，，． B. ，，． C. ，，． D. ，，． 2. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A.     B.     C. D. 3. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图所示，一艘轮船从地出发，沿北偏东方向航行至地，再从地出发沿南偏东，方向航行至地，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点D，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，则和的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 9. 如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的____． 12. 如图，点是线段上任一点，已知，要使得，可以添加的一个条件是___________． 13. 若a，b，c是的三边的长，化简______________． 14. 将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是_______． 15. 如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 16. 如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则___________． 17. 已知，在中，，是边上的高，若，则_______． 18. 如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________． 19. 如图所示，，作的延长线，与的角平分线相交于，与的角分线相交于以此类推，与的角分线相交于，则________度． 20. 如图，中，平分，E为边上的点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有___________．（填写序号即可）     三、解答题（21-22题每题7分，23-24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 计算 （1）； （2）． 22. 图1、图2均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在图1、图2给定的网格中按要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点D，并作出，使得； （2）在图2中的格点上确定一点E，并作出线段，使得为的中线． 23. 已知a，b，c是的三边长，，，设的周长是x． （1）求x的取值范围． （2）若x是小于9的整数，试判断的形状，并说明理由． 24. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 香坊区某校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳，已知购买10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购买15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元. （1）购买1根A种跳绳和1根B种跳绳各需多少元？ （2）若班级计划购买A，B两种跳绳共45根，所花费用不多于550元，那么该班最少购买A种跳绳多少根？ 26. 综合与实践 为了测量一条东西走向两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得． 观测者从点沿着南偏东的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向南走到点，再沿着南偏东的方向走到点，在上取点，使，测得，． 测量示 意图 （1）第一小组认为要知道河宽，最简单的方法是测量线段______的长度； （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽； （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 27. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市萧红中学校2026—2027学年度上学期 八学年·数学学科·阶梯作业 （★同学们，请将所有试题答案完整书写在“答卷页”上，否则无效．★） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，，． B. ，，． C. ，，． D. ，，． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可，解题的关键是正确理解三角形的三边关系． 【详解】、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A.     B.     C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 3. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、构成三角形的条件，根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A、已知，，，则直角三角形的斜边和一条直角边确定，满足，可知该三角形是唯一确定的，故此选项符合题意； B、已知，，，此条件为两边及其中一边的对角，可能存在两种不同三角形，无法唯一确定，故此选项不符合题意； C.、，，，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故此选项不符合题意； D、，，，未给出边长，无法唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图所示，一艘轮船从地出发，沿北偏东方向航行至地，再从地出发沿南偏东，方向航行至地，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为12，故应该列两个方程组求解． 【详解】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm， 由题意得或， 解得或． ，不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为2cm， 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，此题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 6. 如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点D，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，本题先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，则和的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义可得，即可求得，再根据三角形角平分线的定义可得，，即可求得． 【详解】解：是高， ， ， ， ， ， ，是角平分线， ，， ． 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质；利用基本作图得平分，过点作于，根据角平分线的性质得到则，再利用面积法得到，最后解方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图，则， ， ， 即， ， ， 故选：B． 9. 如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度． 【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， 即， ∴． 故选：B． 10. 如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件利用，证明，即判定出①②；再利用三角形的内角和定理判定③；构造全等三角形对应边上的高，利用证明直角三角形全等，即可判定④． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴①，②正确； ③如图所示，与相交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分， 故④正确； 综上，正确的结论有个． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的____． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，利用三角形的稳定性，进行作答即可． 【详解】解：斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 12. 如图，点是线段上任一点，已知，要使得，可以添加的一个条件是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定. 由全等三角形的判定方法（、、、、），添加条件即可． 【详解】解：要使得，可以添加的一个条件是（答案不唯一），理由如下： 在和中， ， ∴（）， ∴，， 在和中， ， ∴（）， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 14. 将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系进行角度推导． 通过已知角的度数，利用三角形外角性质，逐步推导得出的度数． 【详解】如图， ∵， ∵， ， 故答案为：． 15. 如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【详解】解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 16. 如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则___________． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，根据折叠的性质，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， 由题意，， ∴， ∴． 故答案为：96． 17. 已知，在中，，是边上的高，若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于 ，正确进行分类讨论是解题关键． 分为两种情况，画出图形，先求得再根据角度关系求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：分为两种情况：①如图， 为边上的高， ， ， ∴， ∵， ； ②如图， 同理可得：， ∵， ． 故答案为：或． 18. 如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键． 如图，延长到E使，连接，通过证明就可以得出，在中，由三角形的三边关系就可以得出结论． 【详解】解： 延长到E使，连接， ∵D是的中点， ∴． 在△ACD和△EBD中 ， ∴， ∴． ∵， ∴由三角形的三边关系为：， 即． ∴ 故答案为：． 19. 如图所示，，作的延长线，与的角平分线相交于，与的角分线相交于以此类推，与的角分线相交于，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 由三角形外角的性质可得：，，而、分别平分和得到，，于是有，即，同理可得，以此类推可得，据此即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质可得： ∵、分别平分和 ∴，， ∵，， ∴ ∴，即 同理可得，即， ∴． ∴． 故答案为：． 20. 如图，中，平分，E为边上的点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有___________．（填写序号即可）     【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质及邻补角的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质可得，从而证明，可得，再利用三角形外角的性质即可判断①；证明，可得，再利用等量代换即可判断②③；根据，可得，，再由，可得，即可判断④． 【详解】解：过点作于点，     ，平分， ，， 又， ， ， ， ，故①正确； ，，， ， ， ，故②正确； ， ， ， ， ，故③错误； ， ， ， 又， ， ， ， 故④错误， 故答案为：①②． 三、解答题（21-22题每题7分，23-24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：， 由①得 ， 将③代入②得 ， 解得， 将代入③得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：去分母得 ， 去括号得 ， 移项并合并同类项得 ， 系数化为1得． 22. 图1、图2均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在图1、图2给定的网格中按要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点D，并作出，使得； （2）在图2中的格点上确定一点E，并作出线段，使得为的中线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，结合网格图，找出点； （2）利用勾股定理结合网格图找出线段的中点即可． 【小问1详解】 解：由图可知，利用勾股定理得，， 找出格点，利用勾股定理得，， ∴在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：找出格点， ∴，， ∴， ∴为的中线． 23. 已知a，b，c是的三边长，，，设的周长是x． （1）求x的取值范围． （2）若x是小于9的整数，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等腰三角形，理由如下： ∵x是小于9的整数， 又∵， ∴或， 当时，， ∴， ∴是等腰三角形； 当时，， ∴， ∴是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和三角形三边关系，求出c的取值范围是解题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）利用等腰三角形的判定方法得出即可； 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即， ∴，即， ∴x的取值范围是； 【小问2详解】 略 24. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 25. 香坊区某校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳，已知购买10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购买15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元. （1）购买1根A种跳绳和1根B种跳绳各需多少元？ （2）若班级计划购买A，B两种跳绳共45根，所花费用不多于550元，那么该班最少购买A种跳绳多少根？ 【答案】（1）购买1根种跳绳10元，1根种跳绳15元 （2）该班最少购买种跳绳25根 【解析】 【分析】（1）设购买1根种跳绳元，1根种跳绳元，根据“购买10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购买15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元”即可得出二元一次方程组，求解即可； （2）设该班购买种跳绳根，则购买种跳绳根，利用总价=单价×数量，结合总价不多于550元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：设购买1根种跳绳元，1根种跳绳元， ，解得：， 答：购买1根种跳绳10元，1根种跳绳15元． 【小问2详解】 解：设该班购买种跳绳根， ， 解得：， 答：该班最少购买种跳绳25根． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 26. 综合与实践 为了测量一条东西走向两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得． 观测者从点沿着南偏东的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向南走到点，再沿着南偏东的方向走到点，在上取点，使，测得，． 测量示 意图 （1）第一小组认为要知道河宽，最简单的方法是测量线段______的长度； （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽； （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】（1）； （2）米； （3） 解：第三小组的方案可行，证明如下： 由题意可知，， ∵，． ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第三小组的方案可行． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理和外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意易证是等腰直角三角形，即可作答； （2）由题意可知，，利用三角形外角的性质，得出，进而得到，即可得解； （3）由题意可知，，利用三角形内角和定理，得到，进而证明，得到，从而推出即可． 【小问1详解】 解：∵恰好在的正北方向， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即第一小组认为要知道河宽，最简单的方法是测量线段的长度， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴米； 【小问3详解】 略 27. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $