专题03 相似三角形的经典模型15大题型（专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 以15类经典模型为核心，构建从基础到综合的相似三角形解题体系，强化几何直观与模型观念 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字型/8字型等基础模型|4题/型|通过平行线转化比例关系|从图形结构识别入手，建立相似判定与性质的直接应用| |旋转/折叠/一线三等角等综合模型|4题/型|动态问题中抓不变量，构造全等或相似辅助线|结合图形变换，深化空间观念与推理能力| |关系型/重心相关等拓展模型|4题/型|倒数型/系数型关系转化，重心性质应用|关联代数关系与几何性质，培养数学思维的综合性|

专题03 相似三角形的经典模型 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的经典模型 题型一、A字型相似 题型二、8字型相似 题型三、AX字型相似 题型四、母子型相似 题型五、三角形内接矩形相似 题型六、射影定理相似 题型七、旋转相似 题型八、折叠相似 题型九、一线三等角型相似 题型十、手拉手型相似 题型十一、动态相似 题型十二、k字型相似 题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型） 题型十四、角平分线型相似 题型十五、重心相关相似 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的经典模型 ◆题型一、A字型相似 1．如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为．已知，求的长． 【答案】6 【分析】先根据以及给定的相似比写出对应边的比值，再代入已知线段长解方程求出． 【详解】解：，相似比为， ． ， ， 解得． 2．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 【答案】(1)9 (2)10 【分析】（1） 先由推出线段比例关系，进而得到相似比求出DE； （2）利用相似三角形周长比等于相似比算出大三角形周长，再通过线段和差求出． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． ， ， ． ， ； （2）解：， （相似三角形周长之比等于相似比）． ， ， ， ， ． 3．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 4．如图，在中，两条中线、相交于点O，已知的面积是3，则的面积是________． 【答案】 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵在中，两条中线、相交于点O， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是3， ∴， ∵点D是的中点， ∴． ◆题型二、8字型相似 5．如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若，，则的值为________． 【答案】4 【分析】由平移的性质得到：，由，得到，由，推出，即可求出． 【详解】解：由平移的性质得到：， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证得为等腰三角形，从而求出的长；再利用得出对应边成比例，进而求得的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 7．如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，点D为的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； (2) 【分析】（1）证明，结合平行线的性质解题； （2）推出，根据面积法计算． 【详解】（1）略 （2）解：如图，∵，，点D为的中点， ∴，， ∴， 由（1）知， 而， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 8．如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ◆题型三、AX字型相似 9．如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 【答案】B 【分析】先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ，， ， 的周长． 10．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 【答案】/ 【分析】先根据已知得到，则，证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则． 11．如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得，进而可得的值，证明，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，点E是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】由四边形为平行四边形可得，结合和，求出，即可求出． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，即， ， ， ， ， ， ． ◆题型四、母子型相似 13．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 15．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1) 点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）略 （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 16．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______． 【答案】 【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长； （2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值． 【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝＝， ∴EF＝， ∴CF＝EF﹣EC＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG和△FCG中 ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 设CD＝2a，则CG＝a， CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GCF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴， ∴， ∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a， ∴λ＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答． ◆题型五、三角形内接矩形相似 17．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 18．如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在、上，与的交点为M，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （2）设设，，由相似三角形的性质可得，解方程求出x即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：设，，则， ∵； ∴， 解得， ∴这个矩形的周长= 19．如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质， （1）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （2）设设，，由相似三角形的性质可得，解方程求出即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：设，，则， ∵； ∴， 解得， 这个矩形的周长； 20．课本原题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？    （1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？ 变式训练： （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？ （3）如图3，在中，，正方形的边长是10，且四个顶点都在的各边上，．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）设，根据，可得，即可求解； （2）设，根据，可得，从而得到，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：这个正方形零件的边长是； （2）解：设， ∵， ∴ ∴ 解得：， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积是， 此时． ∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长分别为． （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴． ◆题型六、射影定理相似 21．如图，是的斜边上的高，，，那么与的面积之比是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的性质和余角的性质可证，然后利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴与的面积之比， 故选：D． 22．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用三角形相似证明结论； （2）设长为x，则，根据射影定理可得，求出长，再根据射影定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：设长为x，则， 根据射影定理可知， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 又∵， ∴． 23．如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，延长交的延长线于点E，已知．    (1)求证：； (2)若，．求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ； (2) 【分析】此题考查了相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形判定与性质性质． （1）首先由得到，然后结合即可证明出； （2）首先求出得到，求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的长是． 24．阅读与思考 下面是数学爱好者小宇学了三角形相似后推导常用结论的手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 射影定理数学结论：在中，，CD为斜边AB上的高，则有． 已知：如图1，在中，，CD为斜边上的高． 求证：． 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴（依据1）， ∴（依据2）， ∴． 任务： (1)材料中依据1是______；依据2是______． (2)如图2，在正方形中，E，F分别为边上的动点，连接交于点H．若，，，求的长． 【答案】(1)两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定等知识． （1）根据相似三角形的性质与判定即可求解； （2）根据正方形的性质得到，． 由（1）得，求出，．证明得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）， ∴． 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴，． ∵， ∴由（1）得， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ◆题型七、旋转相似 25．综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． 26．如图，正方形和正方形有公共顶点A，连接． (1)如图1，当点G在上，点F在上时，求的值； (2)如图2，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，求的值； (3)如图3，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，若，，当C，G，E三点共线时，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可知，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）由（2）可知，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵正方形与正方形有公共点A，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解：∵正方形绕点逆时针方向旋转， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：由（2）可知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵C，G，E三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 27．结合图形，解决问题： (1)如图1，是正方形边上一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①线段和的数量关系是 ； ②写出线段，和之间的数量关系． (2)当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，，直接写出线段的长度． 【答案】(1)①；② (2)①证明：，理由如下： 如图，过点作于点， 根据题意可知，， ∵在菱形中，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴． ②． 【分析】（1）①利用旋转性质得到等角，结合正方形性质，判定为等腰三角形，得到；②先证，然后通过等量代换得，再结合等腰直角三边关系推出； （2）①由旋转、菱形角度条件证，得，进而得到，再利用的三边关系，得到；②先证明全等三角形得，然后利用平行线构造相似三角形求出​，再利用旋转的性质算出，最后利用线段位置关系求出​． 【详解】（1）①解：∵绕点逆时针旋转， 由旋转可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：由①知，在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即 可得， 即． （2）①略； ②解：如图，过点作于，过点作于， 根据题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 28．【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ___________； ②若，，，则___________； 【迁移应用】在中，，，D、E，M分别是、、中点，连接和． ①如图3，写出和的数量关系 ___________； ②如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求MN的长． 【创新应用】如图5：，，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】【问题背景】①；②；【迁移应用】①，②3；【创新应用】 【分析】问题背景：①结论：．利用两边成比例夹角相等两三角形相似证明；②利用相似三角形的性质求解； 迁移应用：①结论：，证明，可得结论；②连接，利用相似三角形的性质，求出，再利用三角形的中位线定理求解即可； 创新应用：过点A作于点K，过点C作于点J，连接FJ．通过计算证明，求出，，可得结论． 【详解】解：①如图2中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； ②， ， ， ． 故答案为：； ①如图3中，在中， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：； ②如图4中，连接，． ， ， ， ， ， ， ， ，， ； 如图5中，过点A作于点K，过点C作于点J，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形得判定和性质，解直角三角形，三角形得中位线定理，平行线得判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造平行线解决问题． ◆题型八、折叠相似 29．如图，将矩形折叠，折痕经过点，点的对应点在边上．． (1)求与之比． (2)若将沿折叠，判断点的对应点是否在上？并说明理由． 【答案】(1) (2) 如图2，点在上． 理由：连接，设与交于，连接并延长交于． 由折叠，得，，． 由（1），垂直平分． ， （SAS）． ． ∴四边形是菱形． ，． ，，． ． ． ， （SAS）． ． ． 点在上． 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，根据折叠得到相等的线段和角是解题关键； （1）设，．由折叠可得可，在中，求出，再证明，进而可得，由此即可解答， （2）连接，设与交于，连接并延长交于．证明四边形是菱形，进而求出，进而证明（SAS），可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， 是矩形，． ，可设，． 由折叠，得，，． 在中，． ． ， ． ． ． ． （2）略 30．综合与实践 问题情境：课堂上老师展示了一张直角三角形纸片．请同学们进行折纸活动，已知在中．，点D、F分别是上的一点．连接． (1)如图1．小红将沿直线折叠，点B恰好落在上点E处，若，则的值______． (2)如图2，小明将沿直线DF折叠，点B落在AC上点E处，若，求证：四边形BDEF是菱形； (3)如图3．小亮将沿直线DF折叠，点B落在AC延长线上点E处，且EF平分，若，，求CE的长． 【答案】(1) (2) 证明： 方法一：∵， ∴． ∴． ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 方法二：∵， ∴， ∴． ∴， ∴． 由折叠可知：． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 方法三：∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 由折叠可知：． ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． 连接， ∵，， ∴点都在的垂直平分线上． ∴ ∴四边形是菱形． 方法四：连接，交于点， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴ 由折叠可知： ∴．点都在的垂直平分线上． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，证明，得到，再由，推出，则； （2）方法一：先证明，再证明，得到，则四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形；方法二：先证明，得到．再证明．推出，即可证明四边形是菱形；方法三：同方法一证明四边形是平行四边形．连接，证明点都在的垂直平分线上．得到，则四边形是菱形；方法四：连接，交于点，先证明，得到，再证明点都在的垂直平分线上．得到．证明，进而推出，即可证明四边形是菱形； （3）证明得到．求出，．则． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）∵平分， ∴． 由折叠可知：． ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴． ∴，． ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 31．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片折叠，使顶点A落在边上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点G (1)观察操作结果，在图1中找到一个与相似的三角形，并证明你的结论； (2)若．求的长． (3)将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片折叠，使顶点A落在边上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为，当点P在边的什么位置时，与面积的比是，情写出求解过程． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)当时，与面积的比是 【分析】（1）根据，，判定即可； （2）设，则有，根据勾股定理可求出x的值，然后根据可得，进而问题可求解； （3）根据两角对应相等，判定，再设，，得出，，，，最后根据相似三角形对应边成比例，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ，， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：由题可得，， ∴， ∴， ∴， ∵与面积的比是， ∴与的相似比是， 设，，则，，， ∴， ∴， 解得， ∴． 即当时，与面积的比是． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合应用，解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．解决问题的关键是运用方程思想进行求解． 32．如图，在矩形中，，点E，F分别在边和上，将沿着折叠得到将 沿着折叠得到（点 在矩形内部），且三点共线；连接，当为等腰三角形时，的长为__________．    【答案】1或 【分析】题目主要考查矩形折叠的性质及等腰三角形的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，理解题意，进行分类讨论是解题关键． 根据题意得出，确定为等腰三角形分两种情况讨论：设 则，当时，当时，分别利用等腰三角形的性质及勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】∵矩形，将沿着折叠得到 ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形分两种情况讨论： 设 则， 当时，在中， 由勾股定理得：，解得 ； 当时， ∵， ∴为的中点， ∴，解得， ∵将沿着折叠得到将 沿着折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 得 ； 综上可得：的长为1或， 故答案为：1或． ◆题型九、一线三等角型相似 33．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，，，点D在上，．求证：； (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而证得结论； （2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ∴， ，， ， ∴， ． 34．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明； （2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案； （3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 35．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，作交的延长线于点E． (1)如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：, ∴， ∴． 36．阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1) 解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）略 （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． ◆题型十、手拉手型相似 37．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 【答案】（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）证即可求解； （2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解； （3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解； （4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 38．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 39．综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 (1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：（1）中的结论仍然成立， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）设与交于点，与交于点，由四边形是正方形，则，由是等腰直角三角形，所以，证明，得出，进而证明； （2）设与交于点，与交于点，先由角度和差证明，从而可证，再由相似三角形的性质可得，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 40．阅读并回答问题． 数学课上，老师“以等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的相似图形”为题和同学们展开了一节探究活动课． 【初步感知，发现相似】 （1）具体过程是：将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，则，相似比为1，或者说． 展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，则与的关系是：__________． 【感悟方法，尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：． 【迁移拓展，解决问题】 （3）如图4，在等腰直角三角形中，，点E为边上一点，，若，求的长． 【答案】（1）； （2）证明：连接． ∵四边形是正方形． ， 是等腰直角三角形 又 ； （3） 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，，从而求，，即可得出结论； （2）连接．先证明，得到，从而可证明，得到，即可得出结论． （3）过点A作交的延长线于点M．由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，再证明，得到，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 略 （3）过点A作交的延长线于点M． 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形，且 在中， 解得：（负值舍去） ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． ◆题型十一、动态相似 41．如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，到达点停止．同时动点从点出发以的速度沿方向运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当以、、为顶点的三角形与相似时（两个三角形不重合），运动时间是______s． 【答案】或 或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出或，再根据相似三角形的判定，分类讨论：当时，；当时，；由此列式求解即可． 【详解】解：当点从运动， 点从的运动时间为，点从的运用时间为， 设运动时间为， ∴， ∵是钝角三角形， ∴， ∵是公共角， ∴当时，， ∴， 解得，，符合题意； 当时，， ∴， 解得，，符合题意； 当点从运动， 设运动时间为， ∴， ∵是钝角三角形， ∴， ∵是公共角， ∴当时，， ∴， 解得：，此时点与点重合，舍， 当时，， ∴， 解得：，符合题意， 综上所述，当运动时间是或或时，以为顶点的三角形与相似， 故答案为：或 或． 42．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，与相似 (3)存在，t的值为或或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由题意得，则有，t的取值范围为，当时，则有，证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）由（1）可知，，，由相似三角形的性质得出，，证明出，再分两种情况：当时，则有；当时，则有；分别利用相似三角形的性质求解即可； （3）分三种情况：当时，作于点H，则；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由题意得：，则有，t的取值范围为， ∴当时，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知：，，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴ 当时，则有 ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，则有，此时， ∵， ∴点C、Q重合，则， ∴，与相矛盾，故此种情况不成立； 综上所述：当时，与相似； （3）解：存在，当时，如图1，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得； 当时，如图2， 由（2）可知：， ∴， ∴， 解得； 当时，如图3，则， ， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得， 综上所述，t的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 43．矩形中，为对角线，，E为中点，动点P从点A出发沿方向，向点B运动，动点Q同时以相同速度，从点B出发沿方向向点C运动，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x秒． (1)时，求运动时间t； (2)时，求运动时间t； (3)当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似？ (4)连接的面积能否达到矩形面积的三分之一，若能求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）先求出，，再证明，，即，由此即可得到答案； （2）证明，得到，即，据此求解即可； （3）分当时， 当时，两种情况利用相似三角形的性质讨论求解即可； （4）先求出，再由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：当时，则，如图3-1所示， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当时，则， ∴， ∴， 解得（不合题意的值已舍去）； 综上所述，当或时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似 （4）解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意的值已舍去）． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，一元二次方程与图形面积，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 44．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点，点在线段上，满足，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿运动，两点同时出发，其中一点到达点时两点运动停止．设运动时间为秒． (1)分别求出的长； (2)求证：； (3)当是直角三角形时，求出的值． 【答案】(1) (2)证明：由运动可得， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ； (3)或 【分析】（1）根据正方形，点，得到，再根据，得到，； （2）由运动可得，结合得到，再根据正方形，得到，即可证明； （3）过作于，于，则四边形是矩形，，当时，点到达，点到达，此时；当时，，此时，是钝角三角形；当时，，此时，，，然后根据和分类讨论，利用一线三垂直模型证明相似，代入列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形，点， ∴，， ∵点在线段上，满足， ∴，； （2）略 （3）解：由运动可得，，，则，， ∵是直角三角形， ∴或或， 过作于，于，则四边形是矩形，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 当时，点到达，点到达，此时； 当时，，此时，是钝角三角形； 当时，，此时，，， 当时，，， ∴， ∴， 代入数值得， 解得， 满足的只有； 当时，同理可得， ∴， 代入数值得， 整理得，方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，或． ◆题型十二、k字型相似 45．如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 46．如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质证明，根据相似比求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 47．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接交边于点．若，则的长为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，则由三线合一得到，然后证明，则设，则，再由求解即可． 【详解】解：过点作于点 ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得，（舍）， ∴． 48．问题背景 在学习“相交线与平行线”时，课本上有这样一个问题：你能用矩形纸片通过折纸的方法折出互相垂直的直线吗？小唯的折法如图1所示： (1)小花将第三步得到的图形标上字母，得到图2． ①的度数为________； ②若，点是的中点，，则的长度为________； (2)迁移应用 如图3，在中，将边绕点顺时针旋转，得到，延长到点，使，连接，求证：； (3)联系拓展 如图4，在四边形中，，，点为的中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)①；②9； (2)证明：如图，过点D作交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． (3) 【分析】（1）①根据折叠的性质以及邻补角的性质即可解答；②由矩形的性质以及相关已知条件证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （2）如图，过点D作交的延长线于点H．先证明可得，再证明，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （3）如图，连接，根据等腰三角形的性质可得；如图：将绕点B逆时针旋转得到，连接，则，再证明可得易得，然后证明，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①由折叠的性质可得： ， ∴，即． ②∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F是的中点， ∴， ∴，解得：． （2）略 （3）解：如图，连接， ∵，点E为的中点， ∴， 如图：将绕点B逆时针旋转得到，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴在中， ． ∴． 【点睛】这道题的解题关键在于巧妙运用几何变换与图形性质的结合： 1．折叠问题：紧扣折叠前后的全等性质，利用对应角相等和邻补角关系确定垂直． 2．构造全等：通过作垂线构造“一线三等角”模型，证明三角形全等，将分散的线段集中到直角三角形中求解． 3．旋转变换：利用旋转构造全等三角形，结合中点性质证明相似，最终构建直角三角形利用勾股定理求解． ◆题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型） 49．在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点． 【基础研究】 若正方形的面积为，若是的中点， (1)如图1，请直接写出__________； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点，求证： 【推广及应用】 (3)若正方形的边长为，设试探究是否为定值，若为定值，用、表示；若不是，请说明理由； (4)若将“正方形”改为“矩形”，且与的交点仍满足，设，，你还能得到③中的结论吗？若能，请直接写出__________；（用、、表示）； 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长交于点，连接 设 ∵中，，是斜边的中点， ∴，则 ∵点是的中点 ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ， ∴ (3)是定值，； (4)能， 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，结合是的中点可得与的关系；根据直角三角形斜边中线的性质得出，；通过证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入计算即可求解． （2）设，延长交于点，连接，证明得出，进而证明，得出，证明，进而证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质可得，结合，得出，证明得出，等量代换，即可得出结论； （3）由（1）可得，代入，即可求解； （4）同（1）的方法，得出，代入，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，面积为 ，， 是的中点 ，是斜边 的中点 ，即 ， ． （2）略 （3）解：由（1）可得 ∵， ∴， ∵ （4）解：同（1）可得 ∵ ∴， ∵ 50．在矩形 中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，求的值（用含k的式子表示）； (3)如图3，当时，P为边上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】（1）由 可证，即可求解； （2）在上截取，连接，证明，即可求解； （3）连接 ，延长交于点 ，设，则,可证为等腰直角三角形，可得到，然后四边形 是矩形，再证，，代入即可求解. 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接 ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∵平分，， ∴ ∵， ∵ ∵，， ∴ （2）证明：如图，在上截取，连接 ∵，， ∴ ∵平分，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵，且 是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）如图所示：连接 ，延长交于点 ， ∵，点是边的中点 设，则，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 作交于点， 则四边形 是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵由（2）可知：      ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键． 51．在矩形中，是对角线的交点，，将绕点旋转，分别与边相交于，连接（k为常数）． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，． ①若，求的长； ②若，请直接写出的长． 【答案】(1) 解：若，则，即四边形为正方形， ∴，，，，，，， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴； (2) 解：． 理由：过作于，作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； (3)①；② 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形为正方形，然后证明即可得到，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，证明，则，进一步即可求出答案； （3）①过点作于点，则，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案；②过作于，作于，证明，则，设，则，设，则，得到，求出，即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①过点作于点，则， ∵，． ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 则， 解得， ∴， ∵， ∴； ②如图，过作于，作于， ∵，． ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵， ∴四边形是矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则， 又由得到， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴， ∵， ∴， ∴． 52．矩形中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． 【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ． （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） 【类比探究】（2）如图（2），当时，求________； 【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接，，，________． 【答案】 （1）证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ， ∵， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ； （2）2； （3） 【分析】（1）证明即可； （2）在上截取，连接．证明，即可求解； （3）以A为旋转中心，绕A点旋转到，设，则，连接，延长交于点M，连接，证明，可得四边形是正方形，再证明，由（2）得，过点P作交于K，进而证明四边形是矩形，则有，即可求出BC的长． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取，连接． ∵， ∴， ， ∵平分， ∴ ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ∵，E是边的中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：以A为旋转中心，绕A点旋转到， ∵， ∴， 设，则， ∵， ， 连接，延长交于点M，连接， ∵， ， ∵E是的中点， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵ ， 过点P作交于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键． ◆题型十四、角平分线型相似 53．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 3．角平分线 图13.5．4 96第13章全等三角形 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图13.5．4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图13.5．4，是的平分线，点P是上任点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 【定理证明】结合图①，“角平分线的性质定理”证明过程中．运用了与全等，全等最直接的依据是______________________． 【定理感知】如果教材中的已知条件不变，如图①，当时，则面积为___________． 【定理应用】如图②，在中，平分交于点D．求证：． 【拓展应用】如图③，在中，，将先沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，直接写出剩余的的面积为___________． 【答案】[定理证明]；[定理应用]9；[定理应用]证明见解答过程；[拓展应用]． 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． [定理证明]由“”可证； [定理应用]结合（1），用三角形面积公式可得答案； [定理应用]过点作，交的延长线于，由平分，，可证，，而，有，故； [拓展应用]根据将先沿的平分线折叠，得，，，，故，，，可知，可得，又，有，可得的面积为． 【详解】[定理证明]解：平分， ， ，， ， ， ， ， 全等最直接的依据是““， 故答案为：； [定理应用]解：由（1）知，， ， ， 面积为， 故答案为：9； [定理应用]证明：过点作，交的延长线于，如图： 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； [拓展应用]解：，，， ， 将先沿的平分线折叠， ，，，， ， 由（3）可得， ，， ， ， 同理可得， ， ， 的面积为， 故答案为：． 54．在矩形中，的平分线交边于点E，的平分线交直线于点F．若，，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等相关知识是解题的关键．由题意得，，，设射线、射线交于点，根据平行线的性质结合角平分线的定义可得到，设，分当点在线段上时，点在线段的延长线上时，两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质和相似三角形的性质得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：，平分， ， ，， 设射线、射线交于点， ， ， 又， ， 设， ①如图，当点在线段上时， ， ， ， 又，， ， ， 解得：； ②当点在线段的延长线上时， ，， ， ，即， 解得：； 综上所述，的长为或． 55．综合与探究 问题情境：（1）如图1，在中，和的平分线交于点，过点作于点，若，的周长为20，求的面积． 深入探究：（2）如图2，在中，的平分线与的外角平分线交于点与交于点． 求证：． 试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）50 （2）①证明：， ． 平分， ， ． 平分， ， ， ． ②． 理由：如图2，过点作于点，过点作于点， ． 平分， ． ， ， ， ， ． 设，则， 根据勾股定理可得． ， ． ， ． 【分析】（1）过点作于点，于点，连接．由即可求解； （2）①由等腰三角形的性质及角平分线的性质可分别求得的度数相等，从而证明结论成立； ②过点作于点，过点作于点，证明，得．设，则，根据勾股定理可得，再由比例关系即可得． 【详解】解：（1）如图1，过点作于点，于点，连接． 为角平分线， ． 的周长为20， ， ． （2）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 56．如图，在中，的平分线交于点，点为边上一点，连接交于点，若，，则________． 【答案】 【分析】根据已知条件，证明，得到比例关系，作辅助线，得到的比例，因为，易得的比例；利用，得到，将分别用表示，得到比值． 【详解】解：平分， ， ， ， （等角的补角相等）， ， ， ， ， 过点D作，交于点G，如下图所示 ， 设，则， ， ， ． ◆题型十五、重心相关相似 57．如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 【答案】A 【分析】连接并延长，交于点，得到三角形的三条中线，利用中线的性质得到，求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， 三角形三条中线必交于一点，为三角形的重心， 也是的中线， 由中线的性质得， 由是的中线，是的中线， ， 同理， ， ． 58．用一条直线将的面积平分，下列说法错误的是（    ） A．图1中，点是的中点，则将的面积平分 B．图2中，点是的中点，，则将的面积平分 C．图3中，，，则将的面积平分 D．图4中，，上的点是的重心，则将的面积平分 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线的性质，相似三角形的性质，三角形的重心的性质．根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 图1中，点是的中点，则将的面积平分，故该选项正确，不符合题意； B. 图2中，点是的中点， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴ 设交于点， ∴， ∴ ∴将的面积平分, 故该选项正确，不符合题意； C. 图3中，， ∴， ∵， ∴ 即将的面积平分, 故该选项正确，不符合题意； D. 图4中，，上的点是的重心， ∴， 如图，连接交于点， ∴， ∴， 则不能将的面积平分，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 59．【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】 证明：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用： 证明：点是的重心， ， 又， ， ； 提升：应用中结论成立．证明： 如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点， 则， ， ， 又， 而是的中点，即， ， ， 又， ， 故结论成立． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例： 证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论； 应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明； 提升：过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则，得到，进而推出，，即可证明． 【详解】证明：点为的重心， 点分别为线段的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：略 提升：略 60．在综合与实践活动课上，我们学习了均质薄板重心的确定，知道重心有重要的作用．而三角形的重心位于三条中线的交点处，如图1，中，中线，，交于点，则点为的重心； 【初步感知】 （1）三角形的中线平分三角形面积，如图2，中，三条中线将三角形分为六个小三角形，那么这六个小三角形的面积相等吗？请说明理由． 【探索发现】 （2）如图3，等腰三角形中，，是边上的中线，点是的重心，试猜想，与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，等腰三角形中，，点是的重心，连接并延长，过点作于点，交延长线于点，连结，若的面积是1，求四边形的面积． 【答案】 （1）六个小三角形的面积相等， 理由：如图；过点作于点，过点作于点， 为的中线， ， ，， ， 同理可得， ，， ，同理可得， （2），理由： 如图；连接 ，为中线， ， 由（1）可知，且，， （3） 【分析】本题考查了三角形中线平分面积，理解题意是解决本题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，则，，同理即可求解； （2）连接，由（1）可知，且，，即可求解； （3）连接并延长交于点，连接，可得是的垂直平分线，由（1）可知，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图；连接并延长交于点，连接 点是的重心， 是的中线， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， 由（1）可知， ． 综合攻坚·知能拔高 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 2．（2025·河北唐山·二模）如图，分别为的中线，和相交于点，点为的中点，连接，若的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】根据三角形中线，中位线性质得到，，证明，利用相似三角形性质推出，再结合三角形重心性质求解，即可解题． 【详解】解：⸪分别为的中线， ， 点为的中点， ，， ，， ， ， ⸪的面积为4， ⸫， ⸪和相交于点，即点为的重心， ， 的面积为； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中线，中位线，相似三角形性质和判定，三角形重心性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，以正方形的边为底边作，、分别与交于点、，已知，，若为中点，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形性质及判定，正方形性质．根据题意可得，继而得到，再得，再利用勾股定理可得，后利用相似性质可得本题答案． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，M为边上的一点，，，过点M作，交于点N，连接并延长，交的延长线于点P，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，结合得出，从而得出，，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：∵M为边上的一点，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（24-25九年级下·河北沧州·阶段检测）如图，中，一把带有刻度的尺子和边重合，B、C 两点对应的数分别为6和0，尺子中 间有部分数据磨损了，点D 为中点，， 则点E 对应的刻度为______________． 【答案】3 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意得出，确定，结合图形即可求解，熟练掌握相似是三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点D 为中点， ∴， ∵B、C 两点对应的数分别为6和0， ∴， ∴， ∴， ∴点E 对应的刻度为3， 故答案为：3． 7．（2025·河北保定·一模）如图，平行四边形中，，，对角线，沿折叠，点落在上点处，折痕交于点，连接交于点．则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，先求出的长度，再判定四边形是菱形，然后判定和，利用相似三角形的性质求得和的长度，即可求解； 【详解】解：， ， 是平行四边形， ∴， ， 沿折叠，点落在上点处，折痕交于点， ，， ， 平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ∴，， ∴， 平行四边形中，， ，， ，， ∴，， ， ， ， ， ， ； 故答案为： 8．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上，若，，则每个小正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 由矩形的性质得，而，所以，，可证明，，则，，所以，由，求得，则，，根据勾股定理得出的值，从而得出的值，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ， ， ∴每个小正方形的边长为， 故答案为：． 9．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为______． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质证明四边形，是矩形，根据矩形的性质得，设正方形的边长为，则，，由正方形的性质可知，则，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可，掌握矩形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形，是矩形， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴正方形的边长， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，D是中点，，垂足为， （1）的值为________． （2）若，则________． 【答案】 9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）先证，则利用相似比得到，然后根据是的中点得到，从而得到的值； （2）利用（1）的结论得到，即，则可判断，则根据相似三角形的性质得到，然后计算出的度数，从而得的度数． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 故答案为：9； （2），， ， 即， 又， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·河北张家口·期中）综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 (1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：（1）中的结论仍然成立， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）设与交于点，与交于点，由四边形是正方形，则，由是等腰直角三角形，所以，证明，得出，进而证明； （2）设与交于点，与交于点，先由角度和差证明，从而可证，再由相似三角形的性质可得，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)81 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论； （2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段检测）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致． 理由：如图， ∵将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，继而得到，，，，可得出与的夹角； （2）证明得，，即可得证； （3）利用勾股定理求出的长，证明，求出，由等腰三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ，， ∴，， ∴，， ∴线段与的位置关系是，与的数量关系是， 故答案为：；； （2）略 （3）如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点旋转一定角度得到，点 落到边上，， ∴， ∴， 由（2）可知：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） ，   （2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； （3）或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． （1）通过证明可得 ，即可求解； （2）通过证明可得 ，即可求解； （3）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，过点作于，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）如图①， 连接， 连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： ，； （2）略 （3）如图③，当点在直线的左侧时，过点作交的延长线于，则， ， ， ， ， ， ； 如图④，当点在直线的右侧时，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 15．（24-25九年级下·江西宜春·阶段检测）如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ． (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由翻折得，推导出，则； （2）由为的中点，，得，由，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形的经典模型 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的经典模型 题型一、A字型相似 题型二、8字型相似 题型三、AX字型相似 题型四、母子型相似 题型五、三角形内接矩形相似 题型六、射影定理相似 题型七、旋转相似 题型八、折叠相似 题型九、一线三等角型相似 题型十、手拉手型相似 题型十一、动态相似 题型十二、k字型相似 题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型） 题型十四、角平分线型相似 题型十五、重心相关相似 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的经典模型 ◆题型一、A字型相似 1．如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为．已知，求的长． 2．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 3．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，两条中线、相交于点O，已知的面积是3，则的面积是________． ◆题型二、8字型相似 5．如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若，，则的值为________． 6．如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，点D为的中点，求的长． 8．如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． ◆题型三、AX字型相似 9．如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 10．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 11．如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 12．如图，点E是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 ◆题型四、母子型相似 13．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 14．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 15．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 16．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______． ◆题型五、三角形内接矩形相似 17．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 18．如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在、上，与的交点为M，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 19．如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 20．课本原题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？    （1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？ 变式训练： （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？ （3）如图3，在中，，正方形的边长是10，且四个顶点都在的各边上，．求的值． ◆题型六、射影定理相似 21．如图，是的斜边上的高，，，那么与的面积之比是（   ）    A． B． C． D． 22．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 23．如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，延长交的延长线于点E，已知．    (1)求证：； (2)若，．求的长． 24．阅读与思考 下面是数学爱好者小宇学了三角形相似后推导常用结论的手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 射影定理数学结论：在中，，CD为斜边AB上的高，则有． 已知：如图1，在中，，CD为斜边上的高． 求证：． 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴（依据1）， ∴（依据2）， ∴． 任务： (1)材料中依据1是______；依据2是______． (2)如图2，在正方形中，E，F分别为边上的动点，连接交于点H．若，，，求的长． ◆题型七、旋转相似 25．综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 26．如图，正方形和正方形有公共顶点A，连接． (1)如图1，当点G在上，点F在上时，求的值； (2)如图2，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，求的值； (3)如图3，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，若，，当C，G，E三点共线时，求的长度． 27．结合图形，解决问题： (1)如图1，是正方形边上一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①线段和的数量关系是 ； ②写出线段，和之间的数量关系． (2)当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，，直接写出线段的长度． 28．【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ___________； ②若，，，则___________； 【迁移应用】在中，，，D、E，M分别是、、中点，连接和． ①如图3，写出和的数量关系 ___________； ②如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求MN的长． 【创新应用】如图5：，，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． ◆题型八、折叠相似 29．如图，将矩形折叠，折痕经过点，点的对应点在边上．． (1)求与之比． (2)若将沿折叠，判断点的对应点是否在上？并说明理由． 30．综合与实践 问题情境：课堂上老师展示了一张直角三角形纸片．请同学们进行折纸活动，已知在中．，点D、F分别是上的一点．连接． (1)如图1．小红将沿直线折叠，点B恰好落在上点E处，若，则的值______． (2)如图2，小明将沿直线DF折叠，点B落在AC上点E处，若，求证：四边形BDEF是菱形； (3)如图3．小亮将沿直线DF折叠，点B落在AC延长线上点E处，且EF平分，若，，求CE的长． 31．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片折叠，使顶点A落在边上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点G (1)观察操作结果，在图1中找到一个与相似的三角形，并证明你的结论； (2)若．求的长． (3)将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片折叠，使顶点A落在边上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为，当点P在边的什么位置时，与面积的比是，情写出求解过程． 32．如图，在矩形中，，点E，F分别在边和上，将沿着折叠得到将 沿着折叠得到（点 在矩形内部），且三点共线；连接，当为等腰三角形时，的长为__________．    ◆题型九、一线三等角型相似 33．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，，，点D在上，．求证：； (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 34．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 35．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，作交的延长线于点E． (1)如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； 36．阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． ◆题型十、手拉手型相似 37．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 38．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 39．综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 (1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 40．阅读并回答问题． 数学课上，老师“以等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的相似图形”为题和同学们展开了一节探究活动课． 【初步感知，发现相似】 （1）具体过程是：将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，则，相似比为1，或者说． 展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，则与的关系是：__________． 【感悟方法，尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：． 【迁移拓展，解决问题】 （3）如图4，在等腰直角三角形中，，点E为边上一点，，若，求的长． ◆题型十一、动态相似 41．如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，到达点停止．同时动点从点出发以的速度沿方向运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当以、、为顶点的三角形与相似时（两个三角形不重合），运动时间是______s． 42．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 43．矩形中，为对角线，，E为中点，动点P从点A出发沿方向，向点B运动，动点Q同时以相同速度，从点B出发沿方向向点C运动，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x秒． (1)时，求运动时间t； (2)时，求运动时间t； (3)当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似？ (4)连接的面积能否达到矩形面积的三分之一，若能求出t的值；若不能，说明理由． 44．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点，点在线段上，满足，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿运动，两点同时出发，其中一点到达点时两点运动停止．设运动时间为秒． (1)分别求出的长； (2)求证：； (3)当是直角三角形时，求出的值． ◆题型十二、k字型相似 45．如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 46．如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 47．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接交边于点．若，则的长为________． 48．问题背景 在学习“相交线与平行线”时，课本上有这样一个问题：你能用矩形纸片通过折纸的方法折出互相垂直的直线吗？小唯的折法如图1所示： (1)小花将第三步得到的图形标上字母，得到图2． ①的度数为________； ②若，点是的中点，，则的长度为________； (2)迁移应用 如图3，在中，将边绕点顺时针旋转，得到，延长到点，使，连接，求证：； (3)联系拓展 如图4，在四边形中，，，点为的中点，连接，若，，，求的长． ◆题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型） 49．在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点． 【基础研究】 若正方形的面积为，若是的中点， (1)如图1，请直接写出__________； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点，求证： 【推广及应用】 (3)若正方形的边长为，设试探究是否为定值，若为定值，用、表示；若不是，请说明理由； (4)若将“正方形”改为“矩形”，且与的交点仍满足，设，，你还能得到③中的结论吗？若能，请直接写出__________；（用、、表示）； 50．在矩形 中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，求的值（用含k的式子表示）； (3)如图3，当时，P为边上一点，连接，，，求的长． 51．在矩形中，是对角线的交点，，将绕点旋转，分别与边相交于，连接（k为常数）． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，． ①若，求的长； ②若，请直接写出的长． 52．矩形中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． 【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ． （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） 【类比探究】（2）如图（2），当时，求________； 【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接，，，________． ◆题型十四、角平分线型相似 53．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 3．角平分线 图13.5．4 96第13章全等三角形 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图13.5．4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图13.5．4，是的平分线，点P是上任点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 【定理证明】结合图①，“角平分线的性质定理”证明过程中．运用了与全等，全等最直接的依据是______________________． 【定理感知】如果教材中的已知条件不变，如图①，当时，则面积为___________． 【定理应用】如图②，在中，平分交于点D．求证：． 【拓展应用】如图③，在中，，将先沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，直接写出剩余的的面积为___________． 54．在矩形中，的平分线交边于点E，的平分线交直线于点F．若，，则的长为________． 55．综合与探究 问题情境：（1）如图1，在中，和的平分线交于点，过点作于点，若，的周长为20，求的面积． 深入探究：（2）如图2，在中，的平分线与的外角平分线交于点与交于点． 求证：． 试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 56．如图，在中，的平分线交于点，点为边上一点，连接交于点，若，，则________． ◆题型十五、重心相关相似 57．如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 58．用一条直线将的面积平分，下列说法错误的是（    ） A．图1中，点是的中点，则将的面积平分 B．图2中，点是的中点，，则将的面积平分 C．图3中，，，则将的面积平分 D．图4中，，上的点是的重心，则将的面积平分 59．【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 60．在综合与实践活动课上，我们学习了均质薄板重心的确定，知道重心有重要的作用．而三角形的重心位于三条中线的交点处，如图1，中，中线，，交于点，则点为的重心； 【初步感知】 （1）三角形的中线平分三角形面积，如图2，中，三条中线将三角形分为六个小三角形，那么这六个小三角形的面积相等吗？请说明理由． 【探索发现】 （2）如图3，等腰三角形中，，是边上的中线，点是的重心，试猜想，与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，等腰三角形中，，点是的重心，连接并延长，过点作于点，交延长线于点，连结，若的面积是1，求四边形的面积． 综合攻坚·知能拔高 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北唐山·二模）如图，分别为的中线，和相交于点，点为的中点，连接，若的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，以正方形的边为底边作，、分别与交于点、，已知，，若为中点，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，M为边上的一点，，，过点M作，交于点N，连接并延长，交的延长线于点P，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·河北沧州·阶段检测）如图，中，一把带有刻度的尺子和边重合，B、C 两点对应的数分别为6和0，尺子中 间有部分数据磨损了，点D 为中点，， 则点E 对应的刻度为______________． 7．（2025·河北保定·一模）如图，平行四边形中，，，对角线，沿折叠，点落在上点处，折痕交于点，连接交于点．则的面积是______． 8．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上，若，，则每个小正方形的边长为_______． 9．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为______． 10．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，D是中点，，垂足为， （1）的值为________． （2）若，则________． 11．（25-26九年级上·河北张家口·期中）综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 (1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 13．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段检测）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 14．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 15．（24-25九年级下·江西宜春·阶段检测）如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $