第12章 函数与一次函数压轴难题分类专项（满分冲刺）2026-2027学年沪科版数学八年级上册

沪科版数学八年级上册 第12章 函数与一次函数 压轴难题分类专项（举一反三·满分冲刺） （解析版·共10个专题30题） 专题一　新定义阅读理解问题 方法点津：先读懂“新定义”的运算规则，用具体数值代入验证，再把点的坐标用字母表示、消元得到一般规律。 【例题】在平面直角坐标系中，定义一种坐标变换：点 P（x，y）经过变换后得到点 P′（2x＋1，2y−1），记作 P′＝T（P）．（1）点 M（0，0）经过变换后得到 M′，则 M′ 的坐标为 ________；（2）若点 N 在直线 y＝2x 上运动，则它的对应点 N′ 始终在一条定直线上，这条定直线的函数表达式为 ________． 【答案】（1，−1）；y＝2x−3 【解析】（1）T（0，0）＝（2×0＋1，2×0−1）＝（1，−1）。 （2）设 N（t，2t），则 N′（2t＋1，4t−1）。令 N′ 横坐标 X＝2t＋1，则 t＝，纵坐标 Y＝4t−1＝4·−1＝2X−3，故 N′ 始终在直线 y＝2x−3 上。 【变式1】我们把有序数对 [a，b] 叫做一次函数 y＝ax＋b 的“特征数”．（1）写出特征数为 [3，−2] 的一次函数，并求它与两坐标轴的交点坐标；（2）若特征数为 [m−1，m＋2] 的一次函数是正比例函数，求 m 的值；（3）特征数为 [2，b] 与 [−1，4] 的两个一次函数图象与 x 轴交于同一点，求 b 的值． 【答案】（1）y＝3x−2，交点（，0）、（0，−2）；（2）m＝−2；（3）b＝−8． 【解析】（1）特征数 [3，−2] 对应 y＝3x−2。令 y＝0 得 x＝，交点（，0）；令 x＝0 得 y＝−2，交点（0，−2）。 （2）正比例函数常数项为 0 且一次项系数不为 0，故 m＋2＝0，m＝−2，此时 m−1＝−3≠0，符合。 （3）[−1，4] 对应 y＝−x＋4，与 x 轴交于（4，0）。[2，b] 对应 y＝2x＋b，由其过（4，0）得 8＋b＝0，b＝−8。 【变式2】对于两个一次函数 y＝a₁x＋b₁ 和 y＝a₂x＋b₂，若 a₁＋a₂＝0 且 b₁＝b₂，则称它们互为“对偶函数”．（1）写出一次函数 y＝2x＋3 的对偶函数；（2）求这一对对偶函数图象的交点坐标；（3）若一次函数 y＝（k−1）x＋4 与 y＝3x＋4 互为对偶函数，求 k 的值；（4）一般地，一对对偶函数 y＝ax＋b、y＝−ax＋b 的交点是否与 a 无关？说明理由． 【答案】（1）y＝−2x＋3；（2）（0，3）；（3）k＝−2；（4）交点恒为（0，b），与 a 无关． 【解析】（1）由 a₂＝−2、b₂＝3，对偶函数为 y＝−2x＋3。 （2）联立 2x＋3＝−2x＋3，得 x＝0、y＝3，交点（0，3）。 （3）由（k−1）＋3＝0，得 k＝−2。 （4）联立 ax＋b＝−ax＋b，得 2ax＝0，a≠0 时 x＝0、y＝b，交点恒为（0，b），与 a 无关。 专题二　单动点与面积问题 方法点津：用含 t 的式子表示动点坐标，把三角形的底、高用水平（竖直）距离表示，得到面积关于 t 的一次函数。 【例题】如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，4）．动点 P 从点 O 出发沿 x 轴正方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀速运动，到达 A 后停止，设运动时间为 t（秒），△OBP 的面积为 S．（1）写出 S 关于 t 的函数表达式及 t 的取值范围；（2）当 t＝2 时，求 S；（3）当 S＝6 时，求 t 及此时点 P 的坐标；（4）求 S 的最大值． 【答案】（1）S＝4t（0≤t≤3）；（2）8；（3）t＝，P（3，0）；（4）12． 【解析】P（2t，0），△OBP 以 OP 为底、OP＝2t，高为 B 到 x 轴距离 4。 （1）S＝×2t×4＝4t，P 到 A 需 3 秒，故 0≤t≤3。 （2）t＝2 时 S＝8。 （3）4t＝6，t＝，P（3，0）。 （4）S 随 t 增大而增大，t＝3 时最大，S＝12。 【变式1】如图，在矩形 OABC 中，O（0，0），A（8，0），B（8，5），C（0，5）．动点 P 从点 A 出发沿边 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 匀速运动，设运动时间为 t（秒），△OAP 的面积为 S．（1）写出 S 关于 t 的函数表达式及 t 的取值范围；（2）当 S＝12 时，求点 P 的坐标；（3）当 P 运动到 AB 中点时，求 S；（4）求 S 的取值范围． 【答案】（1）S＝4t（0≤t≤5）；（2）P（8，3）；（3）10；（4）0≤S≤20． 【解析】P（8，t），△OAP 以 OA＝8 为底、高为 P 到 x 轴距离 t。 （1）S＝×8×t＝4t，0≤t≤5。 （2）4t＝12，t＝3，P（8，3）。 （3）AB 中点 t＝，S＝4×＝10。 （4）t 从 0 到 5，S 从 0 增大到 20，故 0≤S≤20。 【变式2】如图，直线 y＝−2x＋8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．动点 P 从点 A 出发沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 匀速运动，设运动时间为 t（秒），△ABP 的面积为 S，△OBP 的面积为 S′．（1）写出 S 关于 t 的函数表达式；（2）当 S 等于△AOB 面积的一半时，求点 P 的坐标；（3）当 S＝12 时，求点 P 的坐标；（4）求 S′ 关于 t 的表达式，并探究 S＋S′ 的值． 【答案】（1）S＝4t（0≤t≤4）；（2）P（2，0）；（3）P（1，0）；（4）S′＝16−4t，S＋S′＝16． 【解析】A（4，0）、B（0，8），S△AOB＝×4×8＝16。P（4−t，0），AP＝t。 （1）△ABP 以 AP 为底、高为 8，S＝×t×8＝4t。 （2）S＝8 时 4t＝8，t＝2，P（2，0）。 （3）4t＝12，t＝3，P（1，0）。 （4）△OBP 以 OP＝4−t 为底、高为 8，S′＝（4−t）×8＝16−4t，故 S＋S′＝4t＋16−4t＝16，恒等于△AOB 的面积。 专题三　双动点问题 方法点津：分别表示两个动点，注意相遇、停止等临界时刻，面积常需分段并含绝对值。 【例题】如图，机器人 C 固定在点（0，6）处；机器人 P 从原点 O 出发沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度运动；同一时刻机器人 Q 从点（8，0）出发沿 x 轴负方向以每秒 3 个单位长度运动，当其中一台到达原点 O 时全部停止．设运动时间为 t（秒），△CPQ 的面积为 S．（1）当 t＝1 时，求 S；（2）求 P、Q 相遇时刻，并写出 S 关于 t 的函数表达式；（3）当 S＝6 时，求 t；（4）求 S 的最小值． 【答案】（1）12；（2）相遇 t＝2，S＝24−12t（0≤t≤2），S＝12t−24（2＜t≤）；（3）t＝ 或 ；（4）0． 【解析】P（t，0），Q（8−3t，0）。Q 到 O 需 秒，P 到（8，0）需 8 秒，故 0≤t≤。 （1）t＝1 时 P（1，0）、Q（5，0），PQ＝4，S＝×4×6＝12。 （2）相遇 t＝8−3t，t＝2。PQ＝|8−4t|，S＝|8−4t|×6＝3|8−4t|，分段得 S＝24−12t（0≤t≤2），S＝12t−24（2＜t≤）。 （3）24−12t＝6 得 t＝；12t−24＝6 得 t＝。 （4）相遇时 P、Q 重合，S＝0，为最小值。 【变式1】如图，在矩形 OABC 中，O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）．动点 P 从 O 出发沿 O→A 以每秒 2 个单位长度运动；同时动点 Q 从 C 出发沿 C→B 以每秒 1 个单位长度运动，当 P 到达 A 时全部停止．设运动时间为 t（秒），四边形 OPQC（阴影部分）的面积为 S．（1）写出 S 关于 t 的函数表达式及 t 的取值范围；（2）当 t＝2 时，求 S；（3）当 S＝15 时，求 P、Q 的坐标；（4）求 S 的最大值． 【答案】（1）S＝6t（0≤t≤3）；（2）12；（3）P（5，0），Q（，4）；（4）18． 【解析】P（2t，0），Q（t，4）。P 到 A 需 3 秒，故 0≤t≤3。四边形 OPQC 是梯形，两底 OP＝2t、CQ＝t 互相平行（均水平），高为 4。 （1）S＝（2t＋t）×4＝6t。 （2）t＝2 时 S＝12。 （3）6t＝15，t＝，P（5，0），Q（，4）。 （4）S 随 t 增大，t＝3 时最大，S＝18。 【变式2】如图，机器人 C 固定在点（0，4）处，机器人 P 从 O 出发沿 x 轴正方向以每秒 2 个单位长度运动，机器人 Q 从点（9，0）出发沿 x 轴负方向以每秒 1 个单位长度运动，当其中一台到达原点 O 时停止．设运动时间为 t（秒），△CPQ 的面积为 S．（1）求 P、Q 相遇时刻；（2）写出 S 关于 t 的函数表达式；（3）当 S＝8 时，求 t；（4）求 S 的最小值并描述 S 随 t 变化的情况． 【答案】（1）t＝3；（2）S＝2|9−3t|；（3）t＝ 或 ；（4）最小值 0，S 先减小到 0 再增大． 【解析】P（2t，0），Q（9−t，0）。Q 到 O 需 9 秒，P 到（9，0）需 秒，故 0≤t≤。 （1）相遇 2t＝9−t，t＝3。 （2）PQ＝|9−t−2t|＝|9−3t|，S＝|9−3t|×4＝2|9−3t|。 （3）2|9−3t|＝8，|9−3t|＝4，9−3t＝4 得 t＝，9−3t＝−4 得 t＝（＜，有效）。 （4）相遇时 S＝0，为最小值；S 先随 t 减小到 0（t＝3），之后再增大。 专题四　规律探究问题 方法点津：从特殊情形入手，观察坐标、边长的变化倍数或周期，归纳出第 n 个的一般表达式。 【例题】如图，点 P₁，P₂，P₃，… 都在直线 y＝2x 上，其中 P₁ 的横坐标为 1，从 P₂ 起每个点的横坐标都是前一个点横坐标的 2 倍．（1）点 P₄ 的坐标为 ________；（2）点 Pn 的坐标为 ________；（3）相邻两点 Pn 与 Pn−1 的纵坐标之差为 ________（用含 n 的式子表示）． 【答案】P₄（8，16）；（2ⁿ⁻¹，2ⁿ）；2ⁿ⁻¹ 【解析】Pn 横坐标为 1，2，4，…，即 2ⁿ⁻¹，因在 y＝2x 上，纵坐标为 2ⁿ。 （1）P₄ 横坐标 8、纵坐标 16，P₄（8，16）。 （2）Pn（2ⁿ⁻¹，2ⁿ）。 （3）纵坐标之差 2ⁿ−2ⁿ⁻¹＝2ⁿ⁻¹。 【变式1】如图，点 P₀ 的坐标为（1，0）．规定：把点 Pn 绕原点 O 逆时针旋转 90°，再使它到原点的距离变为原来的 3 倍，得到 Pn＋1（点（x，y）逆时针旋转 90° 后为（−y，x））．（1）求 P₄ 的坐标；（2）写出 Pn 到原点的距离及方向变化的规律；（3）求 P₁₀₀ 的坐标；（4）求 P₁₀₁ 的坐标． 【答案】（1）（81，0）；（2）距离 3ⁿ，方向每 4 次一循环；（3）（3¹⁰⁰，0）；（4）（0，3¹⁰¹）． 【解析】P₁（0，3），P₂（−9，0），P₃（0，−27），P₄（81，0）。 （1）P₄（81，0）。 （2）Pn 到原点距离为 3ⁿ；n 除以 4 余数 0、1、2、3 分别指向 x 轴正方向、y 轴正方向、x 轴负方向、y 轴负方向。 （3）100 除以 4 余数 0，P₁₀₀（3¹⁰⁰，0）。 （4）101 除以 4 余数 1，P₁₀₁（0，3¹⁰¹）。 【变式2】如图是一组由实心点组成的方阵图案，第 1 个图案有 1 行 1 列，第 2 个图案有 2 行 2 列，……，第 n 个图案有 n 行 n 列．（1）求第 4 个图案的点数；（2）写出第 n 个图案的点数（用含 n 的式子表示）；（3）第 n 个图案最外一层（边框）的点数是多少？（4）若某图案最外一层共有 23 个点，求这是第几个图案． 【答案】（1）16；（2）n²；（3）2n−1；（4）第 12 个． 【解析】（1）第 4 个图案为 4×4 方阵，共 16 个点。 （2）第 n 个图案点数为 n²。 （3）最外一层点数＝n²−（n−1）²＝2n−1。 （4）令 2n−1＝23，n＝12，故为第 12 个图案。 专题五　整点（格点）问题 方法点津：按横坐标（或纵坐标）分类，逐列数出整点个数再求和；含参时先列少量特例找规律。 【例题】如图，直线 y＝−x＋4 与两坐标轴在第一象限围成三角形（含边界），横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该三角形区域上的整点共有 ________ 个． 【答案】15 【解析】直线过（0，4）、（4，0）。整点个数为 1＋2＋3＋4＋5＝15（个），即横坐标 x＝0、1、2、3、4 时整点个数依次为 5、4、3、2、1。 【变式1】整点是指横、纵坐标均为整数的点．（1）如图，直线 y＝−2x＋6 与两坐标轴在第一象限围成三角形（含边界），求该区域上的整点个数；（2）求直线 y＝−x＋3 与两坐标轴在第一象限围成三角形（含边界）区域上的整点个数；（3）比较两小题结果，你发现这两条直线围成区域的整点个数有什么关系？ 【答案】（1）16；（2）16；（3）整点个数相同，均为 16． 【解析】（1）直线过（0，6）、（3，0）。x＝0、1、2、3 时整点个数依次为 7、5、3、1，合计 16。 （2）直线过（0，3）、（6，0）。x＝0～6 时整点个数依次为 4、3、3、2、2、1、1，合计 16。 （3）两条直线所围三角形区域的整点个数相同，均为 16。 【变式2】如图，设 n 为正偶数，直线 y＝−2x＋n 与两坐标轴在第一象限围成三角形（含边界）．（1）当 n＝4 时，求该区域上的整点个数；（2）求该区域整点个数（用含 n 的式子表示）；（3）当 n＝6 时，求整点个数；（4）若该区域恰有 25 个整点，求 n 的值． 【答案】（1）9；（2）；（3）16；（4）n＝8． 【解析】直线过（0，n）、（，0）。横坐标为 x 时整点个数为 n−2x＋1。 （1）n＝4 时 x＝0、1、2，整点个数 5、3、1，合计 9。 （2）整点总数＝（n＋1）＋（n−1）＋…＋1，共 ＋1 个奇数相加，等于（＋1）²＝。 （3）n＝6 时 ＝16。 （4）令 ＝25，（n＋2）²＝100，n＋2＝10，n＝8。 专题六　图象与性质含参综合 方法点津：含参一次函数常过定点（把含 k 项合并、令其系数为 0）；结合 k、b 的符号判断图象经过的象限。 【例题】已知一次函数 y＝（m−1）x＋m＋2，有下列结论：①该函数图象恒过定点（−1，3）；②若 y 随 x 的增大而减小，则 m＜1；③若图象不经过第二象限，则 m＞1；④若图象经过原点，则 m＝−2．其中正确结论的个数所对应的组合是（　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】①代入 x＝−1，y＝−（m−1）＋m＋2＝3，恒过（−1，3），正确；②y 随 x 减小需 m−1＜0，m＜1，正确；③不经过第二象限需 m−1＞0 且 m＋2≤0，二者矛盾、不可能，而 m＞1 时 m＋2＞0 图象过第一、二、三象限，故③错误；④过原点需 m＋2＝0，m＝−2，正确。故①②④正确，选 B。 【变式1】已知 ab≠0，在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋b 与 y＝bx＋a 的图象可能是（如图，四幅小图分别标为①②③④）（　） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【解析】图②中一条直线上升且与 y 轴交于负半轴（对应 a＞0、b＜0，即 y＝ax＋b），另一条直线下降且与 y 轴交于正半轴（对应 b＜0、a＞0，即 y＝bx＋a），二者符号一致，故图②可能。其余各图中两直线的升降趋势与截距符号互相矛盾，故选 B。 【变式2】如图，已知一次函数 y＝（2k−1）x＋3−k．（1）探究该函数图象是否恒过某一定点，若有，求出该定点；（2）若 y 随 x 的增大而增大，求 k 的范围；（3）若图象与 y 轴交于正半轴，求 k 的范围；（4）若图象不经过第三象限，求 k 的范围；（5）若图象满足 y 随 x 增大而增大，且与 y 轴的交点在点（0，1）的上方，求 k 的范围． 【答案】（1）恒过（，）；（2）k＞；（3）k＜3；（4）k＜；（5）＜k＜2． 【解析】y＝k（2x−1）＋（3−x）。 （1）令 2x−1＝0，x＝，y＝3−＝，恒过定点（，）。 （2）2k−1＞0，k＞。 （3）3−k＞0，k＜3。 （4）不经过第三象限需 2k−1＜0 且 3−k≥0，即 k＜。 （5）由（2）k＞，交点（0，3−k）在（0，1）上方需 3−k＞1，k＜2，故 ＜k＜2。 专题七　分段函数实际应用 方法点津：分段计费先写清每段表达式与自变量范围，注意折点；求均价、方案临界时常需列方程。 【例题】如图，某市居民生活用电实行阶梯电价：每户每月用电量不超过 200 度（含 200 度）的部分，每度 0.5 元；超过 200 度的部分，每度 0.6 元．设月用电量为 x（度），应缴电费为 y（元）．（1）写出 y 关于 x 的函数表达式；（2）求用电量分别为 150 度、300 度时的电费；（3）若某月缴电费 130 元，求该月用电量；（4）若某月平均每度电 0.55 元，求该月用电量． 【答案】（1）y＝0.5x（0≤x≤200），y＝0.6x−20（x＞200）；（2）75 元、160 元；（3）250 度；（4）400 度． 【解析】（1）0≤x≤200 时 y＝0.5x；x＞200 时 y＝200×0.5＋0.6（x−200）＝0.6x−20。 （2）x＝150：y＝75；x＝300：y＝0.6×300−20＝160。 （3）130＞100，用第二段：0.6x−20＝130，x＝250（度）。 （4）均价 0.55＞0.5，必超 200 度，令 ＝0.55，0.6x−20＝0.55x，0.05x＝20，x＝400（度）。 【变式1】如图是某快递员一天上午从站点出发送件过程中，离站点的距离 y（千米）随时间 x（分钟）变化的图象：0～5 分钟匀速行驶到距站点 1.5 千米处；5～8 分钟距离不变；8～11 分钟返回到距站点 0.9 千米处；11～13 分钟距离不变；13～18 分钟行驶到距站点 2.4 千米处．（1）求 0～5 分钟和 13～18 分钟的行驶速度；（2）途中两次停留（距离不变）共多少分钟？（3）求 8～11 分钟的行驶方向和速度；（4）该快递员全程累计行驶了多少千米？ 【答案】（1）均为 0.3 千米/分；（2）5 分钟；（3）返回站点方向，0.2 千米/分；（4）3.6 千米． 【解析】（1）0～5 分速度＝＝0.3（千米/分）；13～18 分行驶 2.4−0.9＝1.5 千米、用时 5 分，速度 0.3 千米/分。 （2）5～8 停留 3 分，11～13 停留 2 分，共 5 分钟。 （3）8～11 分距离由 1.5 减到 0.9，为返回站点方向，3 分行驶 0.6 千米，速度 0.2 千米/分。 （4）累计行驶 1.5＋0.6＋1.5＝3.6（千米）。 【变式2】如图，某通信公司推出两种手机流量套餐：A 套餐，月租 20 元，含 5GB 流量，超出部分每 GB 5 元；B 套餐，无月租，每 GB 8 元．设每月使用流量 x（GB）．（1）当 x＝3 和 x＝8 时，分别选择哪个套餐更省钱？（2）求两种套餐费用相同的流量值，并说明应如何选择；（3）若 B 套餐每 GB 降价 a 元（0＜a＜8），某用户每月用 10GB（此时 A 套餐 45 元），要使 B 套餐更省钱，求 a 的取值范围． 【答案】（1）x＝3 选 A（20 元），x＝8 选 A（35 元）；（2）x＝2.5GB 时相同，x＜2.5 选 B、x＞2.5 选 A；（3）3.5＜a＜8． 【解析】A：y＝20（0≤x≤5），y＝20＋5（x−5）＝5x−5（x＞5）；B：y＝8x。 （1）x＝3：A 20、B 24，选 A；x＝8：A 35、B 64，选 A。 （2）在 0≤x≤5 段令 8x＝20，x＝2.5；x＞5 段 5x−5＜8x 恒成立，A 更省。故 x＜2.5 选 B，x＝2.5 相同，x＞2.5 选 A。 （3）B 降价后为（8−a）x，x＝10 时令（8−a）×10＜45，80−10a＜45，a＞3.5，结合 0＜a＜8，得 3.5＜a＜8。 专题八　一次函数与方程、不等式 方法点津：kx＋b＝0 的解对应图象与 x 轴交点的横坐标；两直线比较大小看图象上下方；含参整数解要数清边界。 【例题】如图，一次函数 y＝−2x＋4 的图象与 x 轴交于一点．（1）关于 x 的方程 −2x＋4＝0 的解为 ________；（2）不等式 −2x＋4＞0 的解集为 ________；（3）不等式 −2x＋4≥2 的解集为 ________． 【答案】x＝2；x＜2；x≤1 【解析】图象与 x 轴交于（2，0）。（1）方程 −2x＋4＝0 的解 x＝2；（2）图象在 x 轴上方对应 x＜2；（3）令 −2x＋4≥2，x≤1，对应图象在直线 y＝2 上方（含交点）。 【变式1】如图，直线 y₁＝−x＋4 与直线 y₂＝2x−2 相交．（1）求两直线交点坐标；（2）直接写出 y₁＞y₂ 时 x 的取值范围；（3）求 y₁≥0 且 y₂≥0 时 x 的取值范围；（4）求 y₁＞y₂ 且 y₁＞0 时 x 的取值范围． 【答案】（1）（2，2）；（2）x＜2；（3）1≤x≤4；（4）x＜2． 【解析】（1）联立 −x＋4＝2x−2，x＝2、y＝2，交点（2，2）。 （2）交点左侧 y₁ 在上，y₁＞y₂ 时 x＜2。 （3）y₁≥0 即 x≤4，y₂≥0 即 x≥1，故 1≤x≤4。 （4）y₁＞y₂ 即 x＜2，y₁＞0 即 x＜4，取交集 x＜2。 【变式2】已知关于 x 的不等式组 x−1≥2，x−k＜1．（1）若该不等式组恰有 4 个整数解，求 k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，一次函数 y＝（k−3）x＋2 中 y 随 x 的增大而增大，这一条件是否满足？若 k 为整数，求该函数与 x 轴的交点坐标；（3）若不等式组恰有 3 个整数解，求 k 的取值范围． 【答案】（1）5＜k≤6；（2）满足，交点（−，0）；（3）4＜k≤5． 【解析】不等式组即 x≥3、x＜k＋1。 （1）恰有整数解 3、4、5、6，需 6＜k＋1≤7，故 5＜k≤6。 （2）k＞5 时 k−3＞0，y 随 x 增大而增大，条件满足；k 为整数则 k＝6，函数 y＝3x＋2，令 y＝0，x＝−，交点（−，0）。 （3）恰有整数解 3、4、5，需 5＜k＋1≤6，故 4＜k≤5。 专题九　图形变换与一次函数 方法点津：平移只改变 b（上下）或替换 x（左右）；关于坐标轴对称、旋转 90° 可通过取关键点（如截距点）的坐标变换，再由两点确定新直线。 【例题】如图，已知一次函数 y＝2x−3 的图象．（1）将图象向上平移 5 个单位，求平移后的函数表达式；（2）将图象向右平移 3 个单位，求平移后的函数表达式；（3）将图象先向上平移 2 个单位、再向左平移 1 个单位，求所得函数表达式；（4）怎样平移可使图象经过原点？写出一种平移方式． 【答案】（1）y＝2x＋2；（2）y＝2x−9；（3）y＝2x＋1；（4）向上平移 3 个单位得 y＝2x． 【解析】（1）上移 5：y＝2x−3＋5＝2x＋2。 （2）右移 3：y＝2（x−3）−3＝2x−9。 （3）上移 2、左移 1：y＝2（x＋1）−3＋2＝2x＋1。 （4）常数项由 −3 变为 0，向上平移 3 个单位，得 y＝2x，过原点。 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律已学．（1）写出点 A（2，3）分别关于 x 轴、y 轴对称的点 A₁、A₂ 的坐标；（2）求直线 y＝2x＋1 关于 x 轴对称的直线表达式；（3）求该直线关于 y 轴对称的直线表达式；（4）求原直线与它关于 x 轴对称直线的交点坐标． 【答案】（1）A₁（2，−3），A₂（−2，3）；（2）y＝−2x−1；（3）y＝−2x＋1；（4）（−，0）． 【解析】（1）关于 x 轴：横坐标不变、纵坐标取反，A₁（2，−3）；关于 y 轴：纵坐标不变、横坐标取反，A₂（−2，3）。 （2）原直线上点（x，2x＋1）关于 x 轴对称点为（x，−2x−1），故对称直线 y＝−2x−1。 （3）关于 y 轴对称点为（−x，2x＋1），即新直线上横坐标 X＝−x 时 y＝−2X＋1，故 y＝−2x＋1。 （4）联立 2x＋1＝−2x−1，x＝−、y＝0，交点（−，0）。 【变式2】如图，将一次函数 y＝2x＋2 的图象绕原点 O 旋转 90°（点（x，y）顺时针旋转 90° 后为（y，−x），逆时针旋转 90° 后为（−y，x））．（1）求图象顺时针旋转 90° 后的直线表达式；（2）求图象逆时针旋转 90° 后的直线表达式；（3）求顺时针旋转后的直线与原直线的交点坐标；（4）观察旋转前后一次项系数的变化，写出它们的乘积． 【答案】（1）y＝−x＋1；（2）y＝−x−1；（3）（−，）；（4）乘积为 −1． 【解析】取原直线两点（0，2）、（−1，0）。 （1）顺时针旋转 90°：（0，2）→（2，0），（−1，0）→（0，1），新直线过（2，0）（0，1），y＝−x＋1。 （2）逆时针旋转 90°：（0，2）→（−2，0），（−1，0）→（0，−1），y＝−x−1。 （3）联立 2x＋2＝−x＋1，x＝−1，x＝−，y＝，交点（−，）。 （4）一次项系数由 2 变为 −，乘积 2×（−）＝−1。 专题十　一次函数与几何综合 方法点津：面积存在性常以水平（竖直）线段为底、定高，得到绝对值方程（可能多解）；含参时由交点位置范围反求参数。 【例题】如图，直线 y＝−x＋4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，△AOB 的面积为 8．（1）在 x 轴上找一点 P，使△ABP 的面积为 4，求所有符合条件的点 P；（2）在 y 轴上找一点 Q，使△ABQ 的面积为 4，求所有符合条件的点 Q；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使△ABP 的面积为 16？若存在，写出点 P． 【答案】（1）P（2，0）或（6，0）；（2）Q（0，2）或（0，6）；（3）P（0，0）或（8，0）． 【解析】A（4，0）、B（0，4）。 （1）设 P（p，0），S＝|p−4|×4＝2|p−4|＝4，|p−4|＝2，p＝2 或 6。 （2）设 Q（0，q），S＝|q−4|×4＝2|q−4|＝4，q＝2 或 6。 （3）令 2|p−4|＝16，|p−4|＝4，p＝0 或 8，故 P（0，0）或（8，0）。 【变式1】如图，直线 l 过 A（6，0）、B（0，3）．（1）求△AOB 的面积；（2）过点 B 的直线 y＝kx＋3 与 x 轴正半轴交于点 C，若△BOC 的面积为 18，求点 C 及 k；（3）在 x 轴上找一点 D，使△ABD 的面积等于△AOB 面积的 ，求点 D；（4）若过点 B 的直线与 x 轴的交点位于（6，0）与（12，0）之间（不含端点），求 k 的范围． 【答案】（1）9；（2）C（12，0），k＝−；（3）D（4，0）或（8，0）；（4）−＜k＜−． 【解析】直线 y＝−x＋3。 （1）S＝×6×3＝9。 （2）C（−，0），S＝×3×（−）＝−＝18，k＝−，C（12，0）。 （3）设 D（d，0），S＝|d−6|×3＝|d−6|＝3，|d−6|＝2，d＝4 或 8。 （4）交点（−，0）满足 6＜−＜12，k＜0，解得 −＜k＜−。 【变式2】如图，在矩形 OABC 中，O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．动点 P 从点 A 出发，沿折线 A→B→C 以每秒 2 个单位长度匀速运动，设点 P 运动的路程为 t，△OAP 的面积为 S．（1）写出 S 关于 t 的函数表达式及 t 的取值范围；（2）当 S＝12 时，求点 P 的坐标；（3）求 S 的最大值；（4）描述 S 随 t 变化的情况． 【答案】（1）S＝4t（0≤t≤6），S＝24（6＜t≤14）；（2）P（8，3）；（3）24；（4）S 先随 t 增大，之后保持 24 不变． 【解析】P 在 AB 上时 P（8，t）（0≤t≤6）；P 在 BC 上时 P（14−t，6）（6＜t≤14）。△OAP 以 OA＝8 为底。 （1）AB 段高为 t，S＝×8×t＝4t；BC 段高为 6，S＝×8×6＝24。 （2）4t＝12，t＝3，P（8，3）。 （3）P 在 BC 上时 S＝24，为最大值。 （4）S 先随 t 由 0 增大到 24（t＝6），之后保持 24 不变。 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版数学八年级上册 第12章 函数与一次函数 压轴难题分类专项（举一反三·满分冲刺） （试题版·共10个专题30题） 专题一　新定义阅读理解问题 方法点津：先读懂“新定义”的运算规则，用具体数值代入验证，再把点的坐标用字母表示、消元得到一般规律。 【例题】在平面直角坐标系中，定义一种坐标变换：点 P（x，y）经过变换后得到点 P′（2x＋1，2y−1），记作 P′＝T（P）．（1）点 M（0，0）经过变换后得到 M′，则 M′ 的坐标为 ________；（2）若点 N 在直线 y＝2x 上运动，则它的对应点 N′ 始终在一条定直线上，这条定直线的函数表达式为 ________． 【变式1】我们把有序数对 [a，b] 叫做一次函数 y＝ax＋b 的“特征数”．（1）写出特征数为 [3，−2] 的一次函数，并求它与两坐标轴的交点坐标；（2）若特征数为 [m−1，m＋2] 的一次函数是正比例函数，求 m 的值；（3）特征数为 [2，b] 与 [−1，4] 的两个一次函数图象与 x 轴交于同一点，求 b 的值． 【变式2】对于两个一次函数 y＝a₁x＋b₁ 和 y＝a₂x＋b₂，若 a₁＋a₂＝0 且 b₁＝b₂，则称它们互为“对偶函数”．（1）写出一次函数 y＝2x＋3 的对偶函数；（2）求这一对对偶函数图象的交点坐标；（3）若一次函数 y＝（k−1）x＋4 与 y＝3x＋4 互为对偶函数，求 k 的值；（4）一般地，一对对偶函数 y＝ax＋b、y＝−ax＋b 的交点是否与 a 无关？说明理由． 专题二　单动点与面积问题 方法点津：用含 t 的式子表示动点坐标，把三角形的底、高用水平（竖直）距离表示，得到面积关于 t 的一次函数。 【例题】如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，4）．动点 P 从点 O 出发沿 x 轴正方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀速运动，到达 A 后停止，设运动时间为 t（秒），△OBP 的面积为 S．（1）写出 S 关于 t 的函数表达式及 t 的取值范围；（2）当 t＝2 时，求 S；（3）当 S＝6 时，求 t 及此时点 P 的坐标；（4）求 S 的最大值． 【变式1】如图，在矩形 OABC 中，O（0，0），A（8，0），B（8，5），C（0，5）．动点 P 从点 A 出发沿边 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 匀速运动，设运动时间为 t（秒），△OAP 的面积为 S．（1）写出 S 关于 t 的函数表达式及 t 的取值范围；（2）当 S＝12 时，求点 P 的坐标；（3）当 P 运动到 AB 中点时，求 S；（4）求 S 的取值范围． 【变式2】如图，直线 y＝−2x＋8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．动点 P 从点 A 出发沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 匀速运动，设运动时间为 t（秒），△ABP 的面积为 S，△OBP 的面积为 S′．（1）写出 S 关于 t 的函数表达式；（2）当 S 等于△AOB 面积的一半时，求点 P 的坐标；（3）当 S＝12 时，求点 P 的坐标；（4）求 S′ 关于 t 的表达式，并探究 S＋S′ 的值． 专题三　双动点问题 方法点津：分别表示两个动点，注意相遇、停止等临界时刻，面积常需分段并含绝对值。 【例题】如图，机器人 C 固定在点（0，6）处；机器人 P 从原点 O 出发沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度运动；同一时刻机器人 Q 从点（8，0）出发沿 x 轴负方向以每秒 3 个单位长度运动，当其中一台到达原点 O 时全部停止．设运动时间为 t（秒），△CPQ 的面积为 S．（1）当 t＝1 时，求 S；（2）求 P、Q 相遇时刻，并写出 S 关于 t 的函数表达式；（3）当 S＝6 时，求 t；（4）求 S 的最小值． 【变式1】如图，在矩形 OABC 中，O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）．动点 P 从 O 出发沿 O→A 以每秒 2 个单位长度运动；同时动点 Q 从 C 出发沿 C→B 以每秒 1 个单位长度运动，当 P 到达 A 时全部停止．设运动时间为 t（秒），四边形 OPQC（阴影部分）的面积为 S．（1）写出 S 关于 t 的函数表达式及 t 的取值范围；（2）当 t＝2 时，求 S；（3）当 S＝15 时，求 P、Q 的坐标；（4）求 S 的最大值． 【变式2】如图，机器人 C 固定在点（0，4）处，机器人 P 从 O 出发沿 x 轴正方向以每秒 2 个单位长度运动，机器人 Q 从点（9，0）出发沿 x 轴负方向以每秒 1 个单位长度运动，当其中一台到达原点 O 时停止．设运动时间为 t（秒），△CPQ 的面积为 S．（1）求 P、Q 相遇时刻；（2）写出 S 关于 t 的函数表达式；（3）当 S＝8 时，求 t；（4）求 S 的最小值并描述 S 随 t 变化的情况． 专题四　规律探究问题 方法点津：从特殊情形入手，观察坐标、边长的变化倍数或周期，归纳出第 n 个的一般表达式。 【例题】如图，点 P₁，P₂，P₃，… 都在直线 y＝2x 上，其中 P₁ 的横坐标为 1，从 P₂ 起每个点的横坐标都是前一个点横坐标的 2 倍．（1）点 P₄ 的坐标为 ________；（2）点 Pn 的坐标为 ________；（3）相邻两点 Pn 与 Pn−1 的纵坐标之差为 ________（用含 n 的式子表示）． 【变式1】如图，点 P₀ 的坐标为（1，0）．规定：把点 Pn 绕原点 O 逆时针旋转 90°，再使它到原点的距离变为原来的 3 倍，得到 Pn＋1（点（x，y）逆时针旋转 90° 后为（−y，x））．（1）求 P₄ 的坐标；（2）写出 Pn 到原点的距离及方向变化的规律；（3）求 P₁₀₀ 的坐标；（4）求 P₁₀₁ 的坐标． 【变式2】如图是一组由实心点组成的方阵图案，第 1 个图案有 1 行 1 列，第 2 个图案有 2 行 2 列，……，第 n 个图案有 n 行 n 列．（1）求第 4 个图案的点数；（2）写出第 n 个图案的点数（用含 n 的式子表示）；（3）第 n 个图案最外一层（边框）的点数是多少？（4）若某图案最外一层共有 23 个点，求这是第几个图案． 专题五　整点（格点）问题 方法点津：按横坐标（或纵坐标）分类，逐列数出整点个数再求和；含参时先列少量特例找规律。 【例题】如图，直线 y＝−x＋4 与两坐标轴在第一象限围成三角形（含边界），横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该三角形区域上的整点共有 ________ 个． 【变式1】整点是指横、纵坐标均为整数的点．（1）如图，直线 y＝−2x＋6 与两坐标轴在第一象限围成三角形（含边界），求该区域上的整点个数；（2）求直线 y＝−x＋3 与两坐标轴在第一象限围成三角形（含边界）区域上的整点个数；（3）比较两小题结果，你发现这两条直线围成区域的整点个数有什么关系？ 【变式2】如图，设 n 为正偶数，直线 y＝−2x＋n 与两坐标轴在第一象限围成三角形（含边界）．（1）当 n＝4 时，求该区域上的整点个数；（2）求该区域整点个数（用含 n 的式子表示）；（3）当 n＝6 时，求整点个数；（4）若该区域恰有 25 个整点，求 n 的值． 专题六　图象与性质含参综合 方法点津：含参一次函数常过定点（把含 k 项合并、令其系数为 0）；结合 k、b 的符号判断图象经过的象限。 【例题】已知一次函数 y＝（m−1）x＋m＋2，有下列结论：①该函数图象恒过定点（−1，3）；②若 y 随 x 的增大而减小，则 m＜1；③若图象不经过第二象限，则 m＞1；④若图象经过原点，则 m＝−2．其中正确结论的个数所对应的组合是（　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】已知 ab≠0，在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋b 与 y＝bx＋a 的图象可能是（如图，四幅小图分别标为①②③④）（　） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【变式2】如图，已知一次函数 y＝（2k−1）x＋3−k．（1）探究该函数图象是否恒过某一定点，若有，求出该定点；（2）若 y 随 x 的增大而增大，求 k 的范围；（3）若图象与 y 轴交于正半轴，求 k 的范围；（4）若图象不经过第三象限，求 k 的范围；（5）若图象满足 y 随 x 增大而增大，且与 y 轴的交点在点（0，1）的上方，求 k 的范围． 专题七　分段函数实际应用 方法点津：分段计费先写清每段表达式与自变量范围，注意折点；求均价、方案临界时常需列方程。 【例题】如图，某市居民生活用电实行阶梯电价：每户每月用电量不超过 200 度（含 200 度）的部分，每度 0.5 元；超过 200 度的部分，每度 0.6 元．设月用电量为 x（度），应缴电费为 y（元）．（1）写出 y 关于 x 的函数表达式；（2）求用电量分别为 150 度、300 度时的电费；（3）若某月缴电费 130 元，求该月用电量；（4）若某月平均每度电 0.55 元，求该月用电量． 【变式1】如图是某快递员一天上午从站点出发送件过程中，离站点的距离 y（千米）随时间 x（分钟）变化的图象：0～5 分钟匀速行驶到距站点 1.5 千米处；5～8 分钟距离不变；8～11 分钟返回到距站点 0.9 千米处；11～13 分钟距离不变；13～18 分钟行驶到距站点 2.4 千米处．（1）求 0～5 分钟和 13～18 分钟的行驶速度；（2）途中两次停留（距离不变）共多少分钟？（3）求 8～11 分钟的行驶方向和速度；（4）该快递员全程累计行驶了多少千米？ 【变式2】如图，某通信公司推出两种手机流量套餐：A 套餐，月租 20 元，含 5GB 流量，超出部分每 GB 5 元；B 套餐，无月租，每 GB 8 元．设每月使用流量 x（GB）．（1）当 x＝3 和 x＝8 时，分别选择哪个套餐更省钱？（2）求两种套餐费用相同的流量值，并说明应如何选择；（3）若 B 套餐每 GB 降价 a 元（0＜a＜8），某用户每月用 10GB（此时 A 套餐 45 元），要使 B 套餐更省钱，求 a 的取值范围． 专题八　一次函数与方程、不等式 方法点津：kx＋b＝0 的解对应图象与 x 轴交点的横坐标；两直线比较大小看图象上下方；含参整数解要数清边界。 【例题】如图，一次函数 y＝−2x＋4 的图象与 x 轴交于一点．（1）关于 x 的方程 −2x＋4＝0 的解为 ________；（2）不等式 −2x＋4＞0 的解集为 ________；（3）不等式 −2x＋4≥2 的解集为 ________． 【变式1】如图，直线 y₁＝−x＋4 与直线 y₂＝2x−2 相交．（1）求两直线交点坐标；（2）直接写出 y₁＞y₂ 时 x 的取值范围；（3）求 y₁≥0 且 y₂≥0 时 x 的取值范围；（4）求 y₁＞y₂ 且 y₁＞0 时 x 的取值范围． 【变式2】已知关于 x 的不等式组 x−1≥2，x−k＜1．（1）若该不等式组恰有 4 个整数解，求 k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，一次函数 y＝（k−3）x＋2 中 y 随 x 的增大而增大，这一条件是否满足？若 k 为整数，求该函数与 x 轴的交点坐标；（3）若不等式组恰有 3 个整数解，求 k 的取值范围． 专题九　图形变换与一次函数 方法点津：平移只改变 b（上下）或替换 x（左右）；关于坐标轴对称、旋转 90° 可通过取关键点（如截距点）的坐标变换，再由两点确定新直线。 【例题】如图，已知一次函数 y＝2x−3 的图象．（1）将图象向上平移 5 个单位，求平移后的函数表达式；（2）将图象向右平移 3 个单位，求平移后的函数表达式；（3）将图象先向上平移 2 个单位、再向左平移 1 个单位，求所得函数表达式；（4）怎样平移可使图象经过原点？写出一种平移方式． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律已学．（1）写出点 A（2，3）分别关于 x 轴、y 轴对称的点 A₁、A₂ 的坐标；（2）求直线 y＝2x＋1 关于 x 轴对称的直线表达式；（3）求该直线关于 y 轴对称的直线表达式；（4）求原直线与它关于 x 轴对称直线的交点坐标． 【变式2】如图，将一次函数 y＝2x＋2 的图象绕原点 O 旋转 90°（点（x，y）顺时针旋转 90° 后为（y，−x），逆时针旋转 90° 后为（−y，x））．（1）求图象顺时针旋转 90° 后的直线表达式；（2）求图象逆时针旋转 90° 后的直线表达式；（3）求顺时针旋转后的直线与原直线的交点坐标；（4）观察旋转前后一次项系数的变化，写出它们的乘积． 专题十　一次函数与几何综合 方法点津：面积存在性常以水平（竖直）线段为底、定高，得到绝对值方程（可能多解）；含参时由交点位置范围反求参数。 【例题】如图，直线 y＝−x＋4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，△AOB 的面积为 8．（1）在 x 轴上找一点 P，使△ABP 的面积为 4，求所有符合条件的点 P；（2）在 y 轴上找一点 Q，使△ABQ 的面积为 4，求所有符合条件的点 Q；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使△ABP 的面积为 16？若存在，写出点 P． 【变式1】如图，直线 l 过 A（6，0）、B（0，3）．（1）求△AOB 的面积；（2）过点 B 的直线 y＝kx＋3 与 x 轴正半轴交于点 C，若△BOC 的面积为 18，求点 C 及 k；（3）在 x 轴上找一点 D，使△ABD 的面积等于△AOB 面积的 ，求点 D；（4）若过点 B 的直线与 x 轴的交点位于（6，0）与（12，0）之间（不含端点），求 k 的范围． 【变式2】如图，在矩形 OABC 中，O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．动点 P 从点 A 出发，沿折线 A→B→C 以每秒 2 个单位长度匀速运动，设点 P 运动的路程为 t，△OAP 的面积为 S．（1）写出 S 关于 t 的函数表达式及 t 的取值范围；（2）当 S＝12 时，求点 P 的坐标；（3）求 S 的最大值；（4）描述 S 随 t 变化的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $