专题12.8 函数与一次函数常考几何模型专训（11大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学复习讲义围绕函数与一次函数核心内容，构建了“图象识别—信息获取—画图操作—动点建模—性质判断—几何融合”的系统知识体系。通过思维导图梳理11大题型逻辑脉络，用表格对比正比例函数与一次函数的图像特征，借助坐标系作图训练强化几何直观，帮助学生厘清概念本质与解题路径。 讲义的亮点在于以“问题驱动+方法提炼”为核心设计练习，如例题中通过艾宾浩斯遗忘曲线引导学生理解函数定义，培养数据意识和模型观念；在动点问题中运用数形结合思想分析面积变化规律，提升推理能力和运算能力。每类题型均配有典型例题、变式训练和易错警示，基础薄弱生可掌握基本方法，优等生能突破综合应用瓶颈，教师据此实现分层教学与精准辅导，助力学生从“会做题”走向“懂原理”。

专题12.8 函数与一次函数常考几何模型专训（11大题型+15道拓展培优题） 题型一 函数图象识别 题型二 从函数的图象获取信息 题型三 用描点法画函数图象 题型四 动点问题的函数图象 题型五 正比例函数的图象 题型六 判断一次函数的图象 题型七 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型九 画一次函数图象 题型十 一次函数图象平移问题 题型十一 一次函数与几何综合 【经典例题一 函数图象识别】 【例1】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）已知点在第一象限，且，，，设的面积为． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的取值范围． 【答案】(1)关于的函数解析式为，的取值范围为 (2)的取值范围为 【分析】（1）根据割补法即可表示三角形的面积； （2）根据（1）中所得函数即可画出图象． 【详解】（1）点、在第一象限，且，． ，， 所以． ，，设的面积为 答：关于的函数解析式为，的取值范围为． （2）．． ． 如图：即为函数的图象． 答：的取值范围为． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是准确求出函数解析式． 1．（2023·浙江嘉兴·一模）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． (1)y是关于x的函数吗？为什么？ (2)请说明点D的实际意义． (3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 【答案】(1)y是关于x的函数；理由见解析 (2)点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%； (3)见解析 【分析】（1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可解答； （2）根据点的坐标的意义即可解答； （3）提出一条合理的建议即可． 【详解】（1）解：根据图象知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应， ∴y是关于x的函数； （2）解：点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%； （3）解：由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，故建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新． 【点睛】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键． 2．（22-23八年级下·湖南娄底·阶段练习）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)2.5，15； (2)1，20； (3)km/分． 【分析】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间； （2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间； （3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【详解】（1）解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育场用了15分钟； （2）由纵坐标看出体育场离文具店（千米）， 由横坐标看出 扎西在文具店停留了（分）； 故答案为： 1；20； （3）由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝35分钟， 扎西从文具店回家的平均速度是（千米/分）， 答：扎西从文具店回家的平均速度是千米/分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 3．（22-23七年级下·陕西西安·期中）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题： (1)小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟； (2)小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ (3)体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由． 【答案】(1)1200，6 (2)小刚出发分钟后，小聪追上了小刚 (3)不会迟到，理由见解析 【分析】（1）由图可知小刚家到体育场的路程是1200米，小刚到体育场用时20分钟，小聪在第14分钟到体育场，相减即可求解； （2）先求出小聪的速度，再求出小聪追上小刚所需时间，最后加上8分钟即可； （3）先求出小刚原来步行速度，再求出走完剩下路程所需时间，进而得出小刚到达体育场所需时间，根据题意可知小刚出门25分钟后球赛开始，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知： 小刚家到体育场的路程是1200米， （分钟）， 即小聪比小刚早到体育场6分钟， 故答案为：1200，6； （2）解：小聪的速度：， ， ， 答：小刚出发分钟后，小聪追上了小刚； （3）解：小刚原来步行速度：， ， ∴小刚到达体育场所用时间： ， 即小刚出门25分钟后球赛开始， ∵， ∴不会迟到． 【点睛】本题主要考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是正确识图，从图象中获取正确数据． 【经典例题二 从函数的图象获取信息】 【例2】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）问题，我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的呢？ 【探索】（1）该函数的自变量的取值范围为___________； （2）描点画图： ①列表：如表是与的几组对应值； x … 0 1 2 4 5 6 7 … y … 2 3 6 6 3 2 … ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点． ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．    【应用】观察你所画的图象，解答下列问题： （3）若点，为该函数图象上不同的两点，则___________； （4）直接写出当时，的取值范围为___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）0；（4）． 【分析】本题考查了新函数的图象和性质的研究，属于创新探究题型，正确作出图象，会观察图象的特征是解决本题的关键． （1）由分母不为0可求得自变量的取值范围； （2）根据图中描出的点，用平滑的曲线顺次连接即可； （3）由图可得，函数的图象关于y轴对称，再由A、B点的纵坐标可得A、B两点关于y轴对称，即可求得结果； （4）观察图象，找到函数图象在直线下方时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：作图如图所示；    （3）解：由图可得，函数的图象关于y轴对称， 点， ， A、B两点关于y轴对称， ， 故答案为：0； （4）解：由图可得， 当时，的取值范围为， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．尝试用你积累的经验和方法解决下面的问题： (1)如下图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象． (2)结合所画的函数图象，写出函数的两条性质． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握作图方法和相关知识是解题的关键． （1）根据描点法作图即可； （2）根据函数图象归纳函数性质即可． 【详解】（1）解：列表如下： 0 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 描点、连线，函数的图象如图所示． （2）示例：①函数的图象位于第一、二象限，在第一象限y随x的增大而增大，在第二象限y随x的增大而减小；②函数有最小值，最小值为1．（答案不唯一） 2．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知二次函数． (1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象： x ... ... y ... ... (2)根据图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质， （1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可； （2）根据函数图象写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表： x ... 0 1 2 3 4 ... y ... 3 0 0 3 ... 描点、连线画出函数图象如图： （2）解：由图象可知：当时，的取值范围是． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下： (1)作出函数的图象． ①列表： … 0 1 … … 0 2 1 0 … 其中，表格中的值为 ； ②描点：根据表格数据，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ． (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则的取值范围为 ． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于直线成轴对称；②当时，随增大而增大 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系． （1）依据题意，结合函数的解析式及表格数据即可计算判断得解； （2）根据函数图象的增减性和最值求解； （3）根据“跟对称轴越近函数值越大”列不等式求解． 【详解】（1）解：①当时，， 故答案为：1； ②③图象如下： （2）解：①图象关于直线成轴对称； ②当时，随增大而增大． 故答案为：①图象关于直线成轴对称； ②当时，随增大而增大． （3）解：由题意，结合图象可，得图象上的点离对称轴直线越近函数值越大， 又∵点与都在函数的图象上，总有， ∴， ∴或． 故答案为：或． 【经典例题三 用描点法画函数图象】 【例3】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是她尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． 列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 0 k … (1)直接填空： ； (2)描点并正确地画出该函数图象； (3)①根据函数图象可得：该函数的最小值为 ； ②观察函数的图象，当时，y随着x的增大而 ． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)①；②增大． 【分析】本题考查了函数图象和性质，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）①观察图形可知是该函数图象的最低点，即可解答， ②观察函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 故答案为：1； （2）描点、连线画出该函数图象如图； ； （3）①根据函数图象可得，该函数的最小值为：； ②观察函数的图象，得 当时，y随着x的增大而增大． 故答案为：增大， 1．（24-25八年级下·河南南阳·期末）探究的图象及性质： (1)绘制函数图象； ①列表：请将下表补充完整，其中________； … 0 1 2 3 … … 2 3 4 6 4 2 … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象； (2)探究函数性质： ①当____时，函数有最大值为____； ②时，随的增大而______； ③函数的图象关于_______对称； (3)运用函数图象及性质：根据函数图象，写出不等式的解集是________． 【答案】(1)①；②描点见解析；③画图见解析 (2)①；②增大；③轴 (3) 【分析】本题考查函数图象与性质，涉及描点法作函数图象、由图象得函数性质、由函数图象解不等式等知识，数形结合，准确作出函数图象是解决问题的关键． （1）①将代入函数表达式即可得到值；②根据列表描点即可得到答案；③用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到答案； （2）由（1）中所作函数图象，数形结合即可得到答案； （3）求不等式的解集是指的图象在上方部分的图象对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：①， 当时，， 故答案为：； ②描点如图所示： ； ③作图如下： ； （2）解：①由（1）中图象可知，当时，函数有最大值为， 故答案为：； ②由（1）中图象可知，当时，随的增大而增大， 故答案为：增大； ③由（1）中图象可知，函数的图象关于轴对称， 故答案为：轴； （3）解：如图所示： 求不等式的解集是指的图象在上方部分的图象对应的的取值范围， 当时，， 当时，的图象在图象上方， 即不等式的解集是， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑，哥哥每秒跑．设哥哥出发秒后，哥哥所跑的路程为，弟弟所跑的路程为． (1)直接写出关于的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)根据图象回答下列问题： ①当秒时，___________跑在前面(填“哥哥”或“弟弟”)；当___________秒时，哥哥追赶上弟弟； ②当哥哥跑在弟弟的前面时，时间的取值范围为___________； ③___________先跑过20m，___________先跑过100m．(填“哥哥”或“弟弟”) 【答案】(1)图见解析 (2)①弟弟，9；②；③弟弟，哥哥 【分析】本题考查了列函数关系式，画函数图象，根据函数图象获取信息，数形结合是解题的关键； （1）根据题意列出函数关系式，即可求解； （2）①根据函数图象，时，弟弟的路程大于哥哥的路程，则弟弟跑在哥哥的前面，根据函数图象可得两人路程相等时，； ②根据①的结论，即可求解； ③根据函数图象可得时，两人路程为米，哥哥追赶上弟弟，则米之前是弟弟在前面，米后是哥哥在前面，即可求解． 【详解】（1）解：哥哥每秒跑．设哥哥出发秒后，哥哥所跑的路程为， ∴ 哥哥先让弟弟跑，然后自己才开始跑．弟弟每秒跑，哥哥出发秒后，弟弟所跑的路程为． ∴ 如图， （2）①根据图象可知：当秒时，弟弟跑在前面，当9秒时，哥哥追赶上弟弟；； ②当哥哥跑在弟弟的前面时，时间的取值范围为； ③弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m． 故答案为：①弟弟，9；②；③弟弟，哥哥． 3．（2025·陕西·模拟预测）日前，国家卫生健康委员会负责人表示，将持续推进体重管理年行动．旨在通过建立支持性环境，提升全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，最终改善部分人群体重异常状况．已知标准体重（单位：）和身高（单位：）之间关系的部分对应值如下表（粗略估计标准体重）： 身高 … 154 156 158 159 … 标准体重 … 49 51 53 54 … (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，连线，若标准体重（单位：）与身高（单位：）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（请选择“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数表达式； (3)若一个人的实际体重是标准体重的（包括和）为正常范围．已知李敏的身高是，体重是，李敏的体重是否在正常范围内？ 【答案】(1)图见解析，一次 (2) (3)李敏的体重在正常范围内 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据表格中的数据描点、连线得到函数图象，根据函数图象是一条直线可得是一次函数； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出时，x的值，再求出李敏的实际体重与x的比值（百分比）即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，所得图象是一条直线，故可能是一次函数关系； （2）解：设关于的函数表达式为． 由表格可知，点，在该函数图象上． ∴， 解得 ∴关于的函数表达式为． （3）解：当时，． ，． ∴李敏的体重在正常范围内． 【经典例题四 动点问题的函数图象】 【例4】（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上的一个动点，过点P作射线的垂线，垂足为点E，连接．设，．小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表： x/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.4 y/cm 1.6 1.3 1.0 0.9 1.0 1.3 2.1 2.5 2.9 （说明：补全表格时相关数据保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：点E是边的中点时，的长度约为________cm． 【答案】(1)1.6；（2）见解析；（3）3.7． 【分析】（1）由表可以发现，即x增加0.5，y增加0.3，即可确定当x=3时，y的值； （2）通过描点、连线即可解答； （3）根据题意画图测量即可． 【详解】解：（1）由题意，测量得x=3时，y≈1.6. 故答案为1.6； （2）根据已知数据画出图像如下图： （3）根据题意测量可得PA约为3.7cm，故答案为3.7． 【点睛】本题属于函数图像探究题，考查了函数图像的画法以及数形结合思想，掌握函数图像的作法和数形结合思想是解答本题的关键． 1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图1，是等腰直角三角形，，，点P在的边上沿路径移动，过点P作于点D，设，的面积为（当点P与点B或点C重合时，y的值为0）． 琪琪根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是琪琪的探究过程，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是______________________； （2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表： x/cm 0 1 2 3 4 y/ 0 m 2 n 0 请直接写出 ， ； （3）在图2所示的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像；并结合画出的函数图像，解决问题：当的面积为1时，请直接写出的长度（数值保留一位小数）． （4）根据上述探究过程，试写出的面积为y与的长度x cm之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】（1）0≤x≤4（2）；（3）图见解析，1.4或3.4；（4）y= 【分析】（1）由于点D在线段BC上运动，则x范围可知； （2）根据题意得画图测量可得对应数据； （3）根据已知数据描点连线画图即可,当△BDP的面积为1cm2时，相对于y＝1，则求两个函数图象交点即可； (4) 先根据点P在AB上时，得到△BDP的面积y＝×BD×DP＝x2，（0≤x≤2），再根据点P在AC上时，△BDP的面积y＝×BD×DP＝−x2＋2x，（2＜x≤4），故可求解． 【详解】（1）由点D的运动路径可知BD的取值范围为：0≤x≤4 故答案为：0≤x≤4; （2）通过取点、画图、测量，可得m＝，n＝； 故答案为：，； （3）根据已知数据画出图象如图 当△BDP的面积为1cm2时，对应的x相对于直线y＝1与图象交点得横坐标，画图测量得到x=1.4或x=3.4， 故答案为：1.4或3.4； （4）当点P在AB上时，△BDP是等腰直角三角形，故BD＝x＝DP， ∴△BDP的面积y＝×BD×DP＝x2，（0≤x≤2） 当点P在AC上时，△CDP是等腰直角三角形，BD＝x，故CD＝4−x＝DP， ∴△BDP的面积y＝×BD×DP＝x（4−x）＝−x2＋2x，（2＜x≤4） ∴y与x之间的函数关系式为：y=． 【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象画法以及数形结合的数学思想．解答关键是按照题意画图、取点、测量以得到准确数据． 2．（2023九年级·北京·专题练习）如图，在中，，，，是线段上一动点，是的中点，过点作射线，使，连接，并延长交于点，连接．设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为． 小丽根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）按照表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值； 0 1 2 3 4 5 6 9.49 8.54 7.62 6.71 5.83 5.00 4.24 9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24 （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；    （3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为　 　．    【答案】（1）4.24；（2）答案见解析；（3）3.50或5或6． 【分析】（1）当x＝3时，点E是AB的中点，易证△ECF是等腰直角三角形，EF＝EC＝3≈4.24． （2）利用描点法画出函数图象即可解决问题． （3）由直线y＝x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当△AEF为等腰三角形时AE的长度． 【详解】解：（1）当时，点是的中点，易证是等腰直角三角形，． （2）函数图象如图所示：    （3）由直线与两个函数图象的交点，，以及函数与函数的交点的横坐标可知，当为等腰三角形时，的长度约为3.50或5或6． 故答案为：3.50或5或6． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了画出的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会利用描点法画出函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级下·北京昌平·期末）如图，△ABC中，AB=BC=5cm，AC=6cm，点P从顶点B出发，沿B→C→A以每秒1cm的速度匀速运动到A点，设运动时间为x秒，BP长度为ycm．某学习小组对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）通过取点，画图，测量，得到了x（秒）与y（cm）的几组对应值： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 4.1 4 4.5 5.0 要求：补全表格中相关数值（保留一位小数）； （2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当x约为______时，BP=CP． 【答案】（1）见解析，5.0；4.1；（2）见解析；（3）2.5或9.1 【分析】（1）根据点P在第5秒与第9秒的位置，分别求出BP的长，即可得到答案； （2）根据表格中的x，y的对应值，描点、连线，画出函数图象，即可； （3）令CP=y′，确定P在BC和AC上时，得y′=-x+5 或y′=x-5，画出图象，得到图象的交点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）当x=5时，点P与点C重合，y=5， 当x=9时，点P在AC边上，且CP=9×1-5=4cm， 过点B作BD⊥AC于点D，则CD=AC=3cm，BD=cm， ∴DP=CP-CD=4-3=1cm，BP=cm，即：y=4.1． 如下表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.5 4.1 4.0 4.1 4.5 5.0 故答案为：5.0；4.1； （2）描点、连线，画出函数图象如下： （3）令CP=y′， 当0≤x≤5时， y′=-x+5； 当5＜x≤11时，y′=x-5， 画出图象可得：当x=2.5或9.1时，BP=PC． 故答案为：2.5或9.1． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，理解图表的信息，掌握描点、连线，画出函数图象，理解当BP=CP时，x的值是函数图象的交点的横坐标，是解题的关键． 【经典例题五 正比例函数的图象】 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画函数图像，熟练掌握描点法画函数图像是解题关键． （1）利用描点、连线的方法即可画出函数图像； （2）利用描点、连线的方法即可画出函数图像； （3）利用描点、连线的方法即可画出函数图像． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：如图所示． 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂记录1台炼油机的生产时间与产量的关系如下： 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 ．．． 产量/吨 0 4 8 12 16 20 ．．． (1)这台炼油机的产量与生产时间成___________比例关系； (2)根据表中数据，在图中描出这台炼油机的生产时间与对应产量的点，再把这些点依次连接起来； (3)计算这台炼油机要炼70吨油需要多少小时． 【答案】(1)正 (2)见详解 (3)小时 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据表中数据，结合正比例关系的性质即可获得答案； （2）结合表中数据，按照描点、连线的步骤作图即可； （3）设这台炼油机的产量与生产时间的关系式为，利用待定系数法求得该函数解析式，然后，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知这台炼油机的产量与生产时间成正比例关系． 故答案为：正； （2）根据表中数据，可得 （3）设这台炼油机的产量与生产时间的关系式为， 将点代入，可得， 解得， ∴这台炼油机的产量与生产时间的关系式为， 令，可得， 解得（小时）， ∴这台炼油机要炼70吨油需要小时． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期中）定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 【答案】(1)12； (2)见解析 【分析】本题考查了新定义运算、画正比例函数图象，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给定义计算即可得解； （2）由题意可得：当时，与的关系式为；当时，与的关系式为；再画出函数图象即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意可得：当时，与的关系式为； 当时，与的关系式为； 列表如下： … 0 1 2 … … 4 2 0 2 4 … 描点、连线，如图所示． ． 3．（2025·浙江宁波·三模）为了吸引顾客，某市内游乐园推出了两种游玩活动方案，活动方案如下： 方案一：不购买会员卡，每小时收费元； 方案二：购买会员卡，售价为160元/张，每小时另收10元，有效期一个月． 设某个月内游玩时间为（时），按照方案一所需费用为（元），其关系图象如图所示；按照方案二所需费用为（元）． (1)分别求出与之间的函数关系式； (2)在图中画出的函数图象； (3)你会如何向朋友推荐方案． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)如果在一个月内，游玩时间为小时，当时，推荐方案一；当时，两个方案都可以推荐；当时，推荐方案二 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出的函数图象过点，即可； （3）求出两函数图象交点的横坐标，再结合函数图象，即可． 【详解】（1）解：（1）方案一：设， ∵图象过点， ∴， ∴； 方案二：由题意，得：； （2）解：对于， 当时，，当时，， ∴的函数图象过点， 画出函数图象，如图所示： （3）解：令，解得， ∴与图象相交于点， 观察函数得：如果在一个月内，游玩时间为小时， 当时，方案一更优惠，推荐方案一； 当时，两个方案费用一样，两个方案都可以推荐； 当时，方案二更优惠，推荐方案二． 【经典例题六 判断一次函数的图象】 【例6】（24-25八年级下·河南南阳·期中）某商场购进一批进价为元/件的日用品，第一个月，按进价提高的价格出售，售出了件，第二个月，该商场准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，销售量（件）与销售单价（元/件）（为整数）的关系如图所示． (1)图中点所表示的实际意义是_____； (2)求出图中字母的值，并求出与之间的函数解析式． 【答案】(1)当售价定为元件时，销售数量为件 (2)，． 【分析】（1）根据坐标系中点的坐标的意义，即可 写出点的实际意义； （2）根据第一个月，按进价提高的价格出售，可求出的值，设与之间的函数表达式为，根据图像上点的坐标利用待定系数法即可求出该函数表达式． 【详解】（1）解：依题得：图中点所表示的实际意义是： 当售价定为元件时，销售数量为件； （2）解：由题意可得：， 设与之间的函数表达式为， 将点、代入中， 得：， 解得， 与之间的函数表达式为． 【点睛】本题考查的知识点是理解函数图像上点的意义，求一次函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值． (1)当输入x的值分别为和2时，输出的y值分别是多少？ (2)图象中，可以是“函数求值机”中函数对应图象的是 ．（填写A、B、C或D） (3)求要使输出结果为2，应输入的x值． 【答案】(1)和 (2)A (3)或 【分析】本题考查了函数的图像以及函数的值，读懂“函数求值机”的示意图，并用分类讨论思想分析问题是解本题的关键． （1）把，分别代入“函数求值机”可得其值； （2）根据函数图像的特点，即可找出对应的图像； （3）分类讨论：①当时，，求出符合题意的值；②当时，，求出符合题意的值． 【详解】（1）解：， ； ， ； ∴输出的值分别是和； （2）解：当时，，，，图像下降，交于轴的正半轴； 当时，，，，图像上升， 且时，， 综上所述，符合对应的图像是A选项． 故答案为：A； （3）解：①当时，， 即，解得：， ，符合题意； ②当时，， 即，解得：， ，符合题意； ∴应输入的值为或． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，经过探究可发现此类方程的一般性结论：设一根为，则另一个根为，因此，于是可得到，，所以有；我们可记“”，即当时，一元二次方程为倍根方程，下面我们根据此结论来解决问题： (1)方程①；②中，倍根方程是_________（填序号）； (2)若关于的方程是倍根方程，求的值； (3)已知关于的方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求m、n的值． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键． （）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②中k的值，由此即可得出结论； （）将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出的值； （）根据方程是“倍根方程”即可得出之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出之间的关系，进而求出的值即可； 【详解】（1）解：在方程 中，， 在方程 中，， ∴是倍根方程的是， 故答案为：； （2）解：整理得：， ∵是倍根方程， ∴， ∴； （3）∵是倍根方程， ∴， 整理得：， ∵在一次函数的图象上， ∴， 联立， 解得：． ， 3．（23-24八年级上·江西九江·期中）已知函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值； (3)若这个函数是一次函数，且随的增大而减小，在、、、、这个数中取值，的可能取值为？ 【答案】(1)； (2)； (3)为或． 【分析】（）根据函数图象经过原点，则即可； （）根据两条直线平行，k值相等，则即可； （）根据函数随的增大而减小，则， 此题考查了一次函数的图象及其性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）∵函数图象经过原点， ∴， 解得：； （2）∵函数的图象平行于直线， ∴， 解得：； （3）∵函数随的增大而减小 ∴，解得：， ∴这个数中满足的为或． 【经典例题七 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例7】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，左框中的实数x与右框中的实数y满足某个一次函数关系，输入x的值会输出一个y的值． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求m的值； (3)该一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】(1) (2) (3)一 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）计算函数值为9对应的自变量的值即可； （3）根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，分别代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，即； （3）解：， 该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值，也考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知正比例函数和一次函数． (1)若一次函数和正比例函数的图象交于点，求m和k； (2)k满足什么条件时，上述两个函数的图象的交点一定在第一象限？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识， （1）先根据一次函数求出m的值，再将点坐标代入求出k的值即可； （2）当两条直线不平行时必定相交，根据交点在第一象限得出正比例函数必须经过第一象限，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数和正比例函数的图象交于点， ∴， ∴； （2）解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， 当时，两直线一定有交点， 若两个函数的图象的交点一定在第一象限， 则函数的图像一定需要经过一象限， ∴． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数． (1)已知关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，试说明一次函数的图象过第一和第二象限． (2)在（1）的条件下，已知另一函数的图象与y1图象的交点在第四象限，求不等式的解． 【答案】(1)见解析 (2)不等式的解集为． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，求一元一次不等式的解集． （1）关于x的一元二次方程的解，可看作抛物线与直线的交点，判断出，据此即可说明结论成立； （2）根据两直线的交点情况求得，，推出，由，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程的解，可看作抛物线与直线的交点， 根据题意得，抛物线与直线必有两个不同的交点， ∴， ∴一次函数的图象过第一和第二象限； （2）解：∵，， ∴直线一定经过第一、三象限， ∵直线与y1图象的交点在第四象限， ∴直线一定经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴， 即不等式的解集为． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求的值； (2)当时，该函数图像经过第______象限． 【答案】(1) (2)一、三、四 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及函数图像过点求参数、函数图像所在象限等，熟记一次函数图像与性质，数形结合求解是解决问题的关键． （1）将原点代入，解方程求解即可得到答案； （2）根据一次函数图像与性质判定即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过原点， ，解得； （2）解：， 函数值随着的增大而增大，，即该函数图像经过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点在一次函数的图象上，图象与轴的交点为点，试解决下面的问题： (1)求直线的函数表达式； (2)试求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法是解此题的关键． （1）设直线的函数表达式为将点代入表达式计算即可得解； （2）求出，从而可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题图可设直线的函数表达式为， 将点代入表达式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：在中，令，得， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)在图中画出该一次函数的图象． 【答案】(1)点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）直接计算当时的值即可； （2）求出一次函数的图象与轴的交点，结合点连线即可． 【详解】（1）当时，， ∴点的坐标为； （2）当时，， 解得， 即一次函数的图象与轴交于， 该一次函数的图象如下： 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与的图象交于第一象限某一点C． (1)请在平面直角坐标系内画出函数的图象； (2)若，求k的值； 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）根据一次函数，其图象是一条直线，画其图象时只需找两个点，再由两点确定一条直线可画出图象； （2）利用三角形面积公式求得的面积，进而求得，利用面积公式求得C的横坐标，代入即可求得纵坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是一条直线， 当时，解得； 当时，解得， ∴直线与坐标轴的两个交点分别是和， 其图象如下： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 把代入得，， ∴， 把C的坐标代入得，． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象如图所示，与x轴、y轴交于点A，B． (1)求一次函数的表达式； (2)求点A，B的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，求直线与坐标轴的交点坐标； （1）将点的坐标代入函数解析式求得k的值，即可求得直线的解析式， （2）再令求出y值，令求出的值即可得出直线与坐标轴的交点的坐标． 【详解】（1）解：因为由题图可知，该一次函数的图象过点， 所以， 所以， 所以一次函数的表达式为． （2）解：令，得；令，得， 所以点的坐标为，点的坐标为． 【经典例题九 画一次函数图象】 【例9】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）已知一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A、B两点的坐标； (2)画出该函数图像； (3)当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）当时，，当时，，解方程解答即可； （2）两点确定一条直线，根据A，B两点的坐标画图即可； （3）利用数形结合思想，结合图像与x轴交点的横坐标，解答即可． 本题考查了一次函数的图像画法，与坐标轴的交点求法，一次函数与不等式，熟练掌握解法和不等式解集确定的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故点B的坐标为， 当时，， 解得， 故点A的坐标为． （2）解：根据两点确定一条直线，且，，画图如下： （3）解：由于直线与x轴交于点， 故当时，； ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）一次函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求该函数解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)在（1）的条件下，将正比例函数的图象向下平移4个单位，求出平移后的直线解析式． 【答案】(1)3 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数图象的平移，画一次函数图象，熟练掌握平移规则，是解题的关键： （1）根据图象过原点，得到，进行求解即可； （2）根据两直线平行，值相等，得到，进行求解，描点，连线画出函数图象即可； （3）根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】（1）解：因为函数图象经过原点， 所以， 解得， 故m的值为3． （2）因为函数图象平行于直线， 所以， 解得， 所以一次函数解析式为． 当时，；当时，， 画出函数图象如图所示， （3）由（1）知，正比例函数的解析式为， 所以此函数图象向下平移4个单位所得函数图象的解析式为． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一次函数； (1)画出函数的图像； (2)利用图像解方程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与方程． （1）过图象上两个点的坐标画出直线即可； （2）根据一次函数与x轴的交点作答即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， ∴一次函数的图像过点、，画出图像如下： （2）解：根据函数图象可知，当时，， 即方程的解为． 3．（24-25八年级下·青海玉树·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查画一次函数图象，一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，描点、连线即可； （2）直线与横坐标轴的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，，解得， 点和点在直线上， 描点，连线，可得该函数的图象如下： （2）解：由（1）知，直线与x轴的交点坐标为， 故方程的解为， 故答案为：． 【经典例题十 一次函数图象平移问题】 【例10】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由函数解析式可得直线与直线都经过点，由直线经过点，可知当直线经过点或时，有，求出的值再结合函数图象解答即可求解； 两种情况解答即可； 本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，理解题意并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴，将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴直线与直线都经过点，当时，， ∴直线经过点， 当直线经过点或时，有，画图如下： 当直线经过点时，， 解得； 当直线经过点时，， 解得； ∵当时，对于的每一个值，， ∴或． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点，． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得平移后的直线解析式，然后求出直线与坐标轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵将直线向下平移4个单位后得到直线l，                               ∴直线l解析式为，               令，得；令，得； 直线l与坐标轴的交点坐标是、． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）已知y关于x的一次函数（是常数）． (1)若该函数图象向上平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)若函数图象经过第一、二、四象限，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数平移的性质，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据一次函数的平移求出平移后的函数解析式为，然后把代入求解即可； （2）根据函数图象的性质得到一元一次不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得平移后的解析式为：， ∵平移后的函数图象经过， ∴， 解得； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴a的取值范围是． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期末）实践与研究： x … 1 2 3 … … … x … 0 2 3 4 … … … (1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图象． (2)观察两个函数图象，的图象可以由的图象怎么变换得到？ (3)当直线向右平移1个单位与直线重合，试确定b的值． 【答案】(1)见解析 (2)的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象、一次函数的性质、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据计算即可列表，进而描点即可作图得解； （2）依据题意，结合（1）所作图象，观察两个函数图象，进而可以判断得解； （3）依据题意，由直线向右平移1个单位，可得平移后的直线为，结合平移后的直线与重合，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：完成表格如下： x … 1 2 3 … … 2 4 6 … x … 0 2 3 4 … … 2 4 6 … 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如下： （2）解：由题意，结合（1）所作图象，观察两个函数图象， ∴的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到． （3）解：∵直线向右平移1个单位， ∴平移后的直线为，即． 又∵平移后的直线与重合， ∴． ∴． 【经典例题十一 一次函数与几何综合】 【例11】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与坐标轴交于两点，点的坐标是． (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点的坐标是，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查一次函数； （1）根据待定系数法计算求解即可； （2）作轴，结合，计算即可求出． 【详解】（1）解：因为点的坐标是， 代入，得， 所以直线的函数表达式为． 令，得，即． （2）解：如答图，作轴． 因为，点的坐标是， 所以， 所以， 所以， 所以． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，结合，求出，从而可得，即可得解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 因为直线过点，点， 所以， 解得， 所以直线的表达式为． （2）解：设点的坐标为， 因为， 所以， 解得， 所以， 所以点的坐标是． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是利用函数交点坐标求函数表达式以及利用分割法求三角形面积。 （1）先将点代入直线的解析式求出的值，再将点代入直线的解析式求出的值，从而得到直线的函数表达式； （2）先求出点、的坐标，再求出直线的解析式，然后求出的面积。 【详解】（1）解：将点代入，得，所以， 将代入，得， 所以直线的函数表达式为； （2）将代入，得，所以． 将代入，得，所以． 如图，设直线与轴交于点，将代入，得， 所以，所以， 所以 ． 3．（2024八年级上·安徽阜阳·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点．平行于y轴的直线交于点D，交x轴于点E，点P是直线上一动点，且在点D的上方，设． (1)求直线的表达式； (2)求的面积（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点，交x轴于点， ∴，解得：， ∴； （2）∵平行于y轴的直线交于点D，， ∴当时，， ∴， ∵点是直线上一动点，且在点D的上方， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·广东茂名·期末）人的正常体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同．某人在一天24小时内体温随时间的变化情况如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)这一天中，这个人最低体温是多少？最高体温是多少？ (2)这一天中，这个人在什么时段内的体温逐渐降低？ 【答案】(1)最低体温是，最高体温是 (2)0至5时以及17至24时 【分析】（1）根据图象的横轴表示时间，纵轴表示体温可得答案； （2）根据体温随时间的变化情况解答即可． 本题考查了函数的图象，读懂统计图，从图中得到必要的信息是解决本题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知：最低体温是，最高体温是 （2）由图象可知：这一天中，这个人在0至5时以及17至24时体温逐渐降低． 2．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）小明在游乐场坐过山车，某一分钟内过山车高度h（米）与时间（秒）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答： （1）过山车所达到的最大高度是多少？ （2）请描述秒后，高度（米）随时间（秒）的变化情况 【答案】（1）过山车所达到的最大高度是米；（2）当时，高度（米）随时间（秒）的增大而增大，当时，高度（米）随时间（秒）的增大而减小． 【分析】（1）结合图图象可得过山车所达到的最大高度是98米； （2）根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象即可得当t=41秒时，h的值； 【详解】解：（1）由图可知，过山车所达到的最大高度是米． （2）由图可知，当时，高度（米）随时间（秒）的增大而增大． 当时，高度（米）随时间（秒）的增大而减小． 【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 【答案】(1)3，2 (2)见解析 (3)1，1 【分析】本题主要考查了画函数图象，求函数值． 对于（1），将，代入函数关系式，可得答案； 对于（2），用描点、连线的方法来画出函数图象； 对于（3），观察图象可得答案． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， 故答案为：3，2； （2）解：如图： （3）解：当时，该函数的因变量的值最小，最小值为1． 故答案为：1，1． 4．（24-25八年级下·山西·阶段练习）一个长方形的周长是24厘米，它的一边长是（单位：厘米），面积是（单位：平方厘米）． （1）若，则这个长方形的面积是__________平方厘米； （2）写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）画出关于的函数图象． 【答案】（1）35；（2）（）；（3）见解析． 【分析】（1）先求出该长方形的另一边长，然后根据长方形的面积公式计算即可； （2）先求出该长方形的另一边长，然后根据长方形的面积公式即可得出结论，然后根据实际意义即可求出x的取值范围； （3）列表、描点、连线即可． 【详解】（1）当时，该长方形的另一边长为24÷2－5=7厘米 ∴这个长方形的面积为5×7=35平方厘米 故答案为：35． （2）该长方形的另一边长为24÷2－x=（12－x）米 则 ∵且， ∴自变量的取值范围为． （3）列表如下 x 2 4 6 8 10 y 20 32 36 32 20 描点，连线即可，如图所示， 【点睛】此题考查的是求实际问题中的函数关系和画函数的图象，掌握实际问题中的等量关系和函数图象的画法是解决此题的关键． 5．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，正方形ABCD边长，点E在边AD上，且，点N从点A出发，以5cm/s的速度在A、B之间往返匀速运动，同时，点M从点E出发，以2cm/s的速度沿路径E→D→C匀速运动，当点M运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（单位：s）．在运动过程中的面积S（单位：cm2）随运动时间的变化而变化． (1)当点N运动到点B时，求t值及此时的面积． (2)在整个运动过程中，求S与t的关系式． 【答案】(1)t=2s时，面积为40；当t=6s时，面积为50 (2) 【分析】（1）分类讨论，当N点第一次抵达B点时，当N点第二次抵达B时两种情况讨论即可求解； （2）分类讨论，分0≤t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4、4＜t≤6、6＜t≤8五个区间讨论即可． 【详解】（1）（1）， ∴， ∵当点运动第一次到点时，cm，点的速度为5cm/s， ∴， ∵点的速度为2cm/s， ∴， ∴AM=AE+EM=4+4=8， 连接MN，如图， ∴的面积=． 当点运动第二次到点B时，t=6s，如图， ∵点的速度为2cm/s， 则M点共计移动了12cm， ∴DM=12-ED=12-6=6cm， ∴的面积． 当N点第三次到达需要耗时10s，此时10＞8，故不存在， 即N最多两次抵达B点． 综上：t=2s时，面积为40；当t=6s时，面积为50； （2）∵当点运动到点时，两点都停止运动， ∴， 依据N点的速度可知，N点从A点到B点需要2s， ①当0≤t≤2时，，， 的面积=； ②当2＜t≤3时，，， 的面积=； ③当3＜t≤4时，， ∵， ∴的高为10cm， 的面积=； ④当4＜t≤6时，，同理的高为10cm， 的面积=； ⑤当6＜t≤8时，，同理的高为10cm， 的面积=； 综上所述：． 【点睛】本题考查了函数在点的运动问题中的应用，注重分类讨论的思想是解答本题的概念． 6．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示． (1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息） (2)探究与之间的关系表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）直接观察函数图象，即可求解； （2）分三段：当点E在边上时，当点E在边上时，当点E在边上时，利用三角形的面积公式解答，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴， ； （2）解：当点E在边上时，，此时， ； 当点E在边上时，此时， ∴； 当点E在边上时，，此时， ∴； 综上所述，． 7．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图①是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点P以的速度沿图①的边框按的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图②所示．若，请回答下列问题： (1)图①中的长是 ；图②中， ， ； (2)求图①的面积． 【答案】(1)8；24；17 (2) 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． （1）根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；同（1）可求出的长，又由，可以计算出的面积，计算可得a的值；根据图象求出和、的长，计算的长度，计算可得b的值； （4）分析图形可得，图形面积等于，代入数据计算可得答案； 【详解】（1）动点P在上运动时，对应的时间为：0～4秒，即， 得：； 故的长是； 由（1）可得，，a的值是当点P运动到点C时的面积，则： ， 即图象中a 的值是24； 由图可得：，，，则：． 根据题意，动点P共运动了， ∵其速度是，则， ∴图象中的b是17． 故答案为：8，24，17； （2）由（1）可知，，， 又∵由 ， ∴图①的面积为； 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式． 【答案】y=x． 【分析】把P点坐标代入正比例函数y=kx中，即可得到k的值，进而得到正比例函数的解析式． 【详解】∵正比例函数y=kx的图象经过点P（2，3） ∴3=2k， 解得k=， ∴正比例函数的解析式为：y=x． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）探究函数的图象和性质．静静根据学习函数的经验，对函数的图象进行了探究，下面是静静的探究过程，请补充完成： （1）化简函数解析式，当时， ，当时， ． （2）根据（1）的结果，完成下表，并补全函数图象． （3）观察函数图象，请写出该函数的一条性质： ； 【答案】（1）-x-，x-；（2）0，-1．-，-1，图象见解析；（3）当x≥1时，y随x的增大而增大． 【分析】（1）根据绝对值的性质化简即可． （2）利用描点法取点，画出图形即可． （3）观察图象解答即可（答案不唯一）． 【详解】（1）化简函数解析式，当x＜1时,=-x-，当x≥1时，y=（x-1）-2=x-， 故答案为-x-，x-． （2）当x＜1时，y=（1-x）-2=-x-， 当x=0时，y=-， 当x=-1时，y=-1， 故答案为0，-1．-，-1， 函数图象如图所示： （3）观察图象可知：当x≥1时，y随x的增大而增大． 故答案为：当x≥1时，y随x的增大而增大． 【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知一次函数． (1)用五点作图法画出函数的图象．并指出图象经过哪几个象限？ (2)试判断点，是否在此函数的图象上，并说明理由． (3)求此直线与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)作图见解析，函数图象经过第一、三、四象限 (2)点在此函数图象上，点不在此函数图象上，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查了一次函数的图象，以及图象上点的坐标特征，与坐标轴围成的三角形面积等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）列表，描点，连线即可作图，即可判断经过的象限； （2）将点，代入函数解析式进行判断即可； （3）由（1）描点可得直线与坐标轴的交点坐标，即可求解三角形面积． 【详解】（1）解：列表 0 描点、连线如图： 可得：函数图象经过第一、三、四象限； （2）解：点在此函数图象上，点不在此函数图象上，理由如下： 对于点， 当时，， ∴点在此函数图象上； 对于， 当时，， ∴点不在此函数图象上； （3）解：由描点可得，． ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为4． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）若两个一次函数，则称函数为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数与的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积； (2)若一次函数的“和谐函数”为，则________，________； (3)已知一次函数与的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、满足的条件为：________1且________0（用“＞”或“＜”填空）． 【答案】(1) (2) (3)>；> 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握“和谐函数”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐函数”的定义求出表达式，再求出，即可求出的面积； （2）根据“和谐函数”的定义得到，，即可求出答案； （3）根据“和谐函数”的定义得到，再根据经过的象限得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，与的“和谐函数”的表达式为，即 当时，， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）∵一次函数的“和谐函数”为， ∴，， 解得，， 故答案为：； （3）由题意可得，一次函数与的“和谐函数”为， ∵的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得且， 故答案为：>；>． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数的图象与的图象平行，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)求一次函数图象与坐标轴围成三角形的面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数与坐标轴交点问题； （1）根据两条直线相交或平行问题由一次函数的图象与正比例函数的图象平行得到，然后把点代入一次函数解析式可求出b的值； （2）由一次函数解析式与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可得结果． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ， ， 把点代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得， ∴与x轴的交点的坐标为， 令，可得， ∴与y轴的交点坐标为， ∴一次函数图象与坐标轴围成三角形的面积为：． 13．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，函数的图象是函数的图象向上平移1个单位得到的． (1)直接写出k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解； （2）求出两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【详解】（1）解：函数的图象向上平移1个单位，可得， ∵函数的图象是函数的图象向上平移1个单位得到的， ∴，； （2）解：由（1）一次函数的解析式为， 当时，， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴． 14．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或，见解析； (3) 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）先根据题意可得点C的坐标为，根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴， ∴与原点的“直角距离”等于1的点是， 故答案为：； （2）解：设， ∵点与原点的“直角距离”， ∴， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或， 如图1所示， 故答案为：或； （3）解：∵点的坐标为，， 同（2）可得：则点在正方形边上，如图2， ∴，，，， 又∵点在直线， 由图2可知：的最大值是过点的直线，的最小值是过的直线， 把点的坐标代入中，，解得：， 把点的坐标代入中，，解得：， 故的取值范围是：． 15．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用． 将点的坐标代入函数解析式求得的值，根据直线方程求得点的坐标，然后求得相关线段的长度，由三角形的面积公式解答； 根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答； 分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入直线，得 ， 解得， ． 当时，． ，． 当时，， ， ，， ； （2）如图， 当时，点与点关于轴对称，故C符合题意； 当时，由，得到，由得到、． 综上所述，符合条件的点的坐标是或或； （3）， ， ． 由知，， ； 当点在轴下方时，， ， 点在轴下方， ． 当时，代入得，， 解得． ； 当点在轴上方时，， ， 点在轴上方， ． 当时，代入得，， 解得． ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.8 函数与一次函数常考几何模型专训（11大题型+15道拓展培优题） 题型一 函数图象识别 题型二 从函数的图象获取信息 题型三 用描点法画函数图象 题型四 动点问题的函数图象 题型五 正比例函数的图象 题型六 判断一次函数的图象 题型七 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型九 画一次函数图象 题型十 一次函数图象平移问题 题型十一 一次函数与几何综合 【经典例题一 函数图象识别】 【例1】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）已知点在第一象限，且，，，设的面积为． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的取值范围． 1．（2023·浙江嘉兴·一模）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． (1)y是关于x的函数吗？为什么？ (2)请说明点D的实际意义． (3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 2．（22-23八年级下·湖南娄底·阶段练习）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 3．（22-23七年级下·陕西西安·期中）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题： (1)小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟； (2)小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ (3)体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由． 【经典例题二 从函数的图象获取信息】 【例2】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）问题，我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的呢？ 【探索】（1）该函数的自变量的取值范围为___________； （2）描点画图： ①列表：如表是与的几组对应值； x … 0 1 2 4 5 6 7 … y … 2 3 6 6 3 2 … ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点． ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．    【应用】观察你所画的图象，解答下列问题： （3）若点，为该函数图象上不同的两点，则___________； （4）直接写出当时，的取值范围为___________． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．尝试用你积累的经验和方法解决下面的问题： (1)如下图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象． (2)结合所画的函数图象，写出函数的两条性质． 2．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知二次函数． (1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象： x ... ... y ... ... (2)根据图象回答：当时，的取值范围是___________． x ... 0 1 2 3 4 ... y ... 3 0 0 3 ... 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下： (1)作出函数的图象． ①列表： … 0 1 … … 0 2 1 0 … 其中，表格中的值为 ； ②描点：根据表格数据，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ． (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则的取值范围为 ． 【经典例题三 用描点法画函数图象】 【例3】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是她尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． 列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 0 k … (1)直接填空： ； (2)描点并正确地画出该函数图象； (3)①根据函数图象可得：该函数的最小值为 ； ②观察函数的图象，当时，y随着x的增大而 ． 1．（24-25八年级下·河南南阳·期末）探究的图象及性质： (1)绘制函数图象； ①列表：请将下表补充完整，其中________； … 0 1 2 3 … … 2 3 4 6 4 2 … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象； (2)探究函数性质： ①当____时，函数有最大值为____； ②时，随的增大而______； ③函数的图象关于_______对称； (3)运用函数图象及性质：根据函数图象，写出不等式的解集是________． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑，哥哥每秒跑．设哥哥出发秒后，哥哥所跑的路程为，弟弟所跑的路程为． (1)直接写出关于的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)根据图象回答下列问题： ①当秒时，___________跑在前面(填“哥哥”或“弟弟”)；当___________秒时，哥哥追赶上弟弟； ②当哥哥跑在弟弟的前面时，时间的取值范围为___________； ③___________先跑过20m，___________先跑过100m．(填“哥哥”或“弟弟”) 3．（2025·陕西·模拟预测）日前，国家卫生健康委员会负责人表示，将持续推进体重管理年行动．旨在通过建立支持性环境，提升全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，最终改善部分人群体重异常状况．已知标准体重（单位：）和身高（单位：）之间关系的部分对应值如下表（粗略估计标准体重）： 身高 … 154 156 158 159 … 标准体重 … 49 51 53 54 … (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，连线，若标准体重（单位：）与身高（单位：）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（请选择“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数表达式； (3)若一个人的实际体重是标准体重的（包括和）为正常范围．已知李敏的身高是，体重是，李敏的体重是否在正常范围内？ 【经典例题四 动点问题的函数图象】 【例4】（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上的一个动点，过点P作射线的垂线，垂足为点E，连接．设，．小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表： x/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.4 y/cm 1.6 1.3 1.0 0.9 1.0 1.3 2.1 2.5 2.9 （说明：补全表格时相关数据保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：点E是边的中点时，的长度约为________cm． 1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图1，是等腰直角三角形，，，点P在的边上沿路径移动，过点P作于点D，设，的面积为（当点P与点B或点C重合时，y的值为0）． 琪琪根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是琪琪的探究过程，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是______________________； （2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表： x/cm 0 1 2 3 4 y/ 0 m 2 n 0 请直接写出 ， ； （3）在图2所示的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像；并结合画出的函数图像，解决问题：当的面积为1时，请直接写出的长度（数值保留一位小数）． （4）根据上述探究过程，试写出的面积为y与的长度x cm之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 2．（2023九年级·北京·专题练习）如图，在中，，，，是线段上一动点，是的中点，过点作射线，使，连接，并延长交于点，连接．设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为． 小丽根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）按照表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值； 0 1 2 3 4 5 6 9.49 8.54 7.62 6.71 5.83 5.00 4.24 9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24 （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；    （3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为　 　．    3．（23-24八年级下·北京昌平·期末）如图，△ABC中，AB=BC=5cm，AC=6cm，点P从顶点B出发，沿B→C→A以每秒1cm的速度匀速运动到A点，设运动时间为x秒，BP长度为ycm．某学习小组对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）通过取点，画图，测量，得到了x（秒）与y（cm）的几组对应值： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 4.1 4 4.5 5.0 要求：补全表格中相关数值（保留一位小数）； （2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当x约为______时，BP=CP． 【经典例题五 正比例函数的图象】 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)． 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂记录1台炼油机的生产时间与产量的关系如下： 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 ．．． 产量/吨 0 4 8 12 16 20 ．．． (1)这台炼油机的产量与生产时间成___________比例关系； (2)根据表中数据，在图中描出这台炼油机的生产时间与对应产量的点，再把这些点依次连接起来； (3)计算这台炼油机要炼70吨油需要多少小时． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期中）定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 3．（2025·浙江宁波·三模）为了吸引顾客，某市内游乐园推出了两种游玩活动方案，活动方案如下： 方案一：不购买会员卡，每小时收费元； 方案二：购买会员卡，售价为160元/张，每小时另收10元，有效期一个月． 设某个月内游玩时间为（时），按照方案一所需费用为（元），其关系图象如图所示；按照方案二所需费用为（元）． (1)分别求出与之间的函数关系式； (2)在图中画出的函数图象； (3)你会如何向朋友推荐方案． 【经典例题六 判断一次函数的图象】 【例6】（24-25八年级下·河南南阳·期中）某商场购进一批进价为元/件的日用品，第一个月，按进价提高的价格出售，售出了件，第二个月，该商场准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，销售量（件）与销售单价（元/件）（为整数）的关系如图所示． (1)图中点所表示的实际意义是_____； (2)求出图中字母的值，并求出与之间的函数解析式． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值． (1)当输入x的值分别为和2时，输出的y值分别是多少？ (2)图象中，可以是“函数求值机”中函数对应图象的是 ．（填写A、B、C或D） (3)求要使输出结果为2，应输入的x值． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，经过探究可发现此类方程的一般性结论：设一根为，则另一个根为，因此，于是可得到，，所以有；我们可记“”，即当时，一元二次方程为倍根方程，下面我们根据此结论来解决问题： (1)方程①；②中，倍根方程是_________（填序号）； (2)若关于的方程是倍根方程，求的值； (3)已知关于的方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求m、n的值． 3．（23-24八年级上·江西九江·期中）已知函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值； (3)若这个函数是一次函数，且随的增大而减小，在、、、、这个数中取值，的可能取值为？ 【经典例题七 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例7】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，左框中的实数x与右框中的实数y满足某个一次函数关系，输入x的值会输出一个y的值． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求m的值； (3)该一次函数的图象不经过第______象限． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知正比例函数和一次函数． (1)若一次函数和正比例函数的图象交于点，求m和k； (2)k满足什么条件时，上述两个函数的图象的交点一定在第一象限？ 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数． (1)已知关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，试说明一次函数的图象过第一和第二象限． (2)在（1）的条件下，已知另一函数的图象与y1图象的交点在第四象限，求不等式的解． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求的值； (2)当时，该函数图像经过第______象限． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点在一次函数的图象上，图象与轴的交点为点，试解决下面的问题： (1)求直线的函数表达式； (2)试求的面积． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)在图中画出该一次函数的图象． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与的图象交于第一象限某一点C． (1)请在平面直角坐标系内画出函数的图象； (2)若，求k的值； 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象如图所示，与x轴、y轴交于点A，B． (1)求一次函数的表达式； (2)求点A，B的坐标． 【经典例题九 画一次函数图象】 【例9】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）已知一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A、B两点的坐标； (2)画出该函数图像； (3)当时，x的取值范围是______． 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）一次函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求该函数解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)在（1）的条件下，将正比例函数的图象向下平移4个单位，求出平移后的直线解析式． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一次函数； (1)画出函数的图像； (2)利用图像解方程． 3．（24-25八年级下·青海玉树·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 【经典例题十 一次函数图象平移问题】 【例10】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点，． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）已知y关于x的一次函数（是常数）． (1)若该函数图象向上平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)若函数图象经过第一、二、四象限，求a的取值范围． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期末）实践与研究： x … 1 2 3 … … … x … 0 2 3 4 … … … (1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图象． (2)观察两个函数图象，的图象可以由的图象怎么变换得到？ (3)当直线向右平移1个单位与直线重合，试确定b的值． 【经典例题十一 一次函数与几何综合】 【例11】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与坐标轴交于两点，点的坐标是． (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点的坐标是，求的面积． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 3．（2024八年级上·安徽阜阳·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点．平行于y轴的直线交于点D，交x轴于点E，点P是直线上一动点，且在点D的上方，设． (1)求直线的表达式； (2)求的面积（用含n的代数式表示）． 1．（24-25七年级下·广东茂名·期末）人的正常体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同．某人在一天24小时内体温随时间的变化情况如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)这一天中，这个人最低体温是多少？最高体温是多少？ (2)这一天中，这个人在什么时段内的体温逐渐降低？ 2．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）小明在游乐场坐过山车，某一分钟内过山车高度h（米）与时间（秒）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答： （1）过山车所达到的最大高度是多少？ （2）请描述秒后，高度（米）随时间（秒）的变化情况 3．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 4．（24-25八年级下·山西·阶段练习）一个长方形的周长是24厘米，它的一边长是（单位：厘米），面积是（单位：平方厘米）． （1）若，则这个长方形的面积是__________平方厘米； （2）写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）画出关于的函数图象． 5．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，正方形ABCD边长，点E在边AD上，且，点N从点A出发，以5cm/s的速度在A、B之间往返匀速运动，同时，点M从点E出发，以2cm/s的速度沿路径E→D→C匀速运动，当点M运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（单位：s）．在运动过程中的面积S（单位：cm2）随运动时间的变化而变化． (1)当点N运动到点B时，求t值及此时的面积． (2)在整个运动过程中，求S与t的关系式． 6．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示． (1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息） (2)探究与之间的关系表达式． 7．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图①是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点P以的速度沿图①的边框按的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图②所示．若，请回答下列问题： (1)图①中的长是 ；图②中， ， ； (2)求图①的面积． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）探究函数的图象和性质．静静根据学习函数的经验，对函数的图象进行了探究，下面是静静的探究过程，请补充完成： （1）化简函数解析式，当时， ，当时， ． （2）根据（1）的结果，完成下表，并补全函数图象． （3）观察函数图象，请写出该函数的一条性质： ； 10．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知一次函数． (1)用五点作图法画出函数的图象．并指出图象经过哪几个象限？ (2)试判断点，是否在此函数的图象上，并说明理由． (3)求此直线与坐标轴围成的三角形面积． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）若两个一次函数，则称函数为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数与的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积； (2)若一次函数的“和谐函数”为，则________，________； (3)已知一次函数与的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、满足的条件为：________1且________0（用“＞”或“＜”填空）． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数的图象与的图象平行，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)求一次函数图象与坐标轴围成三角形的面积． 13．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，函数的图象是函数的图象向上平移1个单位得到的． (1)直接写出k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 14．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 15．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $