第9讲 角平分线 优等生讲义 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

第9讲 角平分线 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等 · · 掌握角平分线的判定定理：到两边距离相等的点在角平分线上 · · 会用尺规作角平分线 · · 能利用角平分线解决面积、最短路径综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 这里的距离是点到边的垂线段长度 常作辅助线：过角平分线上点向两边作垂线 用于证明线段相等 概念辨析例题：OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD与PE关系？ 解析：角平分线上的点到两边距离相等 ☆ 2.角平分线的判定定理 在角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上 常与性质定理配合使用：先证距离相等，再判定在角平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等 外角平分线也满足判定 概念辨析例题：OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC，OE=OF，则O在哪条线上？ 解析：到角两边距离相等的点在角平分线上 ☆ 3.尺规作角平分线 以顶点为圆心画弧交两边于两点 分别以两交点为圆心，大于半距画弧交于一点 连接顶点与交点即角平分线 原理是SSS证全等 概念辨析例题：尺规作角平分线的原理是？ 解析：由作图痕迹得三边对应相等，SSS全等 ☆ 4.角平分线与面积 角平分线上点到两边距离相等，可作两个三角形的高 三角形面积=二分之一底乘高 内心到三边距离r，面积=半周长乘r 两三角形高相同时，面积比等于底之比 概念辨析例题：BO、CO平分∠B、∠C，OD⊥BC，OD=3，S△ABC=50，求周长 解析：S=r(AB+BC+AC)=50,r=3,周长= 📋 知识总结表 核心概念 内容 注意事项 性质定理 角平分线上点到两边距离相等 距离指垂线段 判定定理 到两边距离相等的点在角平分线上 在角的内部 尺规作图 两弧交点连线 原理SSS 内心 三内角平分线交点 到三边等距 旁心 一内角两外角平分线交点 到三边等距 面积公式 S=r·C r为内切圆半径 常用辅助线 向两边作垂线 构造全等 ⚠️ 核心考点 【考点1】角平分线定理（第1-5题） · · 过角平分线上点向两边作垂线 · · 利用PD=PE转移线段 · · 面积问题用等高三角形 · · 结合中点求面积 1．（2025秋•玉田县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC（不包括端点）上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．下列关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（　　） 嘉嘉说：PD＝PE； 淇淇说：OD＝OE． A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 【分析】根据角平分线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，证明△OPD≌△OPE，即可得出结论． 【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠POD＝∠POE， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠ODP＝∠OEP＝90°， 在△OPD和△OPE中， ， ∴△OPD≌△OPE（AAS）， ∴PD＝PE，OD＝OE， 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 2．（2024秋•洪山区期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝138°，°，则∠ADB的度数为（　　） A．42° B．48° C．50° D．53° 【分析】过点D作DE⊥AC交AC的延长线于E，DF⊥AB交AB的延长线于点F，DG⊥BC于G，先根据已知条件求出∠ACB＝96°，∠BCD＝42°，则∠ECD＝42°，由此得CD平分∠BCE，则DE＝DG，根据AD平分∠BAC得DE＝DF，设∠DAC＝∠DAB＝α，进而得DG＝DF，∠BAC＝2α，由此得BD平分∠CBF，可设∠DBC＝∠DBF＝β，则∠CBF＝2β，根据三角形外角性质即可得出∠ADB的度数． 【解答】解：过点D作DE⊥AC交AC的延长线于E，DF⊥AB交AB的延长线于点F，DG⊥BC于G，如图所示： ∵∠ACD＝138°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠ACD＝138°， ∴∠BCD＝138°﹣∠ACB， ∵∠ACB+∠BCD＝90°， ∴∠ACB+138°﹣∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝96°， ∴∠BCD＝138°﹣∠ACB＝42°， ∵∠ECD＝180°﹣∠ACD＝42°， ∴∠BCD＝∠ECD＝42°， ∴CD平分∠BCE， ∵DE⊥AC，DG⊥BC， ∴DE＝DG， 又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF，设∠DAC＝∠DAB＝α， ∴DG＝DF，∠BAC＝2α， ∴点D在∠CBF的平分线上， ∴BD平分∠CBF， ∴设∠DBC＝∠DBF＝β，则∠CBF＝2β， ∵∠DBF是△ABD的外角， ∴∠DBF＝∠DAB+∠ADB， ∴β＝α+∠ADB， ∴∠ADB＝β﹣α， ∵∠CBF是△ABC的外角， ∴∠CBF＝∠BAC+∠ACB， ∴2β＝2α+96°， ∴β﹣α＝48°， ∴∠ADB＝48°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 3．（2025秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ 　1　 ． 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线性质得DF＝AD＝1，进而得S△BCDBC•DF＝2，再根据点E是BD的中点得DE＝BE，由此得S△BEC＝S△DEC＝1/2S△BCD＝1，据此可得出答案． 【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，AD＝1， ∴DF＝AD＝1， 又∵BC＝4， ∴S△BCDBC•DF4×1＝2， ∵点E是BD的中点， ∴DE＝BE， ∵△DEC的边DE上的高和△BEC的边BE上的高相同， ∴S△BEC＝S△DECS△BCD＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 4．（2023秋•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ACB的角平分线与AB交于点D，则S△ACD＝　　 ． 【分析】根据角平分线的性质得出DE＝DF，进而利用三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F， ∵∠ACB的角平分线与AB交于点D， ∴DE＝DF， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， ∴DE， ∴S△ACD， 故答案为：． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出DE＝DF解答． 5．（2025秋•南沙区校级期末）已知△ABC中，D为BC的中点，E为∠BAC的平分线上的点，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于G，BF＝CG，求证：DE⊥BC． 【分析】由角平分线性质可得EF＝EG，可证△BFE≌△CGE（SAS），得BE＝CE，由D为BC的中点，三线合一即可得出DE⊥BC． 【解答】证明：如图，连接BE、CE， 由角平分线性质定理可知EF＝EG，∠BFE＝∠CGE＝90°， 在△BFE和△CGE中， ， ∴△BFE≌△CGE（SAS）， ∴BE＝CE， 又∵D为BC的中点， ∴DE⊥BC． 【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过全等得到等腰三角形是解题的关键． 【考点2】尺规作角平分线（第6-10题） · · 识别作图痕迹 · · 由角平分线得DE=DC · · HL证Rt△全等 · · 面积法求线段长 6．（2025春•榆中县期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由SAS可判断△OAD≌△OBC，由全等三角形的性质得∠OAD＝∠OBC，由AAS可判定△APC≌△BPD，全等三角形的性质得AP＝BP，由SSS可判定△OAP≌△OBP，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质CP∥OB，由等腰三角形的性质得∠COP＝∠CPO，即可判断；第五个图由SSS可判定△OAE≌△OBE，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【解答】解： 由作图①痕迹得知射线OP为∠AOB的平分线； 由作图②痕迹得知OC＝OD，OP是CD的垂直平分线， ∴OP⊥CD， ∴∠COP＝∠DOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图③痕迹得知OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠AOB， 在△OAD和△OBC中， ， ∴△OAD≌△OBC（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBC， ∵AC＝BD，∠APC＝∠BPD， ∴△APC≌△BPD（AAS）， ∴AP＝BP， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图④痕迹得知∠ACP＝∠AOB，CO＝CP， ∴CP∥OB，∠COP＝∠CPO， ∴∠CPO＝∠BOP， ∴∠COP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图⑤痕迹得知OA＝OB，作OA、OB的垂直平分线， ∴OE＝AE＝BE， ∴△OAE≌△OBE（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的尺规作图，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 7．（2024秋•海港区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．DE⊥AB B．AD＝BD C．DE＝DC D．∠BDE＝∠BAC 【分析】根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，依据这两个条件即可逐项判断． 【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DC， ∴∠BDE＝90°﹣∠B， ∵△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°﹣∠B， ∴∠BDE＝∠BAC， 无法证明AD＝BD， 所以选项A、C、D一定正确，不符合题意，选项B不一定正确，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，垂线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 8．（2025春•榕城区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：BD＝DE； 乙：∠CDE＝∠CAB； 丙：AB+EC＝AC． 下列判断正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．三人说的都对 【分析】由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC，由角平分线的性质定理可得BD＝DE，即可判断甲；由∠CAB+∠C＝∠C+∠CDE＝90°即可判断乙；证明Rt△ABD≌Rt△AED（HL）即可判断丙，即可得解． 【解答】解：由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC， ∵∠B＝90°， ∴BD＝DE，故甲正确； ∠CDE＝∠CAB，故乙正确； 在Rt△ABD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴AB＝AE， ∴AC＝AE+CE＝AB+CE，故丙正确； 故选：D． 【点评】本题考查了尺规作图—基本作图，角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2026春•博兴县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．若AB+AC＝8，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，则AD的长为多少？ 【分析】根据角平分线的性质定理求出DE＝DF，根据等面积法求出DE＝6，根据多边形内角和求出∠BAC＝60°，根据30°角的性质计算即可． 【解答】解：由题意可得：DE＝DF， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴， 即， ∴DE＝6， ∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∠EDF＝120°， ∴∠BAC＝360°﹣∠DEA﹣∠DFA﹣∠EDF＝60°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴， 在Rt△DEA中，AD＝2DE＝12． 答：AD的长为12． 【点评】本题考查角平分线的性质，正确进行计算是解题关键． 10．（2025秋•青秀区校级期中）已知：△ABC如图所示． （1）请用尺规作图法，画出∠BAC的平分线AD，交BC于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请用三角板，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（要求：不写作法，标注直角标记）．求证：AE＝AF． 【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线即可； （2）根据角平分线的性质得到DE＝DF，再根据HL进行证明即可． 【解答】解：（1）如图，AD即为所求， ； （2）证明：作图如下： ， ∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F， ∴ED＝DF， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）． ∴AE＝AF． 【点评】本题主要考查作图，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【考点3】角平分线逆定理（第11-14题） · · 证三线共点 · · 内外角平分线夹角模型 · · ∠E=∠A · · 外角平分线+内角平分线 11．（2025秋•斗门区校级期中） 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E，连接AD． （1）求证：AD平分∠MAC； （2）若△ABC周长为20，求BE的长． 【分析】（1）如图：过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q，由角平分线的性质证明DP＝DQ，则由角平分线的判定定理可得证明结论． （2）证明Rt△ADQ≌Rt△ADP可得AP＝AQ，同理BP＝BE、CQ＝CE，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得BC+CE＝10，据此即可求出BE的长． 【解答】（1）证明：如图：过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q， ∵DE⊥BN，BD平分∠ABC，CD平分∠ACN， ∴DP＝DE，DQ＝DE， ∴DP＝DQ（等量代换）， ∵DP⊥BM，DQ⊥AC， ∴AD平分∠MAC； （2）解：如图，由（1）可知：DP＝DQ， 在Rt△ADQ和Rt△ADP中， ， ∴Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL）， ∴AP＝AQ（全等三角形对应边相等）， 同理得：BP＝BE、CQ＝CE， ∵三角形ABC的周长为20， ∴AB+BC+AC＝20， ∴AB+BC+AQ+CQ＝20， ∴AB+BC+AP+CE＝20 ∵AB+AP＝BC+CE， ∴BC+CE＝20÷2＝10，即：BE＝10， 则BE的长为10． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 12．（2025秋•甘井子区期末）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线BE和一个外角∠ACD的平分线CE相交于点E． （1）若∠A＝m°，则∠E的大小是　m °；（用含m的式子表示） （2）如图2，连接AE．求证：AE平分另一个外角∠FAC． 【分析】（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即可； （2）过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H，利用角平分线的性质解答即可． 【解答】（1）解：设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则可得：， 可得：∠Em， 故答案为：m； （2）证明：过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H， ∵EB，EC分别平分∠ABC，∠ACD， ∴EM＝EH，EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴E在∠EAC的平分线上， ∴EA平分∠FAC． 【点评】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，题目有一定的难度． 13．（2023秋•二道区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点F，BF与CD的延长线交于点E，连接CE． 求证： （1）△BCE是等腰三角形． （2）若AB＝3，CD＝4，则BC＝　7　 ． 【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABF＝∠E，则∠E＝∠CBF，可得出BC＝CE，则结论得证； （2）证明△ABF≌△DEF（AAS），得出AB＝DE，则可得出结论． 【解答】证明：（1）∵BF平分∠ABC， ∴， ∵CD∥AB， ∴∠ABF＝∠E， ∴∠E＝∠CBF， ∴BC＝CE， ∴△BCE 是等腰三角形． （2）∵CF平分∠BCE， ∴， ∵CD∥AB， ∴∠ABC+∠BCE＝180°， ∴∠CBF+∠BCF＝90°， ∴∠BFC＝90°，即 CF⊥BE， 又∵BC＝CE， ∴BF＝EF， 在△ABF和△DEF中， ， ∴△ABF≌△DEF（AAS）； ∴AB＝DE， ∴BC＝CE＝DE+CD＝AB+CD， ∴BC＝AB+CD＝7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 14．（2026春•栾城区期末）如图，∠ACE是△ABC的一个外角，BD为∠ABC的平分线，CD在∠ACE的内部，与BD交于点D，∠A＝2∠D． （1）判断CD是否平分∠ACE，并说明理由； （2）如图2，∠ACB的平分线CO交BD于点O，∠D＝48°，求∠DOC的度数． 【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得到∠ABC＝2∠DBC，由三角形的外角性质推出∠ACD+∠DCE＝2（∠D+∠DBC），∠DCE＝∠D+∠DBC，得到∠ACD＝∠DCE，推出CD平分∠ACE； （2）如图2，由角平分线的定义得到∠ACO+∠ACD（∠ACB+∠ACE）＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠DOC的度数． 【解答】解：（1）如图1，CD平分∠ACE，理由如下： ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABC＝2∠DBC， ∵∠ACD+∠DCE＝∠A+∠ABC，∠A＝2∠D， ∴∠ACD+∠DCE＝2∠D+2∠DBC＝2（∠D+∠DBC）， ∵∠DCE＝∠D+∠DBC， ∴∠ACD+∠DCE＝2∠DCE， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴CD平分∠ACE； （2）如图2， ∵OC平分∠ACB的， ∴∠ACO∠ACB， 由（1）知：∠ACD∠ACE， ∴∠ACO+∠ACD（∠ACB+∠ACE）180°＝90°， ∴∠DCO＝90°， ∵∠D＝48°， ∴∠DOC＝90°﹣48°＝42°． 【点评】本题考查三角形的外角性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，关键是掌握三角形的外角的性质，角平分线的定义． 【考点4】角平分线的应用（第15-17题） · · 到两直线等距=角平分线 · · 到两点等距=垂直平分线 · · 两线交点即所求点 · · 三条公路问题有4处 15．（2025秋•谷城县月考）如图所示，为促进全民健身活动开展，某镇计划在张村与李村之间建一个娱乐健身场所．张村、李村坐落在两条相交的公路内，健身场所到两条公路的距离相等，并且到两村的距离之和最短，请你通过作图确定健身场所的位置． 【分析】作∠ACB的平分线CM，连接EF交CM于点O，则点O即为所求作的位置． 【解答】解：①以点C为圆心，以适当的长为半径画弧分别交CA，CB于点P，Q， ②分别以P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点M， ③作射线CM， ④连接EF交CM于点O，则点O即为健身场所的位置，如图所示： 理由如下： 由作图可知：点O在∠ACB的平分线上， ∴点O到AC，BC的距离相等， 又∵点E，O，F共线， ∴点O到E，F的距离之和为最短， 故点O即为所求作的位置． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，线段的性质，理解两点之间线段最短，熟练掌握角平分线的性质及角平分线的作法是解决问题的关键． 16．（2026春•城关区校级期末）如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P． 【解答】解：如图，点P为所求． 作角平分线和线段的垂直平分线，两者的交点就是点P的位置． 【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质． 17．（2025秋•单元）如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路．现要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的位置有几处？请在图中标出来． 【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断． 【解答】解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【考点5】角平分线与面积边长（第18-23题） · · 面积法求高 · · 比例线段求面积 · · 周长= · · 截长补短证线段相等 18．（2026春•北碚区月考）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积． 【分析】（1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AF⊥BC，∠BAF＝54°， ∴∠ABF＝90°﹣54°＝36°． ∵BE平分∠ABF， ∴∠ABE∠ABF＝18°， ∵∠BED＝40°， ∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝40°﹣18°＝22°； （2）∵AD是△ABC的中线且△ACD的面积是30， ∴S△ABD＝S△ACD＝30． ∵DE：AE＝2：3， ∴S△ABES△ABD30＝18． 【点评】本题主要考查了角平分的性质，熟知角平分线的定义及性质是解题的关键． 19．（2026春•单县期末）如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，AE为边BC上的中线，BF平分∠ABC，交AD于点F． （1）若AD＝4，△ABC的面积为20，求BE的长； （2）若∠C＝25°，∠BFD＝60°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）根据三角形面积公式求出BC长，再由中线定义求出线段BE长即可； （2）根据直角三角形两锐角互余得到∠FBD＝30°，由角平分线定义得到∠ABC＝60°，根据三角形内角和为180°求出∠BAC的度数即可． 【解答】解：（1）∵AD为边BC上的高， ∴S△ABC20， ∵AD＝4， ∴BC＝10， ∵AE为边BC上的中线， ∴BE5； （2）∵AD为边BC上的高，∠BFD＝60°， ∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠FBD＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣25°＝95°． 【点评】本题考查了三角形角平分线、中线、高线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 20．（2026春•集美区校级期中）在三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AB上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在AC上，连接CD、DE，∠CDE＝45°． （1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：DE⊥AC； （2）如图2，CD是∠BCM的角平分线，连接DM，EM．若DM∥AC，∠MED+∠BCD＝45°，试判断DE与EM的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）利用角平分线定义求∠ACD，结合三角形内角和定理求∠DEC，证明DE⊥AC； （2）过点D作DH∥BC交AC于点H，通过平行线性质、角的关系推出EM⊥DM，再根据垂线段最短判断DE与EM的大小关系． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴， ∵∠CDE＝45°， ∴∠DEC＝180°﹣∠ACD﹣∠CDE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴DE⊥AC； （2）解：DE≥EM，理由如下： 过点D作DH∥BC，交AC于点H， ∵DH∥BC， ∴∠HDC＝∠BCD， ∵∠CDE＝∠HDC+∠HDE＝45°＝∠MED+∠BCD， ∴∠HDE＝∠MED， ∴DH∥EM∥BC， ∴∠ACB＝∠AEM＝90°， ∵DM∥AC， ∴∠DME＝∠AEM＝90°， ∴EM⊥DM， ∴DE≥EM（垂线段最短，当E与H重合时取等号）． 【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和的性质，灵活应用这些性质解决问题是解题的关键． 21．（2025秋•任泽区期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 【分析】（1）如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，由角平分线的性质可得OF＝OG，OH＝OG，进而得OF＝OH，再根据角平分线的判定即可求证； （2）由△AOC的面积为12可得OG＝OF＝OH＝4，再根据S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝30可得AB+BC＝15，进而即可求解． 【解答】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H， ∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE， ∴OF＝OG，OH＝OG， ∴OF＝OH（等量代换）， ∵OF⊥BD，OH⊥BE， ∴点O在∠ABC的角平分线上， 即BO平分∠ABC； （2）解：∵△AOC的面积为12， ∴， ∵AC＝6， ∴， ∴OG＝4， ∴OF＝OH＝OG＝4， ∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30， ∴， 即， 整理得AB+BC＝15， ∴AB+BC+AC＝15+6＝21， △ABC的周长为21． 【点评】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22．（2026春•福田区校级期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC面积为36，BC＝12，DE＝4，求△ABC的周长． 【分析】（1）证明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，DE＝DF，从而得到点A和点D在EF的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出AB+AC＝18，根据三角形周长公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠AED＝∠AFD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF，AE＝AF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：由（1）得△ADE≌△ADF， ∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF， ∴， ∵DE＝4 ∴AB+AC＝18， ∵BC＝12 ∴△ABC的周长为30． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟知以上知识是解题的关键． 23．（2026春•青羊区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据△ADC的面积为14得CF＝4，由此得CF＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE得BE＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE是线段BH的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC和△DAC全等得HC＝CD，据此即可得出结论． 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【考点6】创新及压轴题（第24-26题） · · 三角形三内角平分线共点 · · 动点在角平分线上用距离相等 · · 内外角平分线夹角45度模型 · · 折叠问题用对称+全等 24．我们学习了角平分线的性质定理及判定定理，请运用角平分线的性质定理及判定定理完成下列几何问题的证明． 例题 已知：如图所示，AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E． 求证：点O在∠C的平分线上． 证明：过点O作OF⊥AC，垂足为F． ∵AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线（已知）， OE⊥AB，OD⊥BC（已知），OF⊥AC（所作）， ∴OE＝OD，OE＝OF（　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等　 ） ∴OD＝OF（等量代换）． ∴点O在∠C的平分线上（　在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上　 ）． 【研究原图形】 （1）补全例题的证明过程． （2）在例题的图中，分别连接DE，EF，FD，小婷发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系，若∠BAC＝m°，则∠EDF＝　　 °．（用含m的代数式表示） 【解决新问题】 （3）为了方便研究，小婷同学把满足例题条件的△DEF叫作△ABC的“内三角形”，点O叫作“共心”．已知△DEF是△ABC的“内三角形”，点O是“共心”，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且OE∥BC．先画出符合条件的示意图，再过点E作EG⊥DF于点G，求证：点G在直线AO上． 【分析】（1）根据角平分线的性质和判定定理即可求解； （2）连接DE，EF，FD，延长DO交AB于点H，根据题意可得∠EOF＝180°﹣m°，进而求得∠EOF＝2∠EDF，进而得解； （3）先求出∠EFD＝45°，可得EG＝FG，再证△AEO≌△AFO，所以AO所在直线是EF的垂直平分线，进而得解． 【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AC，垂足为F． ∵AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线（已知）， OE⊥AB，OD⊥BC（已知），OF⊥AC（所作）， ∴OE＝OD，OE＝OF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） ∴OD＝OF（等量代换）． ∴点O在∠C的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． （2）解：如图，延长DO交AB于点H， ∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴∠AEO＝∠AFO＝90°， ∵∠BAC＝m°， ∴∠EOF＝180°﹣m°， ∵OD＝OF＝OE， ∴∠EOH＝∠ODE+∠OED＝2∠ODE，∠HOF＝∠ODF+∠OFD＝2∠ODF， ∴∠EOF＝2∠EDF， ∴， 故答案为：． （3）证明：如图． ∵OE∥BC，OE⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 由（2）可知45°， ∵EG⊥DF， ∴∠GEF＝45°， ∴EG＝FG， ∴点G在EF的垂直平分线上， 在△AEO和△AFO中， ， ∴△AEO≌△AFO（AAS）， ∴AE＝AF，OE＝OF， ∴AO所在直线是EF的垂直平分线， ∴点G在直线AO上． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 25．（2024春•皇姑区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，点P从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）AP的长为 　4t ；（用含t的代数式表示） （2）在整个运动中，当△ABP是以∠A为顶角的等腰三角形时，t的值为 　　 秒； （3）若点P在∠ABC的角平分线上，直接写出t的值 　　 秒． 【分析】（1）根据题意列代数式可求得答案； （2）分当△ABP 是以∠A为顶角的等腰三角形时，AP＝AB据此计算即可； （3）根据角平分线的性质到角两边的距离相等，可得，由此解答即可． 【解答】解：（1）∵已知点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度运动， ∴点P运动的长度为：AP＝4t； 故答案为：4t； （2）当△ABP 是以∠A为顶角的等腰三角形时，如图， AP＝AB＝10，此时； 当△ABP 是以∠A为顶角的等腰三角形时，t的值为； （3）过点P作PM⊥AB于点M，如图所示： ∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB，∠ACB＝90°， ∴PC＝PM， ∵，， ∴，即 ∴ ， 即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，列代数式，熟知以上知识是解题的关键． 26．（2024秋•路南区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【分析】（1）由平角的定义可求解∠ACD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠ECH＝40°，进而可求解； （2）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM＝EN，进而可证明结论； （3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝110°， ∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°， ∵EH⊥BD， ∴∠CHE＝90°， ∵∠CEH＝55°， ∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°， ∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°； （2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N， ∵BE平分∠ABC， ∴EM＝EH， ∵∠ACE＝∠ECH＝35°， ∴CE平分∠ACD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴AE平分∠CAF； （3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH， ∴S△ACD＝S△ACE+S△CEDAC•ENCD•EH（AC+CD）•EM＝21， 即， 解得EM＝3， ∵AB＝8.5， ∴S△ABEAB•EM． 【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•宁江区校级期末）如图，在7×9的正方形网格中，到∠AOB两边距离相等的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【分析】根据题意可知到角两边距离相等的点在角的角平分线上，通过网格特点，大致确定∠AOB的平分线，进而可知本题答案． 【解答】解：点M在∠AOB的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到∠AOB两边的距离相等，故A选项正确； 点N不在∠AOB的角平分线上，所以点N到∠AOB两边的距离不相等，故B选项错误； 点P不在∠AOB的角平分线上，所以点P到∠AOB两边的距离不相等，故C选项错误； 点Q不在∠AOB的角平分线上，所以点Q到∠AOB两边的距离不相等，故D选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线性质，关键是看懂图片，掌握平分线性质． 【练习 2】（2025秋•无为市期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为（　　） A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．27cm2 【分析】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，根据角平分线的性质得出OD＝OE，根据三角形面积得出S△BOC：S△AOB＝BC：AB，代入数据即可求解． 【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC， ∴OD＝OE， ∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB， ∵AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【练习 3】（2026春•山亭区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　） A． B．25 C． D．50 【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，根据△ABC的面积是50得AB•OEBC•ODAC•OF＝50，进而得AB+BC+AC，据此即可得出答案． 【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图所示： ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD＝3， ∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3， ∵△ABC的面积是50， ∴S△OAB+S△OBC+S△OAC＝50， ∴AB•OEBC•ODAC•OF＝50， ∴3AB+3BC+3AC＝100， ∴AB+BC+AC， ∴△ABC的周长为． 故选：C． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 性质定理：角平分线上点到两边距离相等 · · 判定定理：到两边距离相等的点在角平分线上 · · 常用辅助线：向两边作垂线 · · 面积法：S=r·周长 · · 内外角平分线夹角=∠A 【作业 1】（2025秋•西宁期末）如图，点E，F分别在△ABC的边BA，BC的延长线上，∠ABC，∠EAC的角平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N．下列结论：①CP平分∠ACF；②；③S△PAC＝S△AMP+S△NCP；④∠EAC+∠FCA＝270°．所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①②③ C．①④ D．③④ 【分析】①过点P作PH⊥AC于点H，根据角平分线性质得PM＝PN＝PH，再根据点P在∠ACF的内部得点P在∠ACF的平分线上，据此可对结论①进行判断； ②依据“HL”判定Rt△AMP和Rt△AHP全等，Rt△NCP和Rt△HCP全等得∠APM＝∠APH，∠CPN＝∠CPH，由此得∠APC＝∠APM+∠CPN，进而得∠MPN＝2∠APC，据此可对结论②进行判断； ③根据Rt△AMP和Rt△AHP全等，Rt△NCP和Rt△HCP全等得S△PAM＝S△PAH，S△NCP＝S△HCP，由此得S△PAC＝S△PAM+S△NCP，据此可对结论③进行判断； ④设∠ABC＝α，则∠BAC+∠BCA＝180°﹣α，∠EAC＝180°﹣∠BAC，∠FCA＝180°﹣∠BCA，由此可得∠EAC+∠FCA＝360°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°+α，进而得当∠ABC＝α＝90°时，∠EAC+∠FCA＝270°，依题意可知∠ABC不一定等于90°，据此可结论④进行判断， 综上所述即可得出答案． 【解答】解：①过点P作PH⊥AC于点H，如图所示： ∵BP是∠ABC的平分线，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM＝PN， ∵AP是∠EAC的平分线，PM⊥BE，PH⊥AC， ∴PM＝PH， ∴PN＝PH， 又∵点P在∠ACF的内部， ∴点P在∠ACF的平分线上， ∴CP平分∠ACF， 故结论①正确； ②∵PM⊥BE，PH⊥AC， ∴△AMP和△AHP都是直角三角形， 在Rt△AMP和Rt△AHP中， ， ∴Rt△AMP≌Rt△AHP（HL）， ∴∠APM＝∠APH， 同理：Rt△NCP≌Rt△HCP（HL）， ∴∠CPN＝∠CPH， ∴∠APC＝∠APH+∠CPH＝∠APM+∠CPN， ∴∠MPN＝∠APC+∠APM+∠CPN＝2∠APC， ∴∠APC∠MPN， 故结论②不正确； ③∵Rt△AMP≌Rt△AHP，Rt△NCP≌Rt△HCP， ∴S△PAM＝S△PAH，S△NCP＝S△HCP， ∴S△PAM+S△NCP＝S△PAH+S△HCP， 又∵S△PAC＝S△PAH+S△HCP， ∴S△PAC＝S△PAM+S△NCP， 故结论③正确； ④设∠ABC＝α， 在△ABC中，∠BAC+∠BCA＝180°﹣α， ∵∠EAC＝180°﹣∠BAC，∠FCA＝180°﹣∠BCA， ∴∠EAC+∠FCA＝360°﹣（∠BAC+∠BCA）＝360°﹣（180°﹣α）＝180°+α， ∴当α＝90°时，∠EAC+∠FCA＝270°， 即当∠ABC＝90°时，∠EAC+∠FCA＝270°， 依题意可知：∠ABC不一定等于90°， ∴∠EAC+∠FCA不一定等于270°， 故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是①③． 故选：A． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【作业 2】（2025秋•广饶县期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PC＝3，即可解答． 【解答】解：由题意，过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC． ∵PC＝3， ∴PE＝3． ∴， 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用角平分线的性质是关键． 【作业 3】（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF；⑤GF+FC＝GA．其中正确的有　①②③④⑤　 ． 【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④⑤进行一一判断，从而求解． 【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴∠PAB∠CAB，∠PBE∠CBE， ∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB；故①正确； 过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S， ∴PM＝PN＝PS， ∴PC平分∠BCD， ∴S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB，故②正确； ∵BE＝BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确； ∵PG∥AD， ∴∠FPC＝∠DCP， ∵PC平分∠DCB， ∴∠DCP＝∠PCF， ∴∠PCF＝∠CPF，故④正确， ∵AD平行PG，AP平分∠BAC， ∴∠DAP＝∠APG， ∴AG＝GP， ∵∠PCF＝∠CPF， ∴CF＝FP，GP＝PF+FG，故⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．综合性强，难度偏大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【作业 4】（2025•碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD＝DC＝3，对角线AC平分∠DAB，且AC⊥BC，则四边形ABCD面积最大值为 　13.5　 ． 【分析】延长AD和BC交于E，过C作CH⊥DE于H，由三角形内角和定理得到∠B＝∠E，推出AB＝AE，由等腰三角形的性质推出BC＝CE，得到△ABC的面积＝△ACE的面积，由余角的性质推出∠E＝∠DCE，得到DC＝DE，因此AD＝DE，得到△ACE的面积＝△ADC面积的2倍，因此四边形ABCD的面积＝△ADC面积的3倍，由CH≤CD＝3，求出△ADC面积的最大值，即可得到四边形ABCD面积最大值． 【解答】解：延长AD和BC交于E，过C作CH⊥DE于H， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB＝∠CAE， ∵AC⊥BC， ∴∠BCA＝∠ACE＝90°， ∴∠B＝∠E， ∴AB＝AE， ∵AC⊥BE， ∴BC＝CE， ∴△ABC的面积＝△ACE的面积， ∵AD＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠E+∠DAC＝∠DCE+∠DCA＝90°， ∴∠E＝∠DCE， ∴DC＝DE， ∵AD＝CD， ∴AD＝DE， ∴△ACE的面积＝△ADC面积的2倍， ∴四边形ABCD的面积＝△ADC面积的3倍， ∵△ADC的面积AD•CH，CH≤CD＝3， ∴△ADC面积的最大值3×3＝4.5， ∴四边形ABCD面积最大值为13.5． 故答案为：13.5． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到四边形ABCD的面积＝△ADC面积的3倍． 【作业 5】（2024春•广饶县期末）课堂上，老师提出问题： 如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？ （1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出作图依据：　角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等　 ． 【分析】（1）作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P； （2）根据（1）中图形证明即可． 【解答】解：（1）如图1，点P为所求； （2）作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P， 连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G． ∵PF⊥ON，PG⊥OM， 且点P在∠MON的平分线上， ∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， 即活动中心P到两条马路的距离相等， ∵点P在线段AB的垂直平分线DE上， ∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）， 即活动中心P到两个小区的距离也相等， ∴点P为所求作的点． 故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键． 【作业 6】（2026春•青羊区校级月考）如图1，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，D是AB边上一点，连接CD交BE于点F，∠ADE＝2∠EBC＝70°，，连接ED． （1）求∠BED的度数； （2）若BM为△BFC的中线，△BFM的面积为a，请用字母a表示△BCE的面积； （3）如图2，过点C作BE的垂线交直线BE于点G，若CG＝5，EF＝2，求△DEF的面积． 【分析】（1）由∠ADE＝2∠EBC＝70°得∠EBC＝35°，再由角平分线定义得∠EBA＝∠EBC＝35°，由此得∠ABC＝∠ADE＝70°，进而得DE∥BC，再根据平行线的性质可得∠BED的度数； （2）由BM为△BFC的中线得S△BCM＝S△BFM＝a，则S△BCF＝2a，设EF＝m，则BF＝3m，根据得S△CEFS△CBF，由此可得△BCE的面积； （3）先求出BF＝6，由三角形面积公式得S△BCF＝15，S△CEF＝5，则S△BCE＝20，设△DEF的面积为x，由得S△DBF＝3S△DEF＝3x，由此得S△BCD＝3x+15，再由DE∥BC得S△BCD＝S△BCE，解3x+15＝20，据此可得△DEF的面积． 【解答】解：（1）∵∠ADE＝2∠EBC＝70°， ∴∠ADE＝70°，∠EBC＝35°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠EBA＝∠EBC＝35°， ∴∠ABC＝∠EBA+∠EBC＝70°， ∴∠ABC＝∠ADE＝70°， ∴DE∥BC， ∴∠BED＝∠EBC＝35°； （2）∵BM为△BFC的中线， ∴CM＝FM， ∴△BCM的边CM上的高与△BFM的边FM上的高相同， ∴S△BCM＝S△BFM， ∵△BFM的面积为a， ∴S△BCM＝S△BFM＝a， ∴S△BCF＝S△BCM+S△BFM＝2a， ∵EFBF， ∴设EF＝m，则BF＝3m， ∵△CEF的边EF上的高与△CBF的边BF上的高相同， ∴， ∴S△CEFS△CBF， ∴S△BCE＝S△BCF+S△CEF； （3）∵EF＝2，EFBF， ∴BF＝3EF＝6， ∵CG＝5，CG⊥BE，垂足为点G， ∴S△BCFBF•CG6×5＝15，S△CEFEF•CG2×5＝5， ∴S△BCE＝S△BCF+S△CEF＝15+5＝20， 设△DEF的面积为x， ∵△DEF的边EF上的高与△DBF的边BF上的高相同， ∴， ∴S△DBF＝3S△DEF＝3x， ∴S△BCD＝S△DBF+S△BCF＝3x+15， 由（1）可知：DE∥BC， ∴△BCD的边BC上的高与△BCE的边BC上的高相同， ∴S△BCD＝S△BCE， ∴3x+15＝20， 解得：x， ∴△DEF的面积是． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，三角形的面积，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形的面积是解决问题的关键． 【作业 7】（2025春•宝应县期中）如图1，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作AB⊥CE的延长线于点B，AD⊥CF的延长线于D． （1）填空：∠EAF的度数　45°　 ； （2）求证：AB＝AD； （3）若BE＝CE＝3，求DF的长； （4）如图2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝12，QH＝4，求HR的长度． 【分析】（1）过A点作AG⊥EF于G，利用角平分线定义求出∠AEB＝∠AEG，∠AFD＝∠AFG，可得△ABE≌△AGE（AAS），△ADF≌△AGF（AAS），得再证明四边形ABCD是矩形．得∠BAD＝90°，得∠EAF＝45°； （2）根据角平分线性质得，AB＝AG，AD＝AG，即得AB＝AD． （3）根据（1）（2）小题结论得四边形ABCD是正方形，得CD＝BC＝6，根据全等三角形得GE＝BE＝3，DF＝GF，设DF＝x，CF＝6﹣x，EF＝3+x，根据EF2＝CE2+CF2，得（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得x＝2，即得DF＝2； （4）把△PQH和△PRH分别沿PQ，PR翻折，得到△PQK和△PRM，延长KQ，MR交于点N，可得四边形PKNM是正方形，得MN＝KN＝12，得QN＝8，RN＝12﹣HR，根据（12﹣HR）2+82＝（4+HR）2，即得HR＝6． 【解答】（1）证明：过A点作AG⊥EF于G， ∴∠AGE＝∠AGF＝90°， 由条件可知∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵EA，FA分别是Rt△CEE两个外角的平分线， ∴∠AEB＝∠AEG，∠AFD＝∠AFG， ∵∠B＝∠AGE＝90°，∠D＝∠AGF＝90°，AE＝AE，AF＝AF， ∴△ABE≌△AGE（AAS），△ADF≌△AGF（AAS）， ∴， ∴； 故答案为：45°； （2）解：过A点作AG⊥EF于G， 由条件可知AB＝AG，AD＝AG， ∴AB＝AD； （3）解：∵BE＝CE＝3， ∴BC＝AE+CE＝6， 由（1）（2）知，四边形ABCD是矩形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形， ∴CD＝BC＝6， ∵△ABE≌△AGE（AAS），△ADF≌△AGF（AAS）， ∴GE＝BE＝3，DF＝GF， 设DF＝x， 则CF＝6﹣x，EF＝3+x， ∵∠C＝90°， ∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2， 解得，x＝2， ∴DF＝2； （4）解：把△PQH和△PRH分别沿PQ，PR翻折，得到△PQK和△PRM，延长KQ，MR交于点N， ∴∠KPQ＝∠HPQ，∠MPR＝∠HPR，PK＝PM＝PH＝12，KQ＝HQ＝4，HR＝MR， ∴∠KPQ+∠HPQ+∠MPR+∠HPR＝∠KPM＝90°＝∠K＝∠M， ∴四边形PKNM是正方形， ∴MN＝KN＝PK＝12， ∴QN＝12﹣4＝8，RN＝12﹣MR＝12﹣HR， ∴Rt△QRN中，（12﹣HR）2+82＝（4+HR）2， ∴HR＝6． 【点评】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握角平分线定义和性质．全等三角形的判定和性质，矩形和正方形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，作辅助线是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 角平分线 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等 · · 掌握角平分线的判定定理：到两边距离相等的点在角平分线上 · · 会用尺规作角平分线 · · 能利用角平分线解决面积、最短路径综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 这里的距离是点到边的垂线段长度 常作辅助线：过角平分线上点向两边作垂线 用于证明线段相等 概念辨析例题：OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD与PE关系？ 解析：角平分线上的点到两边距离相等 ☆ 2.角平分线的判定定理 在角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上 常与性质定理配合使用：先证距离相等，再判定在角平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等 外角平分线也满足判定 概念辨析例题：OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC，OE=OF，则O在哪条线上？ 解析：到角两边距离相等的点在角平分线上 ☆ 3.尺规作角平分线 以顶点为圆心画弧交两边于两点 分别以两交点为圆心，大于半距画弧交于一点 连接顶点与交点即角平分线 原理是SSS证全等 概念辨析例题：尺规作角平分线的原理是？ 解析：由作图痕迹得三边对应相等，SSS全等 ☆ 4.角平分线与面积 角平分线上点到两边距离相等，可作两个三角形的高 三角形面积=二分之一底乘高 内心到三边距离r，面积=半周长乘r 两三角形高相同时，面积比等于底之比 概念辨析例题：BO、CO平分∠B、∠C，OD⊥BC，OD=3，S△ABC=50，求周长 解析：S=r(AB+BC+AC)=50,r=3,周长= 📋 知识总结表 核心概念 内容 注意事项 性质定理 角平分线上点到两边距离相等 距离指垂线段 判定定理 到两边距离相等的点在角平分线上 在角的内部 尺规作图 两弧交点连线 原理SSS 内心 三内角平分线交点 到三边等距 旁心 一内角两外角平分线交点 到三边等距 面积公式 S=r·C r为内切圆半径 常用辅助线 向两边作垂线 构造全等 ⚠️ 核心考点 【考点1】角平分线定理（第1-5题） · · 过角平分线上点向两边作垂线 · · 利用PD=PE转移线段 · · 面积问题用等高三角形 · · 结合中点求面积 1．（2025秋•玉田县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC（不包括端点）上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．下列关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（　　） 嘉嘉说：PD＝PE； 淇淇说：OD＝OE． A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 2．（2024秋•洪山区期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝138°，°，则∠ADB的度数为（　　） A．42° B．48° C．50° D．53° 3．（2025秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ _____ ． 4．（2023秋•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ACB的角平分线与AB交于点D，则S△ACD＝___________________ ． 5．（2025秋•南沙区校级期末）已知△ABC中，D为BC的中点，E为∠BAC的平分线上的点，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于G，BF＝CG，求证：DE⊥BC． 【考点2】尺规作角平分线（第6-10题） · · 识别作图痕迹 · · 由角平分线得DE=DC · · HL证Rt△全等 · · 面积法求线段长 6．（2025春•榆中县期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2024秋•海港区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．DE⊥AB B．AD＝BD C．DE＝DC D．∠BDE＝∠BAC 8．（2025春•榕城区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：BD＝DE； 乙：∠CDE＝∠CAB； 丙：AB+EC＝AC． 下列判断正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．三人说的都对 9．（2026春•博兴县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．若AB+AC＝8，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，则AD的长为多少？ 10．（2025秋•青秀区校级期中）已知：△ABC如图所示． （1）请用尺规作图法，画出∠BAC的平分线AD，交BC于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请用三角板，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（要求：不写作法，标注直角标记）．求证：AE＝AF． 【考点3】角平分线逆定理（第11-14题） · · 证三线共点 · · 内外角平分线夹角模型 · · ∠E=∠A · · 外角平分线+内角平分线 11．（2025秋•斗门区校级期中） 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E，连接AD． （1）求证：AD平分∠MAC； （2）若△ABC周长为20，求BE的长． 12．（2025秋•甘井子区期末）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线BE和一个外角∠ACD的平分线CE相交于点E． （1）若∠A＝m°，则∠E的大小是___________________ °；（用含m的式子表示） （2）如图2，连接AE．求证：AE平分另一个外角∠FAC． 13．（2023秋•二道区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点F，BF与CD的延长线交于点E，连接CE． 求证： （1）△BCE是等腰三角形． （2）若AB＝3，CD＝4，则BC＝_____ ． 14．（2026春•栾城区期末）如图，∠ACE是△ABC的一个外角，BD为∠ABC的平分线，CD在∠ACE的内部，与BD交于点D，∠A＝2∠D． （1）判断CD是否平分∠ACE，并说明理由； （2）如图2，∠ACB的平分线CO交BD于点O，∠D＝48°，求∠DOC的度数． 【考点4】角平分线的应用（第15-17题） · · 到两直线等距=角平分线 · · 到两点等距=垂直平分线 · · 两线交点即所求点 · · 三条公路问题有4处 15．（2025秋•谷城县月考）如图所示，为促进全民健身活动开展，某镇计划在张村与李村之间建一个娱乐健身场所．张村、李村坐落在两条相交的公路内，健身场所到两条公路的距离相等，并且到两村的距离之和最短，请你通过作图确定健身场所的位置． 16．（2026春•城关区校级期末）如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 17．（2025秋•单元）如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路．现要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的位置有几处？请在图中标出来． 【考点5】角平分线与面积边长（第18-23题） · · 面积法求高 · · 比例线段求面积 · · 周长= · · 截长补短证线段相等 18．（2026春•北碚区月考）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积． 19．（2026春•单县期末）如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，AE为边BC上的中线，BF平分∠ABC，交AD于点F． （1）若AD＝4，△ABC的面积为20，求BE的长； （2）若∠C＝25°，∠BFD＝60°，求∠BAC的度数． 20．（2026春•集美区校级期中）在三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AB上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在AC上，连接CD、DE，∠CDE＝45°． （1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：DE⊥AC； （2）如图2，CD是∠BCM的角平分线，连接DM，EM．若DM∥AC，∠MED+∠BCD＝45°，试判断DE与EM的大小关系，并说明理由． 21．（2025秋•任泽区期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 22．（2026春•福田区校级期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC面积为36，BC＝12，DE＝4，求△ABC的周长． 23．（2026春•青羊区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【考点6】创新及压轴题（第24-26题） · · 三角形三内角平分线共点 · · 动点在角平分线上用距离相等 · · 内外角平分线夹角45度模型 · · 折叠问题用对称+全等 24．我们学习了角平分线的性质定理及判定定理，请运用角平分线的性质定理及判定定理完成下列几何问题的证明． 例题 已知：如图所示，AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E． 求证：点O在∠C的平分线上． 证明：过点O作OF⊥AC，垂足为F． ∵AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线（已知）， OE⊥AB，OD⊥BC（已知），OF⊥AC（所作）， ∴OE＝OD，OE＝OF（____________________ ） ∴OD＝OF（等量代换）． ∴点O在∠C的平分线上（____________________ ）． 【研究原图形】 （1）补全例题的证明过程． （2）在例题的图中，分别连接DE，EF，FD，小婷发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系，若∠BAC＝m°，则∠EDF＝____________________ °．（用含m的代数式表示） 【解决新问题】 （3）为了方便研究，小婷同学把满足例题条件的△DEF叫作△ABC的“内三角形”，点O叫作“共心”．已知△DEF是△ABC的“内三角形”，点O是“共心”，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且OE∥BC．先画出符合条件的示意图，再过点E作EG⊥DF于点G，求证：点G在直线AO上． 25．（2024春•皇姑区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，点P从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）AP的长为 _______ ；（用含t的代数式表示） （2）在整个运动中，当△ABP是以∠A为顶角的等腰三角形时，t的值为 __________________ 秒； （3）若点P在∠ABC的角平分线上，直接写出t的值 __________________ 秒． 26．（2024秋•路南区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•宁江区校级期末）如图，在7×9的正方形网格中，到∠AOB两边距离相等的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【练习 2】（2025秋•无为市期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为（　　） A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．27cm2 【练习 3】（2026春•山亭区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　） A． B．25 C． D．50 💯 课后巩固 复习建议 · · 性质定理：角平分线上点到两边距离相等 · · 判定定理：到两边距离相等的点在角平分线上 · · 常用辅助线：向两边作垂线 · · 面积法：S=r·周长 · · 内外角平分线夹角=∠A 【作业 1】（2025秋•西宁期末）如图，点E，F分别在△ABC的边BA，BC的延长线上，∠ABC，∠EAC的角平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N．下列结论：①CP平分∠ACF；②；③S△PAC＝S△AMP+S△NCP；④∠EAC+∠FCA＝270°．所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①②③ C．①④ D．③④ 【作业 2】（2025秋•广饶县期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【作业 3】（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF；⑤GF+FC＝GA．其中正确的有__________ ． 【作业 4】（2025•碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD＝DC＝3，对角线AC平分∠DAB，且AC⊥BC，则四边形ABCD面积最大值为 _________ ． 【作业 5】（2024春•广饶县期末）课堂上，老师提出问题： 如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？ （1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出作图依据：____________________ ． 【作业 6】（2026春•青羊区校级月考）如图1，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，D是AB边上一点，连接CD交BE于点F，∠ADE＝2∠EBC＝70°，，连接ED． （1）求∠BED的度数； （2）若BM为△BFC的中线，△BFM的面积为a，请用字母a表示△BCE的面积； （3）如图2，过点C作BE的垂线交直线BE于点G，若CG＝5，EF＝2，求△DEF的面积． 【作业 7】（2025春•宝应县期中）如图1，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作AB⊥CE的延长线于点B，AD⊥CF的延长线于D． （1）填空：∠EAF的度数________ ； （2）求证：AB＝AD； （3）若BE＝CE＝3，求DF的长； （4）如图2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝12，QH＝4，求HR的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $