第7讲 全等三角形判定与综合 优等生讲义 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

第7讲 全等三角形判定与综合 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握全等三角形的四种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS · · 掌握直角三角形特有的HL判定 · · 能根据已知条件选择合适的判定方法证明三角形全等 · · 能解决一线三垂直、倍长中线、旋转全等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的判定方法 SSS：三边对应相等的两个三角形全等 SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 AAS：两角及其中一角的对边对应相等；HL：直角三角形斜边直角边对应相等 概念辨析例题：已知两边和其中一边对角，能否判定全等？ 解析：SSA不能判定全等，可能画出两个不同三角形（SSA不确定） ☆ 2.判定方法的选择 已知两边：找夹角用SAS，找第三边用SSS 已知一边一角：找另一角用ASA或AAS，找夹边用SAS 已知两角：找夹边用ASA，找对边用AAS 直角三角形优先考虑HL 概念辨析例题：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，证△ABC≌△ADE 解析：由∠BAD=∠CAE得∠BAC=∠DAE，AB=AD,AC=AE，SAS ☆ 3.常见辅助线：倍长中线 遇中线，延长一倍构造全等三角形 倍长中线后，对边平行且相等 可把分散条件集中到一个三角形中 常用于求中线取值范围 概念辨析例题：AB=8,AC=6,D是BC中点，求AD范围 解析：延长AD到E使DE=AD，△ADC≌△EDB，BE=AC=6，在△ABE中2<AE<14 ☆ 4.一线三垂直模型 直角顶点在直线l上，两个直角三角形在l两侧 由同角的余角相等得锐角相等 结合斜边相等，AAS证全等 常用于等腰直角三角形背景 概念辨析例题：∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥AE,CE⊥AE,BD=12,DE=7，求CE 解析：△BDA≌△AEC(AAS)，AD=CE,AE=BD=12，DE=AE-AD=7，CE=5 📋 知识总结表 判定方法 条件 适用 SSS 三边对应相等 已知三边 SAS 两边及夹角 已知两边夹角 ASA 两角及夹边 已知两角夹边 AAS 两角及对边 已知两角一对边 HL 斜边直角边 仅限直角三角形 不能判定 SSA、AAA 不能判定全等 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的判定（第1-14题） · · 根据已知条件选择判定方法 · · 注意SSA不能判定全等 · · 添加条件题：根据已有一边一角补条件 · · 动点问题分类讨论对应关系 1．（2026春•城关区期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 2．（2025秋•祁东县期末）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（2025秋•藁城区期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝6，CA＝8 C．AB＝6，BC＝10，∠B＝60° D．AB＝4，∠A＝60°，∠B＝45° 4．（2026•桑植县一模）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 5．（2025秋•阿克陶县期末）如图△ABC中和△DBC中，∠A＝∠D，添加一个条件，使△ABC≌△DBC，可以添加的条件是 ____________________ ． 6．（2024•浙江模拟）如图，射线AE平分∠DAC，点B在射线AE上，若使△ABD≌△ABC，则需添加的一个条件是 _________________ .（只填一个即可） 7．（2025秋•安庆期末）如图所示，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上面点C向点D运动．当点Q的运动速度为 ____________________ cm/s时，能够使△BPE与△CPQ全等． 8．（2024春•高新区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，D是AB的中点．点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点C向点A运动，它们运动的时间为t（s），设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△DBP与△QCP全等，则x的值为 ____________________ ． 9．（2026•四平二模）已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC，求证：△ACB≌△DFE． 10．（2025春•浦东新区期末）如图，已知AC∥DE，AC＝DE，BD＝FC，说明△ABC≌△EFD．请填写说理过程或理由． 11．（2026•昆明模拟）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AE＝BD．求证：△ABC≌△DEF． 12．（2026•新会区校级模拟）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 13．（2023秋•船营区校级期中）如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，求证：△BDG≌△CEF； （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中4对全等的三角形．（△BDG≌△CEF除外） 14．（2025春•崇明区期中）如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 【考点2】尺规作图（第15-19题） · · 作一个角等于已知角原理是SSS · · 射线无长度，直线不可延长 · · 作图题保留痕迹 · · 中点问题用线段和差计算 15．（2025秋•遵义校级期末）如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，具体步骤如下： ①如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； ②画射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以C′为圆心，CD长为半径画弧，与上一步所画弧交于点D′； ④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 从作图过程中，能判定△COD≌△C′O′D′的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 16．（2025秋•东港市期末）下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．作射线MN＝6cm B．延长直线AB到D C．延长线段AB至C，使AC＝BC D．以点O为圆心，任意长为半径画弧 17．（2026春•环翠区期末）已知：如图，线段a和线段b． （1）尺规作图：求作线段AB＝a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC＝a﹣b；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长（用含a、b的式子表示）． 18．（2025秋•思明区校级期末）已知：如图，已知三点A，B，C，请完成以下问题： （1）尺规作图：画直线AB，射线AC；连接BC，并在BC的延长线上取点E，使得CE＝AB+BC；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝1，BC＝2，点F为CE的中点，求线段BF的长． 19．（2026•望城区校级模拟）如图，点A，B，C是不在一条直线上的三个点，过B，C两点作直线，并连接AB，AC． （1）尺规作图：延长CA至D，使得点A为CD的中点，作射线AB，在射线AB上截取AE＝3AB．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若AB＝AC，CD＝10cm，求BE的长． 【考点3】性质与判定综合（第20-37题） · · 角平分线+到两边距离相等→HL证全等 · · 倍长中线构造全等 · · 一线三垂直模型直接用 · · 先证全等再用性质求边角 20．（2026•大连二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，D是AC上一点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，DE＝DF，连接BD，则∠ABD的度数为（　　） A．40° B．50° C．70° D．80° 21．（2026•高新区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD和CE交于点F，若AB＝7，BE＝3，则DF的长为（　　） A．1 B．12 C．0.8 D．0.6 22．（2026春•平阴县期末）如图，某同学做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 23．（2025秋•上海校级期中）如图，已知∠AOB＝∠FEG＝90°，OE平分∠AOB，点F、G分别在射线OA、射线OB上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（　　） ①EF＝EG； ②OF+OG的值不变； ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变； ④FG长度不变． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．（2026春•罗湖区期末）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，若CE＝12，AE＝7，则线段BE的长是_______ ． 25．（2026秋•同步）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为_______ ． 26．（2025秋•长宁区校级月考）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．如果AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，那么△ABC的周长是 _______ ． 27．（2026春•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的两点，连接BE，CF，且BE∥CF，AE＝13，AF＝7，则DE的长为_____ ． 28．（2026•历城区校级自主招生）已知△ABC的中线BD将AC分为两段，若AB＝6，BC＝8，BD＝5，则AC的长度为_______ ． 29．（2026春•闵行区校级期中）如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝25°，∠B＝40°则∠2的度数为________ ． 30．（2025春•闵行区校级月考）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD，则AD的长度的取值范围是 ____________ ． 31．（2025秋•平安区期末）【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB． 证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（ ________ ）． （2）探究得出AD的取值范围是 ___________ ； 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长． 32．（2026•永州一模）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE． （2）若∠A＝50°，∠ADC＝30°，求∠CDE的度数． 33．（2026•苏州模拟）如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数． 34．（2026春•东平县期末）如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且AD＝BC，点E为△ABC外一点，且AE＝AC，连接DE．当AE∥BC时，判断AB与DE的数量关系，并说明理由． 35．（2026•张店区二模）如图，已知AB∥DE，点A、C、D在同一条直线上，∠BAE＝∠BAD+∠B，且AE＝BC． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若ED＝5，CD＝6，求线段AB的长． 36．（2025秋•衡阳县期末）如图①，在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠BCD； （3）如图②，若AF是△ABC的边BC上的高，已知AF＝2，求四边形ABCD的面积． 37．（2025秋•永吉县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证： （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． 【考点4】创新及压轴题（第38-43题） · · 中点+平行构造全等（倍长中线） · · 旋转问题找旋转角相等 · · 等腰直角三角形常用一线三垂直 · · 新定义题先读懂定义再套用 38．（2025秋•武都区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝5，AD＝3时，求AB的长． 39．（2024秋•长寿区期末）（1）问题提出：如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB＝AC，若另有一个以AD、AE为腰的等腰△AED且∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD． （2）尝试应用：如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB＝AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点N、M，BD与AC交于K，若∠M＝60°，∠BAC＝90°，求证：MC+NB＝2AM． （3）问题拓展：如图3，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA＝∠BEA＝60°，AE，BD交于点H，等边△ABF的边AF与BC相交于G点．若CE＝6，AH＝4，请直接写出BE的长度． 40．（2025春•宽城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；在点P出发的同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，直线l经过点C，且A、B两点在直线l的上方，分别过P、Q两点作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F．设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示CP的长； （2）当P、Q两点相遇时，求t的值； （3）当△PEC与△CFQ全等时，求t的值； （4）当P、Q两点的连线将△ABC的周长分成2：3两部分时，直接写出t的值． 41．（2026春•通川区校级期末）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： （1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 _______ ； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论． 42．（2025春•虹口区期末）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． （1）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上且线段BD＞DC，请判断：点D是否为△ABC的费马点，并说明理由． （2）现有真命题：在△ABC中，三个内角都小于120°，在其内部存在一点P，满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，则点P称为△ABC的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于120°的△ABC，分别以线段AB、AC为边向外侧作等边三角形ABD和等边三角形ACE，联结CD、BE交于点P．请完成证明： ①求证：∠ADC＝∠ABE； ②在线段DP上取点F使PF＝BP，联结BF，求证：点P是△ABC的费马点． 43．（2026春•泰和县期末）在四边形ABCE中． （1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ABC＝90°，∠AEC＝90°，则线段BC、CE的长度满足的数量关系是 __________ ；（直接填答案） （2）如图（2），C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，说明线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系； （3）如图（3），C是BD边的中点，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？ 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•乌拉特前旗期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【练习 2】（2026春•奉贤区期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于E，AD＝3，DE＝7，则BE＝_____ ． 【练习 3】（2025秋•厦门校级月考）如图，已知点C，D都在线段BF上，BD＝CF，AC∥DE，∠A＝∠E．求证：AB∥EF． 💯 课后巩固 复习建议 · · 四种判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL · · SSA不能判定全等 · · 倍长中线构造全等是常用辅助线 · · 一线三垂直模型：同角余角相等+AAS · · 证完全等后别忘了用性质求边角 【作业 1】（2026春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15cm，BC＝6cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以3cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 ________ s时，CF＝AB． 【作业 2】（2026春•南宁校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝120°，M、N分别是AB、BC上的点，且∠MDN＝60°，则图中线段AM、MN、CN之间的数量关系为 _____________ ． 【作业 3】（2025春•惠来县期末）如图，已知AD∥BC，且AD＝BC，E、F是BD上两点，且BE＝DF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠CBD＝35°，∠BCF＝95°，求∠AEB的度数． 【作业 4】（2025春•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，点E为AC边上任意一点（不与A、C重合），连接BE交AD于点F．求证：BF＞EF． 【作业 5】（2026•韩城市一模）如图，AD是△ABC的中线，∠ACB的平分线CF交AD于点F，延长AD至点E，连接BE，∠ACB＝2∠DBE．求证：BE＝CF． 【作业 6】（2026春•榆树市月考）如图，在多边形ABCDE中，BC⊥CD，BF⊥AE于点F，且BF＝BC，∠CBF＝2∠DBE，∠ABF＝∠CBD． （1）求证：AB＝DB； （2）若DE＝4，BF＝3，求△BDE的面积． 【作业 7】（2025秋•庐江县期中）在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，AD，BE相交于点F，AE＝BE． （1）求证：EF＝EC； （2）连接DE，若DE平分∠ADC，当EC+CD＝AD时，求∠EBC的度数． 【作业 8】（2025秋•贵州校级期末）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作理解：小明用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图①﹣④所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_______ ；（填序号） （2）性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图1，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线．求证：AC平分∠DCB； （3）拓展应用：如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，分别在边BC、AC上取点M、N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，则∠AMN的大小为_______________ 度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 全等三角形判定与综合 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握全等三角形的四种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS · · 掌握直角三角形特有的HL判定 · · 能根据已知条件选择合适的判定方法证明三角形全等 · · 能解决一线三垂直、倍长中线、旋转全等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的判定方法 SSS：三边对应相等的两个三角形全等 SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 AAS：两角及其中一角的对边对应相等；HL：直角三角形斜边直角边对应相等 概念辨析例题：已知两边和其中一边对角，能否判定全等？ 解析：SSA不能判定全等，可能画出两个不同三角形（SSA不确定） ☆ 2.判定方法的选择 已知两边：找夹角用SAS，找第三边用SSS 已知一边一角：找另一角用ASA或AAS，找夹边用SAS 已知两角：找夹边用ASA，找对边用AAS 直角三角形优先考虑HL 概念辨析例题：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，证△ABC≌△ADE 解析：由∠BAD=∠CAE得∠BAC=∠DAE，AB=AD,AC=AE，SAS ☆ 3.常见辅助线：倍长中线 遇中线，延长一倍构造全等三角形 倍长中线后，对边平行且相等 可把分散条件集中到一个三角形中 常用于求中线取值范围 概念辨析例题：AB=8,AC=6,D是BC中点，求AD范围 解析：延长AD到E使DE=AD，△ADC≌△EDB，BE=AC=6，在△ABE中2<AE<14 ☆ 4.一线三垂直模型 直角顶点在直线l上，两个直角三角形在l两侧 由同角的余角相等得锐角相等 结合斜边相等，AAS证全等 常用于等腰直角三角形背景 概念辨析例题：∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥AE,CE⊥AE,BD=12,DE=7，求CE 解析：△BDA≌△AEC(AAS)，AD=CE,AE=BD=12，DE=AE-AD=7，CE=5 📋 知识总结表 判定方法 条件 适用 SSS 三边对应相等 已知三边 SAS 两边及夹角 已知两边夹角 ASA 两角及夹边 已知两角夹边 AAS 两角及对边 已知两角一对边 HL 斜边直角边 仅限直角三角形 不能判定 SSA、AAA 不能判定全等 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的判定（第1-14题） · · 根据已知条件选择判定方法 · · 注意SSA不能判定全等 · · 添加条件题：根据已有一边一角补条件 · · 动点问题分类讨论对应关系 1．（2026春•城关区期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】解：如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是ASA， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 2．（2025秋•祁东县期末）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】由BF⊥AE于点F，得∠AFB＝90°，而AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAF＝45°，可判断①正确；由AD⊥BC于点D，得∠ADE＝90°，则∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB，即可根据“ASA”证明△AFG≌△BFE，可判断②正确；根据全等三角形的性质得出AG＝BE，EF＝GF，所以AG+CE＝BE+CE＝BC，由∠GAF＝∠CAE，得∠EBF＝∠CAE，推导出∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB，则BC＝AC，所以AG+CE＝AC，可判断③正确；得出BG+2GF＝AE，即可判断④． 【解答】解：∵BF⊥AE于点F， ∴∠AFB＝90°， ∵AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF＝45°， 故①正确； ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠AFG＝∠BFE＝∠ADE＝90°， ∴∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB， 在△AFG和△BFE中， ∴△AFG≌△BFE（ASA）， 故②正确； ∴AG＝BE， ∴AG+CE＝BE+CE＝BC， ∵AE平分∠CAD交BC于点E， ∴∠GAF＝∠CAE， ∴∠EBF＝∠CAE， ∴∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB， ∴BC＝AC， ∴AG+CE＝AC， 故③正确； ∵BG+2GF＝BG+GF+GF＝BF+EF＝AF+EF＝AE，又AE＜AC＝BC， ∴BC＞BG+2GF，故④正确． 综上，正确结论的序号为①②③④． 故选：D． 【点评】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（2025秋•藁城区期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝6，CA＝8 C．AB＝6，BC＝10，∠B＝60° D．AB＝4，∠A＝60°，∠B＝45° 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解． 【解答】解：根据全等三角形的判定定理逐一判断， A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的△ABC，所以该选项错误，符合题意； B．可根据SSS，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； C．可根据SAS，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； D．可根据ASA，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 4．（2026•桑植县一模）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【分析】根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解． 【解答】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF， ∴△ACD≌△BEF（SSS）， ∴∠MBN＝∠PAQ， 故选：B． 【点评】此题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，正确理解题中的作图是解题的关键． 5．（2025秋•阿克陶县期末）如图△ABC中和△DBC中，∠A＝∠D，添加一个条件，使△ABC≌△DBC，可以添加的条件是 　∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB ． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形添加条件即可． 【解答】解：∵∠A＝∠D，BC＝BC， ∴由全等三角形的判定定理得， 添加∠ABC＝∠DBC，根据AAS得到△ABC≌△DBC； 添加∠ACB＝∠DCB，根据AAS得到△ABC≌△DBC， 综上所述，可以添加的条件是∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB． 故答案为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键． 6．（2024•浙江模拟）如图，射线AE平分∠DAC，点B在射线AE上，若使△ABD≌△ABC，则需添加的一个条件是 AD＝AC（答案不唯一）　 .（只填一个即可） 【分析】根据三角形全等的判定条件即可解决问题． 【解答】解：∵射线AE平分∠DAC， ∴∠DAB＝∠CAB． 又∵AB＝AB， ∴当添加AD＝AC时，可根据SAS得出△ABD≌△ABC． 故答案为：AD＝AC（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的条件是解题的关键． 7．（2025秋•安庆期末）如图所示，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上面点C向点D运动．当点Q的运动速度为 　3cm/s或cm/s cm/s时，能够使△BPE与△CPQ全等． 【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP＝3tcm，CQ＝vtcm，CP＝（8﹣3t）cm，求出BE＝6cm，根据全等三角形的判定得出当BE＝CP，BP＝CQ或BE＝CQ，BP＝CP时，△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可． 【解答】解：设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP＝3tcm，CQ＝vtcm，CP＝（8﹣3t）cm， ∵E为AB的中点，AB＝12cm， ∴BE＝AE＝6cm， ∵∠B＝∠C， ∴要使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE＝CP，BP＝CQ或BE＝CQ，BP＝CP， 当BE＝CP，BP＝CQ时，6＝8﹣3t，3t＝vt， 解得：t，v＝3，即点Q的运动速度是3cm/s， 当BE＝CQ，BP＝CP时，6＝vt，3t＝8﹣3t， 解得：t，v，即点Q的运动速度是cm/s， 综合上述，当点Q的运动速度为3cm/s或cm/s时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 故答案为：3cm/s或cm/s． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 8．（2024春•高新区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，D是AB的中点．点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点C向点A运动，它们运动的时间为t（s），设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△DBP与△QCP全等，则x的值为 　2或　 ． 【分析】用t表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论即可． 【解答】解：∵AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，点D为AB的中点， ∴BD10＝5cm， 设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t（cm）， PC＝（6﹣2t）cm， ①当BD＝PC时， 6﹣2t＝5， 解得：t， 则BP＝CQ＝2t＝1cm， 故点Q的运动速度为：12（cm/s）； ②当BP＝PC时， ∵BC＝6cm， ∴BP＝PC＝3cm， ∴t＝3÷2（s）， 故点Q的运动速度为5（cm/s）； 故答案为：2或． 【点评】本题考查全等三角形的对应边相等的性质，根据对应角分情况讨论是本题的关键． 9．（2026•四平二模）已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC，求证：△ACB≌△DFE． 【分析】由点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，推导出AB＝DE，而∠A＝∠EDF，∠ABC＝∠E，即可根据“ASA”证明△ACB≌△DFE． 【解答】证明：∵点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE， ∴AD+BD＝BE+BD， ∴AB＝DE， 在△ACB和△DFE中， ， ∴△ACB≌△DFE（ASA）． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定，推导出AB＝DE，并且适当选择全等三角形的判定定理证明△ACB≌△DFE是解题的关键． 10．（2025春•浦东新区期末）如图，已知AC∥DE，AC＝DE，BD＝FC，说明△ABC≌△EFD．请填写说理过程或理由． 【分析】根据平行线的性质、线段的和差求出∠ACB＝∠EDF，BC＝FD，利用SAS证明△ABC≌△EFD即可． 【解答】解析：∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠EDF， ∵BD＝FC， ∴BF﹣BD＝BF﹣FC， 即BC＝FD， 在△ABC与△EFD中， ， ∴△ABC≌△EFD（SAS）． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 11．（2026•昆明模拟）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AE＝BD．求证：△ABC≌△DEF． 【分析】根据“SSS”直接证明全等即可． 【解答】解：∵点A、B、E、D在同一条直线上，AE＝BD， ∴AE﹣BE＝BD﹣BE， ∵AB＝AE﹣BE，DE＝BD﹣BE， ∴AB＝DE． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 12．（2026•新会区校级模拟）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 【分析】根据∠BAD＝∠CAE可得∠BAC＝∠DAE，再根据SAS即可证明． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过∠BAD＝∠CAE得出∠BAC＝∠DAE． 13．（2023秋•船营区校级期中）如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，求证：△BDG≌△CEF； （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中4对全等的三角形．（△BDG≌△CEF除外） 【分析】（1）根据垂直定义得∠DGB＝∠EFC＝90°，根据BF＝CG得BG＝CF，进而可依据“SAS”判定△BDG和△CEF全等； （2）①△BEC≌△CDB，先由（1）的结论得BD＝CE，EF＝DG，进而可依据“SAS”判定△BEC和△CDB全等；②△EOB≌△DOC，先由△BEC≌△CDB得BE＝CD，∠EBC＝∠DCB，再证明OB＝OC，∠EBO＝∠DCO，进而可依据“SAS”判定△EOB和△DOC全等；③△ADB≌△AEC，根据∠A＝∠A，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，可依据“AAS”判定△ADB和△AEC全等；④△BEF和△CDG，先根据垂直定义得∠BFE＝∠CGD＝90°，再根据EF＝DG，BF＝CG，可依据“SAS”判定△BEF和△CDG全等，综上所述即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵DG⊥BC于G，EF⊥BC于F， ∴∠DGB＝∠EFC＝90°， 又∵BF＝CG， ∴BF+FG＝CG+FG， ∴BG＝CF， 在△BDG和△CEF中， ， ∴△BDG≌△CEF（ASA）； （2）解：①△BEC≌△CDB，证明如下： 由（1）可知：△BDG≌△CEF， ∴BD＝CE，EF＝DG， 在△BEC和△CDB中， ， ∴△BEC≌△CDB（SAS）， ②△EOB≌△DOC，证明如下： 由①可知：△BEC≌△CDB， ∴BE＝CD，∠EBC＝∠DCB， 又∵∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC，∠EBC﹣∠OBC＝∠DCB﹣∠OCB， ∴∠EBO＝∠DCO， 在△EOB和△DOC中， ， ∴△EOB≌△DOC（SAS）， ③△ADB≌△AEC，证明如下： 在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（AAS）， ④△BEF和△CDG，证明如下： ∵DG⊥BC于G，EF⊥BC于F， ∴∠BFE＝∠CGD＝90°， 在△BEF和△CDG中， ， ∴△BEF≌△CDG（SAS）， 图中4对全等的三角形，分别为：①△BEC≌△CDB，②△EOB≌△DOC，③△ADB≌△AEC，④△BEF和△CDG． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的性质是解决问题的关键． 14．（2025春•崇明区期中）如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 【分析】（1）当t＝1时，依题意得AP＝BQ＝3cm，AC＝BP＝7cm，∠A＝∠B＝90°，由此可依据“SAS”判定△ACP与△BPQ全等；由全等三角形的性质得∠C＝∠BPQ，再根据∠C+∠APC＝90°得∠BPQ+∠APC＝90°，进而得∠CPQ＝90°，由此可得出线段PC和线段PQ的位置关系； （2）依题意得AP＝3tcm，BQ＝xtcm，BP＝（10﹣3t）cm，∠CAB＝∠DBA，由此得有以下两种情况：①当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ，由AP＝BQ得3t＝xt，解得x＝3，由AC＝BP得7＝10﹣3t，解得t＝1，②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP，由AP＝BP得3t＝10﹣3t，解得t，由AC＝BQ得7＝xt，进而得x，综上所述即可得出x的值． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等；线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3cm/s，且运动的时间t＝1s， ∴AP＝3cm，BQ＝3cm， ∴AP＝BQ＝3cm， ∵AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝7cm， 又∵AC＝7cm， ∴AC＝BP＝7cm， ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 在△ACP与△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， 在Rt△APC中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）依题意得：AP＝3tcm，BQ＝xtcm， ∵AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣3t）cm， 又∵AC＝7cm，∠CAB＝∠DBA， ①当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ， 由AP＝BQ，得：3t＝xt， 解得：x＝3， 由AC＝BP，得：7＝10﹣3t， 解得：t＝1， ②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP， 由AP＝BP，得：3t＝10﹣3t， 解得：t， 由AC＝BQ，得：7＝xt， ∴， 解得：x， 综上所述：x的值是3或cm/s． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 【考点2】尺规作图（第15-19题） · · 作一个角等于已知角原理是SSS · · 射线无长度，直线不可延长 · · 作图题保留痕迹 · · 中点问题用线段和差计算 15．（2025秋•遵义校级期末）如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，具体步骤如下： ①如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； ②画射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以C′为圆心，CD长为半径画弧，与上一步所画弧交于点D′； ④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 从作图过程中，能判定△COD≌△C′O′D′的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【分析】由作图可知OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，然后问题可求解． 【解答】解：由作图可知： ， ∴△COD≌△C′O′D′（SSS）； 故选：D． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 16．（2025秋•东港市期末）下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．作射线MN＝6cm B．延长直线AB到D C．延长线段AB至C，使AC＝BC D．以点O为圆心，任意长为半径画弧 【分析】结合射线、直线、线段的定义逐项判断即可． 【解答】解：射线没有长度， 故A选项说法不正确，不符合题意； 直线可以向两端无限延伸，而延长直线AB的说法不对， 故B选项说法不正确，不符合题意； 延长线段AB至C，此时AC＞BC， 故C选项说法不正确，不符合题意； 以点O为圆心，任意长为半径画弧，说法正确， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查作图—尺规作图的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．（2026春•环翠区期末）已知：如图，线段a和线段b． （1）尺规作图：求作线段AB＝a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC＝a﹣b；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长（用含a、b的式子表示）． 【分析】（1）在射线AF上截取AP＝b，在射线PF上截取PB＝a，则AB＝a+b，在射线AE上截取AQ＝a，在线段QA上截取QC＝b，则AC＝a﹣b； （2）根据线段中点的性质得出，即可求解． 【解答】解：（1）在射线AF上截取AP＝b，在射线PF上截取PB＝a，则AB＝a+b， 在射线AE上截取AQ＝a，在线段QA上截取QC＝b，则AC＝a﹣b； 如图所示，AB，AC即为所求； （2）∵AB＝a+b，AC＝a﹣b，M、N分别是AB、AC的中点， ∴，， ∴． 【点评】本题考查了作线段等于已知线段，线段的和差，线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 18．（2025秋•思明区校级期末）已知：如图，已知三点A，B，C，请完成以下问题： （1）尺规作图：画直线AB，射线AC；连接BC，并在BC的延长线上取点E，使得CE＝AB+BC；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝1，BC＝2，点F为CE的中点，求线段BF的长． 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先计算出CE＝3，再根据线段中点的定义计算出CF，然后计算BC+CF即可． 【解答】解：（1）如图，直线AB，射线AC和点E为所作； （2）∵AB＝1，BC＝2， ∴CE＝1+2＝3， ∵点F为CE的中点， ∴CFCE， ∴BF＝BC+CF＝2． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了直线、射线、线段和两点之间的距离． 19．（2026•望城区校级模拟）如图，点A，B，C是不在一条直线上的三个点，过B，C两点作直线，并连接AB，AC． （1）尺规作图：延长CA至D，使得点A为CD的中点，作射线AB，在射线AB上截取AE＝3AB．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若AB＝AC，CD＝10cm，求BE的长． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据线段中点的定义得到AC＝ADCD＝5cm，得到AB＝5cm，根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，点D，射线AB，线段AE即为所求； （2）∵A为CD的中点， ∴AC＝ADCD＝5cm， ∵AB＝AC， ∴AB＝AC＝5cm， ∵AE＝3AB， ∴AE＝3×5＝15（cm）， ∴BE＝AE﹣AB＝15﹣5＝10（cm）． 【点评】本题考查了作图﹣尺规作图的定义，直线，射线，线段，正确地作出图形是解题的关键． 【考点3】性质与判定综合（第20-37题） · · 角平分线+到两边距离相等→HL证全等 · · 倍长中线构造全等 · · 一线三垂直模型直接用 · · 先证全等再用性质求边角 20．（2026•大连二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，D是AC上一点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，DE＝DF，连接BD，则∠ABD的度数为（　　） A．40° B．50° C．70° D．80° 【分析】利用HL证明Rt△BDE≌Rt△BDF，再根据全等三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴△BDE和△BDF是直角三角形， 在Rt△BDE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝80°， ∴∠ABD＝40°， 故选：A． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 21．（2026•高新区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD和CE交于点F，若AB＝7，BE＝3，则DF的长为（　　） A．1 B．12 C．0.8 D．0.6 【分析】由“ASA”可证△AEF≌△CEB，可得EB＝EF＝3，由三角形的面积公式可求解． 【解答】解：如图，连接BF， ∵∠BAC＝45°，CE⊥AB， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AE＝CE， ∵AB＝7，BE＝3， ∴AE＝4＝CE， ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠BEC＝∠ADB＝90°， ∴∠B+∠BAD＝90°＝∠B+∠BCE， ∴∠BAD＝∠BCE， ∴△AEF≌△CEB（ASA）， ∴EB＝EF＝3， ∴CF＝1， ∵BE＝3，CE＝4， ∴BC5， ∵S△BCFCF•BEBC•DF， ∴1×3＝5DF， ∴DF＝0.6， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22．（2026春•平阴县期末）如图，某同学做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解． 【解答】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AE是∠PRQ的平分线， ∴过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，此角平分仪的画图原理是SSS． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． 23．（2025秋•上海校级期中）如图，已知∠AOB＝∠FEG＝90°，OE平分∠AOB，点F、G分别在射线OA、射线OB上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（　　） ①EF＝EG； ②OF+OG的值不变； ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变； ④FG长度不变． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】过点E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，根据角平分线的性质得出EM＝EN，根据ASA证明△EMF≌△ENG，得出EF＝EG，MF＝NG，即可判断①；根据AAS证明△EMO≌△ENO，得出OM＝ON，即可判断②；根据全等三角形的性质得出S△EMF＝S△ENG，S△EMO＝S△ENO，即可判断③；根据勾股定理即可判断④． 【解答】解：过点E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N， ∵OE平分∠AOB， ∴EM＝EN， ∵∠AOB＝90°，EM⊥OA，EN⊥OB， ∴∠MEN＝90°， 又∠FEG＝90°， ∴∠MEN＝∠FEG， ∴∠MEF＝∠NEG， 在△EMF和△ENG中， ， ∴△EMF≌△ENG（ASA）， ∴EF＝EG，MF＝NG， 故①正确； ∵OE平分∠AOB， ∴∠EOM＝∠EON， 又∠EMO＝∠ENO＝90°，OE＝OE， ∴△EMO≌△ENO（AAS）， ∴OM＝ON， 又∵MF＝NG， ∴OF+OG＝OM﹣MF+ON+NG＝2ON， ∴OF+OG的值不变， 故②正确； ∵△EMF≌△ENG，△EMO≌△ENO， ∴S△EMF＝S△ENG，S△EMO＝S△ENO， ∴S四边形OFGE＝S△OEF+S△OEG＝S△OME﹣S△MEF+S△OEN+S△GEN＝2S△OME， ∴以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变， 故③正确； 根据勾股定理，得 ， ∵OF随点F的位置变化而变化， ∴FG长度改变， 故④错误， 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 24．（2026春•罗湖区期末）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，若CE＝12，AE＝7，则线段BE的长是　26　 ． 【分析】延长AD至G使DG＝AD，连接BG．利用SAS证得△BDG≌△CDA，从而得出BG＝AC＝19 且∠G＝∠CAD．由已知AE＝EF得∠CAD＝∠AFE，结合对顶角相等及全等结论，推导出∠G＝∠BFG．由等角对等边得BF＝BG＝19，最后根据BE＝BF+EF计算得出BE＝26． 【解答】解：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG． 由于AD是中线， 故BD＝DC． 在△BDG与△CDA中， ， 由SAS得△BDG≌△CDA， 因此：BG＝AC＝AE+CE＝7+12＝19， ∠G＝∠CAD， 已知AE＝EF＝7， 故∠EAF＝∠EFA． 又∠EFA＝∠BFG（对顶角）， 所以∠G＝∠BFG， 从而△BFG为等腰三角形， 得BF＝BG＝19.4． 计算BE长度：BE＝BF+EF＝19+7＝26， 故答案为：26． 【点评】题目考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 25．（2026秋•同步）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为　16　 ． 【分析】设正方形DEFG的边DG、正方形IKPQ的边PK及正方形EHIJ的顶点H都在直线l上，则∠EDH＝∠EHI＝∠HKI＝90°，EH＝HI，推导出∠DEH＝∠KHI，可根据“AAS”证明△DEH≌△KHI，得DE＝KH，因为正方形A，C的面积分别为5和11，所以DE2＝KH2＝5，IK2＝11，则HI2＝KH2+IK2＝16，所以正方形B的面积为16，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，∵四边形DEFG、四边形EHIJ、四边形IKPQ都是正方形， ∴∠EDG＝∠EHI＝∠IKP＝90°，EH＝HI， ∵正方形DEFG的边DG、正方形IKPQ的边PK及正方形EHIJ的顶点H都在直线l上， ∴∠EDH＝∠HKI＝90°， ∵∠DEH+∠DHE＝90°，∠KHI+∠DHE＝90°， ∴∠DEH＝∠KHI， 在△DEH和△KHI中， ， ∴△DEH≌△KHI（AAS）， ∴DE＝KH， ∵正方形A，C的面积分别为5和11， ∴DE2＝KH2＝5，IK2＝11， ∴HI2＝KH2+IK2＝5+11＝16， ∴正方形B的面积为16， 故答案为：16． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确理解和应用全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识是解题的关键． 26．（2025秋•长宁区校级月考）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．如果AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，那么△ABC的周长是 　32　 ． 【分析】根据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，结合角平分线的定义可推得∠B＝∠C，根据等角对等边得出AB＝AC，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明△AEF≌△CFG，根据全等三角形的性质得出CG的长，然后可求得BC的长，即可解答． 【解答】解：∵AE∥BC， ∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠CAE， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC＝10， ∵F是AC的中点， ∴AF＝CF， ∵AE∥BC， ∴∠C＝∠CAE， 在△AFE和△CFG中， ， ∴△AFE≌△CFG（ASA）， ∴AE＝GC＝8， ∵GC＝2BG， ∴BG＝4， ∴BC＝BG+GC＝8+4＝12， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 27．（2026春•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的两点，连接BE，CF，且BE∥CF，AE＝13，AF＝7，则DE的长为　3　 ． 【分析】因为△ABC中，AD是BC边上的中线，所以BD＝CD，由AE＝13，AF＝7，求得EF＝AE﹣AF＝6，由BE∥CF，得∠E＝∠CFD，而∠BDE＝∠CDF，可根据“AAS”证明△BED≌△CFD，得DE＝DFEF＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵点F在线段AE上，AE＝13，AF＝7， ∴EF＝AE﹣AF＝6， ∵BE∥CF， ∴∠E＝∠CFD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DFEF＝3， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AED≌△CFD是解题的关键． 28．（2026•历城区校级自主招生）已知△ABC的中线BD将AC分为两段，若AB＝6，BC＝8，BD＝5，则AC的长度为　10　 ． 【分析】延长BD到点E，使ED＝BD，连接CE，因为BD＝5，所以BE＝2BD＝10，由BD是△ABC的中线，得CD＝AD，而∠CDE＝∠ADB，可根据“SAS”证明△CED≌△ABD，得∠DCE＝∠A，CE＝AB＝6，则CE∥AB，因为BC＝8，所以CE2+BC2＝BE2＝100，则△BCE是直角三角形，且∠BCE＝90°，所以∠ABC＝180°﹣∠BCE＝90°，求得AC10，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长BD到点E，使ED＝BD，连接CE， ∵BD＝5， ∴BE＝2BD＝10， ∵BD是△ABC的中线， ∴CD＝AD， 在△CED和△ABD中， ， ∴△CED≌△ABD（SAS）， ∴∠DCE＝∠A，CE＝AB＝6， ∴CE∥AB， ∵BC＝8， ∴CE2+BC2＝62+82＝100， ∵BE2＝102＝100， ∴CE2+BC2＝BE2， ∴△BCE是直角三角形，且∠BCE＝90°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BCE＝90°， ∴AC10， 故答案为：10． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 29．（2026春•闵行区校级期中）如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝25°，∠B＝40°则∠2的度数为　25°　 ． 【分析】先利用SSS证明两个三角形全等，得到对应角相等，推导出∠DAB与∠1相等；再设交点，借助对顶角相等与三角形内角和定理，消去相等的∠D和∠B，证得∠2等于∠DAB，求出角度． 【解答】解：在△ABC 与△ADE 中， ， ∴△ABC≌△ADE（SSS）， ∴∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B， ∵∠BAC＝∠1+∠BAE，∠DAE＝∠DAB+∠BAE， ∴∠DAB＝∠1＝25°， 设AB与DE 相交于点 O， 在△AOD中， ∠D+∠DAB+∠AOD＝180°， 在△BOE 中，∠B+∠2+∠BOE＝180°， ∵∠AOD＝∠BOE， ∴∠D+∠DAB＝∠B+∠2， ∵∠D＝∠B， ∴∠2＝∠DAB＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 30．（2025春•闵行区校级月考）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD，则AD的长度的取值范围是 　7＜AD＜13　 ． 【分析】延长AC至E，使CE＝AC，证明△ACB≌△ECD，根据全等三角形的性质得到ED＝AB＝3，再根据三角形的三边关系计算即可． 【解答】解：如图，延长AC至E，使CE＝AC， 在△ACB和△ECD中， ， ∴△ACB≌△ECD（SAS）， ∴ED＝AB＝3， ∵AC＝5， ∴AE＝10， 在△AED中，AE﹣DE＜AD＜AE+AD，即10﹣3＜AD＜10+3， ∴7＜AD＜13， 故答案为：7＜AD＜13． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 31．（2025秋•平安区期末）【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB． 证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（ SAS ）． （2）探究得出AD的取值范围是 　1＜AD＜7　 ； 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长． 【分析】（1）根据对顶角相等可得理由，再结合三角形的判定方法可得答案； （2）根据全等三角形的性质可得AC＝BE＝6，再结合三角形的三边关系可得答案； （3）延长AD交EC于点F，证明△ABD≌△FCD，根据全等性质得CF＝BA，AD＝DF，利用∠ADE＝90°，结合线段的垂直平分线的性质即可求得答案． 【解答】证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（SAS）； （2）由题意可得：AC＝BE＝6， ∴8﹣6＜AE＜8+6， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7． （3）延长AD交EC于点F，如图： ∵∠B＝90°，CE⊥BC， ∴∠ABC＝∠DCF 在△ABD和△FCD中． ∴△ABD≌△FCD（ASA）， ∴CF＝BA＝3，AD＝DF， ∴AE＝FE， ∴AE＝CE+CF＝9． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是作辅助线． 32．（2026•永州一模）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE． （2）若∠A＝50°，∠ADC＝30°，求∠CDE的度数． 【分析】（1）由AD∥BE，得∠A＝∠B，而AC＝BE，AD＝BC，即可根据“SAS”证明△ADC≌△BCE，则∠ADC＝∠BCE； （2）由∠A＝50°，∠ADC＝30°，求得∠BCD＝∠A+∠ADC＝80°，由全等三角形的性质得CD＝EC，∠ADC＝∠BCE＝30°，则∠CDE＝∠CED，∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝110°，由2∠CDE+110°＝180°，求得∠CDE＝35°． 【解答】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中， ， ∴△ADC≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BCE． （2）解：∵∠A＝50°，∠ADC＝30°， ∴∠BCD＝∠A+∠ADC＝80°， 由（1）得△ADC≌△BCE， ∴CD＝EC，∠ADC＝∠BCE＝30°， ∴∠CDE＝∠CED，∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝110°， ∵∠CDE+∠CED+∠DCE＝180°， ∴2∠CDE+110°＝180°， ∴∠CDE＝35°， ∴∠CDE的度数是35°． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明△ADC≌△BCE是解题的关键． 33．（2026•苏州模拟）如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数． 【分析】（1）由SAS可证△ABC≌△ADE； （2）由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠B，由等腰三角形的性质可求∠ADB＝∠B＝80°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC与△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠BAD＝20°，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B＝80°， ∴∠ADE＝80°， ∴∠CDF＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 34．（2026春•东平县期末）如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且AD＝BC，点E为△ABC外一点，且AE＝AC，连接DE．当AE∥BC时，判断AB与DE的数量关系，并说明理由． 【分析】根据AE∥BC得∠DAE＝∠C，进而可依据“SAS”判定△ADE和△ABC全等，再根据全等三角形的性质即可得出AB与DE的数量关系． 【解答】解：AB与DE的数量关系是：AB＝DE，理由如下： ∵AE∥BC， ∴∠DAE＝∠C， 在△ADE和△ABC中， ， △ADE≌△ABC（SAS）， ∴DE＝AB， 即AB＝DE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． 35．（2026•张店区二模）如图，已知AB∥DE，点A、C、D在同一条直线上，∠BAE＝∠BAD+∠B，且AE＝BC． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若ED＝5，CD＝6，求线段AB的长． 【分析】（1）根据平行线的性质及角的等量代换．即可证明△ABC≌△DAE（AAS）． （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠BAC＝∠D， ∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠B， ∴∠DAE＝∠B， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（AAS）． （2）解：由（1）得△ABC≌△DAE， ∴AC＝DE，AB＝AD， ∵ED＝5， ∴AC＝5， ∵点A、C、D在同一条直线上， ∴AD＝AC+CD， ∵CD＝6． ∴AD＝5+6＝11， ∴AB＝11， 答：线段AB的长为11． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 36．（2025秋•衡阳县期末）如图①，在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠BCD； （3）如图②，若AF是△ABC的边BC上的高，已知AF＝2，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据三角形的判定定理ASA即可证得． （2）通过三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠E＝∠ACD即可证得； （3）过点A作AM⊥CE，垂足为点M，由题意易得AF＝AM＝2，然后可得M为CE的中点，则有CM＝AM＝ME＝2，进而根据割补法可求解面积． 【解答】（1）证明：∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ADE＝∠ABC， 在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）； （2）证明：由（1）知：△ABC≌△ADE， ∴∠BCA＝∠E，AC＝AE， ∴∠ACD＝∠E， ∴∠BCA＝∠E＝∠ACD， ∴CA平分∠BCD； （3）解：如图②，AF是△ABC的边BC上的高，AF＝2，∠BCA＝∠ACD，过点A作AM⊥CE，垂足为点M． ∴AF＝AM＝2， ∵∠BAC＝∠DAE，DA⊥AB， ∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∵AM⊥CE，AC＝AE， ∴M为CE的中点． ∴CM＝AM＝ME＝2． ∴CE＝4． 又由（1）知△ABC≌△ADE， ∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 37．（2025秋•永吉县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证： （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． 【分析】（1）由SAS可证△ADE≌△FCE，可得FC＝AD； （2）由全等三角形的性质可得AE＝EF，由SAS可证△AEB≌△FEB，可得AB＝BF，即可求解． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD； （2）由（1）知：△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， 又∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△AEB和△FEB中， ， ∴△AEB≌△FEB（SAS）， ∴AB＝BF， ∴AB＝BF＝BC+CF， ∵AD＝FC， ∴BC＝AB﹣AD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△AEB≌△FEB是解答本题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第38-43题） · · 中点+平行构造全等（倍长中线） · · 旋转问题找旋转角相等 · · 等腰直角三角形常用一线三垂直 · · 新定义题先读懂定义再套用 38．（2025秋•武都区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝5，AD＝3时，求AB的长． 【分析】（1）根据AD∥BC得∠C＝∠EDF，∠EBC＝∠F，再根据点E为CD的中点得CE＝DE，由此可依据“AAS”判定△BCE和△FDE全等； （2）根据△BCE和△FDE全等得BC＝DF，BE＝FE，进而得AF＝AD+BC＝8，AE是BF的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出AB的长． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠C＝∠EDF，∠EBC＝∠F， ∵点E为CD的中点， ∴CE＝DE， 在△BCE和△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（AAS）； （2）解：由（1）可知：△BCE≌△FDE， ∴BC＝DF，BE＝FE， ∴AF＝AD+DF＝AD+BC， ∵BC＝5，AD＝3， ∴AF＝AD+BC＝8， ∵AE⊥BF，BE＝FE， ∴AE是BF的垂直平分线， ∴AB＝AF＝8． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 39．（2024秋•长寿区期末）（1）问题提出：如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB＝AC，若另有一个以AD、AE为腰的等腰△AED且∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD． （2）尝试应用：如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB＝AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点N、M，BD与AC交于K，若∠M＝60°，∠BAC＝90°，求证：MC+NB＝2AM． （3）问题拓展：如图3，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA＝∠BEA＝60°，AE，BD交于点H，等边△ABF的边AF与BC相交于G点．若CE＝6，AH＝4，请直接写出BE的长度． 【分析】（1）首先证明∠BAE＝∠CAD，即可解决问题； （2）延长MC至G，使CG＝BN，连接AG，证明△ABN≌△ACG（SAS），得∠BAN＝∠CAG，然后证明∠MAG＝90°，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题； （3）过A作AM⊥BC于M，连接EF，证明△ACE≌△AFE（SAS），得CE＝EF＝6，∠AEC＝∠AEF，证明△BEH≌△BEF（ASA），得EH＝EF＝6，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵△AED是以AD、AE为腰的等腰三角形， ∴AE＝AD， ∵∠BAC＝∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）证明：延长MC至G，使CG＝BN，连接AG，如图2， ∵∠BAK＝90°＝∠CDK，∠AKB＝∠DKC， ∴∠ABK＝∠DCK， ∴∠ABN＝∠ACG， 在△ABN和△ACG中， ， ∴△ABN≌△ACG（SAS）， ∴∠BAN＝∠CAG， ∵∠CAG+∠BAG＝90°， ∴∠BAN+∠BAG＝90°， ∴∠NAG＝90°， ∴∠MAG＝90°， ∵∠M＝60°， ∴∠G＝90°﹣60°＝30°， ∴MG＝2AM， ∵MG＝MC+CG＝MC+NB， ∴MC+NB＝2AM； （3）解：BE的长度为16，理由如下： 如图3，过A作AM⊥BC于M，连接EF． ∵△ABF为等边三角形， ∴BF＝AF＝AB＝AC，∠AFB＝∠ABF＝60°＝∠BDA＝∠BEA， ∵∠AHD＝∠BHE， ∴∠DBE＝∠CAE， ∵∠AGE＝∠BGF， ∴∠4＝∠1， ∵∠AEB＝60°＝∠C+∠2，∠ABF＝60°＝∠ABC+∠4， ∴∠C+∠CAE＝∠ABC+∠FBE， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠2＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 在△ACE和△AFE中， ， ∴△ACE≌△AFE（SAS）， ∴CE＝EF＝6，∠AEC＝∠AEF， ∵∠AEB＝60°， ∴∠AEC＝∠AEF＝120°， ∴∠BEF＝∠AEF﹣∠AEB＝60°＝∠AEB， ∵∠3＝∠4，BE＝BE， ∴△BEH≌△BEF（ASA）， ∴EH＝EF＝6， ∴AE＝AH+EH＝4+6＝10， ∵AM⊥BC，∠AEM＝60°， ∴∠MAE＝30°， ∴EMAE＝5， ∴CM＝EM+CE＝6+5＝11， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝11， ∴BE＝BM+EM＝11+5＝16． 【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABN≌△ACG． 40．（2025春•宽城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；在点P出发的同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，直线l经过点C，且A、B两点在直线l的上方，分别过P、Q两点作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F．设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示CP的长； （2）当P、Q两点相遇时，求t的值； （3）当△PEC与△CFQ全等时，求t的值； （4）当P、Q两点的连线将△ABC的周长分成2：3两部分时，直接写出t的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，列代数式即可； （2）相遇时，则走的路程和为AC+BC，据此列方程求解； （3）分三种情况讨论，当点P在AC上，点Q在BC上时，可证明∠EPC＝∠FCQ，则PC＝CQ时，△PCE≌△CQF；当点P在AC上，点Q在AC上时，当点P，Q重合时，△PCE≌△QCF，则CP＝CQ；当点P在BC上时，点Q到终点与点A重合，△PCE≌△CQF，分别列出关于t的一元一次方程求解； （4）由于当P、Q两点的连线将△ABC的周长分成2：3两部分时，即其中一部分周长是另一部分周长的或，点Q运动到点A用时点P运动到点B用时14s，当点P，Q分别在AC，BC上时，则，或；当点A，Q重合，点P在BC上时，则（AC+CP）或再得到关于t的一元一次方程求解． 【解答】解：（1）由题意得，当点P在AC上时，CP＝6﹣t； 当点P在BC上时，CP＝t﹣6； （2）由题意，得t+3t＝6+8， 解得， ∴当P，Q两点相遇时，t的值为； （3）当Q点运动到点C时，； 当Q点运动到点A时，； 当点P在AC上，点Q在BC上时，如图： ∵∠ACB＝90°， ∴∠PCE+∠QCF＝90°， ∵PE⊥l，QF⊥l， ∴∠PEC＝∠CFQ＝90°． ∴∠EPC+∠PCE＝90°． ∴∠EPC＝∠FCQ． 当PC＝CQ时，△PCE≌△CQF． ∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1． 当点P在AC上，点Q在AC上时，当点P，Q重合时，△PCE≌△QCF． ∴CP＝CQ．即3t﹣8＝6﹣t，解得； 当点P在BC上时，点Q到终点与点A重合，△PCE≌△CQF． ∴PC＝QC＝6．即t﹣6＝6，解得t＝12． 综上，当△PEC与△QFC全等时，t的值为1或或12； （4）∵当P、Q两点的连线将△ABC的周长分成2：3两部分时， ∴其中一部分周长是另一部分周长的或点Q运动到点A用时，点P运动到点B用时14s， 当点P，Q分别在AC，BC上时，如图： 则，或， ∴，或， 解得：（舍），或； 当点A，Q重合，点P在BC上时，如图： 则或， ∴或， 解得：（舍）或， 综上：当P、Q两点的连线将△ABC的周长分成2：3两部分时，t的值为或． 【点评】本题考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，全等三角形的判定与性质，正确理解题意，运用分类讨论思想求解是解题的关键． 41．（2026春•通川区校级期末）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： （1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 　30　 ； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论． 【分析】（1）证明△AEC和△BDA全等得AE＝BD，进而得AD+BD＝AD+AE＝DE，由此即可得出AD、BD、DE之间的数量关系； （2）证明△BDA和△AEC全等得BD＝AE，AD＝CD，再根据BD＝12，DE＝7得BD＝AE＝12，EC＝5，再根据三角形的面积公式即可得出△ACE的面积； （3）在CA上截取CF＝CE，连接EF，证明△CDF是等腰直角三角形得∠AFE＝135°，证明△AFE和△EBD全等得∠AFD＝∠EBD＝135°，进而得∠ABD＝90°，由此即可得出线段AB与线段BD的位置关系． 【解答】解：（1）AD、BD、DE之间的数量关系是：AD+BD＝DE，证明如下： 如图1所示： ∵△ABC是直角三角形，且AC＝AB， ∴∠BAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵△ADB和△ACE都是直角三角形，且直角顶点都在直线l上， ∴∠AEC＝∠BDA＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△AEC和△BDA中， ， ∴△AEC≌△BDA（AAS）， ∴AE＝BD， ∴AD+BD＝AD+AE＝DE； （2）如图2所示： 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠1+∠2＝90°， ∵BD⊥AE，CE⊥AE， ∴∠BDA＝∠E＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝∠1， 在△BDA和△AEC中， ， ∴△BDA≌△AEC（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵DE＝AE﹣AD＝BD﹣EC， ∵BD＝12，DE＝7， ∴BD＝AE＝12，7＝12﹣EC， ∴EC＝12﹣7＝5， ∴△ACE的面积为：CE•AE5×12＝30， 故答案为：30； （3）线段AB与线段BD的位置关系是：AB⊥BD，证明如下： 在CA上截取CF＝CE，连接EF，如图3所示： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°， ∴AC＝BC，∠ABC＝45°，AE＝DE，∠1+∠AEC＝90°，∠2+∠AEC＝90°， ∴∠1＝∠2， ∵CF＝CE，∠ACB＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠3＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣∠3＝135°， ∵AC﹣CF＝BC﹣CE， ∴AF＝EB， 在△AFE和△EBD中， ， ∴△AFE≌△EBD（SAS）， ∴∠AFE＝∠EBD＝135°， ∴∠ABD＝∠EBD﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°， ∴AB⊥BD． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 42．（2025春•虹口区期末）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． （1）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上且线段BD＞DC，请判断：点D是否为△ABC的费马点，并说明理由． （2）现有真命题：在△ABC中，三个内角都小于120°，在其内部存在一点P，满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，则点P称为△ABC的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于120°的△ABC，分别以线段AB、AC为边向外侧作等边三角形ABD和等边三角形ACE，联结CD、BE交于点P．请完成证明： ①求证：∠ADC＝∠ABE； ②在线段DP上取点F使PF＝BP，联结BF，求证：点P是△ABC的费马点． 【分析】（1）作AE⊥BC于点E，连接AD，得到BE＝CE，推出E、D不重合，得到AD＞AE，于是得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到∠DAB＝∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠ABE； ②如图，在线段DP上取点F使PF＝BP，联结BF，AP，由①知∠ABD＝∠ADB＝60°，∠ADP＝∠ABP得到∠BPC＝∠PDB+∠PBD＝60﹣∠ADP+60+∠ABP＝120°，推出△PBF是等边三角形，根据全等三角形的性质得到∠APB＝∠DFB＝120°，于是得到结论． 【解答】解：（1）结论：点D不是费马点， 理由：作AE⊥BC于点E，连接AD， ∴BE＝CE， ∵BD＞DC， ∴E、D不重合， 在△ADE中，∠ADE＜∠AED＝90°， ∴AD＞AE， ∴点E到各顶点的距离之和＝BC+AE＜BC+DA＝点D到各顶点的距离之和， ∴点D是否为△ABC的费马点； （2）证明：①∵△ABD、△ABE是等边三角形， ∴∠DAB＝∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABE， ②如图，在线段DP上取点F使PF＝BP，联结BF，AP， 由①知∠ABD＝∠ADB＝60°，∠ADP＝∠ABP ∴∠BPC＝∠PDB+∠PBD＝60﹣∠ADP+60+∠ABP＝120°， ∴∠BPD＝60°， 又∵PF＝PB， ∴△PBF是等边三角形， ∵BF＝BP，∠FBP＝∠DBA＝60°， ∴∠DBF＝∠FBP， ∴△DFB≌△ABP（SAS）， ∴∠APB＝∠DFB＝120°， 由∠APB+∠APC+∠BPC＝360°，得∠APC＝120°， ∴点P是△ABC的费马点． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地理解费马点的含义是解题的关键． 43．（2026春•泰和县期末）在四边形ABCE中． （1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ABC＝90°，∠AEC＝90°，则线段BC、CE的长度满足的数量关系是 BC＝CE ；（直接填答案） （2）如图（2），C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，说明线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系； （3）如图（3），C是BD边的中点，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？ 【分析】（1）根据AC平分∠BAE得∠BAC＝∠EAC，进而依据“AAS”判定△ABC和△AEC全等，再根据全等三角形性质即可得出线段BC、CE的长度满足的数量关系； （2）连接AE，在AE上截取AE＝AB，连接CE，先证明△AEC和△ABC全等得∠ECA＝∠BCA，FC＝BC，再证明∠ECF＝∠DCE，BC＝DC＝FC，进而依据“SAS”判定△ECF和△DCE全等得FE＝DE，由此可得出线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系； （3）连接AE，在AE上截取AP＝AB，EH＝DE，连接CP，CH，先证明△PAC和△BAC全等得∠PCA＝∠BCA，PC＝BC，再证明△HEC和△DEC全等得∠HCE＝∠DCE，HC＝DC，然后证明PC＝HC，∠PCH＝60°得△PCH是等边三角形，进而得PH＝PC＝BC＝1/2BD，由此即可得出线段AB、BD、DE、AE的长度满足的数量关系． 【解答】解：（1）线段BC、CE的长度满足的数量关系是：BC＝CE，理由如下： ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠EAC， 在△ABC和△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴BC＝CE； （2）线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系是：AE＝AB+DE，理由如下： 连接AE，在AE上截取AE＝AB，连接CE，如图（2）所示： ∵C平分∠BAE， ∴∠EAC＝∠BAC， 在△AFC和△ABC中， ， ∴△AFC≌△ABC（SAS）， ∴∠FCA＝∠BCA，FC＝BC， ∵∠ACE＝90°， ∴∠FCA+∠ECF＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°， ∴∠ECF＝∠DCE， ∵点C是BD的中点， ∴BC＝DC， 又∵FC＝BC， ∴FC＝DC， 在△ECF和△DCE中， ， ∴△ECF≌△DCE（SAS）， ∴FE＝DE， ∴AE＝AF+FE＝AB+DE； （3）线段AB、BD、DE、AE的长度满足的数量关系是：ABBD+DE＝AE，理由如下： 连接AE，在AE上截取AP＝AB，EH＝DE，连接CP，CH，如图（3）所示： ∵AC平分∠BAE， ∴∠PAC＝∠BAC， 在△PAC和△BAC中， ， ∴△PAC≌△BAC（SAS）， ∴∠PCA＝∠BCA，PC＝BC， 同理证明：△HEC≌△DEC（SAS）， ∴∠HCE＝∠DCE，HC＝DC， ∵∠ACE＝120°， ∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣∠ACE＝60°， ∴∠PCA+∠HCE＝∠BCA+∠DCE＝60°， ∴∠PCH＝∠ACE﹣（∠PCA+∠HCE）＝60°， ∵点C是BD边的中点， ∴BC＝DCBD， 又∵PC＝BC，HC＝DC， ∴PC＝HC， ∴△PCH是等边三角形， ∴PH＝PC＝BCBD， ∴AE＝AP+PH+HE＝ABBD+DE， 即ABBD+DE＝AE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•乌拉特前旗期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【分析】证明△OBD≌△COE（AAS），得OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m，即可解决问题． 【解答】解：∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝90°， 由题意可知，OB＝CO，DA＝1m，BD⊥OA，CE⊥OA， ∵∠BDO＝∠OEC＝90°， ∴∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠COE＝∠OBD， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m， ∴AE＝OA﹣OE＝OD+DA﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m）， 即小丽距离地面的高度是1.4m， 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【练习 2】（2026春•奉贤区期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于E，AD＝3，DE＝7，则BE＝　4　 ． 【分析】首先证明∠ADC＝∠BEC＝90°，∠DAC＝∠BCE，利用“AAS”证明△ADC≌△CEB即可；由全等三角形的性质可得AD＝CE＝3，CD＝BE，再结合DE＝7求解即可． 【解答】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE＝3，CD＝BE， ∵DC+CE＝DE， ∴BE＝CD＝DE﹣CE＝7﹣3＝4； 故答案为：4； 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•厦门校级月考）如图，已知点C，D都在线段BF上，BD＝CF，AC∥DE，∠A＝∠E．求证：AB∥EF． 【分析】证明△ACB≌△FDE（AAS），得∠B＝∠F，再根据平行线的判定即可解决问题． 【解答】证明：∵BD＝CF， ∴BD+CD＝CF+CD， ∴BC＝FD， ∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠FDE， 在△ACB和△FDE中， ， ∴△ACB≌△FDE（AAS）， ∴∠B＝∠F， ∴AB∥EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACB≌△FDE． 💯 课后巩固 复习建议 · · 四种判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL · · SSA不能判定全等 · · 倍长中线构造全等是常用辅助线 · · 一线三垂直模型：同角余角相等+AAS · · 证完全等后别忘了用性质求边角 【作业 1】（2026春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15cm，BC＝6cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以3cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　7或3　 s时，CF＝AB． 【分析】设点E运动的时间为ts，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线BC方向运动，可证明△CFE≌△ABC，则CE＝AC＝15cm，而BC＝6cm，且BE＝BC+CE，所以3t＝6+15，求得t＝7；二是点E从点B出发沿射线CB方向运动，可证明△CFE≌△ABC，则CE＝AC＝15cm，此时BE＝CE﹣BC，所以3t＝15﹣6，求得t＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：设点E运动的时间为ts， 如图1，点E从点B出发沿射线BC方向运动， ∵CD为AB边上的高， ∴CD⊥AB， ∵∠ACB＝90°，EF⊥BC， ∴∠CEF＝∠ACB＝∠BDC＝90°， ∴∠FCE＝∠BCD＝90°﹣∠ABC＝∠A， 在△CFE和△ABC中， ， ∴△CFE≌△ABC（AAS）， ∴CE＝AC＝15cm， ∵BC＝6cm，且BE＝BC+CE， ∴3t＝6+15， 解得t＝7； 如图2，点E从点B出发沿射线CB方向运动，则∠CEF＝∠ACB＝90°，∠FCE＝∠A＝90°﹣∠ABC， 在△CFE和△ABC中， ， ∴△CFE≌△ABC（AAS）， ∴CE＝AC＝15cm， ∵BC＝6cm，且BE＝CE﹣BC， ∴3t＝15﹣6， 解得t＝3， 综上所述，当点E运动7s或3s时，CF＝AB， 故答案为：7或3． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明△CFE≌△ABC是解题的关键． 【作业 2】（2026春•南宁校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝120°，M、N分别是AB、BC上的点，且∠MDN＝60°，则图中线段AM、MN、CN之间的数量关系为 MN＝AM+CN ． 【分析】延长BA至点E，使得AE＝CN，连接DE，先证出Rt△ADE≌Rt△CDN，根据全等三角形的性质可得DE＝DN，∠ADE＝∠CDN，从而可得∠MDE＝∠MDN＝60°，再证出△MDE≌△MDN，根据全等三角形的性质可得ME＝MN，由此即可得． 【解答】解：在四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝120°，M、N分别是AB、BC上的点，且∠MDN＝60°，如图，延长BA至点E，使得AE＝CN，连接DE， ∴∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠C＝90°， 在Rt△ADE和Rt△CDN中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDN（SAS）， ∴DE＝DN，∠ADE＝∠CDN， ∵∠ADC＝120°，∠MDN＝60°， ∴∠ADM+∠CDN＝60°， ∴∠ADM+∠ADE＝60°，即∠MDE＝60°， 在△MDE和△MDN中， ， ∴△MDE≌△MDN（SAS）， ∴ME＝MN， 又∵ME＝AM+AE＝AM+CN， ∴MN＝AM+CN， 故答案为：MN＝AM+CN． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【作业 3】（2025春•惠来县期末）如图，已知AD∥BC，且AD＝BC，E、F是BD上两点，且BE＝DF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠CBD＝35°，∠BCF＝95°，求∠AEB的度数． 【分析】（1）由AD∥BC，得∠ADE＝∠CBF，由BE＝DF推导出BF＝DE，而AD＝CB，即可根据“SAS”证明△ADE≌△CBF； （2）由∠CBD＝35°，∠BCF＝95°，根据三角形内角和定理求得∠CFB＝50°，由全等三角形的性质得∠AED＝∠CFB＝50°，则∠AEB＝130°． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，E、F是BD上两点， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF＝DE， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）解：∵∠CBD＝35°，∠BCF＝95°， ∴∠CFB＝180°﹣∠CBD﹣∠BCF＝50°， 由（1）得△ADE≌△CBF， ∴∠AED＝∠CFB＝50°， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝130°， ∴∠AEB的度数是130°． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠ADE＝∠CBF，BF＝DE，进而证明△ADE≌△CBF是解题的关键． 【作业 4】（2025春•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，点E为AC边上任意一点（不与A、C重合），连接BE交AD于点F．求证：BF＞EF． 【分析】在AB上截取AM＝AE，连接MF．因为AD平分∠BAC，则∠MAF＝∠EAF．利用SAS证明MAF≌△EAF，则MF＝EF，∠AMF＝∠AEF．推出∠BMF＝∠BEC．因为∠BEC＞∠ABE，则∠BMF＞∠ABE．所以BF＞MF．则BF＞EF． 【解答】解：在AB上截取AM＝AE，连接MF． ∵AD平分∠BAC， ∴∠MAF＝∠EAF． 在△MAF和△EAF中． ， ∴△MAF≌△EAF（SAS）． ∴MF＝EF，∠AMF＝∠AEF． ∴∠BMF＝∠BEC． ∵∠BEC＞∠ABE， ∴∠BMF＞∠ABE． ∴BF＞MF． ∴BF＞EF． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 5】（2026•韩城市一模）如图，AD是△ABC的中线，∠ACB的平分线CF交AD于点F，延长AD至点E，连接BE，∠ACB＝2∠DBE．求证：BE＝CF． 【分析】根据∠ACB＝2∠DBE以及角平分线的定义得到∠DBE＝∠DCF，再由AD是△ABC的中线得到BD＝CD，最后证明△DBE≌△DCF即可得出结论． 【解答】证明：∵CF是∠ACB的平分线， ∴2∠DCF＝∠ACB， 又∵∠ACB＝2∠DBE， ∴∠DBE＝∠DCF， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△DBE和△DCF中， ， ∴△DCF≌△DBE（ASA）， ∴BE＝CF． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 6】（2026春•榆树市月考）如图，在多边形ABCDE中，BC⊥CD，BF⊥AE于点F，且BF＝BC，∠CBF＝2∠DBE，∠ABF＝∠CBD． （1）求证：AB＝DB； （2）若DE＝4，BF＝3，求△BDE的面积． 【分析】（1）根据BC⊥CD，BF⊥AE得∠AFB＝∠C＝90°，据此可依据“AAS”判定△BFA和△BCD全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）先根据∠CBF＝2∠DBE得∠CBD+∠FBE＝∠DBE，再根据∠ABF＝∠CBD可得∠ABE＝∠DBE，结合（1）的结论可依据“SAS”判定△ABE和△DBE全等，根据全等三角形的性质得S△ABE＝S△DBE，AE＝DE＝4，由此可得S△ABEAE•BF＝6，进而可得△DBE的面积． 【解答】（1）证明：∵BC⊥CD，BF⊥AE， ∴∠AFB＝∠C＝90°， 在△BFA和△BCD中， ∠AFB＝∠C＝90°，∠ABF＝∠CBD，BF＝BC， ∴△BFA≌△BCD（AAS）， ∴AB＝BD， （2）解：∵∠CBF＝2∠DBE， ∴∠CBD+∠DBF+∠FBE＝2∠DBE， 即∠CBD+∠FBE＝∠DBE， ∵∠ABF＝∠CBD， ∴∠ABF+∠FBE＝∠DBE， 即∠ABE＝∠DBE， 在△ABE和△DBE中， AB＝BD，∠ABE＝∠DBE，BE＝BE， ∴△ABE≌△DBE（SAS）， ∴S△ABE＝S△DBE，AE＝DE， ∵DE＝4，BF＝3， ∴AE＝DE＝4， ∴S△ABEAE•BF4×3＝6， ∴S△DBE＝6． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等、面积相等是解决问题的关键． 【作业 7】（2025秋•庐江县期中）在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，AD，BE相交于点F，AE＝BE． （1）求证：EF＝EC； （2）连接DE，若DE平分∠ADC，当EC+CD＝AD时，求∠EBC的度数． 【分析】（1）依题意得∠AEF＝∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，则∠EAF+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，由此得∠EAF＝∠EBC，进而可依据“ASA”判定△AEF和△BEC全等，再根据全等三角形性质即可得出结论； （2）在AD上截取HD＝CD，连接EH，则AD＝AH+CD＝EC+CD，由此得AH＝EC，证明△DEH和△DEC全等得EH＝EC＝AH，∠DHE＝∠C，进而得∠EAF＝∠HEA，根据三角形外角性质得∠DHE＝∠EAF+∠HEA＝2∠EAF＝∠C＝2∠EAF，再根据∠EAF＝∠EBC得∠C＝2∠EBC，在Rt△BEC中，根据∠C+∠EBC＝90°可得∠EBC的度数． 【解答】（1）证明：在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高， ∴∠AEF＝∠BEC＝90°，∠ADC＝90°， ∴△ADC和△BEC都是直角三角形， ∴∠EAF+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°， ∴∠EAF＝∠EBC， 在△AEF和△BEC中， ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）， ∴EF＝EC； （2）解：在AD上截取HD＝CD，连接EH，如图所示： ∴AD＝AH+HD＝AH+CD， ∵EC+CD＝AD， ∴AH+CD＝EC+CD， ∴AH＝EC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠HDE＝∠CDE， 在△DEH和△DEC中， ， ∴△DEH≌△DEC（SAS）， ∴EH＝EC，∠DHE＝∠C， ∴AH＝EH， ∴∠EAF＝∠HEA， ∵∠DHE是△HAE的外角， ∴∠DHE＝∠EAF+∠HEA＝2∠EAF， ∴∠C＝2∠EAF， ∵∠EAF＝∠EBC， ∴∠C＝2∠EBC， 在Rt△BEC中，∠C+∠EBC＝90°， ∴2∠EBC+∠EBC＝90°， ∴∠EBC＝30°， 即∠EBC的度数为30°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【作业 8】（2025秋•贵州校级期末）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作理解：小明用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图①﹣④所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　②④　 ；（填序号） （2）性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图1，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线．求证：AC平分∠DCB； （3）拓展应用：如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，分别在边BC、AC上取点M、N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，则∠AMN的大小为　85°或65°或45　 度． 【分析】（1）根据“邻等对补四边形”定义判定即可； （2）延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE，证明△ABE≌△ADC（SAS），得∠E＝∠ACD，AE＝AC，进而证明∠ACD＝∠ACB即可； （3）分四种情况讨论：①当AB＝BM时，②当AN＝AB时，③当BM＝MN时，④当AN＝MN时，分别求出∠AMN的大小即可． 【解答】（1）解：①和③中对角不互补；②④符合邻等对补四边形的定义， 故答案为：②④； （2）证明：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE， ∵四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠D， ∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠E＝∠ACD，AE＝AC， ∴∠E＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB， ∴AC平分∠DCB； （3）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝50°， ∵四边形ABMN是邻等对补四边形， ①当AB＝BM时，∠BAM＝45°， 如图2.1， ∴∠MAN＝50°﹣45°＝5°， ∵MN⊥AC， ∴∠ANM＝90°， ∴∠AMN＝90°﹣5°＝85°； ②当AN＝AB时，如图2.2， ∵MN⊥AC，MB⊥AB，AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL）， ∴BM＝MN，∠BAM＝∠NAM＝25°， ∴∠AMN＝90°﹣25°＝65°； ③当BM＝MN时，如图2.2，同②∠AMN＝65°； ④当AN＝MN时，如图2.3， ∵MN⊥AC， ∴∠AMN＝45°； 综上所述：∠AMN的大小为85°或65°或45°． 故答案为：85°或65°或45． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解新定义． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $