第四章 数列（复习讲义）数学人教A版2019选择性必修第二册

第四章 数列（复习讲义） 1、数列概念 通过日常生活和数学中的实例, 了解数列的概念和表示方法 (列表、图象、通项公式), 了解数列是一种特殊函数。 2、等差数列 ①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等差数列的前 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 ④体会等差数列与一元一次函数的关系。 3、等比数列 ①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等比数列的前 项和公式,理解等比数列的通项公式与前 项和公式的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。 ④体会等比数列与指数函数的关系。 知识点01数列的概念 概念 含义 数列 按照　确定的顺序　排列的一列数 数列的项 数列中的　每一个数　 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与　序号n　之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝　a1＋a2＋…＋an　 知识点02数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是　序号n　，对应的函数值是　数列的第n项an　，记为an＝f（n）. 知识点03等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从　第2项　起，每一项与它的前一项的　差　都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的　公差　，公差通常用字母d表示，符号表示为　an＋1－an＝d　（n∈N*，d为常数）. 知识点04等差数列的有关公式 （1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型，即an＝pn＋q，其中p为公差； （2）前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数模型，且没有常数项，即Sn＝An2＋Bn. 知识点05等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）； （2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an； （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列； （4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为　m2d　. 知识点06等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于　同一个　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　公比　，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为＝　q　（n∈N*）； （2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 知识点07等比数列的有关公式 （1）通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m； （2）前n项和公式： Sn＝ 知识点08等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和： （1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝　am·an　； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为　qm　； （3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为　qn　. 知识点09数列求和的常用方法 （1）公式法：①等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋； ②等比数列{an}的前n项和Sn＝ （2）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减； （3）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解； （4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和； （5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法； （6）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 题型一 数列中的递推关系 【例1】已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 【答案】D 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 【变式1-1】设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，则可将化为，结合等差数列定义可得是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用计算即可得. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：D. 【变式1-2】已知数列满足，，则下列判断正确的是（    ） A．，使得 B．，使得 C． D．，使得数列的最小值为 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式得，利用反证法推理判断B；求出数列通项公式，确定的范围判断A；确定数列单调性判断CD. 【详解】由，得， 对于B，假定，使得，而，则，， 于是，与矛盾，因此假定是错的，即，B错误； ，，而，， 数列是首项为，公比为2的等比数列，则 ，因此，， 对于A，，则，对，A错误； 对于CD，，而函数是减函数，又， 则，即，，因此数列是递增数列， ，且是数列的最小项，C正确，D错误. 故选：C 【变式1-3】已知数列中，，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为，构造等比数列后由基本量法求出通项公式. 【详解】因为，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 故选：D. 题型二 数列的单调性 【例2】已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. 【变式2-1】已知数列的通项公式为，则数列的最小项是 ． 【答案】 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性，进而可求解. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在 上都单调递减， 所以最小项为，即. 故答案为：. 【变式2-2】在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出. 【详解】由，得，即， 而，则，即，， 由数列为递增数列，得任意的恒成立， 则，得， 即恒成立， 当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为，则， 当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-3】数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意列不等式即可求解. 【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 题型三 等差数列基本量的计算 【例3】记等差数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设数列的公差为，利用等差数列的项的性质与基本量运算先求出公差，再求即可. 【详解】设数列的公差为，由可得，即. 因为，，所以，则. 故选：B. 【变式3-1】已知正项等差数列的公差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式列方程，即可得解. 【详解】由已知数列为等差数列， 且， 即， 化简可得， 即， 故选：B. 【变式3-2】等差数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式，结合已知条件，构造关于和的方程，解方程求出． 【详解】设等差数列首项为，公差为， 则，， ，，化简整理得①， ，②， 联立①②得，代入②得，解得． 故答案为：． 【变式3-3】等差数列中，，则该数列的公差为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 题型四 等差数列的性质 【例4】已知等差数列 满足 ，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由等差数列下标和性质即可求解. 【详解】已知等差数列，则， 可得， 故选：B． 【变式4-1】设等差数列的前n项的和为，若，，则（ ） A． B． C．当时，取最大值 D．数列是递减数列 【答案】ACD 【分析】根据等差数列性质可得，.对于A：根据通项公式可得，；对于B：根据等差数列性质可得，即可判断；对于C：分析数列的符号性，进而判断的最值；对于D：整理可得，结合数列单调性的定义分析判断. 【详解】因为，，则， 对于选项A：可得公差，，故A正确； 对于选项B：可得，故B错误； 对于选项C：因为等差数列为递减数列， 当时，；当时，； 所以当时，取最大值，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以数列是递减数列，故D正确； 故选：ACD. 【变式4-2】已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 【答案】AB 【分析】借助与的关系及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差后利用等差数列求和公式计算即可得B；利用等差数列性质及等差数列求和公式计算可得C、D. 【详解】对A：，故，故A正确； 对B：，故的公差为， 故， 则，故B正确； 对C：由，故，当时，，当时，， 故当或时，最大，故C错误； 对D：当时，，当时，， 又，故， 则当时，，当时，， 故满足的最大整数为，故D错误. 故选：AB. 【变式4-3】正项等差数列中，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由正项等差数列中，由，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型五 等差数列前n项和的性质 【例5】已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】方法1：利用在等差数列中，，，，仍成等差数列，代入求解即可. 方法2：利用等差数列前项和公式，求出等差数列首项，公差，代入求解即可. 【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知： 在等差数列中，，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列，即， 又，，所以， 解得. 方法2：设等差数列首项为，公差为， 由等差数列前项和公式可知： ，， 联立解得，， 所以. 故选：B. 【变式5-1】设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和为，则成等差数列，即可得出结论． 【详解】设，则， 等差数列的前n项和为，则成等差数列， 即成等差数列， 公差为，故，即， ， 故选：. 【变式5-2】已知为等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】27 【分析】法一：由为等差数列的前项和，得到成等差数列，代入数值解出； 法二：利用等差数列的基本量和分别表示，联立方程组解出和，由等差数列的前项和公式得到. 【详解】法一：因为为等差数列的前项和，所以成等差数列， 即， 又，所以， 所以，解得． 法二：设等差数列的公差为，由题意， 即，即，解得， 则． 故答案为：27. 【变式5-3】设为等差数列的前n项和，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为等差数列的前n项和，则成等差数列， 且，，则，则其公差为， 所以， 所以. 故答案为： 题型六 等比数列基本量的计算 【例6】已知等比数列的前3项和为，，则公比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合等比数列通项公式和前项和公式可得，解方程可求出答案. 【详解】等比数列的公比为，因为，故， 由题意可得：，所以， 两式相除可得：， 即，即， 所以. 故选：D. 【变式6-1】已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，，则数列的公比为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等差数列和等比数列通项公式列方程求解. 【详解】设的公差为的公比为， 则由题意得解得或3； 故选:D. 【变式6-2】已知数列是等比数列，若，则 ． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，由，求得，结合，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，解得，所以． 故答案为：. 【变式6-3】已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于 . 【答案】 【分析】通过等比数列项的运算关系与等差中项的性质，建立首项与公比的方程，求解得首项和公比后，代入等比数列前项和公式计算. 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 由，得，化简得. 由与的等差中项为5，得，即. 将代入上式，得，故. 联立，两式相除得，解得. 代入，得. 前5项和. 故答案为：31 题型七 等比数列的性质 【例7】已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 【变式7-1】已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，是数列的前n项和，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．，，成等比数列 【答案】AC 【分析】首先根据等比数列的定义求出数列的通项公式，进而可得到前n项和的表达式，根据数列的相关知识逐一分析． 【详解】因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，． 对于A，因为，所以数列是首项为，公比为4的等比数列，故A正确； 对于B，数列的通项公式为，因为函数是减函数，所以数列是递减数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，所以数列是首项为0，公差为1的等差数列，故C正确； 对于D，因为，，，所以，，显然，所以，，不成等比数列，故D错误. 故选：AC. 【变式7-2】已知数列是等差数列，是等比数列，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用等差、等比数列的通项公式运算判断A、C；注意常数列（反例）判断B、D. 【详解】设等差数列的公差为， 当时， ，A正确； 当时，是常数列，，但与不一定相等，B错误； 设等比数列的公比为， 若，则，C正确； 当时，是常数列，，但与不一定相等，D错误. 故选：AC 【变式7-3】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 【答案】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果. 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 题型八 等比数列前n项和的性质 【例8】记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】根据成等比数列得到方程，求出或，分两种情况进行求解，舍去不符合要求的根，得到答案. 【详解】由题意得成等比数列， 设，则成等比数列，即， 解得或， 若，则，， 设的公比为，则，舍去； 若，则，，， 则，满足要求， 由于成等比数列， 故成等比数列，故，解得， 故选：D 【变式8-1】已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质以及片段和，求出等比数列公比由前项和公式即可得解. 【详解】等比数列的公比为， 因为，且， ，，故， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得， 故选：B. 【变式8-2】已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的片段和的性质可得也成等比数列，借助于等比中项列式求解即得. 【详解】等比数列中，， 因也成等比数列，则， 即，解得：. 故答案为: . 【变式8-3】设等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】31 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 题型九 裂项求和 【例9】已知等差数列的前n项和为，，，是等比数列，且，. (1)求，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，代入计算，可得的值，进而可得的通项公式，根据等比数列的通项公式，代入计算，可得的值，进而可得的通项公式. （2）由（1）得，代入化简，可得，根据裂项相消求和法，可得，根据n的范围，分析即可得答案. 【详解】（1）因为为等差数列，且，，设公差为d， 所以，解得， 所以. 又，，设公比为q， 所以，解得， 所以. （2）由（1）得，所以， 所以， 因为不等式对任意正整数n恒成立， 所以，即， 因为，所以，所以， 则的取值范围是. 【变式9-1】已知与为公差相同的等差数列，且，. (1)求与的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【分析】（1）设，对进行赋值，利用两数列公差相同求得，即得两数列的首项和公差，进而写出通项公式； （2）先求出，再运用裂项相消法求出，即可证得. 【详解】（1）设，则，，， 由题意可得，解得， 则的首项为3，公差为2，的首项为1，公差为2， 故，. （2）由（1）得，， 故， 则， 故. 【变式9-2】已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题设得到结合等比数列定义分析即可得证； （2）先由（1）求出，再由等比数列前n项和公式即可计算求解； （3）先求出，再由放缩公式结合裂项相消法计算分析即可求证. 【详解】（1）由题可得， 所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以； （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以，因为，所以，当时等号成立， 而，所以， 所以成立. 【变式9-3】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和等比数列的定义求出是首项和公比均为的等比数列，进而求出的通项公式； （2）由（1）得，利用裂项相消法即可求出答案. 【详解】（1）当时，，解得， 由，可得， 两式相减得， 即时，，所以， 所以是首项和公比均为的等比数列， 所以，即. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 所以. 所以数列的前项和. 题型十 错位相减求和 【例10】设数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，，由前项和与通项的关系，分别得，综合得的通项公式； （2）根据错位相减法求解数列的前项和即可. 【详解】（1）因为，，所以， 即的偶数项均为， 因为，所以， 又因为， 所以的奇数项均为2， 综合得； （2）记数列的前项和为， 则， ， 两式相减得， 所以. 【变式10-1】设等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由数列的递推关系及等差数列的性质求解； (2)由错位相减法求和． 【详解】（1）设的公差为． 由题意得， 即， 整理得， 所以解得． 所以． （2）由题意知． ，① ，② ①-②，得， 所以． 【变式10-2】记为数列的前项和，已知，，是公比为的等比数列. (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求得数列的通项公式，然后由累加法求得，然后验证是否成立，即可得结果； （2）由数列前项和与第项的关系求得数列通项公式，即可求得数列的通项公式，然后由错位相减得到其前项和. 【详解】（1），， ∴， 当时，， 由累加法得 两边平方得 当时，，满足上式， ∴. （2）当时， 当时，，满足上式， ∴，则， 利用错位相减法求前项和，将其设为， ， ， 两式相减得， 故. 【变式10-3】已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和为， (3)设，求数列的前项和为 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）应用等比数列列式化简结合等差数列通项公式基本量运算求解； （2）代入计算应用裂项相消计算求解； （3）两次应用错位相减法计算求解. 【详解】（1）由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，，， 所以，，         ，， （2），              （3） 两式相减得      令              题型十一 分组（并项）求和 【例11】已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式可求等差数列的公差，进而得到数列的通项公式；构造数列，判断其为等比数列，利用等比数列的通项公式可求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法可求数列奇数项的项和，利用等比数列的求和公式可求数列偶数项的项和，再相加即可. 【详解】（1）对数列，因为数列为等差数列，可设公差为， 由题意：，所以， 所以； 对数列，因为 ， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以 . （2）因为 . ， 所以 . 【变式11-1】等差数列的前项和为，等比数列中，. (1)求和. (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出等差数列与等比数列的基本量，再根据题目所给条件列出方程，即可得解； （2）利用分组求和法即可得解. 【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为，设等比数列的公比为， 所以. 公差. . ，公比. （2）易知，， 则 【变式11-2】已知等差数列与等比数列满足，，. (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和.求 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把等差数列的通项公式与等比数列的通项公式代入到条件中，解方程即可； （2）分类讨论，当为偶数时，错位相减法可求出；当为奇数时，利用可求出. 【详解】（1）记公差为，公比为， 则，， 故， 则 即， 故，解得，故，. （2）由， 当为偶数时， ， 而， 两式相减，可得到 ， 故此时； 当为奇数时， ， 于是. 【变式11-3】已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式． （2）由（1）先求出，利用错位相减法，先写出的表达式，再乘以公比得到，两式相减后，将等比数列求和公式化简即可. （3）将的前项和拆分为奇数项和与偶数项和，分别对（裂项相消）、（等比数列求和）进行计算，最后合并结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得， 解得或，又，所以舍去， 所以，. （2）由（1）得，，所以， 所以， 即， ， 两式相减得， 则 整理得. （3）由，，得， 所以， 设， 则 设， 则 所以． 基础巩固通关测 一、单选题 1、已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．16 B．32 C．27 D．81 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比即可求得. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，， 得，整理得，解得， 所以. 故选：C 2、在等差数列中，，则（   ） A．390 B．300 C．39 D．10 【答案】A 【分析】利用等差数列性质由即可求，最后由等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意有，．． 故选：A． 3、已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（    ） A．45 B．50 C．54 D．60 【答案】B 【分析】首先求出两数列的公差及其最小公倍数，即为新数列的公差，再找出首先，最后根据等差数列的通项公式计算可得； 【详解】等差数列2，6，10，，190，…的公差为4， 2，8，14，，200，…的公差为6， 2与6的最小公倍数为12， 两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为，． 故选：B. 4、已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】A 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】由，得，则，所以， 又，所以. 故选：A. 5、记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比. 【详解】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 6、已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 7、已知等比数列的前n项和为.若，则公比（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的前n项和公式直接计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：A 8、已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（   ） A．35 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】根据给定的通项公式，利用分组求和法列式计算即可． 【详解】因为， 则． 故选：C 二、多选题 9、已知等差数列的通项公式是，则（    ） A．等差数列的公差 B．数列是递减数列 C．-100是数列中的某一项 D．数列一定是等比数列 【答案】BD 【分析】求出公差判断A；根据公差小于零判断B；令判断C；根据等比数列的定义判断D. 【详解】等差数列的公差故A错误； 因为，所以数列是递减数列，故B正确； 由得，所以-100不是数列中的某一项，故C错误； ，且，数列一定是等比数列，故D正确. 故选：BD. 10、设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．当或时，取得最大值 C．数列的前项和是 D．，，成等差数列，公差为 【答案】ABC 【分析】根据已知条件可得是以为首项，为公差的等差数列，利用通项公式求出，，根据二次函数性质可判断选项B，利用与的关系可求得，即可判断选项A，根据等差数列前项和的公式和性质即可判断选项CD. 【详解】由，， 可得是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 对于函数，开口向下，其对称轴为， 所以对于，当或时，取得最大值，B正确； 则 ， 又，符合上式， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，A正确； 所以，，成等差数列， 又，， 所以， 所以，，成等差数列，且公差为，D错； 又当时，， 所以数列的前项和是 ， 又，， 所以数列的前项和为，C正确. 故选：ABC 11、设是数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，则是与的等差中项 C．若是等比数列，则是与的等比中项 D．若是等比数列，且，则 【答案】ABD 【分析】对于A由得即可判断，对于B等差数列的前项和为，所以数列为等差数列即可判断，对于C当公比时即可判断，对于D由即可得公比，计算建立方程即可求解. 【详解】对于A：设数列的公差为，由有：， 因为，所以，故A正确； 对于B：因为是等差数列，是数列的前项和，所以，， 所以数列为等差数列，，所以是与的等差中项，故B正确； 对于C：若是等比数列，当公比时，，所以不是与的等比中项，故C错误； 对于D：因为是等比数列，且，所以公比为，所以， 解得，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12、在数列中，，则数列前10项和的值为 ． 【答案】 【分析】根据递推公式并项求和即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13、已知等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】21 【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值. 【详解】因为为等比数列，其前项和为， 所以为等比数列，故为等比数列， 故，故， 故答案为：21 14、已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 【答案】4 【分析】由已知可得，可求得. 【详解】因为为等比数列的前项和，，若公比为， 所以为等比数列，所以， 所以，所以，解得或， 又，所以. 故答案为：. 四、解答题 15、已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式列出等式，联立方程组求得的值，从而写出通项公式； （2）由（1）写出的通项公式，然后由裂项相消求得其前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得， 由，得， 所以，所以． （2）由（1）知， 所以 16、已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)是数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由； (3)求数列前项和的最大值. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，求解即可； （2）令，求解可得结论； （3）法1，利用数列的前项和公式可求最大值.法2，因为，所以数列单调递减，令，求解可求得最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为数列为等差数列，且，，则， 解得，， 所以，. （2）令，得， 又，故不是数列的项. （3）设数列的前项和为， 法1：， 所以当时，取最大值，最大值为. 法2：因为，所以数列单调递减， 令，得， 又由，故前项均为正数，且， 所以前项和最大，. 17、数列满足：，，设. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式及前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）利用等比数列的定义可证得结论成立； （2）利用（1）中的结论可求出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式，利用分组求和法可求得. 【详解】（1）因为，所以，即. 又因为，所以，故是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得，，即，所以， 所以. . 18、在等差数列中，． (1)求数列的通项公式和前10项的和； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义和公式，求公差和通项，再代入求和公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，利用等差和等比前项和公式，即可求解. 【详解】（1）已知等差数列中，，可得公差为2， 即，则，， ； （2） 设， 则 . 19、已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）用累加法即可求出结果； （2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果. 【详解】（1）因为， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故. （2）由（1）得， 所以， 所以数列的前n项和 ， 即. 能力提升进阶练 一、单选题 1、已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．9 B．36 C．72 D．84 【答案】B 【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式求解，即可得解. 【详解】设的公比为， 因为， 解得或（舍去）， 所以． 故选：B 2、记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（   ） A． B．数列是公差为1的等差数列 C．数列是公比为4的等比数列 D．数列的前2025项和为 【答案】B 【分析】利用给定的前项和求出，再结合等差数列、等比数列定义及并项求和法逐项判断. 【详解】由，时，得，而满足上式， 因此数列的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，，则，所以数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，则，所以数列是公比为4的等比数列，C正确； 对于D，令，，数列前2025项和为 ，D正确. 故选：B. 3、今年某企业投产高新设备，合格品全部销售完毕，预设第个月将实现销量倍增的目标．已知每月产量在前一个月的基础上提高，第个月产品合格率为，前个月合格率每月增加，之后合格率保持不变．则的值为（   ）（且，参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设第个月的产量和合格率分别构成数列、，分析数列的单调性，计算得出，即可得出结果. 【详解】设第个月的产量和合格率分别构成数列、， 不妨设，则数列是首项为，公比为的等比数列，故， 的前项构成以为首项，公差为的等差数列， 故当时，， 由题意可知当时，， 则该公司第个月的销量为， 当时，， 当时，，，则， 故数列为递增数列，且， 因为，， 当时，，此时数列单调递增， 此时，不合乎题意，故. 故选：B. 4、已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列前项和性质可知，也为等差数列，根据等差数列定义求解即可. 【详解】是等差数列，也为等差数列， ，， 设等差数列的公差为，则， ， . 故选：A. 5、在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出等比数列的通项公式，解不等式，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 故，所以，且是递增数列. 由可得，可得，解得， 所以当时，，当时，， 所以当取得最小值时，. 故选：A. 6、已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立 【答案】D 【分析】根据数学归纳法，结合定义法判断数列单调性，可得数列的取值范围，进而判断各选项. 【详解】由已知，即， 所以， A选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递减数列， 由， ， 即，故， 即， 若存在常数，使得恒成立， 则，即， 故，故仅对部分成立，A选项错误； B选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递增数列， 由， ， 即，故， 即， 所以不存在常数，使得恒成立，B选项错误； C选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递减数列，且， 所以当，使得恒成立，即C选项错误； D选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递增数列， 由， ， 即， 即， 若存在常数，使得恒成立， 则，即， 故，故仅对部分成立， 即不存在常数，使得恒成立，D选项正确； 故选：D. 7、记数列的前项和为，若，则的值不可能为（    ） A．96 B．98 C．100 D．102 【答案】D 【分析】根据和的关系分析及特例求解判断即可. 【详解】当时，，设， 当时，，则， 即，所以， 时取等，故D错误； 若，，且，，， 此时； 若，，且，，， 此时. 故A，B，C正确. 故选：D. 8、已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，递推关系可化为，证明，证明数列为等比数列，由此可求数列的通项公式，再分别在，，条件下判断函数的单调性可得结论. 【详解】因为，， 所以， 设，则， 所以 若，则,，矛盾， 所以，故， 所以数列为以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故， 所以数列为递减数列， 令，可得， 所以当，且时，， 当，且时，， 与条件矛盾， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过对递推式的变形，并设，换元可得，再证明数列为等比数列，由此求出数列的通项公式. 二、多选题 9、已知数列的前n项和为，，则（   ） A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值 【答案】BD 【分析】利用特殊值法可判断A选项；分析数列的单调性，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，，则，故数列不单调，A错； 对于B选项，， 当且时，且数列单调递减， 当且时，且数列单调递减， 故当且仅当时，取得最小值，B对； 对于C选项，由可得或， 故当时，，故数列单调递增，C错； 对于D选项，由可得， 故当时，；当时，， 所以，当且仅当时，取得最小值，D对. 故选：BD. 10、数列的前项和为，且，则（） A． B．数列为等差数列 C． D．数列为单调递减数列 【答案】BCD 【分析】根据所给递推公式令求出，当时作差得到，即可求出的通项公式，即可判断；结合等差数列的定义可判断B；再根据等比数列求和公式判断C． 【详解】因为①， 当时,，所以， 当时,②， ①－②得，所以，经检验当时也成立，所以， 则，所以，即，故A错误，D正确； 又是以为首项，为公比的等比数列，则 ， 故数列是公差为的等差数列，故B正确； ，所以，即C正确. 故选：BCD. 11、已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前8项和为 D．的前50项和为 【答案】ABD 【分析】根据等差数列通项公式及等比中项列方程求解判断A，由等差数列求和公式判断B，利用裂项相消法求和判断C，根据通项公式并项求和可判断D. 【详解】对于A，因为成等比数列，所以，即，解得，故A正确； 对于B，的前项和为，故B正确； 对于C，因为， 所以的前8项和为，故C错误； 对于D，因为， 所以的前50项和为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12、已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列. 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，不可能为等差数列； ④存在数列，对任意的，且，使得不能构成等比数列. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】通过分析每个结论，利用等差数列和等比数列的通项公式及相关性质，结合特殊例子来判断其正确性. 【详解】由题意设数列的公差为，首项为，数列的公比为，首项为，则， 对于①：令，假设是等比数列，则为常数， 而与有关不为常数，故矛盾，故①正确； 对于②：设，满足题意，则， 由，所以数列不是递增数列，故②错误； 对于③：假设为等差数列，所以，即， 所以，解得与矛盾，故③正确； 对于④：，则， 若能构成等比数列，则，即， 化简整理得矛盾，故④正确； 故选：①③④. 13、设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可. 【详解】因为 为等差数列，所以 ． 故答案为：. 14、高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 【答案】1012 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 四、解答题 15、记数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)记，求 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）运用递推关系式构造出等比数列，分情况列出通项公式即可； （2）利用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）由，，可得，， 当时，由，可得， 相减可得，即， 上式对不成立， 则. （2）， ， 相减可得， 化简可得，对也成立， 则，. 16、已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列中，设公差为，由已知可求得等差数列的通项公式，利用及，可得公比和首项，进而可得数列的通项； （2）利用，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论. 【详解】（1）等差数列中，设公差为， 则 由得：时， 时， 为公比为2的等比数列， （2）数列中，． 则 所以 故 所以 17、已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知有，结合等比数列的定义即可证； （2）由（1）得，整理即可得通项公式； （3）应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）由题设，可得，即， 又，故是首项、公比均为的等比数列，得证； （2）由（1），则； （3）由（2）知，故，则， 所以， 所以. 18、已知数列的前项和为，且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知配成完全平方即可得证； （2）利用错位相减法求解可得； （3）分离参数，转化为求数列的最大值问题，考察数列单调性即可得解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列. （2）又（1）可得，， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以 （3）由（1）可得，， 所以，即， 记， 因为， 所以时，，即， 当时，，即， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 19、已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列（复习讲义） 1、数列概念 通过日常生活和数学中的实例, 了解数列的概念和表示方法 (列表、图象、通项公式), 了解数列是一种特殊函数。 2、等差数列 ①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等差数列的前 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 ④体会等差数列与一元一次函数的关系。 3、等比数列 ①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等比数列的前 项和公式,理解等比数列的通项公式与前 项和公式的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。 ④体会等比数列与指数函数的关系。 知识点01数列的概念 概念 含义 数列 按照　确定的顺序　排列的一列数 数列的项 数列中的　每一个数　 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与　序号n　之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝　a1＋a2＋…＋an　 知识点02数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是　序号n　，对应的函数值是　数列的第n项an　，记为an＝f（n）. 知识点03等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从　第2项　起，每一项与它的前一项的　差　都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的　公差　，公差通常用字母d表示，符号表示为　an＋1－an＝d　（n∈N*，d为常数）. 知识点04等差数列的有关公式 （1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型，即an＝pn＋q，其中p为公差； （2）前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数模型，且没有常数项，即Sn＝An2＋Bn. 知识点05等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）； （2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an； （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列； （4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为　m2d　. 知识点06等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于　同一个　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　公比　，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为＝　q　（n∈N*）； （2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 知识点07等比数列的有关公式 （1）通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m； （2）前n项和公式： Sn＝ 知识点08等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和： （1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝　am·an　； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为　qm　； （3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为　qn　. 知识点09数列求和的常用方法 （1）公式法：①等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋； ②等比数列{an}的前n项和Sn＝ （2）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减； （3）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解； （4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和； （5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法； （6）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 题型一 数列中的递推关系 【例1】已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 【变式1-1】设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知数列满足，，则下列判断正确的是（    ） A．，使得 B．，使得 C． D．，使得数列的最小值为 【变式1-3】已知数列中，，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型二 数列的单调性 【例2】已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知数列的通项公式为，则数列的最小项是 ． 【变式2-2】在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为 . 【变式2-3】数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 题型三 等差数列基本量的计算 【例3】记等差数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式3-1】已知正项等差数列的公差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】等差数列的前项和为，若，且，则 ． 【变式3-3】等差数列中，，则该数列的公差为 . 题型四 等差数列的性质 【例4】已知等差数列 满足 ，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】设等差数列的前n项的和为，若，，则（ ） A． B． C．当时，取最大值 D．数列是递减数列 【变式4-2】已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 【变式4-3】正项等差数列中，，则的最小值为 ． 题型五 等差数列前n项和的性质 【例5】已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式5-1】设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知为等差数列的前项和，若，则 ． 【变式5-3】设为等差数列的前n项和，且，，则 ． 题型六 等比数列基本量的计算 【例6】已知等比数列的前3项和为，，则公比为（   ） A． B．2 C． D． 【变式6-1】已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，，则数列的公比为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】已知数列是等比数列，若，则 ． 【变式6-3】已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于 . 题型七 等比数列的性质 【例7】已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式7-1】已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，是数列的前n项和，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．，，成等比数列 【变式7-2】已知数列是等差数列，是等比数列，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式7-3】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 题型八 等比数列前n项和的性质 【例8】记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 【变式8-1】已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 【变式8-2】已知等比数列的前项和为，若，则 . 【变式8-3】设等比数列的前项和为，若，则 ． 题型九 裂项求和 【例9】已知等差数列的前n项和为，，，是等比数列，且，. (1)求，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n恒成立，求的取值范围. 【变式9-1】已知与为公差相同的等差数列，且，. (1)求与的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. 【变式9-2】已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【变式9-3】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型十 错位相减求和 【例10】设数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式10-1】设等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式10-2】记为数列的前项和，已知，，是公比为的等比数列. (1)求； (2)求数列的前项和. 【变式10-3】已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和为， (3)设，求数列的前项和为 题型十一 分组（并项）求和 【例11】已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式11-1】等差数列的前项和为，等比数列中，. (1)求和. (2)若数列满足，求数列的前项和. 【变式11-2】已知等差数列与等比数列满足，，. (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和.求 【变式11-3】已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 基础巩固通关测 一、单选题 1、已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．16 B．32 C．27 D．81 2、在等差数列中，，则（   ） A．390 B．300 C．39 D．10 3、已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（    ） A．45 B．50 C．54 D．60 4、已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 5、记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 6、已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 7、已知等比数列的前n项和为.若，则公比（   ） A． B．2 C． D． 8、已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（   ） A．35 B．40 C．45 D．50 二、多选题 9、已知等差数列的通项公式是，则（    ） A．等差数列的公差 B．数列是递减数列 C．-100是数列中的某一项 D．数列一定是等比数列 10、设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．当或时，取得最大值 C．数列的前项和是 D．，，成等差数列，公差为 11、设是数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，则是与的等差中项 C．若是等比数列，则是与的等比中项 D．若是等比数列，且，则 三、填空题 12、在数列中，，则数列前10项和的值为 ． 13、已知等比数列的前项和为，且，则 . 14、已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 四、解答题 15、已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 16、已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)是数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由； (3)求数列前项和的最大值. 17、数列满足：，，设. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式及前项和. 18、在等差数列中，． (1)求数列的通项公式和前10项的和； (2)若数列满足，求数列的前项和． 19、已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 能力提升进阶练 一、单选题 1、已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．9 B．36 C．72 D．84 2、记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（   ） A． B．数列是公差为1的等差数列 C．数列是公比为4的等比数列 D．数列的前2025项和为 3、今年某企业投产高新设备，合格品全部销售完毕，预设第个月将实现销量倍增的目标．已知每月产量在前一个月的基础上提高，第个月产品合格率为，前个月合格率每月增加，之后合格率保持不变．则的值为（   ）（且，参考数据：，） A． B． C． D． 4、已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 5、在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 6、已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立 7、记数列的前项和为，若，则的值不可能为（    ） A．96 B．98 C．100 D．102 8、已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9、已知数列的前n项和为，，则（   ） A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值 10、数列的前项和为，且，则（） A． B．数列为等差数列 C． D．数列为单调递减数列 11、已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前8项和为 D．的前50项和为 三、填空题 12、已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列. 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，不可能为等差数列； ④存在数列，对任意的，且，使得不能构成等比数列. 其中所有正确结论的序号是 . 13、设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 . 14、高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 四、解答题 15、记数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)记，求 16、已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 17、已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和． 18、已知数列的前项和为，且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 19、已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $