第26讲 导数的概念及其意义（六大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第二册）

第26讲 导数的概念及其意义 【人教A版】 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（    ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 【变式1.1】（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【变式1.3】（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2】（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【变式2.1】（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二下·广西南宁·期中）已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 【变式2.3】（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式3.1】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二下·安徽亳州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【题型4 函数图象与导函数的关系】 【例4】（24-25高二下·北京顺义·期末）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·重庆·月考）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式4.3】（2025高二·全国·专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例5】（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【变式5.1】（24-25高二下·四川绵阳·月考）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式5.2】（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式5.3】（24-25高二下·北京·期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 【题型6 求曲线的切线方程】 【例6】（24-25高二·北京·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【变式6.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 3．（24-25高二下·山东枣庄·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 5．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 二、多选题 9．（24-25高二下·江西南昌·月考）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江苏连云港·期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 三、填空题 12．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数在处的导数，则 ． 13．（24-25高二下·四川南充·月考）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为 m/s． 14．（24-25高二下·河北张家口·月考）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则的大小关系为 （由小到大顺序表示）.    四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，求． 16．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）已知函数 (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求出，的值 17．（24-25高二上·全国·课后作业）若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线上一点，求： (1)曲线在点处的切线的斜率； (2)曲线在点处的切线方程. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 导数的概念及其意义 【人教A版】 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（    ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率的定义求解. 【解答过程】，则， 即列车运行10秒的平均速度为米/秒. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的运算公式，求得，得到的值，即可求解. 【解答过程】由题意知，位移与时间的关系是，可得， 可得. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【解答过程】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【解题思路】由瞬时变化率的物理意义判断． 【解答过程】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C. 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2】（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率公式计算可得. 【解答过程】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用瞬时变化率的定义可求得结果. 【解答过程】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二下·广西南宁·期中）已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 【答案】B 【解题思路】由导数的定义先求，由求出，进而得代入即可求解. 【解答过程】由有，当时，，即，所以，解得或（舍去）， 当时，，即当时，液体上升高度的瞬时变化率为， 故选：B. 【变式2.3】（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【解题思路】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【解答过程】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【解答过程】因为，即， 即，则. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义可得结果. 【解答过程】因为函数在处可导，则 . 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【解答过程】，所以， 故选：C. 【变式3.3】（24-25高二下·安徽亳州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的概念转化求解即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：C. 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【题型4 函数图象与导函数的关系】 【例4】（24-25高二下·北京顺义·期末）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据导数的几何意义结合图象直接判断即可. 【解答过程】由图可知：，所以A，C，D均错，B正确. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数图象，以及导数的几何意义，逐项判断即可. 【解答过程】由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； 由图可知，，，但不确定与的大小关系，故B不一定成立； 由图可知，，故C成立； 由图可知，函数在区间上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二下·重庆·月考）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【解答过程】由图象可知在上单调递增，，    故，即． 故选：B． 【变式4.3】（2025高二·全国·专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由图象的变化趋势，结合导数的几何意义有，即可得结果. 【解答过程】由图知：，即. 故选：A. 【题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例5】（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可. 【解答过程】易知曲线在点处的切线斜率为， 所以. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二下·四川绵阳·月考）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【解答过程】由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线斜率为， 根据导数概念，， 又， 所以. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解题思路】由导数的概念即可求，最后由导数的几何意义即可求解. 【解答过程】由有， 所以. 故选：A． 【变式5.3】（24-25高二下·北京·期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即可. 【解答过程】由题意得，则， 得到曲线在点处的切线的斜率是3，故B正确. 故选：B. 【题型6 求曲线的切线方程】 【例6】（24-25高二·北京·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式求得切线方程. 【解答过程】，所以，即， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【解答过程】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【解答过程】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 【变式6.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和. 【解题思路】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【解答过程】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义求解即可. 【解答过程】由导数的定义得，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【解题思路】由函数的平均变化率定义进行求解． 【解答过程】由题意， ， ， 故． 故选：B. 3．（24-25高二下·山东枣庄·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的几何意义求解即可. 【解答过程】图象可知，. 故函数在处，切线的斜率为0， 只有选项D满足条件. 故选：D. 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解题思路】由导数的定义化简已知，即可求解. 【解答过程】已知函数可导， 则 则, 所以. 故选：A. 5．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由平均速度的定义求解即可. 【解答过程】由题意可得平均速度是. 故选：A. 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【解答过程】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 7．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数的几何意义可知 为该点切线的斜率，由图可知处的切线斜率比处的切线斜率大，为两点处的斜率，比较即可得出. 【解答过程】根据导数的几何意义，如图， 分别表示在点处切线的斜率，又因为 由图可知 故选：B. 8．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·江西南昌·月考）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】根据函数的图象确定在，处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【解答过程】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D错误. 故选：AC. 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】利用导数的定义逐个求解. 【解答过程】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对； 故选：BCD. 11．（24-25高二上·江苏连云港·期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【答案】ABC 【解题思路】对于A，分别求出和时的蜥蜴体温，即可得到从到的蜥蜴体温下降量；对于B，根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C，求出，令，即可求出蜥蜴体温的瞬时变化率；对于D，令，求出的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻. 【解答过程】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确； 对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确； 对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确； 对于D，令，解得，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数在处的导数，则 ． 【答案】 【解题思路】由导数的定义求解即可. 【解答过程】. 故答案为：. 13．（24-25高二下·四川南充·月考）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为 m/s． 【答案】3 【解题思路】利用平均变化率来求瞬时变化率即可得到瞬时速度. 【解答过程】该物体在时间段上的平均速度为: ， 当无限趋近于0时， 无限趋近于3，即该物体在时的瞬时速度为3m/s． 故答案为：. 14．（24-25高二下·河北张家口·月考）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则的大小关系为 （由小到大顺序表示）.    【答案】 【解题思路】结合函数的图象以及导数的几何意义判断集合. 【解答过程】由函数的图象可知函数单调递增，但是增长速度越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示和两点连线的斜率， 所以， 即. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，求． 【答案】10 【解题思路】先求得，故可求题设的极限. 【解答过程】因为，所以: ， 故． 16．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）已知函数 (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求出，的值 【答案】(1) (2)； 【解题思路】（1）计算，再计算，取极限即可； （2）计算在和的函数值. 【解答过程】（1）， 则， 则当时，，故； （2），. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平均变化率的公式即可得到答案； （2）物体在时的瞬时速度即为物体在时的瞬时变化率，先求出在附近的平均变化率，进而再求出在时瞬时变化率即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以物体在到这段时间内的平均速度为． （2）因为， 所以， 则物体在时的瞬时速度为． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线上一点，求： (1)曲线在点处的切线的斜率； (2)曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)4 (2). 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，求割线的斜率的极限，得到切线的斜率； （2）根据切线的斜率进而求得切线的方程. 【解答过程】（1） 曲线在点处的切线的斜率为4. （2）由（1）知曲线在点处的切线的斜率是4， 切线方程是，即. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据的含义即可求解， （2）根据平均变化率的计算公式即可求解， （3）根据瞬时变化率的定义，利用极限即可求解.. 【解答过程】（1）表示航天飞机未发射时的高度，表示航天飞机发射后的高度． （2），即第内高度的平均变化率为． （3）， 即第末高度的瞬时变化率为． 它说明在第末附近，航天飞机的高度大约以的速度增加． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $