高中数学单元测试——第1章数列（较易版01）

**基本信息** 高中数学数列单元复习卷（较易版），覆盖等差等比数列、求和及新定义问题，基础巩固与能力提升梯度分明，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|等差数列第7项、等比中项、数列项数|基础概念直接应用| |多选题|3题/18分|数列概念辨析、等差数列前n项和性质、平方递推数列|概念辨析与新定义结合| |填空题|3题/15分|等比数列性质、递推数列求和|性质灵活应用| |解答题|5题/77分|等差等比综合、数列证明、四分差数列新定义|分层设计，新定义问题考查抽象与推理能力|

高中数学单元测试 —— 第1章 数列（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）等差数列的第7项为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（本题5分）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 4．（本题5分）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（本题5分）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 6．（本题5分）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 7．（本题5分）在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知数列的前项和为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 10．（本题6分）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 11．（本题6分）若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是“平方递推数列” D．是“平方递推数列” 三、填空题 12．（本题5分）已知等比数列满足，则______． 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是公差为2的等差数列； (2)设数列的前项的和为，若，证明． 17．（本题15分）若数列的首项且满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列，求数列的前n项和． 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 19．（本题17分）对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． (1)若，求的值． (2)设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 数列（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）等差数列的第7项为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 【答案】D 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差，再利用通项公式求出第7项的值. 【详解】根据等差数列的定义可得：首项，公差， 所以通项公式为：， 当时，. 故选：D. 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质即可列方程求解. 【详解】由于是与4的等比中项，故，解得， 故选：D 3．（本题5分）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 【答案】C 【分析】首先得出数列的通项公式，然后解方程即可求解. 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 4．（本题5分）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 5．（本题5分）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 【答案】D 【分析】由等比数列前项和公式结合条件即可求得公比，进而求得的值. 【详解】因为，且， 所以有，即， 则有，所以公比， 所以， 故选：D． 6．（本题5分）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】C 【分析】根据已知对数列用后项减前项，归纳出性质：，，然后由计算可得． 【详解】由题意得，，，…，所以，． 因此． 故选：C． 7．（本题5分）在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列基本量的计算可得通项，进而将问题转化为，构造，利用作差法确定单调性，即可求解最值得解. 【详解】设等比数列公比为，，. ，，解得，， 由得，即. 记，则， 当时，，时，， 因此 故时，取到得最小值是－16.，即实数的取值范围为， 故选:B. 8．（本题5分）已知数列的前项和为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得，检验可知数列是以6为周期的周期数列，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，，，即， 可得，，， ，，， 可知数列是以6为周期的周期数列，且， 所以该数列一个周期的和为0. 因为， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】根据数列的概念判断A，应用通项公式计算判断B，应用已知项求出通项公式计算判断C，D. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关， 故数列与数列是两个不同的数列，故A错误； 对于B，令，解得或（舍去）， 故110是该数列的第11项，故B正确； 对于C，数列，的一个通项公式是， 故第8个数是，故C正确； 对于D，数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 【答案】AB 【分析】对于A，根据前和的概念，结合题意以及作差法，利用等差数列的定义，可得答案； 对于B，利用等差数列的求和公式，结合前项和的概念以及作差法，可得答案； 对于C，根据等差数列的单调性，明确每一项与零的大小关系，可得答案； 对于D，根据第六项与第七项与零的大小关系，结合加和的大小，可得答案. 【详解】对于A，由，则，， 所以等差数列的公差，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可知，，则当时，；当时，， 所以是数列的最大值，故C错误； 对于D，由A可知，由B可知，则，故D错误. 故选：AB. 11．（本题6分）若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是“平方递推数列” D．是“平方递推数列” 【答案】BC 【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列和等比数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断. 【详解】对A，因为是“平方递推数列”，所以.又， 所以，则，所以不是等差数列，A不正确. 对B，因为，所以是等比数列，B正确. 对C，因为，所以以是“平方递推数列”，C正确. 对D，因为，所以不是“平方递推数列”，D不正确. 故选：BC. 三、填空题 12．（本题5分）已知等比数列满足，则______． 【答案】/ 【分析】利用已知求出等比数列的公比，再根据即可求出结果. 【详解】因为为等比数列，则， 所以，则． 故答案为： 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 【答案】15 【分析】分别令计算即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：15 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 【答案】 【分析】由变形可得，利用等差数列的定义求得通项，再由裂项求和，分组求和求得答案. 【详解】依题意，，故，得， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列； 故，故， 令， 故数列的前项和为， 而数列的前项和为， 由分组求和法可知，数列的前项和为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是公差为2的等差数列； (2)设数列的前项的和为，若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合与之间的关系进行求解证明即可； （2）根据（1）的结论，结合裂项相消法进行求解证明即可. 【详解】（1）因为数列是公差为1的等差数列，所以． 从而可得． 当时，． 即可得，所以数列是公差为2的等差数列； （2）根据第（1）问数列是公差为2的等差数列可得， 从而可得． 所以数列的通项公式． 所以． 从而可得． 所以成立． 17．（本题15分）若数列的首项且满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) 因为，所以． 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可; （2）由（1）的通项公式求出的通项公式； （3）利用错位相减法求出数列的前n项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，故． （3）由（2）可知． 从而 ． 令，① 则，② 由①－②得， 所以，而， 故． 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系得到，即可求解； （2）根据（1）可得，从而有时，，再对讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，得到，又，则， 又当时，，所以，得到，满足， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以当时，， 所以，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以. 19．（本题17分）对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． (1)若，求的值． (2)设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)①； ②因为，即， 则， 可得， 所以. 【分析】（1）设，可得，进而可得的通项公式； （2）①结合（1）可得，进而可得的通项公式；②可得，利用放缩法可得，再结合裂项相消法分析证明. 【详解】（1）由题意可设：，则， 若，则， 且，可得， 所以. （2）①由（1）可得， 若，则， 且，可得， 所以的通项公式； ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $