高中数学单元测试——第四章数列（较易版02）

**基本信息** 高中数学第四章数列单元复习卷（较易版02），以等差、等比数列核心知识为载体，融合文化情境与创新题型，适配单元基础巩固与能力提升，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列公差计算、等比数列性质、数列项判断等|第6题结合毕达哥拉斯五边形数，渗透文化传承，培养观察发现能力| |多选题|3/18|数列概念辨析、等差数列前n项和性质、平衡数列新定义|第11题引入“平衡数列”新定义，考查抽象与推理意识| |填空题|3/15|等比中项、递推数列求和、等差数列前n项和最值|第13题递推数列求和，强化转化与化归思维| |解答题|5/67|等差等比综合应用、递推求通项、错位相减求和等|第19题证明等项数对唯一，综合考查逻辑推理与数学表达能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 2．（本题5分）在等比数列中，，则（    ） A．-4 B．4 C． D． 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 4．（本题5分）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 7．（本题5分）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 8．（本题5分）已知数列的前项和为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 10．（本题6分）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 11．（本题6分）若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（    ） A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列 B．若，，则不是平衡数列 C．若，则是平衡数列 D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列 三、填空题 12．（本题5分）在等比数列中，若，则_________. 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 14．（本题5分）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为__________. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 17．（本题15分）已知数列满足，且，数列满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的前项和. 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 19．（本题17分）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，解得. 故选：A. 2．（本题5分）在等比数列中，，则（    ） A．-4 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项公式计算. 【详解】等比数列，满足， 即，解得. 故选：C 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】A 【分析】利用观察法分析数列的规律即可. 【详解】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项， 故选：A 4．（本题5分）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 【答案】B 【分析】根据题图确定五边形中小石子增量关系，法1：根据规律写出第5项，法2：总结归纳得到第个五边形数为，即可得. 【详解】观察规律：第1项1，第2项5，第3项12，第4项22， 所以增量依次为，构成公差为3的等差数列， 法1：依上知，第5项为， 法2：总结归纳知，第个五边形数为， 当时，. 故选：B 7．（本题5分）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】由等比数列的前n项和公式列出关于和公比q的方程，解出，q，即可写出与，再将不等式化简，参变分离得对任意的恒成立，可构造函数，利用作差法判断函数的最小值，求得t的最大值，也可利用基本不等式进行求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，∴．∴关于n的不等式， 即，即对任意的恒成立． 解法一  设，则， 当时，，当时，， 当时，， 又，∴当或时，，∴． 故选:C． 解法二  由，当且仅当，即时等号成立， 又，∴当或时，取得最小值24，故． 故选:C． 8．（本题5分）已知数列的前项和为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得，检验可知数列是以6为周期的周期数列，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，，，即， 可得，，， ，，， 可知数列是以6为周期的周期数列，且， 所以该数列一个周期的和为0. 因为， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】根据数列的概念判断A，应用通项公式计算判断B，应用已知项求出通项公式计算判断C，D. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关， 故数列与数列是两个不同的数列，故A错误； 对于B，令，解得或（舍去）， 故110是该数列的第11项，故B正确； 对于C，数列，的一个通项公式是， 故第8个数是，故C正确； 对于D，数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 【答案】BC 【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得：， ， 即，，且，即B、C正确； 因，故数列是递减数列，故A错误； 因，，即当取得最大值时，，故D错误. 故选：BC. 11．（本题6分）若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（    ） A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列 B．若，，则不是平衡数列 C．若，则是平衡数列 D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列 【答案】ABD 【分析】由数列新定义，结合各选项数列递推公式逐个判断即可. 【详解】因为，令，得，， 所以是“平衡数”为5的平衡数列，故A正确； 的前6项依次为2，，，2，，，故是周期为3的周期数列，可验证不是平衡数列，故B正确； 若，则，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 由，得， 当时，， 所以是“平衡数”为3的平衡数列，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）在等比数列中，若，则_________. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，由题得，， 所以，解得. 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 【答案】15 【分析】分别令计算即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：15 14．（本题5分）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为__________. 【答案】6 【分析】设等差数列的公差为，先证明数列是等差数列，由推出数列及单调递减，即，借助的解析式及单调性推出即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 所以等差数列的前项和为， 则， ，， 所以数列是等差数列，公差为. 因为，所以数列单调递减， 所以，即，所以等差数列单调递减. 因为数列单调递减，所以， 因为， ，所以. 因为等差数列单调递减，且，所以， 所以当时，取最大值. 故答案为：6 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用,求得; (2)利用裂项相消法，求得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，， 由，当时，，符合 综上所述，； （2）， 则； 故. 17．（本题15分）已知数列满足，且，数列满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) 因为，所以， 即，而， 所以数列为首项为，公比为的等比数列； (2) 【分析】（1）要证为等比数列，可根据等比数列的定义，通过计算的值是否为常数来判断； （2）根据（1）的结论求出的通项公式，进而得到的通项公式，再根据的通项公式的特点选择裂项相消法求其前项和. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列的通项公式为. ， ， 两式作差得 ， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3) 因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）略 19．（本题17分）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】(1)； (2)证明：设， 则， 则， 因为，所以． (3)证明：由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为． 【分析】（1）先证明为等差数列，然后可得通项； （2）利用错位相减法求出，然后可证； （3）判断数列单调性可得，然后验证前几项即可得证. 【详解】（1）因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． （2）略 （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $