专题09 数学归纳法及其应用（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题09 数学归纳法及其应用 常考题型·精准突破 题型1 数学归纳法的理解 （重） 题型2 数学归纳法的增项（高频） 题型3 用数学归纳法证明恒等式 （难） 题型4 用数学归纳法证明不等式 （难） 题型5 用数学归纳法证明整除问题 （难） 题型6 用数学归纳法证明数列问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1数学归纳法的理解 1．（24-25高二下·河南洛阳·期中）如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 2．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 3．（24-25高二下·四川绵阳·阶段检测）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二·上海·随堂练习）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 5．（多选）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立 ◆题型2 数学归纳法的增项 6．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·辽宁·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 9．（23-24高二下·上海宝山·阶段检测）已知，则共有（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 10．用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． ◆题型3 用数学归纳法证明恒等式 11．（26-27高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 12．（25-26高二下·上海·期中）用数学归纳法证明（为正整数）． 13．用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 14．用数学归纳法证明：，其中. 15．用数学归纳法证明： （1）； （2）； （3）． ◆题型4 用数学归纳法证明不等式 16．当且时，求证：． 17．当且时，求证：． 18．（24-25高二上·福建莆田·阶段检测）用数学归纳法证明： 19．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 20．当时，求证：. ◆题型5 用数学归纳法证明整除问题 21．用数学归纳法证明：能被整除． 22．用数学归纳法证明：能被整除. 23．用数学归纳法证明：能被64整除． 24．设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 25．求证：对任何正整数n，数都能被8整除 ◆题型6 用数学归纳法证明数列问题 26．（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，前项和与通项满足关系．求证：． 27．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 28．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值； (3)若，求证：对任意自然数，总有成立． 29．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 30．设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求的前项和． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 2．（24-25高一下·上海·期末）观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（     ）. A．； B． C．； D． 3．（24-25高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 5．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 6．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 7．用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 8．用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　） A． B． C． D． 9．用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 10．用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 12．（多选）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（    ） A．过程全部正确 B．时证明正确 C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确 13．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 14．（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明时，从到左边需要添加的因式是________． 15．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 16．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是_______. 17．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 18．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论． 19．已知数列，，，，，，其中是大于零的常数，记的前项和为，计算，，的值，由此推出计算的公式，并用数学归纳法加以证明． 20．（2025·广东广州·二模）设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 21．（24-25高二下·北京房山·阶段检测）已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 22．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数学归纳法及其应用 常考题型·精准突破 题型1 数学归纳法的理解 （重） 题型2 数学归纳法的增项（高频） 题型3 用数学归纳法证明恒等式 （难） 题型4 用数学归纳法证明不等式 （难） 题型5 用数学归纳法证明整除问题 （难） 题型6 用数学归纳法证明数列问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1数学归纳法的理解 1．（24-25高二下·河南洛阳·期中）如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 【答案】B 【分析】根据题意可得，当命题成立，可推出均成立，即可解题. 【详解】由于若命题对成立，则它对也成立． 又已知命题成立，可推出均成立， 即对所有正偶数都成立. 2．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 【答案】A 【详解】因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立， 所以假设当时命题成立，那么时命题也成立，这与已知矛盾， 所以当时命题不成立. 3．（24-25高二下·四川绵阳·阶段检测）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数学归纳法的定义可得结论. 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 4．（多选）（24-25高二·上海·随堂练习）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 【答案】ABC 【分析】由已知中命题，，当时，成立，并且当时它也成立，可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可 【详解】由于命题，这里， 当时，成立，并且当时它也成立， 可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立， 故对于不一定成立， 对于每一个自然数k不一定成立， 对于每一个偶数k不一定成立， 对于某些偶数可能不成立． 故选：ABC． 5．（多选）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】AD 【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误. 【详解】对于A：当成立时，总有成立. 则逆否命题：当成立时，总有成立. 若成立，则成立，故A正确； 对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误； 对于C：当成立时，总有成立. 则逆否命题：当成立时，总有成立. 故若成立，则成立，所以C错误； 对于D：根据题意，若成立，则成立， 即成立，结合， 所以当时，均有成立，故D正确. 故选：AD ◆题型2 数学归纳法的增项 6．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 7．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出增加的项，即可得解. 【详解】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 8．（23-24高二下·辽宁·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据题意，结合变到时，左边由项增加到项，即可求解. 【详解】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. 9．（23-24高二下·上海宝山·阶段检测）已知，则共有（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】依题意，分别写出的表达式，在中去掉中的项，即得剩余项的项数. 【详解】由可得，， 故的表达式中共有项数为. 故选：D. 10．用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果. 【详解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和； 当时，等式左边等于，共项求和； 所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是. 故选：B. ◆题型3 用数学归纳法证明恒等式 11．（26-27高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)①当时，左边，右边，等式成立； ②假设当时，等式也成立，即， 则当时， ， 所以当时，等式也成立．由①②可知，等式对任何都成立． (2)①当时，左边右边，等式成立；②假设当（）时，等式成立， 即．则当时， 左边 右边， 所以当时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立． 【详解】（1）略. （2）略. 12．（25-26高二下·上海·期中）用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】 设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立，即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 【分析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当时成立，进而假设时等式成立，证明时，等式也成立；即可得证． 【详解】略 13．用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【答案】(1) 证明：①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. (2) 证明：①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 【分析】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）按照数学归纳法的步骤证明即可； 【详解】（1）略 （2）略 14．用数学归纳法证明：，其中. 【答案】 （1）当时，左边， 右边， 所以左边=右边，等式成立. （2）假设当时，等式成立， 即， 那么当时， .等式成立 综上，对任何，等式都成立. 【分析】首先假设首项成立，再假设时，等式成立，在利用归纳推理证明时也成立，即可证明. 【详解】略 15．用数学归纳法证明： （1）； （2）； （3）． 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析. 【分析】先证时等式成立；再假设时等式成立，证明时等式也成立即可. 【详解】(1)当时，等式左边，右边，所以等式成立； 假设时等式成立，即， 则当时，， 故时等式成立， 综上可知，等式成立. (2) 当时，等式左边，右边，所以等式成立； 假设时等式成立，即， 则当时，， 故时等式成立， 综上可知，等式成立. (3) 当时，等式左边，右边，所以等式成立； 假设时等式成立，即， 则当时， ， 故时等式成立， 综上可知，等式成立. ◆题型4 用数学归纳法证明不等式 16．当且时，求证：． 【答案】 证明：①当时，左边，不等式成立； ②假设当时，不等式成立， 即， 则当时， 左边 ． 由①②知对任意且不等式成立． 【分析】验证当时，不等式成立，假设当时，不等式成立，证明当时，不等式成 立，从而得出结论. 【详解】①当时，左边，不等式成立； ②假设当时，不等式成立， 即， 则当时， 左边 ． 由①②知对任意且不等式成立． 17．当且时，求证：． 【答案】证明： （i）当时， 左边，右边，左边右边，不等式成立； （ii）假设当时，命题成立， 即， 当时，有： ． 由（i）（ii）可知，原不等式对任意且均成立． 【分析】用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，应注意在归纳假设的基础上，进行合理放缩即可得证． 【详解】略. 18．（24-25高二上·福建莆田·阶段检测）用数学归纳法证明： 【答案】证明： ①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【详解】略. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 【答案】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 【分析】根据题意，先证时，命题成立，假设时，命题也成立，当时，由，即可证明. 【详解】略 20．当时，求证：. 【答案】 （1）当时，左边，右边，左边右边. （2）假设当时不等式成立， 即， 则当时，左边， 即当时，不等式也成立. 综上可知，对一切，且，不等式都成立. 【分析】利用数学归纳法即可进行证明. 【详解】略 ◆题型5 用数学归纳法证明整除问题 21．用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】 ①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立． 【详解】略 22．用数学归纳法证明：能被整除. 【答案】证明：（1）当时，能被整除，所以结论成立； （2）假设当时结论成立，即能被整除． 则当时， ， 因为能被整除，能被整除， 所以，能被整除，即即时结论也成立． 由（1）（2）知命题对一切都成立． 【分析】先验证时，能被整除；假设当时，能被整除，再证明能被整除，结合归纳原理可得出结论成立. 【详解】略. 【点睛】思路点睛：“归纳——猜想——证明”的一般环节： （1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； （2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； （3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 23．用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】 （i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】略 24．设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】 （1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【详解】略 25．求证：对任何正整数n，数都能被8整除 【答案】证明: 1°当n=1时，，命题成立． 2°假设n=k时，能被8整除， 则当n=k+1时，, 因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数， 即n=k+1时，命题也成立 由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除． 【分析】用数学归纳法证明整除问题. 【详解】略 ◆题型6 用数学归纳法证明数列问题 26．（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，前项和与通项满足关系．求证：． 【答案】 ①当时，，即，，结论成立． ②假设时，结论成立，即，则当时， ， 即，（）． 所以，当时，结论也成立． 由①、②知，对都成立． 【详解】略 27．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【答案】(1) (2)当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 【分析】（1）根据求解； （2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）略 28．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值； (3)若，求证：对任意自然数，总有成立． 【答案】(1) 证明：设是图象上任意一点， 则点关于点对称的点的坐标为． 已知，则， ． 故，即函数的图象关于点对称． (2) (3) ，即，不等式等价于． 下面用数学归纳法证明． 当时，左边，右边，，不等式成立； 当时，左边，右边，，不等式成立； 假设当时不等式成立，即， 则当时，左边，右边， ， 因在上单调递增，则. 则，所以对任意自然数，总有成立， 即对任意自然数，总有成立． 【分析】（1）设是图象上任意一点，验证满足解析式可完成证明； （2）由（1）结合题意可得答案； （3）等价于证明，然后由数学归纳法可完成证明. 【详解】（1）略 （2）由（1）有，即， 所以，，， 则． （3）略 29．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，． (2)，证明如下： ①当时，由已知可得结论成立； ②假设当且时猜想成立， 即． 则当时， ， ， 因此当时，结论也成立． 由①②知，对一切都有成立． 【分析】（1）由条件得到，即可逐个计算； （2）；由数学归纳法求证步骤求证即可； 【详解】（1）由已知条件得， 所以，，可得：， ，，可得：， ，，可得：； （2）由（1）的计算可以猜想． 证明略. 30．设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求的前项和． 【答案】(1)，， (2) 证明：①当时，显然成立； ②假设当时，成立，即； 当时，， 所以时也成立， 综合①②可得：. 因为， 可知数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以. 【分析】（1）根据递推公式求，进而猜想通项公式； （2）利用数学归纳法证明，结合等差数列的定义和求和公式分析求解. 【详解】（1）因为数列满足，， 可得，， 由此可猜想. （2）略 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】找出使成立的最小正整数即可. 【详解】当时，，不成立. 当时，，不成立. 当时，，成立，故使不等式成立的最小正整数为，. 2．（24-25高一下·上海·期末）观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（     ）. A．； B． C．； D． 【答案】C 【分析】由归纳推理结合题意可得答案. 【详解】注意到， 则可猜想：，AD错误， 或，B错误C正确. 故选：C 3．（24-25高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 【详解】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D 5．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察为项连续正整数之和的规律，可得. 【详解】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 6．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【答案】C 【分析】利用数学归纳法的定义可得出结论. 【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 7．用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据归纳法即可得到答案. 【详解】解：根据数学归纳法可知： 当时， 当时， 相比从到，可知多增加的项为 故选：D 8．用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，对分别赋值和，比较左式即得. 【详解】根据数学归纳法的规定，当时，等式为， 当时，等式为， 则左边增加的代数式是. 故选：A. 9．用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将时左边的等式除以时左边的等式即可得解. 【详解】解：当时，左边， 当时，左边， 所以左边应添加因式为 故选：B. 10．用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案. 【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立. 故选：B 11．（多选）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 【答案】BC 【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当时，可得；当时，可得； 即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确； 当时，可得； 当时，可得； 两式相减得：， 所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误； 故选：BC. 12．（多选）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（    ） A．过程全部正确 B．时证明正确 C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确 【答案】BD 【分析】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可. 【详解】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确. 故选：BD. 13．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 【答案】 【详解】在数学归纳法的递推性证明中，由到时，增加的项是从到的所有项，即. 14．（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明时，从到左边需要添加的因式是________． 【答案】 【详解】当时，左端为：， 当时，左端为：， 由到需添加的因式为：． 15．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 【答案】 【详解】， ， ， 则比多了项． 16．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是_______. 【答案】 【分析】利用数学归纳法的性质分析式子前后的变动情况，再求解答案即可. 【详解】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 17．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【答案】(1) (2)当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 【分析】（1）根据求解； （2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）略 18．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明: 由，得． 在数列中，， 故数列中的任何一项都小于1． (2)，证明如下： 当，且时猜想正确． ①当时已证； ②假设当（，且）时，有成立， 那么 所以当时，猜想正确． 综上所述，对于一切，都有． 【分析】（1）利用递推式变形，结合数列为正项数列，通过数学归纳法或直接推导证明每一项都小于1； （2）先由（1）得到，猜想，再用数学归纳法证明． 【详解】（1）略； （2）由（1）知，，那么， 由此猜想．证明略. 19．已知数列，，，，，，其中是大于零的常数，记的前项和为，计算，，的值，由此推出计算的公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】 ，， ，猜想：， 用数学归纳法证明， ①当时，猜想成立； ②假设当时，猜想成立，即， 则， 即时，猜想也成立， 由①②得，成立． 【分析】根据给定条件，计算并猜想，再利用数学归纳法证明. 【详解】略 20．（2025·广东广州·二模）设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)因为，得， 所以. 由于，得， 得， 所以. 【分析】（1）解法1：由题意可求得，当时，求得，当时，，可得，可求通项公式；解法2：由题意可得，先求得前几项，猜想通项公式，再利用数学归纳法证明即可； （2）由题意可得，可求得，可证结论. 【详解】（1）解法1：因为是和8的等差中项， 所以，即.① 当时，，得. 当时，，② ①－②得，得，即. 所以数列是以首项为8，公比为2的等比数列. 所以. 解法2：因为是和8的等差中项， 所以，即. 当时，，得. 当时，，得. 当时，，得. 猜想：. （下面用数学归纳法证明） 1当时，可知猜想成立， 2假设时，猜想成立，即， 依题意，得，得， 又，得， 则， 得. 即当时，猜想也成立. 由1，2可知猜想成立，即. （2）略 21．（24-25高二下·北京房山·阶段检测）已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 【答案】(1)； (2)证明： . 当时，结论显然成立； 假设成立，则， 则. 即成立时，也成立，又时，结论成立， 则结论对所有正整数均成立，则. 【分析】（1）由递推公式计算，，，即可推测通项公式； （2）利用数学归纳法可完成证明. 【详解】（1）由题，； ；. 则推测； （2）略. 22．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，． (2)，证明如下： ①当时，由已知可得结论成立； ②假设当且时猜想成立， 即． 则当时， ， ， 因此当时，结论也成立． 由①②知，对一切都有成立． 【分析】（1）由条件得到，即可逐个计算； （2）；由数学归纳法求证步骤求证即可； 【详解】（1）由已知条件得， 所以，，可得：， ，，可得：， ，，可得：； （2）由（1）的计算可以猜想． 证明略. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $