专题1.4 数列求和专项训练-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第二册

专题1.4 数列求和 考点预览 考点一 分组转化求和 考点二 裂项相消求和 考点三 错位相减求和 考点四 倒序相加与并项求和 考点五 数列求和的综合应用 一、知识填空 1．公式法与分组求和 （1）等差、等比数列直接套用求和公式；数列 （ 等差、 等比）时， 。 （2）分组求和的关键是把数列拆成若干个可求和的 。 2．裂项相消求和 （1） 。 （2） 。 3．错位相减求和 （1）适用于数列 ，其中 为 数列， 为 数列。 （2）方法：写出 ，两边乘公比 得 ，两式 ，化为等比数列求和。 4．倒序相加与并项求和 （1）倒序相加适用于与首末两端等距离的项之和 的数列（等差数列求和公式的推导方法）。 （2）并项求和：把相邻两项（如 ） 后再求和。 5．常用求和公式 （1） 。 （2） 。 二、考点专练 考点一 分组转化求和 方法与技巧： 1. 识别信号：数列由等差部分与等比部分相加（或交替）构成，如 。 1. 操作流程：把 拆为两个可求和的子数列，分别求和后相加；等比部分注意公比是否为 1。 1. 技巧·口诀：“见和就拆分，等差加等比，各算各的和”。 1. 易错点：等比部分求和时若 需单独处理；相加时不要把两个子数列的项数弄错。 【例题精讲】 1．求数列 的前 项和 。 2．求数列 ，，，，，，… 中前 项中所有奇数位置项之和。 【变式训练】 1．数列 的前 3 项和为（　　） A．57 B．39 C．45 D．42 2．数列 的前 2 项和为（　　） A．10 B．8 C．12 D．6 3．数列 的前 2 项和为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．数列 的前 3 项和为（　　） A．13 B．10 C．14 D．11 2．数列 的第 2 项为（　　） A．10 B．7 C．12 D．8 3．数列 的前 4 项和为（　　） A．20 B．16 C．18 D．14 4．求数列 的前 项和。 5．数列 的前 2 项和为（　　） A． B． C． D． 6．数列 ，，，… 的第 4 项为（　　） A．10 B．6 C．15 D．4 7．数列 的前 2 项和为（　　） A．8 B．6 C．4 D．10 8．求数列 的前 4 项和。 考点二 裂项相消求和 方法与技巧： 1. 识别信号：分式型数列，分母为相邻（或等差）两自然数之积。 1. 操作流程：；一般地 ；求和后中间项成对抵消。 1. 技巧·口诀：“裂项差一等差分，差 k 系数分之 k”。 1. 易错点：裂项系数 别漏掉；相消后剩余首尾各留一半，剩余项数与裂项方式要核对。 【例题精讲】 1．求数列 的前 项和 。 2．求数列 的前 项和 。 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 2．数列 的前 3 项和为（　　） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 2．数列 裂项后 （　　） A． B． C． D． 3．数列 的前 2 项和为（　　） A． B． C． D． 4． 成立的最小正整数 为（　　） A．9 B．8 C．10 D．7 5．数列 的第 2 项为（　　） A． B． C． D． 6．求数列 的前 项和。 7． 前 2 项和为（　　） A． B． C． D． 8．数列 ，则 （　　） A． B． C． D． 考点三 错位相减求和 方法与技巧： 1. 识别信号：数列通项为等差项乘等比项，如 。 1. 操作流程：写出 ；两边乘公比 得 ；两式相减，等差系数部分构成等比数列，再套等比求和公式。 1. 技巧·口诀：“差乘比就错位，一乘一减再回套”。 1. 易错点：相减时项的对应错位（ 的首项对应 的第二项）；结果中常出现 型项，最后一步要仔细合并。 【例题精讲】 1．求数列 的前 项和 。 2．求数列 的前 3 项和。 【变式训练】 1．数列 的第 3 项为（　　） A．24 B．12 C．8 D．16 2．数列 的前 2 项和为（　　） A．1 B． C． D． 3．等差数列 ，，，… 与等比数列 ，，，… 对应项相乘得数列 ，则 （　　） A．32 B．16 C．8 D．64 【巩固练习】 1．求数列 的前 3 项和。 2．数列 的第 2 项为（　　） A．18 B．9 C．6 D．27 3．数列 的前 2 项和为（　　） A．1 B． C． D． 4．错位相减求和适用于数列 ，其中（　　） A． 等差， 等比 B． 等比， 等差 C．两者均等差 D．两者均等比 5．数列 的第 2 项为（　　） A．12 B．8 C．16 D．6 6．求数列 的前 2 项和。 7．数列 的前 3 项和为（　　） A．20 B．15 C．14 D．11 8．数列 的第 1 项为（　　） A． B． C． D． 考点四 倒序相加与并项求和 方法与技巧： 1. 识别信号：首末对称（等差结构）或相邻两项合并后有规律（如 交替、分段函数）。 1. 操作流程：倒序相加——把 反写为 与原式相加，利用对称项之和恒定；并项求和——把 合并求规律，注意 的奇偶讨论。 1. 技巧·口诀：“首尾对称倒序加，相邻两项并一起；奇偶分组先讨论，最后别忘查项数”。 1. 易错点：并项求和时 为奇数要多算最后一项，必须分奇偶讨论；倒序相加要求对称项之和为常数。 【例题精讲】 1．用倒序相加法推导：等差数列 的前 项和 。 2．数列 满足 ，即数列为 ，，，，，，…，求前 项和。 【变式训练】 1．数列 ，，，，…， 的前 4 项和为（　　） A．-2 B．2 C．-4 D．4 2．数列 的前 100 项和为（　　） A．0 B．-1 C．1 D．50 3．数列 ，，，，，，… 的第 项为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．数列 的前 5 项和为（　　） A．3 B．-3 C．1 D．5 2．数列 的前 100 项和为（　　） A．100 B．50 C．0 D．-100 3．等差数列 中，，项数 ，则 （　　） A．40 B．80 C．20 D．18 4．数列 ，则 （　　） A．15 B．10 C．55 D．25 5．数列 的前 4 项为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．数列 的前 3 项和为（　　） A．-6 B．5 C．-9 D．9 7．倒序相加法推导等差数列求和公式的依据是（　　） A．与首末两端等距离的两项之和相等 B．相邻两项之差相等 C．相邻两项之比相等 D．各项均为正 8．数列 ，，，，…， 的前 2025 项和为（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2025 考点五 数列求和的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：先求通项再求和（先由递推式求 ，再选求和方法）；含参数的求和与不等式结合。 1. 操作流程：第一步化简通项（判结构定方法）；第二步选法——公式法、分组法、裂项法、错位法、并项法；第三步化简结果。 1. 技巧·口诀：“先通项后求和，结构定方法；分式想裂项，差乘想错位”。 1. 易错点：并项法必须讨论 的奇偶；错位相减后结果的项数与符号要逐项核对。 【例题精讲】 1．数列 满足 ，，求数列 的前 项和。 2．求和：。 【变式训练】 1．数列 与 的对应项之和构成的数列 的前 2 项和为（　　） A． B． C． D． 2．数列 的第 2 项为（　　） A． B． C． D． 3．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．数列 满足 ，，则 的前 4 项和为（　　） A．30 B．15 C．31 D．62 2． 的值为（　　） A． B． C． D． 3．数列 的前 2 项和为（　　） A．10 B．6 C．8 D．12 4．数列 的前 1 项为（　　） A． B． C． D． 5．数列 的前 4 项和为（　　） A．4 B．-4 C．20 D．0 6．已知 ，则 （　　） A．1 B．2 C． D． 7．数列 的前 3 项和为（　　） A． B． C． D． 8．数列 ，，，… 的第 3 项为（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．（　　） A． B． C． D． 2．数列 的第 2 项为（　　） A．6 B．4 C．5 D．7 3．数列 的前 2 项和为（　　） A．10 B．6 C．8 D．12 4．数列 的前 6 项和为（　　） A．-3 B．3 C．0 D．6 5．数列 的前 99 项和为（　　） A． B． C． D． 6．数列 ，，，，… 的前 2026 项和为（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2026 7．等差数列 中，，，则 （　　） A．25 B．20 C．30 D．15 8．数列 的前 2 项和为（　　） A．1 B． C． D． 9．已知 ，，求数列 的前 项和。 10．求数列 的前 项和 。 11．求和：。 12．数列 满足 ，，求 的前 5 项和。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 数列求和 考点预览 考点一 分组转化求和 考点二 裂项相消求和 考点三 错位相减求和 考点四 倒序相加与并项求和 考点五 数列求和的综合应用 一、知识填空 1．公式法与分组求和 （1）等差、等比数列直接套用求和公式；数列 （ 等差、 等比）时， 。 （2）分组求和的关键是把数列拆成若干个可求和的 。 2．裂项相消求和 （1） 。 （2） 。 3．错位相减求和 （1）适用于数列 ，其中 为 数列， 为 数列。 （2）方法：写出 ，两边乘公比 得 ，两式 ，化为等比数列求和。 4．倒序相加与并项求和 （1）倒序相加适用于与首末两端等距离的项之和 的数列（等差数列求和公式的推导方法）。 （2）并项求和：把相邻两项（如 ） 后再求和。 5．常用求和公式 （1） 。 （2） 。 自检自纠： 1．（1） （2）基本数列（等差或等比） 2．（1） （2） 3．（1）等差；等比 （2）相减 4．（1）相等 （2）合并（或分组） 5．（1） （2） 二、考点专练 考点一 分组转化求和 方法与技巧： 1. 识别信号：数列由等差部分与等比部分相加（或交替）构成，如 。 1. 操作流程：把 拆为两个可求和的子数列，分别求和后相加；等比部分注意公比是否为 1。 1. 技巧·口诀：“见和就拆分，等差加等比，各算各的和”。 1. 易错点：等比部分求和时若 需单独处理；相加时不要把两个子数列的项数弄错。 【例题精讲】 1．求数列 的前 项和 。 【答案】 【详解】。 2．求数列 ，，，，，，… 中前 项中所有奇数位置项之和。 【答案】 【详解】奇数位置项为 ，，，…，共 项，是公差为 的等差数列，末项为 ，。 【变式训练】 1．数列 的前 3 项和为（　　） A．57 B．39 C．45 D．42 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．数列 的前 2 项和为（　　） A．10 B．8 C．12 D．6 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．数列 的前 2 项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 【巩固练习】 1．数列 的前 3 项和为（　　） A．13 B．10 C．14 D．11 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．数列 的第 2 项为（　　） A．10 B．7 C．12 D．8 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．数列 的前 4 项和为（　　） A．20 B．16 C．18 D．14 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．求数列 的前 项和。 【答案】 【详解】。 5．数列 的前 2 项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．数列 ，，，… 的第 4 项为（　　） A．10 B．6 C．15 D．4 【答案】A 【详解】第 4 项为 。故选 A。 7．数列 的前 2 项和为（　　） A．8 B．6 C．4 D．10 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 8．求数列 的前 4 项和。 【答案】 【详解】。 考点二 裂项相消求和 方法与技巧： 1. 识别信号：分式型数列，分母为相邻（或等差）两自然数之积。 1. 操作流程：；一般地 ；求和后中间项成对抵消。 1. 技巧·口诀：“裂项差一等差分，差 k 系数分之 k”。 1. 易错点：裂项系数 别漏掉；相消后剩余首尾各留一半，剩余项数与裂项方式要核对。 【例题精讲】 1．求数列 的前 项和 。 【答案】 【详解】，。 2．求数列 的前 项和 。 【答案】 【详解】，。 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．数列 的前 3 项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】各分母为 （），。故选 A。 2．数列 裂项后 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】差为 ，故裂项系数为 。故选 A。 3．数列 的前 2 项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 4． 成立的最小正整数 为（　　） A．9 B．8 C．10 D．7 【答案】A 【详解】， 得 ，最小 。故选 A。 5．数列 的第 2 项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．求数列 的前 项和。 【答案】 【详解】，。 7． 前 2 项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．数列 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 考点三 错位相减求和 方法与技巧： 1. 识别信号：数列通项为等差项乘等比项，如 。 1. 操作流程：写出 ；两边乘公比 得 ；两式相减，等差系数部分构成等比数列，再套等比求和公式。 1. 技巧·口诀：“差乘比就错位，一乘一减再回套”。 1. 易错点：相减时项的对应错位（ 的首项对应 的第二项）；结果中常出现 型项，最后一步要仔细合并。 【例题精讲】 1．求数列 的前 项和 。 【答案】 【详解】，；相减得 ，故 。 2．求数列 的前 3 项和。 【答案】 【详解】， 的各项通分为 ：。 【变式训练】 1．数列 的第 3 项为（　　） A．24 B．12 C．8 D．16 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．数列 的前 2 项和为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．等差数列 ，，，… 与等比数列 ，，，… 对应项相乘得数列 ，则 （　　） A．32 B．16 C．8 D．64 【答案】A 【详解】。故选 A。 【巩固练习】 1．求数列 的前 3 项和。 【答案】 【详解】。 2．数列 的第 2 项为（　　） A．18 B．9 C．6 D．27 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．数列 的前 2 项和为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．错位相减求和适用于数列 ，其中（　　） A． 等差， 等比 B． 等比， 等差 C．两者均等差 D．两者均等比 【答案】A 【详解】通常等差作系数、等比作因子，两式相减后化为等比求和。故选 A。 5．数列 的第 2 项为（　　） A．12 B．8 C．16 D．6 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．求数列 的前 2 项和。 【答案】 【详解】。 7．数列 的前 3 项和为（　　） A．20 B．15 C．14 D．11 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．数列 的第 1 项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 考点四 倒序相加与并项求和 方法与技巧： 1. 识别信号：首末对称（等差结构）或相邻两项合并后有规律（如 交替、分段函数）。 1. 操作流程：倒序相加——把 反写为 与原式相加，利用对称项之和恒定；并项求和——把 合并求规律，注意 的奇偶讨论。 1. 技巧·口诀：“首尾对称倒序加，相邻两项并一起；奇偶分组先讨论，最后别忘查项数”。 1. 易错点：并项求和时 为奇数要多算最后一项，必须分奇偶讨论；倒序相加要求对称项之和为常数。 【例题精讲】 1．用倒序相加法推导：等差数列 的前 项和 。 【答案】 【详解】，，两式相加，每对对称项之和均为 ，共 对，故 。 2．数列 满足 ，即数列为 ，，，，，，…，求前 项和。 【答案】 【详解】并项：，。 【变式训练】 1．数列 ，，，，…， 的前 4 项和为（　　） A．-2 B．2 C．-4 D．4 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．数列 的前 100 项和为（　　） A．0 B．-1 C．1 D．50 【答案】A 【详解】相邻两项相加均为 ，共 50 对，。故选 A。 3．数列 ，，，，，，… 的第 项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数 出现在第 与 项，故第 项为 。故选 A。 【巩固练习】 1．数列 的前 5 项和为（　　） A．3 B．-3 C．1 D．5 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．数列 的前 100 项和为（　　） A．100 B．50 C．0 D．-100 【答案】A 【详解】，每对为 ，共 50 对，。故选 A。 3．等差数列 中，，项数 ，则 （　　） A．40 B．80 C．20 D．18 【答案】A 【详解】（倒序相加思想）。故选 A。 4．数列 ，则 （　　） A．15 B．10 C．55 D．25 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．数列 的前 4 项为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【详解】，，，。故选 A。 6．数列 的前 3 项和为（　　） A．-6 B．5 C．-9 D．9 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．倒序相加法推导等差数列求和公式的依据是（　　） A．与首末两端等距离的两项之和相等 B．相邻两项之差相等 C．相邻两项之比相等 D．各项均为正 【答案】A 【详解】倒序相加利用对称项之和恒为 。故选 A。 8．数列 ，，，，…， 的前 2025 项和为（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2025 【答案】A 【详解】前 2024 项两两相消为 ，剩第 2025 项 。故选 A。 考点五 数列求和的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：先求通项再求和（先由递推式求 ，再选求和方法）；含参数的求和与不等式结合。 1. 操作流程：第一步化简通项（判结构定方法）；第二步选法——公式法、分组法、裂项法、错位法、并项法；第三步化简结果。 1. 技巧·口诀：“先通项后求和，结构定方法；分式想裂项，差乘想错位”。 1. 易错点：并项法必须讨论 的奇偶；错位相减后结果的项数与符号要逐项核对。 【例题精讲】 1．数列 满足 ，，求数列 的前 项和。 【答案】 【详解】，，。 2．求和：。 【答案】 【详解】错位相减：，，相减得 ，整理得 。 【变式训练】 1．数列 与 的对应项之和构成的数列 的前 2 项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 2．数列 的第 2 项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 【巩固练习】 1．数列 满足 ，，则 的前 4 项和为（　　） A．30 B．15 C．31 D．62 【答案】A 【详解】等比数列，。故选 A。 2． 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．数列 的前 2 项和为（　　） A．10 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．数列 的前 1 项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．数列 的前 4 项和为（　　） A．4 B．-4 C．20 D．0 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．已知 ，则 （　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 7．数列 的前 3 项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．数列 ，，，… 的第 3 项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第 3 项分母为 ，项为 。故选 A。 三、达标检测 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．数列 的第 2 项为（　　） A．6 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．数列 的前 2 项和为（　　） A．10 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．数列 的前 6 项和为（　　） A．-3 B．3 C．0 D．6 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．数列 的前 99 项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 6．数列 ，，，，… 的前 2026 项和为（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2026 【答案】A 【详解】两两相消，。故选 A。 7．等差数列 中，，，则 （　　） A．25 B．20 C．30 D．15 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．数列 的前 2 项和为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 9．已知 ，，求数列 的前 项和。 【答案】 【详解】，，。 10．求数列 的前 项和 。 【答案】 【详解】错位相减：，，相减得 ，故 。 11．求和：。 【答案】 【详解】错位相减：，两式相减得 ，整理得 。 12．数列 满足 ，，求 的前 5 项和。 【答案】 【详解】等比数列，。 学科网（北京）股份有限公司 $