专题04 等差、等比数列的判定与证明（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题04等差、等比数列的判定与证明 常考题型·精准突破 考点一 等差数列的判断与证明 题型1 定义法判断数列为等差数列 （重）（高频） 题型2 等差中项法判断数列为等差数列 题型3 通项公式法判断数列为等差数列 题型4 前n项和公式法判断数列为等差数列 题型5 证明数列为等差数列 （难） 考点二 等比数列的判断与证明 题型6 定义法判断数列为等比数列（重）（高频） 题型7 等比中项法判断数列为等比数列 题型8 证明数列为等比数列（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 等差数列的判断与证明 ◆题型1定义法判断数列为等差数列 1．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义判断. 【详解】假设，其中为常数 对于A： 则为常数，所以是等差数列； 对于B： 则为常数，所以是等差数列； 对于C： 则，该式随变化，不是常数，所以不可能是等差数列； 对于D：当时，为常数列，是等差数列，所以可能是等差数列. 2．（多选）（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的有（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列是公差为的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的定义逐项判断. 【详解】选项A，若，则，为常数， 所以数列是等差数列，故A正确； 选项B，若，则，为常数， 所以数列是等差数列，故B正确； 选项C，若，则， ， 数列是公差为的等差数列，故C不正确 选项D，若，则， ， 数列是公差为的等差数列，故D正确． 故选：ABD 3．（多选）（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用等差数列的定义可判断AC选项，取，可判断BD选项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以是等差数列，故A正确； ， 所以是等差数列，故C正确； 若，则，，，， 所以，，，所以，故不是等差数列，故B错误； 若，，，，所以，故不是等差数列，故D错误. 故选：AC. 4．（24-25高三上·山西长治·阶段检测）已知数列与是两个不同的数列． (1)设数列为单调递增数列，为单调递减数列，记集合，求集合中元素个数的最大值； (2)若为等差数列，且不是常数列，，判断是否为等差数列． 【答案】(1)1 (2)不是 【分析】（1）从散点图的角度即可判断； （2）结合等差数列的定义即可判断. 【详解】（1）因为为递增数列，所以体现在散点图上，是呈上升趋势， 为递减数列，所以体现在散点图上，是呈下降趋势，两者至多一个交点， 所以集合中元素个数的最大值为1. （2）设的公差为，不等于0， 所以显然不是一个定值， 所以不是等差数列． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由. 【答案】(1)是，理由如下： 当时，， 当时，得， 则， 化简得， 当时，成立. 综上所述，数列的通项公式为， 当时，，故数列为等差数列. (2)是，理由如下： 因为，且， 所以， 当时，，故数列为等差数列. 【分析】（1）利用，求得数列的通项公式，进而可得结论； （2）利用（1）的结论可求得，可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型2 等差中项法判断数列为等差数列 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】必要性验证：若数列为等差数列，根据等差中项的性质：对任意，若，则， 令，可得，故必要性成立； 充分性验证：若仅满足，无法推出数列为等差数列， 例如构造数列：，此时，，满足，但该数列相邻项差值不恒定，不是等差数列，故充分性不成立， 因此该条件是数列为等差数列的必要不充分条件. 7．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案. 【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列， 故选：B. 8．在数列中，若，，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项可得为等差数列，即得结论. 【详解】因为， 所以，又，， 所以数列是等差数列，公差， 所以， 所以. 故选：A． 9．（判断题）若是等差数列，则对任意都有；( ) 【答案】正确 【分析】利用通项公式进行分析即可得； 【详解】因为，所以， 又， 所以，故说法正确； 故答案为：正确 10．（25-26高二下·全国·课堂例题）若数列中，是和的等差中项，那么数列是等差数列吗？为什么？ 【答案】是，理由如下： 因为是和的等差中项，所以成等差数列， 故，由等差数列的定义知数列是等差数列． 【分析】由等差数列定义及性质理解辨析即可. 【详解】是，理由略. ◆题型3 通项公式法判断数列为等差数列 11．（23-24高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 12．（多选）（24-25高二上·新疆·阶段检测）已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，所以是公差为0的等差数列，故A正确； 对于B，当时，，所以是公差为5的等差数列，故B正确； 对于C，当时，，， 所以是公差为的等差数列，故C正确； 对于D，当时，，所以不是等差数列，故D不正确. 故选：ABC. 13．（多选）（23-24高二下·安徽安庆·阶段检测）在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（    ） A．（k，b为常数，） B．（d为常数，） C． D．的前n项和 【答案】ACD 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】（k，b为常数，）的关系式符合一次函数的形式， 所以是等差数列，故A正确； （d为常数，）不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故B错误； ，对于数列符合等差中项的形式， 所以是等差数列，故C正确； 的前n项和，符合， 所以为等差数列，故D错误. 故选：ACD. 14．（26-27高二上·全国·课后作业）给出下列各数列的通项公式，其中数列为等差数列的有________．（填序号） ①；②；③． 【答案】① 【详解】①中，是关于的一次函数，且，所以数列是公差为的等差数列； ②中，当时，，当时，，当时，，，所以不是等差数列； ③中，为关于的二次函数， ，，，，故不是等差数列． 15．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列数列是否为等差数列： (1)； (2) 【答案】(1)是等差数列 (2)不是等差数列 【分析】（1）根据等差数列的定义判断； （2）根据等差数列的定义判断. 【详解】（1）当时，， 所以这个数列是等差数列． （2）由通项公式，知，，． ，所以该数列不是等差数列． ◆题型4前n项和公式法判断数列为等差数列 16．（24-25高二下·北京·阶段检测）已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【分析】利用的关系先确定通项公式，结合等差数列与等比数列的定义判定即可. 【详解】当时，， 当时，，作差得， 显然时，也满足上式，故， 显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误. 故选：A 17．（23-24高三上·安徽·阶段检测）已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义及充分条件与必要条件定义判断即可． 【详解】若是等差数列，设其公差为，则， 所以， 若，则， 当时，，当时，，此时也满足， 所以，于是有是等差数列， 所以“是等差数列”是“”的充要条件． 故选：A 18．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知等差数列前项和为，则______. 【答案】 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 19．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)若，则是等差数列吗？ (2)若，则是等差数列吗？ 【答案】(1)是 (2)不是 【解析】略 ◆题型5 证明数列为等差数列 20．已知数列和满足，且. (1)当时，求数列的通项公式； (2)若，求证：数列是等差数列. 【答案】(1) (2) 因为，所以， 则， 两式相减，得， 所以，即， 当时，， 所以公差， 所以是以为首项，为公差的等差数列． 【分析】（1）根据以及题干，代入计算即可； （2）代入可知，然后根据等差中项进行判断即可. 【详解】（1）当时，， 由题意得， 所以的通项公式为． （2）略 21．（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 【答案】(1) 数列是等差数列，理由： 因为数列满足：，，所以. 所以，所以数列是等差数列. (2) (3) 若是数列中的项，则是数列中的项， 令，则，解得. 所以是数列中的第5项. 【分析】（1）将原等式进行变形，根据等差数列的定义判断即可. （2）根据（1）中的数列是等差数列先求出其通项公式，进而可求得结果. （3）若是数列中的项，则是数列中的项，然后代入数列的通项公式中求出即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为3， 所以，所以. 所以. （3）略 22．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 【答案】(1) (2)或,证明：由，， 可得. 所以. 因为，，成等差数列，则. . . . 故：.解得或； 当时，. ，为常数； 当时，，为常数； 所以或，为等差数列. 【分析】（1）根据已知条件求出和，从而得到的通项公式. （2）求出后代入表达式，再根据，，成等差数列求出，最后通过计算是否为常数来证明为等差数列. 【详解】（1）已知，根据等差数列通项公式可得. 又因为，根据等差数列前项和公式， 可得，即. 联立方程组，可得，即. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. （2）略 23．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．求证：为等差数列； 【答案】 当时，，解得或， 又，所以，故， 由，可得，所以， 当时，． 所以，即， 所以，即， 所以是以为首项，1为公差的等差数列． 【分析】根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证； 【详解】略 24．（25-26高二下·江西宜春·期末）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等差数列． 【答案】(1)； (2) 由（1）知，，当时，， 因此． 所以数列是一个以2为公差的等差数列． 【分析】（1）根据给定的条件，利用前n项和求出通项作答. （2）由（1）的结论，结合等差数列定义判断作答. 【详解】（1）由，，得当时，， 于是， 而当时，亦满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）略 25．已知数列满足，证明：数列为等差数列． 【答案】证明： 依题意，， 以替换得， 两式相减并整理的， 由于，所以， 所以数列为等差数列. 【分析】根据等差中项的知识证得数列为等差数列. 【详解】略. 26．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，记．求证：数列是等差数列． 【答案】（定义法）， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. （等差中项法），， ， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 【分析】利用等差数列的定义或等差中项的知识来证得数列是等差数列． 【详解】略 考点二 等比数列的判断与证明 ◆题型6 定义法判断数列为等比数列 27．（26-27高二上·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义判断即可. 【详解】解：①中，（常数），所以数列是等比数列； ②中，（常数），所以数列是等比数列； ③中，不妨设，则数列为，因为，所以数列不一定是等比数列； ④中，数列的项可能为0，故不一定是等比数列； ⑤中，（常数），所以数列是等比数列． 故①②⑤是等比数列． 28．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列定义逐一分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 29．（多选）（25-26高二上·安徽·期末）已知数列是等比数列，则下列说法一定正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 【答案】AB 【分析】设等比数列的公比为，然后利用等比数列和等差数列概念逐项判断，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，是等比数列，，，故A正确； 因为，所以数列是等比数列，故B正确； 设，则，，， 此时数列不是等比数列，故C错误； 不为常数，故D错误. 故选：AB. 30．（多选）设是等比数列，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AC 【分析】利用等比数列定义可判断A、C、，令，可判断B，取可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即． 因为，所以是等比数列，所以A选项正确； 因为，所以是等比数列，所以C选项正确； 当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误； 不妨取等比数列为，则，此时不是等比数列，所以D选项错误. 故选：AC 31．（多选）（25-26高二下·安徽滁州·期中）设等比数列的公比为，则下列结论不正确的是（   ） A．数列是公比为的等比数列 B．数列是公比为的等比数列 C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为的等比数列 【答案】ABC 【详解】由题意可得， 对于数列，可知，所以选项A错误； 对于数列，当时，，此时不符合题意，所以B错误； 对于数列，可知当时， ，此时不符合题意，所以C错误； 对于数列，可知，所以D正确. ◆题型7 等比中项法判断数列为等比数列 32．已知数列，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质进行充分性与必要性判断即可. 【详解】若为等比数列，则一定成立；若，则不一定为等比数列，比如 所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B. 33．（2024·重庆·模拟预测）设且，命题甲：为等比数列；命题乙：；则命题甲是命题乙的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，由等比数列的定义结合等比中项的公式代入计算，即可判断. 【详解】若为等比数列，则满足，即， 所以，故充分性不成立， 当时，数列满足，但此时为等比数列不成立， 故必要性不成立， 所以为等比数列是的既不充分也不必要条件. 故选：D 34．设是各项不为0的无穷数列,“”是“为等比数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义可以判断“”是“为等比数列”的充分必要条件,即可选出结果. 【详解】解:由题知是各项不为0, 若, 则, 故为等比数列; 若为等比数列, 则有, 即; 综上“”是“为等比数列”的充分必要条件. 故选:C ◆题型8 证明数列为等比数列 35．（25-26高二上·云南·期末）已知为数列的前项和，且（）．证明数列为等比数列； 【答案】 当时，，得，所以， 由（）①， 得 ②， ②①，得， 所以，即， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 【分析】由已知可得，再由等比数列的定义，即可证明. 【详解】略 36．已知数列满足，．证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【答案】证明见解析， 【分析】根据定义法证明数列为等比数列，依据等比数列通项公式求解目标数列通项公式． 【详解】已知，变形得， 由，可得， 所以是以1为首项，以4为公比的等比数列． 则，解得． 37．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的首项，且满足．设，求证：数列为等比数列； 【答案】证明： 因为，所以. 由题意，数列满足， 可得， 所以， 又，所以， 则为常数， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 【分析】化简已知条件，根据等比数列的定义即可证明结果； 【详解】略. 38．设数列的前n项和为，已知．证明：数列为等比数列． 【答案】 当时，，又，所以，， 由，得，， 两式相减得， 即， 所以， 又，则，， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． 【分析】根据的关系结合等比数列的定义即可得证. 【详解】略 39．（2025高二上·湖南长沙·专题练习）数列的前n项和记为，已知，（），求证：数列是等比数列； 【答案】 ∵，， ∴. 即，∴，而， 故是以2为公比的等比数列. 【分析】由化简已知条件，得到，从而证得数列是等比数列. 【详解】略 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用特例判断A、B、D，再由等比数列的定义及性质判断C. 【详解】若的公比为，此时、均是常数数列且为0，但不是等比数列，B、D错， 若的公比为，此时是常数数列且为0，不是等比数列，A错， 若的公比为，，且， 则是首项为，公比为的等比数列，C对. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等比数列的定义判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 3．（多选）设是无穷数列，，则下列给出的四个判断中，正确的有（    ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等差数列，则是等差数列 C．若是等差数列，则是等差数列 D．若是等差数列，则是等差数列 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若是等差数列，设公差为， 则为常数， 所以是等差数列，A选项正确. C选项，若是等差数列，设公差为， 则为常数， 所以是等差数列，C选项正确. BD选项，若是等差数列，设公差为， 则为常数， 所以的奇数项成等差数列、偶数项也成等差数列，所以B错误，D正确. 故选：ACD 4．（多选）已知数列均为无穷等差数列，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．是等差数列 D．若，则为等差数列 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】∵为等差数列，设公差为，∴． ∵为等差数列，设公差为，∴． 对于A，，是常数，A选项正确. 对于B，，不是常数，B选项错误. 对于C，，是常数，C选项正确. 对于D，，是常数，D选项正确. 故选:ACD 5．（多选）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】AB 【分析】对各个选项，利用求出数列的通项，再借助通项判断等差数列作答. 【详解】对于A，当时，，而满足上式， 则，数列是常数数列，是等差数列，A是； 对于B，当时，，而满足上式， 则有，数列的通项是n的一次整式，是等差数列，B是； 对于C，当时，，而不满足上式， 则，显然，数列不是等差数列，C不是； 对于D，当时，，而不满足上式， 则，显然，数列的不是等差数列，D不是. 故选：AB 6．（多选）（25-26高二上·江苏常州·期末）已知数列，下列说法正确的有（    ） A．若为等差数列，则为等比数列 B．若，则为等差数列 C．若为等比数列，则为等比数列 D．若为正项等比数列，则为等差数列 【答案】AD 【分析】由题设结合等比，等差数列定义可判断选项正误. 【详解】对于A，为等差数列，即，则，且， 则数列为等比数列，故A正确； 对于B ，，化简可得，即， 当时，数列为常数列，各项都是零， 当时，数列为等比数列，故B错误； 对于C，为等比数列，当公比时，恒有，此时数列不是等比数列，故C不正确； 对于D，为正项等比数列，即， 所以，所以数列为等差数列，故D正确． 7．（多选）（25-26高二上·江苏镇江·期末）设数列是等比数列，下列说法正确的有（      ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】ABD 【分析】通过设等比数列的首项与公比，分别推导每个选项对应数列的通项，利用定义判断其是否为等比或等差数列. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，则. ，，为非零常数， 故是等比数列，A选项正确. ，，为常数， 故是等差数列，B选项正确. ，，指数随变化而变化，不一定是常数， 故不一定是等比数列，C选项错误. ，，为非零常数， 故是等比数列，D选项正确. 故选：ABD 8．（多选）（25-26高二上·甘肃陇南·阶段检测）在数列中，若，则下列结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 【答案】ABD 【分析】利用等比数列和等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以是等比数列，故A正确； 对于B，因为，所以是等比数列，故B正确； 对于C，因为不为常数，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，因为， 所以是等差数列，故D正确. 故选：ABD. 9．已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是____________ ①   ②   ③   ④ 【答案】① ② ③ 【分析】根据等差数列的通项公式及单调性判断各项是否等差数列即可. 【详解】令的公差为，则， ，即是首项为，公差为的等差数列； ，即是首项为，公差为的等差数列； ，即是首项为，公差为的等差数列； 若，则先递减，后递增，不可能为等差数列. 故答案为：① ② ③ 10．已知数列的前n项和为，若，.记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由. 【答案】 因为， 当时，，又因为，所以 当时，因为， 由，得①， 所以②， 所以①-②得：，, 所以，，， 但 所以不是等差数列. 【分析】根据的关系作差可得，，即可作差，结合等差数列的定义求解. 【详解】略 11．为数列的前n项和， (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列． 【答案】(1)， (2)是等差数列 【分析】（1）根据和的关系即可解答. （2）根据等差数列的定义即可判断. 【详解】（1） 当时，； 当时，； 经验证当时上式成立， 所以. （2）由，得， 所以（常数） 所以数列是等差数列. 12．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； 【答案】(1) 证明：已知，两边同时除以，得：， 令，则上式可写为：，则是公差为的等差数列， 首项，因此，数列是首项为，公差为的等差数列. 【详解】（1）略 13．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 【答案】(1) 由得， 所以， 所以数列是以1为首项，以3为公差的等差数列， 所以 ； 【详解】（1）略 14．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) 证明：由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. (2) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：， 故. 15．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； 【答案】(1)在正项数列中，， 则，所以是等差数列. 【分析】（1）根据给定条件，利用及等差数列定义推理得证. 【详解】（1）略 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列的前n项和为，若，证明：数列为等比数列． 【答案】   由可得时，， ，则； 当时，， 即，故， 又因为， 所以，故是等比数列； 所以， 所以，即为等差数列，首项为，公差为， 所以，即， 所以，则， 又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 【分析】根据数列递推式可得当时，，结合等比数列定义知是等比数列，得，进而证得为等差数列并求得的表达式，从而得的表达式，利用等比数列定义即可证明结论. 【详解】略 17．在数列中，，. (1)证明：为等比数列. 【答案】(1)证明: 因为，所以， 因为，所以， 则， 则是以1为首项，4为公比的等比数列. 【详解】（1）略； 18．已知数列满足：，． (1)求证：为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1) 证明：已知递推公式，两边同时加上3， 得：， 因为， 所以， 又， 所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）由题意转化条件得，结合即可得证； （2）由题意可得，进而可得. 【详解】（1）略 （2）由（1），则. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04等差、等比数列的判定与证明 常考题型·精准突破 考点一 等差数列的判断与证明 题型1 定义法判断数列为等差数列 （重）（高频） 题型2 等差中项法判断数列为等差数列 题型3 通项公式法判断数列为等差数列 题型4 前n项和公式法判断数列为等差数列 题型5 证明数列为等差数列 （难） 考点二 等比数列的判断与证明 题型6 定义法判断数列为等比数列（重）（高频） 题型7 等比中项法判断数列为等比数列 题型8 证明数列为等比数列（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 等差数列的判断与证明 ◆题型1定义法判断数列为等差数列 1．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）若数列是等差数列，公差为，则下列对数列的判断正确的有（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列是公差为的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 3．（多选）（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西长治·阶段检测）已知数列与是两个不同的数列． (1)设数列为单调递增数列，为单调递减数列，记集合，求集合中元素个数的最大值； (2)若为等差数列，且不是常数列，，判断是否为等差数列． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由. ◆题型2 等差中项法判断数列为等差数列 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．在数列中，若，，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 9．（判断题）若是等差数列，则对任意都有；( ) 10．（25-26高二下·全国·课堂例题）若数列中，是和的等差中项，那么数列是等差数列吗？为什么？ ◆题型3 通项公式法判断数列为等差数列 11．（23-24高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（24-25高二上·新疆·阶段检测）已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（23-24高二下·安徽安庆·阶段检测）在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（    ） A．（k，b为常数，） B．（d为常数，） C． D．的前n项和 14．（26-27高二上·全国·课后作业）给出下列各数列的通项公式，其中数列为等差数列的有________．（填序号） ①；②；③． 15．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列数列是否为等差数列： (1)； (2) ◆题型4前n项和公式法判断数列为等差数列 16．（24-25高二下·北京·阶段检测）已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 17．（23-24高三上·安徽·阶段检测）已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 18．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知等差数列前项和为，则______. 19．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)若，则是等差数列吗？ (2)若，则是等差数列吗？ ◆题型5 证明数列为等差数列 20．已知数列和满足，且. (1)当时，求数列的通项公式； (2)若，求证：数列是等差数列. 21．（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 22．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 23．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．求证：为等差数列； 24．（25-26高二下·江西宜春·期末）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等差数列． 25．已知数列满足，证明：数列为等差数列． 26．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，记．求证：数列是等差数列． 考点二 等比数列的判断与证明 ◆题型6 定义法判断数列为等比数列 27．（26-27高二上·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（多选）（25-26高二上·安徽·期末）已知数列是等比数列，则下列说法一定正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 30．（多选）设是等比数列，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 31．（多选）（25-26高二下·安徽滁州·期中）设等比数列的公比为，则下列结论不正确的是（   ） A．数列是公比为的等比数列 B．数列是公比为的等比数列 C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为的等比数列 ◆题型7 等比中项法判断数列为等比数列 32．已知数列，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 33．（2024·重庆·模拟预测）设且，命题甲：为等比数列；命题乙：；则命题甲是命题乙的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．设是各项不为0的无穷数列,“”是“为等比数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ◆题型8 证明数列为等比数列 35．（25-26高二上·云南·期末）已知为数列的前项和，且（）．证明数列为等比数列； 36．已知数列满足，．证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 37．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的首项，且满足．设，求证：数列为等比数列； 38．设数列的前n项和为，已知．证明：数列为等比数列． 39．（2025高二上·湖南长沙·专题练习）数列的前n项和记为，已知，（），求证：数列是等比数列； 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）设是无穷数列，，则下列给出的四个判断中，正确的有（    ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等差数列，则是等差数列 C．若是等差数列，则是等差数列 D．若是等差数列，则是等差数列 4．（多选）已知数列均为无穷等差数列，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．是等差数列 D．若，则为等差数列 5．（多选）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（    ） A． B． C． D．． 6．（多选）（25-26高二上·江苏常州·期末）已知数列，下列说法正确的有（    ） A．若为等差数列，则为等比数列 B．若，则为等差数列 C．若为等比数列，则为等比数列 D．若为正项等比数列，则为等差数列 7．（多选）（25-26高二上·江苏镇江·期末）设数列是等比数列，下列说法正确的有（      ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 8．（多选）（25-26高二上·甘肃陇南·阶段检测）在数列中，若，则下列结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 9．已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是____________ ①   ②   ③   ④ 10．已知数列的前n项和为，若，.记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由. 11．为数列的前n项和， (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列． 12．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； 13．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 14．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 15．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列的前n项和为，若，证明：数列为等比数列． 17．在数列中，，. (1)证明：为等比数列. 18．已知数列满足：，． (1)求证：为等比数列； (2)求的通项公式． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $