专题01 等差、等比数列性质的应用（专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题01 等差、等比数列性质的应用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等差中项的应用 1 题型二、等差数列片段和为等差数列 2 题型三、两个等差数列前n项和比值的性质 4 题型四、等差数列奇数和与偶数项和的性质 5 题型五、等差数列的性质 6 题型六、等差数列项的函数性质（单调、最值、正负） 8 题型七、等差数列的函数性质（单调、最值、正负） 10 题型八、等比中项的性质 12 题型九、等比数列子数列和的性质 12 题型十、等比数列片段和的性质 13 题型十一、等比数列奇偶项和的性质 15 题型十二、等比数列前n项积的函数性质 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等差中项的应用 1．（25-26高二上·天津西青·期末）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 2．（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，，则的值为________. 【答案】12 【分析】根据等差数列的下标和性质可求得的值，再根据即可计算出最后结果. 【详解】由题意得，结合等差数列的性质可知， 可得，即， 则. 故答案为：12 3．（25-26高二上·宁夏吴忠·月考）已知等差数列中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项求值即可. 【详解】已知数列为等差数列，且， 则，解得：， . 故选：A 题型二、等差数列片段和为等差数列 1．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则___________． 【答案】4 【分析】根据等差数列的部分和性质可得，，，成等差数列，设，分别用表示即可得. 【详解】由等差数列前项和的性质可得：，，，成等差数列． 令，则，，，成等差数列． 由，设，得， 则，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和， 所以， ， ， . 所以. 所以. 所以成等差数列. 由，得，所以. 所以，所以是公差为的等差数列. 所以. 所以. 故选：A. 3．（多选）（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为6 D．若， 则数列的公差为 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的性质得到仍是等差数列，从而根据等差中项判断A；根据等差数列前n项和公式及等差中项，将转化为判断B； 根据等差数列前n项和公式的性质列方程求解C；根据等差数列前项和公式列方程求解D. 【详解】因为数列，均为等差数列，所以数列仍是等差数列， 所以是与的等差中项， 所以，故A正确. 因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 根据等差中项的性质知，即，所以，故B正确. 因为等差数列的前n项和为，所以成等差数列， 若，则成等差数列， 所以，解得，故C错误. 设的公差，因为，所以， 所以，即，则数列的公差为2，故D正确， 故选：ABD 题型三、两个等差数列前n项和比值的性质 1．（25-26高二上·河北邢台·期末）设等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列性质和前项和公式可得出，计算即可求解. 【详解】因为， 所以． 故选：A 2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知，分别为等差数列，的前n项和， 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】由. 故选：C. 3．（25-26高二上·天津津南·月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 【答案】/ 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 题型四、等差数列奇数和与偶数项和的性质 1．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质进行计算即可. 【详解】设公差为，由题意可知奇数项和偶数项都有项， 且， 所以， 又， 所以有， 解得， 故选：B. 2．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列. 奇数项和为    ① 偶数项和为    ② 因为， 所以，解得. 所以，即等差数列的项数为21. 故选：A. 3．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差_____． 【答案】 【分析】根据等差数列偶数项和与奇数项和的差即可求解. 【详解】由题意，①， ②， ②①可得，，即， 故答案为： 题型五、等差数列的性质 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前项和为________． 【答案】 【分析】求出，可得出数列的通项公式，再利用等差数列的求和公式可求得数列的前项的和. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以， 所以是公差为，首项为的等差数列， 所以数列的前项和为． 故答案为：. 2．（多选）（25-26高二上·湖南永州·期末）已知等差数列的前项和为，公差，记，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的概念、通项公式和有关性质，结合选项计算即可求解. 【详解】因为为等差数列，为的等差中项， 所以，故A正确； ， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，故B正确； 由且，当时，，即； 当时，时，即， 又， 所以， 所以，故C错误，D正确. 故选：ABD 3．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·月考）设为等差数列的前项和，若，，，则（　　） A．数列的公差小于 B． C．的最小值是 D．使成立的的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答. 【详解】对于A选项，设等差数列的公差为，则， 由得，故， 可得，故数列的公差大于，A错； 对于B选项，由得， 因为，故数列单调递增，所以，B对； 对于C选项，因为数列单调递增，且， 故当且时，；当且时，. 所以的最小值是，C对； 对于D选项，因为， ， ， 故成立的的最小值是，D对. 故选：BCD. 题型六、等差数列项的函数性质（单调、最值、正负） 1．（多选）（25-26高二上·安徽安庆·期末）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 【答案】AB 【分析】由，计算即可判断A；求出，利用配方法得：，即可判断数列是递增数列；由，得数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增，即可判断C D. 【详解】数列的通项公式是， 令，得， 是数列的第49项，故A正确； ， 在时递增， 故数列是递增数列，故B正确； 数列的通项公式是， ， ， ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， 数列的前项和没有最大值，故C错误； ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， ， 数列的前项和有最小值，故D错误． 故选：AB 2．（多选）（25-26高二上·广东韶关·期末）若数列为等差数列，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C．-20是数列中的项 D．数列前7项和最大 【答案】AD 【分析】根据已知条件列出方程组，求出，进而即可判断各项. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以数列单调递减，故B错误； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，由可得，，解得. 又，所以. 所以数列的前7项均为正数，，所以前7项和最大，故D正确. 故选：AD. 3．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用前n项和与通项的关系，求出首项与公差的正负，结合选项逐项分析； 【详解】由于，即； 由于，即； 由于，即； 综上，，，； 对于选项A，由于，，，则A正确； 对于选项B，由于，则B错误； 对于选项C，由于，则C正确； 对于选项D，由于，则D错误； 故选：AC 题型七、等差数列的函数性质（单调、最值、正负） 1．（25-26高二上·天津津南·月考）已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③满足成立的最小的值为18；④使得取得最大值时的为9.其中正确命题的序号为（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由及等差数列前n项和的性质判断①④；应用等差数列前n项和公式可得，并结合可判断②③.. 【详解】由题意可得，所以，，故①②对； 由，可知， 所以满足成立的最小的值为18，③对； 由可知，等差数列的前项为正，从第10项开始为负，所以使得取得最大值时的为9.故④对.综上，正确命题的序号为①②③④. 故选：D 2．（多选）（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A．首项 B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为27 【答案】ACD 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，B，再结合所在二次函数的图象和性质，即可求解判断C，D. 【详解】存在最大值，所以数列的公差， 由，且，，当时，取得最大值，C选项正确； 所以数列是首项，的等差数列，A选项正确； ，则，B选项错误； ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为，D选项正确. 故选：ACD 3．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意，当且仅当时最大， 所以，即， 所以， 故选：C. 题型八、等比中项的性质 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）在等比数列中，若，则（   ） A．2 B．4 C．16 D．64 【答案】C 【分析】根据等比中项可求得结果 【详解】数列为等比数列，则， ，所以， 所以， 故选：C 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）在等比数列中，，若，则________． 【答案】128 【分析】由等比数列下标和的性质求解即可. 【详解】，又，所以， ． 故答案为：128 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）等比数列中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的下标和性质求解. 【详解】，且， ，． 故选：C. 题型九、等比数列子数列和的性质 1．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则________． 【答案】 【分析】根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 又，所以， 则. 故答案为：. 2．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等比数列满足，则______. 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 3．（25-26高三上·安徽·月考）在正项等比数列中，已知，则_____． 【答案】 【分析】根据题设，利用等比数列的性质先得出，再结合即可求解． 【详解】由，则，得， 由题意知，故， 所以． 故答案为： 题型十、等比数列片段和的性质 1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知等比数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列和的性质得出比例关系，再设计算求解比值即可. 【详解】等比数列中，，，，成等比数列， ，，， 令，得，， ， 故选：B 2．（25-26高二下·全国·课后作业）已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由等比数列的前项和的性质可得. 【详解】由题意可知，是等比数列， 则，即，故. 故选：A 3．（多选）（25-26高二上·湖北武汉·期末）设正项等比数列的公比为q，前n项和为，则下列选项不正确的是（　 　） A． B． C．，，成等比数列 D． 【答案】ABC 【分析】A选项，利用等比数列通项公式，得到当，时，，，当时，若，则，故A错误；B选项，举出反例；C选项，由等比数列性质，可知成等比数列，，，不一定成等比数列，C错误；D选项，分和两种情况，得到等式成立. 【详解】对于A，，， 当时，若，则，， 当时，若，则，故A错误； 对于B，若，，则， 故，B错误； 对于C，等比数列中，因为，故成等比数列， 而非成等比数列，所以，，不一定成等比数列， 例如，若，，则， 此时，，不是等比数列，故C错误； 对于D，当时，，，等式成立； 当时，， ， 故，等式成立，故D正确． 故选：ABC 题型十一、等比数列奇偶项和的性质 1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 2．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 3．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 题型十二、等比数列前n项积的函数性质 1．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，求出和，再证明数列是等比数列，进而求出其通项公式，从而得到的表达式，再通过求二次函数的最值，即可得到的最大值. 【详解】因为，①，所以可得. 令，可得，解得（舍去负值），所以. 在①中，用代换，可得②. ②除以①可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 所以， 令， 可知当或11时，取得最大值55， 又由，可得的最大值． 故选：D 2．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 3．（25-26高三上·浙江金华·期末）已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将数列的前项的乘积表示出来，观察到其中的指数方程分别决定了的大小和的正负，再求出指数部分的最值来分类讨论的最值即可. 【详解】由题得， 前项积， 易得决定的大小，而决定的正负， 因为，故离对称轴最近的或时最大，或时，仅小于， ①当时，，，所以为的最小值； ②当时，，，所以为的最小值，此时，有2个最小值，即. ③当时，，，所以为的最大值； ④当时，，，所以为的最大值，此时，有2个最大值，即. 综上，. 故选：A. 1．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知为等差数列，，则的公差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为. 因为， 所以，即，解得. 故选：C 2．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知为等差数列，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出指定项. 【详解】等差数列中，，则， 又，则，因此数列的公差， 所以. 故选：B 3．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 4．(多选)（25-26高二上·河北衡水·月考）已知等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，，则数列先增后减 C．若，则 D．，，成等差数列 【答案】CD 【分析】利用等差数列的通项公式、前项和公式，结合等差数列性质、二次函数性质分析判断即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则， 当时，是关于的二次函数. 选项A，若，是开口向上的二次函数，单调性由对称轴决定. 如，时，，，，此时，不是递增数列，故A错误； 选项B，若，，是开口向上的二次函数，对称轴，此时先减后增， 如，时，，，，，先减后增，而非先增后减数列，故B错误； 选项C，若，则，即，所以，故C正确； 选项D，因为， ， 所以，， 所以成等差数列，故D正确. 故选：CD. 5．（多选）（25-26高二上·山东淄博·期末）已知是等差数列的前项和，，则（    ） A． B．当时，最小 C． D．数列是单调递增的等差数列 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解，利用等差数列的定义及公差大于零得到数列是单调递增的等差数列. 【详解】，，故选项A正确； ， 对称轴为，开口向上，则当时，最小，故选项B正确； ，，故选项C错误； ，， ，， 数列是单调递增的等差数列，故选项D正确. 故选：ABD. 6．（多选）（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为0 D．已知，公差，则的最大值为32 【答案】BC 【分析】通过等差数列的等差中项性质分析的项；利用前项和与中间项的关系求；借助前项和的二次函数对称性求；通过通项公式确定前项和的最大值，逐一验证选项. 【详解】数列、为等差数列，则是等差数列. 选项A： ，，因2、5、8成等差数列， 故是与的等差中项，得，A错误. 选项B： 等差数列前项和满足， 故，，则. 代入，得，B正确. 选项C： 设数列的公差为，由， 得，解得， 所以，C正确. 选项D： 由，，得. 令，解得，故的最大值为，D错误. 故选：BC 7．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______． 【答案】10 【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可. 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和①， 偶数项和②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 8．（2026·新疆·模拟预测）在递增的等比数列中，，，则______. 【答案】2025 【分析】利用等比数列的性质求出，设公比为，由题设条件求得，写出数列的通项公式，代入所求式，利用对数的运算性质即可. 【详解】由可得，解得， 设等比数列的公比为， 由，可得， 解得或，因数列是递增数列，且，故，则， 于是，，故. 故答案为：2025. 9．（多选）（25-26高二上·山西朔州·期末）记正项等比数列的前n项积为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当取得最小值时， D．使的n的最小值为14 【答案】ABD 【详解】设的公比为.， 对于A，由题意可得， 解得，故A正确； 对于B，，故是递增数列，故B正确； 对于C，， 是开口向上的抛物线，其对称轴为，所以当或7时，取得最小值， 选项C的表述未包括“”，故C错误； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为14，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等比数列中，满足，，则下列说法中正确的有（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 【答案】ACD 【分析】根据等比数列的定义可判断A；计算出数列的通项公式可判断B；根据等差数列的定义可判断C；根据等比数列的定义及性质可判断D. 【详解】由题可知，等比数列的通项公式为. 对于A：因为，故数列是等比数列，故A正确； 对于B：， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此易知数列是递减数列，故B错误； 对于C：因为，故数列是等差数列，故C正确； 对于D：因为，故， 因此，同理， ，， 因此有，即，，仍成等比数列，故D正确. 故选：ACD. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等差、等比数列性质的应用（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等差中项的应用 1 题型二、等差数列片段和为等差数列 2 题型三、两个等差数列前n项和比值的性质 4 题型四、等差数列奇数和与偶数项和的性质 5 题型五、等差数列的性质 6 题型六、等差数列项的函数性质（单调、最值、正负） 8 题型七、等差数列的函数性质（单调、最值、正负） 10 题型八、等比中项的性质 12 题型九、等比数列子数列和的性质 12 题型十、等比数列片段和的性质 13 题型十一、等比数列奇偶项和的性质 15 题型十二、等比数列前n项积的函数性质 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等差中项的应用 1．（25-26高二上·天津西青·期末）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 2．（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，，则的值为________. 3．（25-26高二上·宁夏吴忠·月考）已知等差数列中，，则（　　） A． B． C． D． 题型二、等差数列片段和为等差数列 1．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则___________． 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为6 D．若， 则数列的公差为 题型三、两个等差数列前n项和比值的性质 1．（25-26高二上·河北邢台·期末）设等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知，分别为等差数列，的前n项和， 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津津南·月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 题型四、等差数列奇数和与偶数项和的性质 1．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 2．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 3．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差_____． 题型五、等差数列的性质 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前项和为________． 2．（多选）（25-26高二上·湖南永州·期末）已知等差数列的前项和为，公差，记，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·月考）设为等差数列的前项和，若，，，则（　　） A．数列的公差小于 B． C．的最小值是 D．使成立的的最小值是 题型六、等差数列项的函数性质（单调、最值、正负） 1．（多选）（25-26高二上·安徽安庆·期末）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 2．（多选）（25-26高二上·广东韶关·期末）若数列为等差数列，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C．-20是数列中的项 D．数列前7项和最大 3．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 题型七、等差数列的函数性质（单调、最值、正负） 1．（25-26高二上·天津津南·月考）已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③满足成立的最小的值为18；④使得取得最大值时的为9.其中正确命题的序号为（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（多选）（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A．首项 B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为27 3．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型八、等比中项的性质 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）在等比数列中，若，则（   ） A．2 B．4 C．16 D．64 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）在等比数列中，，若，则________． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）等比数列中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 题型九、等比数列子数列和的性质 1．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则________． 2．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等比数列满足，则______. 3．（25-26高三上·安徽·月考）在正项等比数列中，已知，则_____． 题型十、等比数列片段和的性质 1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知等比数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．（多选）（25-26高二上·湖北武汉·期末）设正项等比数列的公比为q，前n项和为，则下列选项不正确的是（　 　） A． B． C．，，成等比数列 D． 题型十一、等比数列奇偶项和的性质 1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 2．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 题型十二、等比数列前n项积的函数性质 1．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26高三上·浙江金华·期末）已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知为等差数列，，则的公差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知为等差数列，，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(多选)（25-26高二上·河北衡水·月考）已知等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，，则数列先增后减 C．若，则 D．，，成等差数列 5．（多选）（25-26高二上·山东淄博·期末）已知是等差数列的前项和，，则（    ） A． B．当时，最小 C． D．数列是单调递增的等差数列 6．（多选）（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为0 D．已知，公差，则的最大值为32 7．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______． 8．（2026·新疆·模拟预测）在递增的等比数列中，，，则______. 9．（多选）（25-26高二上·山西朔州·期末）记正项等比数列的前n项积为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当取得最小值时， D．使的n的最小值为14 10．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等比数列中，满足，，则下列说法中正确的有（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 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