3 等比数列（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

可学科网·上好课 www zxxk .com 3.等比数列（答案版） A 基础达标题 题型一等比数列及其通项公式 1.D 2.B 3.64 题型二等比数列的性质 4.C 5.B 6.C 题型三等比中项 7.D 8.C 6.ABD 题型四等比数列的前项和 10.A 11.D 12.A 13 题型五等比数列的前n项和的性质 14.A 15.A 题型六等比数列的简单应用 16.D 17.B 18.B B 能力提升题 1.C 2.C 3.A 5.B 6.B 7.BC 8. 9.C 10.C 11.B 12 13.8192 14.4-3 15.【详解】(1)解：设等比数列a,}的公比为9， 根据题意，有 a1+a9=4 4g2-4,=8’解得 a=1 9=31 所以5，=1331 1-329 (2)解：由(1)知，a=3,令b,=1oga,=log,3-1=n-1, 所以T=n0+n-)=nn-1） 2 2 根据乙。+71=T3,可得mm-)+m(m+)_m+2m+3》 2 2 2 1/3 U 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 整理得m2-5m-6=0, 因为m>0,所以m=6. 16.【详解】(1)由an+1=4an-3n+1得a+1-(n+1=4an-4n=4an-n, a1-1=1≠0， 所以数列an-n为首项为1，公比为4的等比数列. (2)由(1)得a。-n=1.4"-,则a。=4"-+n, Sn=(40+4+42+…+4m）+(1+2+3+…+m) 1-4”-1.(1+nm)n 4-12 4"-1,n2+n =3+2 拓展培优题 1.【详解】(1)因为an=3a1+2(n≥2，n∈N), 所以an+1=3(an-1+1, 又a,+1=2, 所以{a,+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列： (2)由（1)知an+1=23"-,故a,=23-1-1, 所以6=(2n+23”-1-23+)=（2n+1-3, 故S,=x3+5x32+7x3++2n+1-3], 则35.-[3x32+5x3+…+2m-小-3+2m+1-3m], 两武相减得-28-都3x3+2×3+2×3++2-3-(2n+-3门 =-8n3n, 所以Sn=4n·3”. 2/3 函学科网·上好课 www zxxk.com a,1-q)） 2.【详解】(1)设等比数列{an}的公比为q(g>1),则1-g =14 a492=8 2 解得q=2,或q=-。 3 (舍去)， 所以41= 8=2, 所以an=2"; 2》由题可行么示二，”，·易得6=}么=手 3 2H12”=2”n+2m-4)≤0， 当n22时，令--0m+-7n2-7(m+2m-6n-7) 得n=3,4, 所以，使得bn1≤bn成立的所有的值为1,3,4； (3)由题可得d,=01-0=2” n+1n+1 所以 n2” 2,3,4. 所以T,=2++2++ nn+1 2+2”, 2,3,4， .n,n+1 )72=2+22十…叶212分， 1 1 两式相减得=1+是+是+1」 2021+21 2+2+2+叶*1 21) n+1 1 1 =1+1-1)-n+1-3n+3 2) 222+ 所以T=3-m+3 20. 3/3 上好每一堂课 整理得3g2-4q-4=0, 3. 等比数列 题型一 等比数列及其通项公式 1．下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【答案】D 【分析】对四个选项按等比数列的定义一一验证即可. 【详解】对于A，，，故不是等比数列； 对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列； 对于C，当时，不是等比数列； 对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列． 故选：D． 2．如图，已知的面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第2022个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于题设所得的三角形均为相似三角形，且前后两个三角形面积的比例为，即所有三角形面积构成一个等比数列，写出数列通项，进而求第2022个三角形的面积. 【详解】由三角形相似知：后一个三角形的面积是前一个的， 设第n个三角形的面积为，则数列是首项，公比的等比数列， ∴， ∴第2022个三角形的面积为． 故选：B． 3．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且则 . 【答案】64 【分析】由题知，进而根据求解即可. 【详解】解：依题意可得，则数列为等比数列，且公比为． ∵， ∴ ． 故答案为： 题型二 等比数列的性质 4．公比不为1的等比数列满足，若，则的值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】由已知结合等比数列的性质可得，又，可得，从而得到. 【详解】解：由题意得： 在等比数列中，由可得 又 故选：C 5．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义可得正确的选项. 【详解】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 6．在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列下标和性质和对数运算法则可知所求式子等于，代入可求得结果. 【详解】由等比数列性质可得： 故选：C 题型三 等比中项 7．数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．，2 C．，2 D．， 【答案】D 【分析】利用等差中项与等比中项的定义分别进行求解即可. 【详解】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为； 根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2. 故选：D. 8．如果，，，，成等比数列，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据等比数列通项公式和下标和性质直接求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，， ，. 故选：C. 9．（多选）设数列的前n项和为，若与的等差中项为常数t（），则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是递增数列 D．当且仅当t<0时，数列{（n+1）}是递增数列 【答案】ABD 【分析】根据与的关系求出，由等比数列的定义可判断A；由等比数列的性质可判断B；利用等比数列的通项公式可判断C；由可判断D. 【详解】与的等差中项为常数t（）， ，即，① ，② ①②可得， 即，当时，，解得， A，是以为首项，公比为的等比数列，故A正确； B，，则，故B正确； C，，即，当时，数列是递减数列，故C错误； D，令，， 当且仅当，则，即， 当且仅当t<0时，数列{（n+1）}是递增数列，故D正确. 故选：ABD 题型四 等比数列的前n项和 10．在如图所示的“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前n项和为，若，则（    ） A．4041 B．4043 C．4039 D．4037 【答案】A 【分析】从前几项可以看出等比数列的首项和公比，代入等比数列求和公式求出，再代入中，求出的通项公式，进而求出结果. 【详解】因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列，且第一行数字之和为1，第二行数字之和为2，第三行数字之和为4， 所以该等比数列的首项为1，公比为2，所以，所以，所以． 故选：A． 11．已知在等比数列中，，，前n项和，则（    ）． A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】根据等比数列的求和公式列方程可求出结果. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：D 12．设是首项为的等比数列，且，，成等差数列，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设数列的公比为，由等比数列的通项公式结合条件求出公比，再由等比数列的前项和公式可得答案. 【详解】设数列的公比为，因为，，成等差数列， 所以，即， 将代入得，解得， 则. 故选：A 13．在数列中，，，则（    ） A．959 B．967 C．977 D．997 【答案】C 【分析】由递推公式进行迭代后再求和即可. 【详解】因为，，所以 ， 所以 . 故选： C. 题型五 等比数列的前n项和的性质 14．设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列， 设，则，，所以，所以， 所以，即. 故选：A. 15．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据题意，设，由等比数列的前项和公式可得的值，进而求得结论． 【详解】根据题意，数列为等比数列，设， 又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则， 故； 故选： 题型六 等比数列的简单应用 16．已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， A选项，时，，图象符合. B选项，时，，图象符合. C选项，时，，图象符合. D选项，由图可知，都是负数，所以， 但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D选项图象不符合. 故选：D 17．设正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列满足的条件求得公比，将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知正项等比数列满足， 设的首项和公比分别为 ， 则，即， 则， 故， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 18．十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征.仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个区间，，分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；…如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（参考数据：，）（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】利用题中的条件可知，每一次操作去掉的区间长度成等比数列，即可解出． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为， 第二次操作去掉3个长度为的区间，长度和为， 第三次操作去掉个长度为的区间，长度和为， ， 第次操作去掉个长度为的区间，长度和为， 所以进行次操作后，所有去掉区间长度和为， 由题意知， ， 故的最小值为11， 故选：B． 1．等比数列1，，，，…的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分类讨论，当且时，利用等比数列的求和公式可得结果. 【详解】当时，； 当且时，. ∴。 故选：C 2．已知数列的前n项和为，若=1，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，故可求的值. 【详解】因为，所以，而，所以， 故，故为等比数列且首项为1，公比为4， 故， 故选：C. 3．已知数列的前项和，则数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求出，确定是等比数列，然后由等比数列前项和公式计算． 【详解】当时，，∴； 当时，，满足上式，∴， ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列是首项为1，公比为4的等比数列， ∴， 故选：A. 4．已知数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由已知，取，则，得出数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列中，， ， 所以取，则，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 又，即 ，即，解得， 故选：B． 5．数列，满足，，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干所给条件写出数列，的通项公式，并写出数列，得知数列是等比数列，再用等比数列的前n项和公式即可. 【详解】∵数列，满足，，， ∴数列是等差数列，首项是2且公差是2，是等比数列，首项是2且公比是2， ∴数列的通项公式为， 数列的通项公式为， 则数列为，设，则， ∴数列是等比数列，且公比为4，首项为4． 则数列的前10项和为， 即数列的前10项和为. 故选：B. 6．若数列的前项和，则数列的通项公式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，由解得；由时，求解． 【详解】解：， 时，， 解得； 时，， 即， 所以数列是等比数列，首项与公比都为． 则， 故选：． 7．（多选）数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据所给递推公式令求出，当时作差得到，即可求出的通项公式，即可判断A、B，再根据等比数列求和公式判断C、D. 【详解】解：因为①， 当时，所以， 当时②， ①②得，所以， 经检验当时也成立， 所以，则，所以，即，故A错误； 又是以为首项，为公比的等比数列，则，故B正确； ，所以，即C正确； 所以，， 则，所以，故D错误； 故选：BC 8．（多选）数列的前n项和为Sn，，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列. 【详解】由题得， 两式相减得，即， 当时，， 所以数列从第项起是等比数列，所以， 所以数列的通项为. 当时，；当时，符合上式， 所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 9．已知等比数列的前项和，数列的前项和为，若数列是等差数列，则非零实数的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据求出通项公式，利用可求出，求出，根据等差数列的特点可得. 【详解】因为等比数列的前项和， 则当时，， 则，解得， 则，即是以为首项，为公比的等比数列， 则， 因为是等差数列，则通项公式不能出现次方项，所以，解得. 故选：C. 10．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，其中是“保等比数列函数”的序号为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．通过积的乘方，即可判断①；通过指数的幂的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；由对数的运算法则，即可判断④． 【详解】设是等比数列，由等比数列性质知， 对于①，，即仍是等比数列，故正确； 对于②，， 即不是等比数列，故不正确； 对于③，，即是等比数列，故正确； 对于④，， 即不是等比数列，故不正确； 故选：C． 11．设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先利用条件求出公比的值，然后利用等比数列求和公式以及可求出正整数的值. 【详解】因为， 所以，得到， 因为，所以. 由，得，又， 所以， 因为，则， 所以，解得， 故选：B 12．已知数列满足（），且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是（    ） A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【解析】将等式变形得到，然后根据数列为等比数列，求出代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对（）变形得：即：， 故数列是首项为8公比为的等比数列. ∴，从而， . 由，解得最小的正整数， 故选：D. 13．公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质和等比数列的性质求解. 【详解】因为是等差数列，所以， 所以，解得或， 又因为等比数列的，所以，所以， 所以， 故答案为: . 14．在数列中，若，，则其通项公式为 ． 【答案】/ 【分析】根据递推公式可得为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由，得．由题意知，则，且，∴是首项为，公比为3的等比数列，∴，∴． 故答案为： 15．设等比数列其前项和为，满足，. (1)求的值. (2)记为数列的前项和，若，求. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，再根据求和公式求解即可； （2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果. 【详解】（1）解：设等比数列的公比为， 根据题意，有，解得， 所以； （2）解：由（1）知，，令， 所以， 根据，可得， 整理得， 因为，所以． 16．在数列中，， (1)证明：数列是等比数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可； （2）根据等比数列的通项公式得到，然后分组求和即可. 【详解】（1）由得， ， 所以数列为首项为1，公比为4 的等比数列. （2）由（1）得，则， . 1．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，为数列的前n项和，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可； （2）先由（1）求得数列的通项，从而可得数列的通项，再利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以是以为首项，以3为公比的等比数列； （2）由（1）知，故， 所以， 故， 则， 两式相减得 ， 所以. 2．已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求使得成立的所有的值； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)所有的值为1，3，4； (3). 【分析】（1）利用等比数列公式计算得到，解得答案； （2）确定，，验证得到答案； （3）计算，，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，整理得， 解得，或（舍去）， 所以， 所以； （2）由题可得，易得， 当时，令， 得，， 所以，使得成立的所有的值为1，3，4； （3）由题可得， 所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3. 等比数列 题型一 等比数列及其通项公式 1．下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 2．如图，已知的面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第2022个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且则 . 题型二 等比数列的性质 4．公比不为1的等比数列满足，若，则的值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 6．在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三 等比中项 7．数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．，2 C．，2 D．， 8．如果，，，，成等比数列，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（多选）设数列的前n项和为，若与的等差中项为常数t（），则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是递增数列 D．当且仅当t<0时，数列{（n+1）}是递增数列 题型四 等比数列的前n项和 10．在如图所示的“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前n项和为，若，则（    ） A．4041 B．4043 C．4039 D．4037 11．已知在等比数列中，，，前n项和，则（    ）． A．9 B．8 C．7 D．6 12．设是首项为的等比数列，且，，成等差数列，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 13．在数列中，，，则（    ） A．959 B．967 C．977 D．997 题型五 等比数列的前n项和的性质 14．设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 15．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 题型六 等比数列的简单应用 16．已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（    ） A． B． C． D． 17．设正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 18．十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征.仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个区间，，分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；…如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（参考数据：，）（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 1．等比数列1，，，，…的前项和（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和为，若=1，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和，则数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 4．已知数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．数列，满足，，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 6．若数列的前项和，则数列的通项公式等于（    ） A． B． C． D． 7．（多选）数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）数列的前n项和为Sn，，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 9．已知等比数列的前项和，数列的前项和为，若数列是等差数列，则非零实数的值是（    ） A． B． C．3 D．4 10．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，其中是“保等比数列函数”的序号为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 11．设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．已知数列满足（），且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是（    ） A．9 B．8 C．6 D．7 13．公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于 . 14．在数列中，若，，则其通项公式为 ． 15．设等比数列其前项和为，满足，. (1)求的值. (2)记为数列的前项和，若，求. 16．在数列中，， (1)证明：数列是等比数列. (2)求数列的前项和. 1．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，为数列的前n项和，求． 2．已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求使得成立的所有的值； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $null