专题02 等差数列：定义、通项、基本量与性质应用（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题02 等差数列：定义、通项、基本量与性质应用 常考题型·精准突破 考点一 等差数列的判断 题型1 判断等差数列 题型2 利用前n项和公式判断是否为等差数列 考点二 等差数列性质 题型3 等差中项及其应用（高频） 题型4 等差数列角标和性质（重） 题型5 等差数列的单调性（难） 题型6等差数列中最大（小）项（重） 考点三 等差数列基本量计算 题型7 求等差数列前n项和（重） 题型8 等差数列前n项和基本量计算（重） 题型9 含绝对值的等差数列前n项和（难） 题型10 等差数列奇数项或偶数项的和（难） 考点四 等差数列前n项和性质 题型11 等差数列片段和性质（重） 题型12 前n项和与n的比所组成的等差数列（难） 题型13 两个等差数列前n项和之比问题（高频） 考点五 等差数列前n项和的函数特征 题型14 二次函数法求等差数列前n项和最值（重） 题型15 求等差数列前n项和最值（高频） 题型16 根据等差数列前n项和最值求参数（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 等差数列的判断 ◆题型1 判断等差数列 1．（2026·北京通州·一模）已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如通项公式为的数列，满足，不是等差数列； 反之，若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件， 所以“，（k为常数）”是“为等差数列”的必要不充分条件. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知等差数列；等差数列，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为的等差数列 D．公差为19的等差数列 【答案】D 【分析】根据等差数列定义计算求解. 【详解】因为等差数列公差为，等差数列公差为， 所以. 所以数列是公差为的等差数列； 故选：D. 3．（多选）（25-26高二下·河北衡水·期末）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为. 对于A，， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对于B，， 因为不一定为常数，所以不一定是等差数列，B错误； 对于C，因为，所以为常数列，故为等差数列，C正确； 对于D，因为，所以为等差数列，D正确. 4．已知数列满足，，，若.求证：是等差数列； 【答案】证明： 因为，由和数学归纳法可知，对任意正整数，都有， 由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列. 【分析】由得到，结合等差数列定义即可得证. 【详解】略. 5．已知数列中，，.证明：是等差数列. 【答案】证明： 因为，且，若，则， 所以，所以， 则， 即， 所以是首项为2,公差为2的等差数列. 【分析】先得到，再把两侧同时取倒数并利用等差数列的定义证明即可 【详解】略. ◆题型2 利用前n项和公式判断是否为等差数列 6．已知数列的前n项和公式为，则数列（    ） A．是公差为2的等差数列 B．是公比为2的等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 【答案】A 【分析】利用求得数列的通项公式，由此判断出正确选项. 【详解】当时，，当时，，也符合上式，所以的通项公式为，故为首项是，公差为的等差数列，不是等比数列. 故选：A 7．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)若，则是等差数列吗？ (2)若，则是等差数列吗？ 【答案】(1)是 (2)不是 【解析】略 8．已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）知， 当时，可得； 当时，， 当时，适合上式，所以， 又由，所以数列表示首项为，公差的等差数列. 【分析】（1）设，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由（1）知，利用与的关系式，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【详解】（1）解：设数列的前项和为， 因为， 可得，解得， 所以. （2）略 9．已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 【答案】(1)证明: 当时，，令，， 所以时， ， 所以， 此时， 所以， 所以， 可得数列是公差为的等差数列. (2) 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用可得答案． 【详解】（1）略； （2）， 令，得， 所以时， ， 所以， 所以， 可得时，数列是公差为的等差数列， 若数列是等差数列，则， 所以． 10．已知数列的前项和为，满足，证明：数列为等差数列． 【答案】证明：因为，① 有，② ②－①得． 即 整理得，③ 当时，④ ③－④得， 则（），故数列为等差数列． 【分析】利用得，又，两式相减推得（），即可得证. 【详解】略 考点二 等差数列性质 ◆题型3 等差中项及其应用 11．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是等差中项，，故选项A正确. 12．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项求解. 【详解】， 的等差中项为， 故选：B 13．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由根与系数的关系及等差中项的性质求. 数列为等差数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得， 由等差数列的中项性质得，所以. 14．（25-26高二下·四川成都·期末）在等差数列中， ， ，则公差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，由 ， ， 可得，，即，， 所以该数列的公差为. 15．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列为等差数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【详解】在等差数列中，由，解得. ◆题型4 等差数列角标和性质 16．（25-26高二下·广东肇庆·期末）已知等差数列满足，，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求得，进而得，即可求解. 【详解】由题意得：，又，所以，又，所以， 所以，所以. 17．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知等差数列中，，，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】法一：（等差中项法） 由等差中项可得，所以. 法二：（通项公式法） 由解得，所以. 18．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C．1 D．13 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以. 19．（25-26高一下·上海黄浦·期末）记为等差数列的前项和，若，，则__________ 【答案】121 【分析】等差数列通项公式和前n项和的使用. 【详解】根据等差数列的通项公式及题意得，解得， 由等差数列的前n项和公式得. 20．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等差数列的前项和为，若，则_______． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列下标和相等的性质，将转化为含的式子求解. 【详解】因为数列是等差数列，，根据等差数列前项和公式： ， 当时，， 根据等差数列的性质：由于，因此， 将其代入的表达式得： ， 又，因此，解得. ◆题型5 等差数列的单调性 21．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 22．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列，设其公差为， 若数列是递减数列，可得； 若，则，所以数列是递减数列； 综上所述：“数列是递减数列”是“”的充分必要条件. 23．（多选）（25-26高二上·安徽安庆·期末）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 【答案】AB 【分析】由，计算即可判断A；求出，利用配方法得：，即可判断数列是递增数列；由，得数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增，即可判断C D. 【详解】数列的通项公式是， 令，得， 是数列的第49项，故A正确； ， 在时递增， 故数列是递增数列，故B正确； 数列的通项公式是， ， ， ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， 数列的前项和没有最大值，故C错误； ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， ， 数列的前项和有最小值，故D错误． 故选：AB 24．（多选）（2026·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可. 【详解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 25．（25-26高二·全国·随堂练习）已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的增减性． 【答案】(1)，； (2) (3)单调递减. 【分析】（1）利用给定的通项公式计算即得. （2）在直角坐标系内作出数列的图象. （3）利用数列单调性定义判断单调性即得. 【详解】（1）等差数列的通项公式为，所以首项， 公差. （2）数列的图象，如图， （3）由，，得， 因此，所以数列是单调递减数列. ◆题型6 等差数列中最大（小）项 26．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果. 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 27．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 【答案】 【分析】根据等差数列的性质，是以13为首项，14为公差的等差数列，再结合函数的单调性判断最小项. 【详解】是以13为首项，14为公差的等差数列，. 令， 根据在上单调递减，上单调递减， 又时，，时，，最小值为. 28．已知数列的通项公式为. （1）试问10是数列中的项吗？ （2）求数列中的最小项. 【答案】（1）8  （2）当或时，取得最小值-20. 【分析】（1）将10代入通项公式，解得，即可得出结论； （2）根据数列的函数性，结合二次函数的性质与项数的特征，即可得出结论. 【详解】解（1）令，即， 解得（舍去）或， 因此10是数列中的第8项. （2）由，且知， 当或时，取得最小值-20. 所以数列中的最小项为： 【点睛】本题考查数列的通项公式及其函数性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 29．已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 【答案】(1) 因为，， 所以当时， . 又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. (2) 由（1）知，则. 设函数，在区间和上单调递减， 结合函数的图象可知， 当时，取得最小值； 当时，取得最大值3. 【分析】（1）求，化简后由等差数列定义证明 （2）先求的通项公式后得出的通项公式，结合单调性求解 【详解】（1）略 （2）略 30．已知数列中，，数列满足. (1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式； (2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项. 【答案】(1) ∵， ∴， ∴， ∴，又， 所以， ∴数列是以1为公差的等差数列； 又∵，， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴，； (2)，最大项为，最小项为. 【分析】（1）通过已知条件化简变形，凑出这种形式，凑出常数，就可以证明数列是等差数列，并利用等差数列的通项公式求出通项公式； （2）利用的通项公式求出数列的通项公式，把通项公式看成函数，利用函数图像求最大值和最小值；或利用函数的单调性即得. 【详解】（1）略 （2）∵， 所以， ∴作函数的大致图象，    ∴由图知，在数列中，最大项为，最小项为； 另解：因为， 当时，数列是递减数列，且，， 当时，数列是递减数列，且， 所以在数列中，最大项为，最小项为. 考点三 等差数列基本量计算 ◆题型7 求等差数列前n项和 31．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）记等差数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，解得，又， 所以. 32．（福建省泉州市部分校2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．110 B．120 C．130 D．135 【答案】A 【详解】设公差为，则， 解得，所以. 33．（26-27高二上·全国·课堂例题）在等差数列中，已知，求． 【答案】 【分析】由等差数列求和公式即可求解． 【详解】因为，所以． 34．（26-27高二上·全国·课堂例题）在等差数列中，已知，，求； 【答案】 【分析】由等差数列通项公式求出首项和公差，再根据等差数列前项和公式求出结果即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，，得，解得， 则． 35．（26-27高二上·全国·课堂例题）求等差数列1，5，9，…，401各项的和； 【答案】 【详解】由题意可得等差数列1，5，9，，401的首项为1，公差为4， 则其通项公式为， 由，解得， 故该数列的和为. ◆题型8 等差数列前n项和基本量计算 36．（26-27高二上·全国·课堂例题）在等差数列中，已知，，，求和． 【答案】， 【分析】由等差数列求和公式、通项公式代入求解即可． 【详解】由题意得，解得． 又，解得， 因此，． 37．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知等差数列的公差为，前项和为，，，，求及． 【答案】， 【分析】根据等差数列的求和公式可得出关于的等式，可解出的值，再利用等差数列的通项公式可得出的值. 【详解】由题意可得，整理得， 解得或（舍去），故． 38．（24-25高一上·河北邯郸·阶段检测）等差数列中，，求及． 【答案】，或9 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和即可求出. 【详解】    又    又，即，整理得解得或9. 39．（24-25高二上·山东临沂·阶段检测）等差数列的公差为d，数列的前n项和为 (1)已知，，，求d； (2)已知，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式即可求出公差； （2）由有，则即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以 （2）由，即， 所以 40．（24-25高二上·甘肃张掖·阶段检测）解决下列问题： (1)已知等差数列中，，，求及通项公式； (2)已知等比数列中，，，求及通项公式. 【答案】(1)；； (2)；或. 【分析】（1）由等差数列通项，求和公式结合题意可得答案； （2）由等比数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设等差数列公差为，首项为， 则， 则； ； （2）设等比数列公比为，首项为，显然. 则 ,则. 得. 因，则或. 若，则； 若，则. 综上，或. ◆题型9 含绝对值的等差数列前n项和 41．（25-26高二上·云南楚雄·期末）记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将条件转化为首项和公差的方程，解方程求，，进而可求得数列的通项公式，再求； （2）由题意得当时，，当时，，分别求其前项和，即可得到数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. （2）由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 42．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2)最小值为-42，无最大值. (3)106 【分析】（1）根据等差数列的求和公式建立方程组可得答案； （2）根据通项公式的特点可求最小值，没有最大值； （3）先求出的通项公式，根据等差数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 则 解得， 故的通项公式为. （2）因为，所以单调递增. 因为，所以的最小值为，无最大值. （3）由（1）可知，， 所以易知为等差数列. 设的前项和为，则， 所以数列的前20项和为 43．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可； （2）根据绝对值的性质，运用分类讨论思想，结合等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）设的公差为. 由， 可得 解得 则. （2）由（1）可知，当时，，则， 则. 当时，，则， 则. 故 44．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 【答案】(1)证明：， 又数列是为首项，1为公差的等差数列. (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义计算即可； （2）先算出数列的前项和为，根据或分类讨论即可. 【详解】（1）略 （2）记的前项和为，则 由，得，即时，时，， ①时，. ②时， 所以. 45．（23-24高二下·四川成都·阶段检测）已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，前项和公式和等差数列的性质，求出和，得到等差数列的通项公式. （2）由.再由，求数列的前n项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则：. 所以. （2）由（1）得： 由. 所以当时，. 当时，. 所以. ◆题型10 等差数列奇数项或偶数项的和 46．（2026高二·全国·专题练习）设等差数列的项数为奇数且偶数项之和不为零，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为． 47．（24-25高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据等差数列性质即可化简求出奇数项之和. 【详解】解：由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. 48．（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【答案】A 【分析】根据题意得，进而得. 【详解】解:因为等差数列中，，， 所以， 即， 所以 49．（26-27高二上·全国·课后作业）一个等差数列共有2021项，该数列各项不全为0，且奇，偶数项的和均不为0，则它的奇数项的和与偶数项的和之比为______． 【答案】 【分析】根据题意，由等差数列的求和公式以及下标和性质代入计算，即可得到结果. 【详解】因为等差数列共有1011个奇数项，1010个偶数项， 所以，． 又因为，所以． 50．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 【答案】55 【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解. 【详解】设等差数列的项数为， ＝＝， ＝＝， 所以，解得，所以项数， 所以此数列的中间项为，又， 所以为所求中间项. 考点四 等差数列前n项和性质 ◆题型11 等差数列片段和性质 51．（广西河池市部分学校2026-2027学年高三上学期9月自主检测数学试题）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 【答案】B 【详解】由等差数列的性质：仍成等差数列； 计算得：， 由等差中项性质：， 代入数值：，即， 解得：. 52．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 【答案】D 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 则，即，所以. 53．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 54．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据等差数列的片段和的性质即可求解． 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 55．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 【答案】3 【分析】利用等差数列片断和性质求解. 【详解】是等差数列，则成等差数列， 所以，所以. ◆题型12 前n项和与n的比所组成的等差数列 56．设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 【答案】A 【详解】由题意，， 则数列为等差数列，设公差为，，， 即，，则，则， 则，所以，（常数），则也为等差数列． 则数列的公差为，所以，所以. 57．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 58．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 59．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则______． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 60．（23-24高二下·四川成都·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 【答案】(1) (2) 由（1）知， 所以，所以， 所以数列是以为公差的等差数列，又， 故数列的首项为，公差为. 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 依题意得：，解得：， 故. 所以数列的通项公式为. （2）略 ◆题型13 两个等差数列前n项和之比问题 61．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 62．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可设，，结合运算求解即可. 【详解】因为，即， 又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，， 所以. 63．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，由等差数列前项和的性质，可设和，求得的表达式，即可得到答案. 【详解】由等差数列，的前项和，可得， 因为等差数列的前项和为， 即等差数列的前项和满足的形式， 可设，其中， 则 ，所以. 64．（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 所以可设，， 所以，所以. 65．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【详解】. 考点五 等差数列前n项和的函数特征 ◆题型14 二次函数法求等差数列前n项和最值 66．（25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小值 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 67．（25-26高二上·北京平谷·期末）已知数列的前项和，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列前项和为，求的最大值. 【答案】(1)；. (2)544 【分析】（1）通过求首项，再利用推导递推关系，确定等比数列后得，结合等差数列通项公式基本量运算可得，即可得； （2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而利用二次函数性质分析最值. 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式作差得，，即， 当时，，得， 则由以上递推关系可知，故， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； 设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以. （2）由（1）可知：， 则， 当或时，取到最大值为． 68．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）记等差数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； 【答案】(1) (2)的最大值为10，此时或. 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的方程组，求出，即可得到的通项公式； （2）由（1）写出等差数列的前项和为，结合二次函数的最值求法求得的最大值以及取得最大值时的的值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题可得，解得. 故. 即的通项公式为. （2）由（1）知， 所以关于对称，且当时，单调递增；当时，单调递减. 因为，且， 所以当或时，取得最大值，最大值为10. 69．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式的性质计算基本量即可； （2）先计算，得出的通项，由等差数列的定义判定为等差数列，再根据求和公式计算，结合二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； （2）由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 70．（24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据等差数列通项公式解题即可; （2）根据等差数列的前项和公式，再由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，数列的前项和， 因为，所以当或时，有最大值，即. 所以数列的最大项和. ◆题型15 求等差数列前n项和最值 71．（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知等差数列的前项和为，若． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)时取得最大值为9. 【分析】（1）应用等差数列的前n项和公式求得，再由等差数列的通项公式求得公差，进而写出数列的通项公式； （2）根据（1）所得通项公式，结合等差数列的单调性确定对应的范围，进而确定最大值及其对应值. 【详解】（1）由题设，，所以， 令的公差为，则， 所以； （2）由（1），若，且，则， 而时，故时取得最大值， 所以. 72．（2025·陕西商洛·模拟预测）在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式求解； （2）确定数列中为正数的项，然后再由前项和公式计算． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得 解得， . （2）由（1）知，， 令，解得， 由，知数列是递减数列， 等差数列的前7项为正数，从第8项起为负数， . 73．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据条件列方程组，即可求解； （2）由（1）知，利用等差数列的前项和公式，即可求出，再利用数列是递增数列，且，，得到最小，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为， 所以，解得，， 所以，即的通项公式为. （2）由（1），，所以， 又，所以数列是递增数列， 由知，， 所以的最小值为. 74．（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可求，即可得通项公式； （2）根据通项公式分析数列的符号性，进而可得前项和的最小值. 【详解】（1）因为，即， 又因为，可得，即， 则，可得， 所以数列的通项公式. （2）令，解得， 可知当时，；当时，； 所以数列的前项和的最小值为. 75．（23-24高二下·湖北·期中）在公差不为0的等差数列中， ，是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求的最大值. 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出公差即可得解； （2）首先得出单调递减，并求出时的最大值，结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设的公差为d，因为是与的等比中项，所以， 即，整理得. 又，所以， 则. （2）由（1）可得，. 因为，所以是递减数列. 又，， 所以当时，取得最大值，且最大值为. ◆题型16 根据等差数列前n项和最值求参数 76．（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是的唯一最大项，说明数列前8项和最大，且第9项开始和递减，然后由等差数列通项公式解不等式组即可求解. 【详解】由是中的唯一最大项可得：，即， 代入，解得. 77．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和最值的性质，建立不等式解出即可. 【详解】因为是中的唯一最大项，所以且， 即且，又，解得， 即的取值范围为． 78．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则__________；若恒成立，则符合条件的公差的一个取值为__________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】先利用等差数列前n项和公式与通项公式化简已知等式求解首项，再根据恒成立等价于且，解不等式得到公差d的取值范围. 【详解】设等差数列的公差为d，，其前n项和公式为，通项公式为，， 又，所以，解得. 因为恒成立， 所以数列递减，且， 所以，解得 符合条件的公差的一个取值为（答案不唯一，满足即可）. 79．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知等差数列的前项和为，首项，为的最小值，则的值可以为______（写出符合条件的一个值即可）. 【答案】（填写之间的任意一个实数都可） 【分析】根据为的最小值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算. 【详解】因为等差数列首项，且是前项和的最小值， 所以公差，且满足， 根据等差数列通项公式可得：， 解得：， 再根据前项和公式， 可得：， 化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如. 80．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知等差数列为递减数列，且，. (1)求数列的通项公式; (2)若数列的前项和，求的最小值. 【答案】(1)； (2)10 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 联立解得或， ∵等差数列为递减数列，，， . （2）由(1)知，故，可得， 化简整理得，解得或，又，所以的最小值为10. 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【详解】因为，即，即， 则， 又因为，所以， 所以， 所以，即. 2．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先明确等差数列前n项和与项的关系，再分析“单调递增”和“”的等价条件，最后判断两者的逻辑关系即可． 【详解】若等差数列为递增数列，则公差， 取，公差，数列递增，但，，， 此时，不满足 对任意成立， 故充分性不成立； 因为对任意，， 所以 对任意恒成立， 取，此时，满足条件，但公差，数列不是递增数列， 故必要性不成立； 综上，“为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件． 3．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（    ） A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 【答案】D 【分析】根据题意得出第层球的个数与层数的递推关系，利用累加法求出通项公式，代入求解. 【详解】设第层球的个数为，． 由题意可知，． 当时，第层比第层多个球，即． 所以 ． 当时，，满足上式． 故第层球的个数为，． 所以当时，． 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）记为等差数列的前项和.若的公差为，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式得到，设从而有，应用基本不等式求最小值. 【详解】已知等差数列中，公差为（且） 由，，， 所以，， 设且，所以，得，所以， 所以， 当且仅当，即时，即时，取等号， 综上所述，的最小值为. 5．（26-27高三上·辽宁·开学考试）在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求得，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，为方程的两实根，可得， 由等差数列的性质，可得. 6．（26-27高二上·全国·课后作业）已知等差数列的公差，前项和为，则当时有（   ） A． B． C． D．，，的大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题考查等差数列前项和公式与通项公式，把化简为与的形式，结合公差数列递增，比较三者大小. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，即， 因为，，， 所以， 所以， ． 7．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）已知正项等差数列满足，则（     ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【答案】A 【分析】利用等差数列性质及前项和公式变形给定等式得，再构造常数列求出目标值. 【详解】在等差数列中，， ， 则，即， 所以，所以，所以数列是常数列， 则，即，所以. 8．（25-26高二下·广东深圳·期末）设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的关系作差结合分类讨论计算通项公式，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】因为，当时，； 当时，；， 所以，即，；当时，不满足； 所以，则时，的前项和为. 所以. 9．（25-26高二下·安徽·期末）已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 【答案】D 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，再逐项分析判断作答. 【详解】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，B正确；，A正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 10．（多选）（26-27高三上·安徽·开学考试）记等差数列的前项和为，，，则（    ） A．数列的公差为2 B．数列是等比数列 C．的最小值为1 D．数列为递增等差数列 【答案】ACD 【详解】设等差数列公差为，则有， 解得，A选项正确； ，， ，不是常数，数列不是等比数列，B选项错误； ，由，的最小值为1，C选项正确； 设，则，故数列是首项为1公差为1的等差数列， 即数列为递增等差数列，D选项正确. 11．（多选）（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知是递增的等差数列，公差为d，满足，且从第5项开始为正数，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，利用等差数列的性质求出，再结合等差数列通项中项与项的关系推导. 选项B，利用等差数列通项公式.选项C、D，结合数列是递增等差数列和题意建立关于和的不等式组并求解. 【详解】选项A，由，得，即， 因此，A正确. 选项B，若，由，解得， 所以， B错误. 选项C，数列从第5项开始为正数，则第4项及之前非正、第5项起为正， 即：，代入，得： ，即，C正确. 选项D，由得， 由可得，， 因此，D正确. 12．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 【答案】 【详解】因为， 所以． 当时，， 由此得． 因为，所以． 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 13．（26-27高二上·全国·课后作业）在等差数列中，为前项和，且，那么该数列前______项的和最大． 【答案】13 【详解】方法一：设等差数列的公差为， 因为，所以，将代入，解得． 则． 故数列前13项的和最大． 方法二：设等差数列的公差为．由题意知，， 的图象对应的是开口向下的抛物线上横坐标为正整数的一群孤立的点， 因为，所以最高点的横坐标为，即最大． 方法三：同方法一求得．由，解得， 所以当时，有最大值． 方法四：因为，所以，得． 因为，所以当时，；当时，．所以最大．    14．（26-27高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，若，则的最大值是________． 【答案】400 【分析】利用等差数列求和公式可得，再利用等差数列的性质可知，进而利用基本不等式即可求得的最大值． 【详解】由等差数列求和公式得， 故． 因为，所以由基本不等式得， 当时等号成立，故的最大值是400． 15．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数列的前项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入原等式化简，即可得到数列是等差数列，利用等差数列的通项公式求解； （2）分和两种情况，结合等差数列前项和公式讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，由于，解得， 当时，由于，所以， 化简可得：， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由（1）知，则， 当时，，所以， 此时， 则， 当时，，且， 此时， 综上，. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知是等比数列的前项和，首项，公比，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，问从第几项开始数列中的连续20项之和等于102？ 【答案】(1) (2)从第2项或第5项开始数列中的连续20项之和等于102． 【分析】（1）运用等差中项的性质及等比数列的前项和公式，可得关于的方程，解方程可得公比，进而得到所求通项公式； （2）先利用（1）中结果求得，记数列从第项开始的连续20项和为，得，分和两种情况，由利用等差数列的前项和公式列方程求解. 【详解】（1）依题意得， 因为，所以， ，或（舍去）. ，． （2）． 记数列从第项开始的连续20项和为，则 若，则，不合题意； 所以， ， ， ，解得或， 所以从第2项或第5项开始数列中的连续20项之和等于102． 17．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求集合中元素的个数，并求所有元素的和． 【答案】(1)，是等差数列 (2)9，63 【分析】（1）由前n项和公式求通项，利用 得到通项表达式，再验证首项是否满足，最后通过相邻项差为常数判断是否为等差数列； （2）将两个数列的通项代入条件 ，转化为关于 的幂等式，结合 的范围确定的取值区间，从而求出集合元素个数及和. 【详解】（1）当时，有， 当时，有， 又因为，所以时也成立， 因此数列的通项公式为．             因为，所以是等差数列． （2）由（1）知，， 由，得，             由题知，所以， 所以，4，5，6，7，8，9，10，11共9个数， 即集合中元素的个数为9， 所有元素的和为63． 18．（25-26高二下·福建厦门·期末）一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. (1)求，，并写出与的递推关系式； (2)求数列的通项公式，并求出的最大值. 【答案】(1)，，， (2)，. 【分析】（1）由题意可得，并得到，得到答案； （2）累加法得到，，也符合上式，所以. 【详解】（1）由题意可知，. 在第个快递站卸下件快递，同时装上件快递， 则，所以，. （2）由（1）知，. 可得 ，， 也符合上式，所以. 因为，故当时，的最大值为. 19．（25-26高一下·上海·期中）已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式和前n项和； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）利用等差数列前项和的性质，结合已知条件，求得的表达式，再利用等差数列前n项和公式求. （2）将（1）中求得的代入不等式，按n为奇数、n为偶数两种情况分类讨论，分别分离参数λ，得到λ与关于n的表达式的不等关系，再分别求解对应表达式的最值，最终确定λ的取值范围. 【详解】（1）等差数列中，，则， 故， ∵，∴，． （2）∵对任意，恒成立， ∴对任意，恒成立． 当n为奇数时，，∴对正奇数n恒成立． 设． ∵对正奇数n恒成立， ∴，∴，∴； 当n为偶数时，，∴对正偶数n恒成立． 设． ∵对正偶数n恒成立， ∴，∴，∴． 综上，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列：定义、通项、基本量与性质应用 常考题型·精准突破 考点一 等差数列的判断 题型1 判断等差数列 题型2 利用前n项和公式判断是否为等差数列 考点二 等差数列性质 题型3 等差中项及其应用（高频） 题型4 等差数列角标和性质（重） 题型5 等差数列的单调性（难） 题型6等差数列中最大（小）项（重） 考点三 等差数列基本量计算 题型7 求等差数列前n项和（重） 题型8 等差数列前n项和基本量计算（重） 题型9 含绝对值的等差数列前n项和（难） 题型10 等差数列奇数项或偶数项的和（难） 考点四 等差数列前n项和性质 题型11 等差数列片段和性质（重） 题型12 前n项和与n的比所组成的等差数列（难） 题型13 两个等差数列前n项和之比问题（高频） 考点五 等差数列前n项和的函数特征 题型14 二次函数法求等差数列前n项和最值（重） 题型15 求等差数列前n项和最值（高频） 题型16 根据等差数列前n项和最值求参数（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 等差数列的判断 ◆题型1 判断等差数列 1．（2026·北京通州·一模）已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知等差数列；等差数列，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为的等差数列 D．公差为19的等差数列 3．（多选）（25-26高二下·河北衡水·期末）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，，，若.求证：是等差数列； 5．已知数列中，，.证明：是等差数列. ◆题型2 利用前n项和公式判断是否为等差数列 6．已知数列的前n项和公式为，则数列（    ） A．是公差为2的等差数列 B．是公比为2的等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 7．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)若，则是等差数列吗？ (2)若，则是等差数列吗？ 8．已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 9．已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 10．已知数列的前项和为，满足，证明：数列为等差数列． 考点二 等差数列性质 ◆题型3 等差中项及其应用 11．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 13．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·四川成都·期末）在等差数列中， ， ，则公差为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列为等差数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 ◆题型4 等差数列角标和性质 16．（25-26高二下·广东肇庆·期末）已知等差数列满足，，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 17．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知等差数列中，，，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 18．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C．1 D．13 19．（25-26高一下·上海黄浦·期末）记为等差数列的前项和，若，，则__________ 20．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等差数列的前项和为，若，则_______． ◆题型5 等差数列的单调性 21．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（多选）（25-26高二上·安徽安庆·期末）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 24．（多选）（2026·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 25．（25-26高二·全国·随堂练习）已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的增减性． ◆题型6 等差数列中最大（小）项 26．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 27．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 28．已知数列的通项公式为. （1）试问10是数列中的项吗？ （2）求数列中的最小项. 29．已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 30．已知数列中，，数列满足. (1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式； (2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项. 考点三 等差数列基本量计算 ◆题型7 求等差数列前n项和 31．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）记等差数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 32．（福建省泉州市部分校2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．110 B．120 C．130 D．135 33．（26-27高二上·全国·课堂例题）在等差数列中，已知，求． 34．（26-27高二上·全国·课堂例题）在等差数列中，已知，，求； 35．（26-27高二上·全国·课堂例题）求等差数列1，5，9，…，401各项的和； ◆题型8 等差数列前n项和基本量计算 36．（26-27高二上·全国·课堂例题）在等差数列中，已知，，，求和． 37．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知等差数列的公差为，前项和为，，，，求及． 38．（24-25高一上·河北邯郸·阶段检测）等差数列中，，求及． 39．（24-25高二上·山东临沂·阶段检测）等差数列的公差为d，数列的前n项和为 (1)已知，，，求d； (2)已知，求 40．（24-25高二上·甘肃张掖·阶段检测）解决下列问题： (1)已知等差数列中，，，求及通项公式； (2)已知等比数列中，，，求及通项公式. ◆题型9 含绝对值的等差数列前n项和 41．（25-26高二上·云南楚雄·期末）记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 42．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 43．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 44．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 45．（23-24高二下·四川成都·阶段检测）已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． ◆题型10 等差数列奇数项或偶数项的和 46．（2026高二·全国·专题练习）设等差数列的项数为奇数且偶数项之和不为零，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 48．（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 49．（26-27高二上·全国·课后作业）一个等差数列共有2021项，该数列各项不全为0，且奇，偶数项的和均不为0，则它的奇数项的和与偶数项的和之比为______． 50．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 考点四 等差数列前n项和性质 ◆题型11 等差数列片段和性质 51．（广西河池市部分学校2026-2027学年高三上学期9月自主检测数学试题）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 52．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 53．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 55．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，，则_________． ◆题型12 前n项和与n的比所组成的等差数列 56．设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 57．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 58．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 59．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则______． 60．（23-24高二下·四川成都·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. ◆题型13 两个等差数列前n项和之比问题 61．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 62．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A． B． C． D． 64．（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 65．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 考点五 等差数列前n项和的函数特征 ◆题型14 二次函数法求等差数列前n项和最值 66．（25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 67．（25-26高二上·北京平谷·期末）已知数列的前项和，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列前项和为，求的最大值. 68．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）记等差数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； 69．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的最小值． 70．（24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. ◆题型15 求等差数列前n项和最值 71．（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知等差数列的前项和为，若． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 72．（2025·陕西商洛·模拟预测）在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 73．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 74．（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 75．（23-24高二下·湖北·期中）在公差不为0的等差数列中， ，是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求的最大值. ◆题型16 根据等差数列前n项和最值求参数 76．（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 77．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 78．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则__________；若恒成立，则符合条件的公差的一个取值为__________． 79．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知等差数列的前项和为，首项，为的最小值，则的值可以为______（写出符合条件的一个值即可）. 80．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知等差数列为递减数列，且，. (1)求数列的通项公式; (2)若数列的前项和，求的最小值. 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（    ） A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）记为等差数列的前项和.若的公差为，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·辽宁·开学考试）在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 6．（26-27高二上·全国·课后作业）已知等差数列的公差，前项和为，则当时有（   ） A． B． C． D．，，的大小关系不确定 7．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）已知正项等差数列满足，则（     ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 8．（25-26高二下·广东深圳·期末）设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·安徽·期末）已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 10．（多选）（26-27高三上·安徽·开学考试）记等差数列的前项和为，，，则（    ） A．数列的公差为2 B．数列是等比数列 C．的最小值为1 D．数列为递增等差数列 11．（多选）（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知是递增的等差数列，公差为d，满足，且从第5项开始为正数，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C． D． 12．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 13．（26-27高二上·全国·课后作业）在等差数列中，为前项和，且，那么该数列前______项的和最大． 14．（26-27高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，若，则的最大值是________． 15．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数列的前项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知是等比数列的前项和，首项，公比，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，问从第几项开始数列中的连续20项之和等于102？ 17．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求集合中元素的个数，并求所有元素的和． 18．（25-26高二下·福建厦门·期末）一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. (1)求，，并写出与的递推关系式； (2)求数列的通项公式，并求出的最大值. 19．（25-26高一下·上海·期中）已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式和前n项和； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $