2 等差数列（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

2. 等差数列 题型一 等差数列及其通项公式 1．在等差数列{}中，若，公差d=2，则=（    ） A．9 B．11 C．3 D．6 【答案】A 【分析】由等差数列的通项公式即可求得答案. 【详解】由题意可知，. 故选：A. 2．在数列中，，，若，则（    ） A．671 B．672 C．673 D．674 【答案】D 【分析】分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解. 【详解】∵，， ∴ ∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴，解得. 故选：D. 3．程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注]六升六：6.6升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．2.3升 B．2.4升 C．3.4升 D．3.6升 【答案】C 【分析】首先根据题意得到为等差数列，再根据已知求出和，计算即可. 【详解】设从下至上各节容积分别为，，……，， 由题知：为等差数列，设公差为， 因为， 解得， 所以. 故选：C 题型二 等差数列的性质 4．已知等差数列中，，则（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，可知，从而可求出结果. 【详解】解：根据题意，可知等差数列中，， 则， 所以. 故选：D. 5．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（    ） A．1 B．0 C．100 D．3700 【答案】C 【分析】根据题意确定数列是常数列即可. 【详解】根据题意，， 又数列，是项数相同的等差数列， 所以数列是常数列， 所以数列的第37项为100. 故选：C. 6．设数列是等差数列，公差为，且为其前项和，若，则取最小值时，等（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过已知条件求得，由此确定正确选项. 【详解】因为，所以，所以，即. 因为数列是等差数列，公差为，所以或时，取最小值． 故选：C． 题型三 等差中项 7．在等差数列中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的性质有，从而即可求解. 【详解】解：在等差数列中，因为，所以，所以， 故选：B. 8．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】利用等差中项的定义即求. 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴和的等差中项是． 故选：D. 题型四 等差数列的前n项和 9．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）． A．10层 B．11层 C．12层 D．13层 【答案】C 【分析】设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值 【详解】根据题意，设该数列为，塔群共有n层， 即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…， 则． 该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差， 则有， 又，则有， 即，解得或（舍去），则． 故选：C． 10．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．60 B．80 C．90 D．100 【答案】D 【分析】由题设条件求出，从而可求. 【详解】设公差为， 因为，，故，解得， 故， 故选：D. 11．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求解. 【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是， 所以. 故选：B 题型五 等差数列的前n项和的性质 12．已知等差数列的前n项和为且，若，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【分析】结合等差数列前项和的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，等差数列的前n项和为且， 若， ， ， . 故选：B 13．已知数列，通项公式为，那么的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，推导出数列是首项为，公差为2的等差数列，由此求出，再由配方法能够求出当前项和取到最小值时，的值． 【详解】，， ， 数列是首项为，公差为2的等差数列， ， 前项和取到最小值时，， 故选：B 14．已知等差数列的前项和为．若，，则（    ）． A．35 B．42 C．49 D．63 【答案】B 【分析】运用等差数列的性质，、、依然等差数列来求解 【详解】已知数列为等差数列，则其前项和性质有、、也是等差， 由题意得，， 则，， 故选 15．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】将等差数列前项和公式，改写成关于的二次函数，根据二次函数图像的对称性列出关于的方程即可求解. 【详解】，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，， 得，解得. 故选：B. 题型六 等差数列的简单应用 16．在1和17之间插入n个数，使这个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时， . 【答案】7 【分析】根据等差数列的性质，结合不等式的“乘1法”即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知得， 则，当且仅当时取等号，此时，， 所以所以，因此，可得． 故答案为：7 17．数列中，，，使对任意的（为正整数）恒成立的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是等于，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列：，可得规律为；；；此时将原数列分为三个等差数列： ，； ，； ; 因为， 所以满足对任意的恒成立的最大值为． 故选：B. 18．已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由已知分析可得，公差，讨论当时，当，时，与的关系，计算即求得的取值范围,得出结果. 【详解】等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差， 当，此时，、是等差数列的前项和中的最小值，此时，即，则 当，此时是等差数列的前项和中的最小值，此时，，即，则,则有， 综合可得：分析选项可得：BCD符合题意； 故选：A 1．已知等差数列的前n项为，，，则的值为（    ） A．2 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【解析】利用等差数列前n项和的性质：，，成等差数列，列式计算即可. 【详解】因为，，成等差数列， 故有， 解得. 故选：A. 2．将自然数1，2，3，4，5，…按照下图排列，我们将2，4，7，11，16，…都称为“拐角数”，则第100个“拐角数”为（    ） A．5050 B．5051 C．10100 D．10101 【答案】B 【分析】找出拐角数的规律：第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，第3个“拐角数”为，按此规律即可求. 【详解】第1个“拐角数”为， 第2个“拐角数”为， 第3个“拐角数”为， …… 故第100个“拐角数”为， 故选：B 3．已知等差数列，，，则数列的前100项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的通项，再利用裂项相消法可求前100项和. 【详解】因为为等差数列且，， 故，故， 故数列的前100项和为， 故选：A. 4．高斯，德国著名数学家､物理学家､天文学家､大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前项和为，则的值为（    ） A．17 B．15 C．13 D．11 【答案】A 【分析】由可得，又，根据等差数列性质可求，结合等差数列前n项和公式可求的值. 【详解】∵   ， ∴   ， ∵  ，    ∴     ， ∴  ， 又数列为等差数列， ∴  ， ∴  ，又，， ∴  . 故选：A. 5．（多选）设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与均为的最大值 【答案】ABD 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为， 因为，可得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以， 所以和均为的最大值，所以D正确. 故选：ABD. 6．（多选）递增等差数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时最小 D．时n的最小值为8 【答案】ABD 【分析】由等差数列通项公式基本量的计算即可判断AB；由等差数列前n项和二次函数特性即可判断C；由等差数列前n项和的不等式法即可判断D. 【详解】A、B：由题意可设等差数列的公差为d， 因为，可得，解得， 又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确. C：， 由得，当或4时最小，故C错误. D：令，解得或，即时n的最小值为8，故D正确. 故选：ABD. 7．（多选）数列共有60项，满足，其中且，数列的所有奇数项的和记作，所有偶数项的和记作，则下列选项正确的是（    ） A．（且） B． C． D． 【答案】ABC 【分析】令，可得，令可得，将两式相减可得由此即可判断A,B是否正确；分别将，2，3…59代入，根据，再根据等差数列前项和公式，即可求出，进而判断C，D是否正确. 【详解】对于A，令（且）时，得①， 令（且）时，得②， 得（且），故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C和D，分别将，2，3…59代入， 得，，，，…，， ，所以，故C正确， ，故D错误． 故选：ABC. 8．已知非常数数列满足，为数列的前n项和.若，，则（    ） A．2022 B． C． D．2021 【答案】B 【分析】化简已知得，即得数列为等差数列，再根据已知求出，即得解. 【详解】∵， ∴， 化简得， ∴，∴数列为等差数列. 又，， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 9．等差数列的首项为，公差，前n项和为． （1）若，求的值； （2）若对任意正整数n均成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解； （2）代入等差数列的通项和前项和公式，变形为对任意正整数n均成立，再求的取值范围. 【详解】（1）由题意知， ∴， ∴． （2）， ， 由对任意正整数n均成立， 得对任意正整数n均成立， 即对任意正整数n均成立， 当时，上式恒成立； 当时，， 又当时，取得最小值0，∴． ∴的取值范围为． 1．记是等差数列的前n项和，若， (1)求的通项公式，并求的最小值； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1)，-36； (2) 【分析】（1）求出，再求出，2，3，4时，时，，即得解； （2）对分和两种情况讨论得解. 【详解】（1）解：设的公差为d，则，， ，， 由得，， ，2，3，4时，时，， 的最小值为 （2）解：由知，当时， 时，， ， 当时， 当时，， 2．已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值，最大值3，理由见解析 【分析】（1）求，化简后由等差数列定义证明 （2）先求的通项公式后得出的通项公式，结合单调性求解 【详解】（1）证明：因为，， 所以当时， . 又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，则. 设函数，在区间和上单调递减， 结合函数的图象可知， 当时，取得最小值； 当时，取得最大值3. 3．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $null 2. 等差数列 题型一 等差数列及其通项公式 1．在等差数列{}中，若，公差d=2，则=（    ） A．9 B．11 C．3 D．6 2．在数列中，，，若，则（    ） A．671 B．672 C．673 D．674 3．程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注]六升六：6.6升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．2.3升 B．2.4升 C．3.4升 D．3.6升 题型二 等差数列的性质 4．已知等差数列中，，则（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 5．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（    ） A．1 B．0 C．100 D．3700 6．设数列是等差数列，公差为，且为其前项和，若，则取最小值时，等（    ） A． B． C．或 D．或 题型三 等差中项 7．在等差数列中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 8．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C． D．3 题型四 等差数列的前n项和 9．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）． A．10层 B．11层 C．12层 D．13层 10．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．60 B．80 C．90 D．100 11．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五 等差数列的前n项和的性质 12．已知等差数列的前n项和为且，若，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 13．已知数列，通项公式为，那么的最小值是（    ）． A． B． C． D． 14．已知等差数列的前项和为．若，，则（    ）． A．35 B．42 C．49 D．63 15．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 题型六 等差数列的简单应用 16．在1和17之间插入n个数，使这个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时， . 17．数列中，，，使对任意的（为正整数）恒成立的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．已知等差数列的前n项为，，，则的值为（    ） A．2 B．0 C．3 D．4 2．将自然数1，2，3，4，5，…按照下图排列，我们将2，4，7，11，16，…都称为“拐角数”，则第100个“拐角数”为（    ） A．5050 B．5051 C．10100 D．10101 3．已知等差数列，，，则数列的前100项和（    ） A． B． C． D． 4．高斯，德国著名数学家､物理学家､天文学家､大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前项和为，则的值为（    ） A．17 B．15 C．13 D．11 5．（多选）设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与均为的最大值 6．（多选）递增等差数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时最小 D．时n的最小值为8 7．（多选）数列共有60项，满足，其中且，数列的所有奇数项的和记作，所有偶数项的和记作，则下列选项正确的是（    ） A．（且） B． C． D． 8．已知非常数数列满足，为数列的前n项和.若，，则（    ） A．2022 B． C． D．2021 9．等差数列的首项为，公差，前n项和为． （1）若，求的值； （2）若对任意正整数n均成立，求的取值范围． 1．记是等差数列的前n项和，若， (1)求的通项公式，并求的最小值； (2)设，求数列的前n项和 2．已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 3．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www zxxk com 2.等差数列（答案版 A 基础达标题 题型一等差数列及其通项公式 1.A 2.D 3.C 题型二等差数列的性质 4.D 5.C 6.C 题型三等差中项 7.B 8.D 题型四等差数列的前n项和 9.C 10.D 11.B 题型五等差数列的前n项和的性质 12.B 13.B 14.B 题型六等差数列的简单应用 16.7 17.B 18.A B 能力提升题 1.A 2.B 3.A 5.ABD 6.ABD 7.ABC 9.【详解】(1)由题意知d=-1, 8=a+54-小=5 .a=1. (2)am=a1+(n-1d=a1+1-n, 3.=,+n-ld=-+a+）。 2 2+a+2m, 由Sn≤an对任意正整数n均成立， 1 得二”+a,+，n≤a+1-n对任意正整数n阿成立， a-4-”)s0对在安整数n均度立， 1/4 上好每一堂课 15.B 4.A 8.B 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当n=1时，上式恒成立； 当m≥2时，4s2 2 又当n=2时， 2取得最小值0,4≤0， 2 .a,的取值范围为(-0,0. 拓展培优题 2 7x6d=-21, 1【详解)(1)解：设a}的公差为d,则5a+4d=-35,7a+2 .a1=-15,d=4,.an=-15+4(n-1)=4n-19. .19 由an=4n-1920得，n 4 n=1,2,3,4时an<0,n≥5时，an>0, 4× ∴.Sn的最小值为S4=4a+ 2d=-36. 2 (2)解：由(1)知，当n≤4时，bn=an=-an; n25时，bnan=an, S,=ma+mn Dd=2n-17n, 2 当n≤4时，Tn=-Sn=17n-2n2. 当n≥5时，Tm=Sn-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72, 17n-2n2,n≤4， ..T= 2n2-17n+72,n25. 2【详1a证明：因为=2-之o2ae.友aeN an-1 所以当a≥2时，么-61=11 1 an-10n-1-1 21 -1 an-1-1 =11 =1 0n-1-1an-1-1 。一2所以数列么，是以了为首项，1为公差的等差数列 15 又b= 2 2》由1知6=n子测a.=1+-1+2 7 b。 2n-7 2/4 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设碳数1-1“名71倒在区食（引利行+树小上单词递减。 2 结合函数f(x)的图象可知， 当n=3时，an取得最小值-1； 当n=4时，a取得最大值3. 3.【详解】(1)方法一]： 由已知。 取n=1,由S,=b得6=2 由于b为数列{Sn}的前n项积， 所以鸡路 所以 2h.20,…2bL,=b1 b-12b2-12bn+1-1 2b1_b1 所以2b-6· 由于bn+1≠0 所以2号广6，甲64-6=其中neN 21 所以数列A}是以4=为首项，以d=号为公差等差数列 [方法二]【最优解】： 由已知条件知b=S,S2·S,…Sn1S。① 于是bn-1=S,·S2·S…Sn-(n≥2).② 由①2得么=3. bn ③ 2,1 2=2, ④ 由③④得b.-b1=2 1 令n=1,由S=么，得-房 所以数列b,}是以为首项，？为公差的等差数列. 方法三]： 3/4 而学科网·上好课 www.zxx k.com 由sb =2,得b=7,且S,≠0，b,≠0，S 又因为b,=S5S=5,b,所以632S,-2 b2=1 s-1S。-L=m≥2. 点.-b28.-228.-229,-可2 2+=2中，当m=1时，6=S=2 3 在s。b. 故数列{b,}是以为首项，2为公差的等差数列。 4/4 上好每一堂课 所以