第5讲 命题与证明 优等生讲义 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

第5讲 命题与证明 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解命题、定理、证明的含义，能区分命题的题设和结论 · · 会把命题改写成「如果……那么……」形式，能判断真假命题 · · 了解反例的作用，会举反例说明假命题 · · 掌握综合法证明的基本步骤和格式，能进行简单的几何推理 📚 知识梳理 ☆ 1.命题与定理 判断一件事情的语句叫命题，由题设和结论两部分组成 命题可写成「如果p，那么q」形式；正确的叫真命题，错误的叫假命题 经过证明的真命题叫定理；每个定理都有逆命题，但逆命题不一定为真 反例：满足题设但不满足结论的例子，可证明假命题 概念辨析例题：命题「如果a2=b2，那么a=b」是真命题还是假命题？ 解析：反例：a=2,b=-2时a2=b2=4，但a≠b，故为假命题 ☆ 2.证明的一般步骤 审题：分清题设和结论，画出图形 翻译：根据题意写出已知、求证 探索：分析因果关系，寻找证明思路 书写：从已知出发，每步注明依据，推出结论 概念辨析例题：证明AB∥CD时内错角平分线互相平行 解析：由平行得内错角相等，再由角平分线得半角相等，由同位角相等两直线平行 ☆ 3.推理与论证 综合法：由因导果，从已知逐步推出结论 分析法：执果索因，从结论倒推所需条件 反证法：假设结论不成立，推出矛盾 逻辑推理题用假设法逐一验证真假话 概念辨析例题：四人中只有一人说假话，判断谁出卷 解析：用假设法逐一验证，唯一不矛盾的即为答案 ☆ 4.新定义与开放探究 新定义题：先读懂定义，再按定义套用到具体图形 开放题：从三个论断中选两个作条件、一个作结论构造真命题 证明格式：「已知—求证—证明」三步 每步推理都要有依据（已知、定义、定理、公理） 概念辨析例题：从①∠1=∠2 ②∠B=∠C ③AB∥CD中选两个作条件构造真命题 解析：由AB∥CD得∠1=∠2（同位角），再由∠1=∠2得∠B=∠C 📋 知识总结表 核心概念 定义/方法 注意事项 命题 判断一件事情的语句 由题设+结论组成 真命题 正确的命题 需证明 假命题 错误的命题 举反例即可 定理 经过证明的真命题 都有逆命题 反例 满足题设不满足结论 证假命题 证明 推理过程 每步要有依据 ⚠️ 核心考点 【考点1】命题与定理（第1-16题） · · 命题必须是判断句，疑问句、感叹句不是命题 · · 改写「如果……那么……」：后接的是结论 · · 判断假命题只需举一个反例 · · 定理都有逆命题，但逆命题不一定真 1．（2025秋•浦东新区校级期末）下列命题中，判断错误的是（　　） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D．假命题的逆命题不一定是假命题 2．（2025秋•银川期末）下列命题中为假命题的是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．直角三角形的两锐角互余 C．直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 D．如果点A与点B关于x轴对称，那么他们的横坐标相同 3．（2026•锦州校级模拟）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．（2026春•河口区期末）下列命题中是假命题的是（　　） A．算术平方根等于本身的数是0和1 B．同旁内角相等，两直线平行 C．位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 D．若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 5．（2025春•兴化市期末）下列选项中，可以用来证明命题“如果a＜1，那么a2＜1''是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0 6．（2026春•张店区校级期中）下列命题中，真命题有（　　） ①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2026春•封开县期末）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是_____ 命题（填“真”或“假”）． 8．（2026春•中山市期中）把命题“直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式：____________________ ． 9．（2025秋•二七区期末）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 ____________________ ． 10．（2025春•石柱县校级期中）将命题“正数都大于0”改写成“如果…那么…”的形式为 ____________________ ． 11．（2025春•长宁区校级期中）下列说法中，是假命题的是 ________ ． ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段就是点P到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 12．（2025春•裕华区校级月考）对于命题“如果a＝b，那么a3＝b3”，把题设和结论交换位置，得到的新命题是：__________________ ，这是一个 _____ 命题（填“真”或“假”）． 13．（2025春•闵行区校级月考）如图，已知AB∥CD，EF，CG分别是∠AEC，∠ECD的平分线． （1）求证：EF∥CG． 证明：因为AB∥CD（已知）， 所以∠AEC＝∠DCE（________________ ）． 因为EF平分∠AEC（已知）， 所以________ （____________ ）． 同理________ ． 所以∠1＝∠2， 所以EF∥CG（________________ ）． （2）请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 14．（2026春•泰兴市期末）如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，点F在BA的延长线上，连接EF交AC于点G，给出下列三个信息：①AD∥EF；②∠F＝∠AGF；③AD平分∠BAC．若以其中的两个作为条件，剩余的一个作为结论，得到一个真命题．你选择的条件是_______ ，结论是_____________ （填序号），请说明理由． 15．（2026春•庆云县期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 16．（2025春•海陵区期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F． 请从①OA＝OC，②OB＝OD，③OE＝OF中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构造出一个真命题并进行证明． 条件：_______ ，结论：_____ （填序号）； 证明：________ ． （2）如图2，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连接AE，BE，仅使用无刻度的直尺在CD右侧作出一点F，并连接DF，EF，使得四边形ADFE为平行四边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点2】推理与论证（第17-27题） · · 逻辑推理题用假设法，逐一验证 · · 「只有一人说假话」：假设某人说假话，看其余是否矛盾 · · 抽屉问题：最坏情况+1 · · 几何证明每步注明依据 17．（2025•浙江模拟）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（　　） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 18．（2026•广西模拟）古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵．若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上？（　　） A．1 B．63 C．127 D．31 19．（2026•西湖区校级开学）小明在期中考后，想急迫地核对答案，于是他来到数学组办公室，寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师，他们发现小明不认识他们中的任何一位，于是他们每人说了一句话： 甲说：“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说：“是乙出的试卷！” 丁说：“出卷的不是我！” 他们告诉小明，只有一位老师说了假话，而且出卷老师就在其中，那么请问到底是谁出的期中试卷（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 20．（2025•长沙模拟）某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人需完成各自对应的挑战任务．比赛规则如下： ①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的挑战完成时间为准（例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分钟）； ②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点（返程也需完成对应的挑战任务，耗时与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟）； ③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返； ④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束． 某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，则该组队员完成比赛所需的最短时间为（　　） A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟 21．（2024秋•上海月考）有编号分别为1，2，3，⋯，2024的2024名同学轮流一二报数，报一的同学淘汰，然后剩下的同学形成新的队伍继续按照相同规则报数、淘汰，则最后剩下的同学的编号是_________ ． 22．（2026•兰山区二模）一次数学考试共有8道判断题，每道题10分，满分80分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为 _______ ． 题号学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 × √ × √ × × √ × 60 乙 × × √ √ √ × × √ 50 丙 √ × × × √ √ √ × 50 丁 × √ × √ √ × √ √ m 23．（2025•渭城区校级开学）在一次数学考试中，有10道选择题，评分办法是：答对一题得4分，答错一题倒扣1分，不答得0分，已知参加考试的学生中，至少有4人得分相同．那么，参加考试的学生至少有________ 人． 24．（2023秋•雁塔区校级期中）三个有理数a，b，c两两不等，那么中负数有 _____ 个． 25．扑克游戏是指用纸牌这种道具来玩的游戏，一副扑克牌共有54张牌，有52张正牌，2张副牌（大、小王）．52张正牌均分为13张一组，并以黑桃、红桃、梅花、方块四种花色表示各组，每组花色的牌包括从1﹣10（1通常表示为A）以及J、Q、K标示的13张牌，玩法千变万化．在学习了整式加减之后数学李老师利用一副扑克牌（去除大小王）在课外活动中和同学们做了一个有趣的游戏： ①发给张华、李强、赵刚三位同学相同数量的扑克牌（假定每位同学的扑克牌数量超过四张）； ②张华同学拿出三张扑克牌给李强同学； ③赵刚同学拿出四张扑克牌给李强同学； ④张华同学手中此时有多少张扑克牌，李强同学就拿出多少张扑克牌给张华同学． 请同学们猜一下李强同学手中最终的扑克牌张数． 26．（2024秋•镇海区月考）学校有语文、数学、英语三个兴趣小组，某班有46名学生，规定每人至少参加|两个兴趣小组，其中参加语文和数学的共25人，参加语文和英语的共19人，参加数学和英语的共18人，请问三个兴趣小组都参加的有几人？ 27．（2026春•泉港区期末）2026年6月，被誉为U12“小世界杯”的意大利SIGISMONDI国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【考点3】新定义及压轴题（第28-33题） · · 新定义题先读定义，按定义套 · · 开放题三种组合逐一判断真假 · · 选两个作条件、一个作结论 · · 证明过程从已知出发逐步推导 28．（2025秋•西城区校级期中）一种新运算定义如下：a⊕b＝a+b+|a﹣b|． （1）计算：6⊕（﹣5）＝_______ ； （2）计算：3⊕[（﹣2）⊕4]＝_______ ；（括号内的式子先进行运算） （3）我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足结合律：_____ （填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足交换律：_____ （填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 29．（2025秋•高新区期末）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． （1）已知：如图，____________________ ，GI∥HJ；求证：__________ ． （2）证明： （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是_____ 命题（填“真”或“假”）． 30．（2025秋•固原期末）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60⋯ 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 _____ 整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字均为b，请你通过推理说明猜想是正确的． 31．（2025•滨海县二模）标有1﹣25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． （1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 _____ 选择； （2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ________ ． 32．（2025•北京校级自主招生）某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 33．（2024春•南海区月考）（1）如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事（规定必须向北走，或向东走，不走回头路），其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在题2图填出． ①根据图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，则从A点出发到B点的走法共有 _______ 种； ②根据上面的原理和图3的提示，从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 _______ 种． （2）给图4所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，现有4种不同颜色可供选用，问共有多少种不同的涂色方法． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025•江都区一模）要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝______________ ． 【练习 2】（2026春•淄川区期中）命题“和为180°的两个角互为补角”的条件是_______________ ，结论是_____________ ． 【练习 3】（2025秋•临平区期末）七年级一班有40人报名参加了足球社团或篮球社团．已知参加足球社团的人数比参加篮球社团的人数多6人，两个社团都参加的有8人，则参加足球社团的人数为_______ ． 【练习 4】（2025秋•北京校级期末）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失100元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①D→B→E→A→C；②D→A→C→E→B；③D→E→A→B→C中，经济损失最少的是_____ （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为__________ 元． 💯 课后巩固 复习建议 · · 命题=题设+结论，能改写为「如果……那么……」 · · 判断假命题只需举一个反例 · · 定理都有逆命题，但逆命题不一定为真 · · 几何证明每步都要写依据 · · 逻辑推理用假设法，找矛盾 【作业 1】（2025秋•浦东新区校级期中）下列命题中，真命题是（　　） A．两边之比为1：2的两个等腰三角形相似 B．底角相等的两个等腰梯形相似 C．有一个角是30度的两个等腰三角形相似 D．有一个锐角相等的两个直角三角形相似 【作业 2】（2025秋•兴庆区校级期末）下列命题是真命题的是（　　） A．一个角的补角大于这个角 B．任何数的绝对值都是正数 C．两直线平行，同位角相等 D．是无理数 【作业 3】（2026春•五华区校级期中）下列命题中是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40° D．在同一平面内，若b⊥c，a⊥c，则b∥a 【作业 4】（2025春•兖州区期末）下列命题是真命题的个数为（　　） ①互为补角的两个角都是锐角； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【作业 5】（2026春•龙岗区校级期末）命题“如果x＝y，那么x3＝y3”的逆命题是_____ 命题（填“真”或“假”）． 【作业 6】（2025秋•洞口县期末）命题“若|a|＝2，则a＝2”是个_____ 命题．（填“真”或“假”） 【作业 7】（2025秋•沈阳期末）某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ________ ． 【作业 8】（2025•长沙模拟）某校举办足球比赛，共有A，B，C，D四支球队参赛，其中每两支球队之间都要进行一场比赛，若胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．若A，B两队分别积6分和5分，则C队最多能积_____ 分． 【作业 9】（2026•长沙二模）透明盒子中有A、B、C、D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表： 盖子 A B C D 直径（cm） 1 2 3 4 当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有_______ 种． 【作业 10】（2024春•渝中区校级期中）如图，在△ABC中， （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线AD交C于点D，并在射线AD上另取一点E（不与A重合），使得DE＝DA，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作图形中，若D恰为线段BC的中点，求证：AB＝AC．（请补全下面的证明过程，不写证明理由） 证明： ∵D为BC中点， ∴BD＝CD， ∴在△ABD和△ECD中， ∴， ∴△ABD≌△ECD， ∴AB＝CE，∠BAD＝∠CED， 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴②______________ ， ∴∠CAD＝∠CED， ∴③__________ ， 又∵CE＝AB， ∴AB＝AC． 由此发现一个结论，请完成下列命题： 如果一个三角形的一个内角的角平分线又是对边上的中线，那么④________________ ． 【作业 11】（2025春•淮安期末）如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+①_________ ＝180°． ∵AE平分∠BAC． ∴∠1②_________ ． ∵CE平分∠ACD． ∴∠2＝③_________ ． ∴∠1+∠2＝④_______ °． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑤____________________ ． 【作业 12】（2026春•同步）某地有A，B，C三个文化景点，由于三个景点具有一定的关联性，去了景点A的游客都会继续游览景点B，游览了景点B的游客也会游览景点C． （1）如果小明去了景点C，那么他一定去了景点A吗？ （2）如果小明没去景点C，那么他一定没去景点A吗？ （3）根据上面的信息，你还可以得到哪些结论？ 【作业 13】（2026春•鼓楼区期末）我们用符号＜ab＞表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即＜ab＞＝10a+b，类似的，我们用符号＜abc＞表示一个三位数． 请根据以上材料，解答下列问题： （1）命题：若计算＜ab＞2的结果的个位数字为4，则b＝2．请举反例说明它是个假命题； （2）若a、b、c为三个连续整数（a＜b＜c），试证明：＜abc＞+7＜ab＞﹣6b能被13整除． 【作业 14】（2025秋•西城区校级期中）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然10+4＝14，但在表盘上看到的是2时，如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4＝2．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊙”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时） 根据上述材料解决下列问题： （1）8⊕9＝_____ ，4⊙7＝_____ ； （2）①在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，则8的相反数是_____ ；a的相反数是__________ （用含a的代数式表达）； ②判断有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？_____ （填“是”或“否”）； （3）规定在钟表运算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，对于钟表上的任意数字a，b，c，若a＜b，判断a⊕c＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，请举出一个反例加以说明． （4）已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚六个小时，飞行时间为11个小时，则北京时间9日晚10时出发，到达巴黎时是巴黎几日几时？请用式子表示出运算过程． 答：到达时间是巴黎_______ 日_______ （填“上午”或“下午”）_____ 时． 【作业 15】（2025春•郑州期末）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．当生物成为标本后，机体内剩余碳﹣14所占百分比随时间的变化情况如图所示． （1）经过3820年，机体内剩余碳﹣14所占百分比为 ________ ； （2）机体内剩余碳﹣14所占百分比衰减至50%所用的时间称为“半衰期”，则碳﹣14的半衰期为 _________ 年； （3）若某遗址一生物标本2025年出土时，机体内剩余碳﹣14所占百分比为80%，则可推断该生物大致于春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）成为标本，你认为推断正确吗？请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 命题与证明 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解命题、定理、证明的含义，能区分命题的题设和结论 · · 会把命题改写成「如果……那么……」形式，能判断真假命题 · · 了解反例的作用，会举反例说明假命题 · · 掌握综合法证明的基本步骤和格式，能进行简单的几何推理 📚 知识梳理 ☆ 1.命题与定理 判断一件事情的语句叫命题，由题设和结论两部分组成 命题可写成「如果p，那么q」形式；正确的叫真命题，错误的叫假命题 经过证明的真命题叫定理；每个定理都有逆命题，但逆命题不一定为真 反例：满足题设但不满足结论的例子，可证明假命题 概念辨析例题：命题「如果a2=b2，那么a=b」是真命题还是假命题？ 解析：反例：a=2,b=-2时a2=b2=4，但a≠b，故为假命题 ☆ 2.证明的一般步骤 审题：分清题设和结论，画出图形 翻译：根据题意写出已知、求证 探索：分析因果关系，寻找证明思路 书写：从已知出发，每步注明依据，推出结论 概念辨析例题：证明AB∥CD时内错角平分线互相平行 解析：由平行得内错角相等，再由角平分线得半角相等，由同位角相等两直线平行 ☆ 3.推理与论证 综合法：由因导果，从已知逐步推出结论 分析法：执果索因，从结论倒推所需条件 反证法：假设结论不成立，推出矛盾 逻辑推理题用假设法逐一验证真假话 概念辨析例题：四人中只有一人说假话，判断谁出卷 解析：用假设法逐一验证，唯一不矛盾的即为答案 ☆ 4.新定义与开放探究 新定义题：先读懂定义，再按定义套用到具体图形 开放题：从三个论断中选两个作条件、一个作结论构造真命题 证明格式：「已知—求证—证明」三步 每步推理都要有依据（已知、定义、定理、公理） 概念辨析例题：从①∠1=∠2 ②∠B=∠C ③AB∥CD中选两个作条件构造真命题 解析：由AB∥CD得∠1=∠2（同位角），再由∠1=∠2得∠B=∠C 📋 知识总结表 核心概念 定义/方法 注意事项 命题 判断一件事情的语句 由题设+结论组成 真命题 正确的命题 需证明 假命题 错误的命题 举反例即可 定理 经过证明的真命题 都有逆命题 反例 满足题设不满足结论 证假命题 证明 推理过程 每步要有依据 ⚠️ 核心考点 【考点1】命题与定理（第1-16题） · · 命题必须是判断句，疑问句、感叹句不是命题 · · 改写「如果……那么……」：后接的是结论 · · 判断假命题只需举一个反例 · · 定理都有逆命题，但逆命题不一定真 1．（2025秋•浦东新区校级期末）下列命题中，判断错误的是（　　） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D．假命题的逆命题不一定是假命题 【分析】根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可． 【解答】解：A、所有定理都有逆命题，正确，不符合题意； B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2025秋•银川期末）下列命题中为假命题的是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．直角三角形的两锐角互余 C．直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 D．如果点A与点B关于x轴对称，那么他们的横坐标相同 【分析】利用平行线的判定定理，直角三角形两个锐角关系，勾股定理，关于x轴对称的两点坐标特点依次判断即可． 【解答】解：内错角相等，两直线平行，故A选项为真命题，不符合题意； 直角三角形的两锐角互余，故B选项为真命题，不符合题意； 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故C选项为假命题，符合题意； 如果点A与点B关于x轴对称，那么他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，故D选项为真命题，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行线的判定定理，直角三角形两个锐角关系，勾股定理，关于x轴对称的两点坐标特点是解题的关键． 3．（2026•锦州校级模拟）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据对顶角的概念、垂线段最短、平行线的性质、垂直的定义判断 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题，符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4．（2026春•河口区期末）下列命题中是假命题的是（　　） A．算术平方根等于本身的数是0和1 B．同旁内角相等，两直线平行 C．位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 D．若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 【分析】由算术平方根的概念，平行线的判定方法，勾股定理的逆定理，点的坐标的概念，即可判断． 【解答】解：A、C、D中的命题是真命题，故A、C、D不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，故B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理，关键是掌握算术平方根的概念，平行线的判定方法，勾股定理的逆定理，点的坐标的概念． 5．（2025春•兴化市期末）下列选项中，可以用来证明命题“如果a＜1，那么a2＜1''是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0 【分析】由命题的条件，找到与命题的结论相反的例子即可． 【解答】解：A、﹣2＜1，但（﹣2）2＞1，故A符合题意； B、2＞1，故B不符合题意； C、1，1，故C不符合题意； D、0＜1，02＜1，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查命题与定理，关键是通过计算得到与命题的结论相反的例子． 6．（2026春•张店区校级期中）下列命题中，真命题有（　　） ①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平行线的判定、对顶角、平行线等知识逐项判断即可； 【解答】解：①同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题正确，是真命题，符合题意； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意； ④相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 真命题有2个， 故选：A． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理； 7．（2026春•封开县期末）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是　假　 命题（填“真”或“假”）． 【分析】根据真假命题的概念直接进行解答即可． 【解答】解：不成立，例如12＝（﹣1）2，但1≠（﹣1）， 故命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命题． 故答案为：假． 【点评】本题主要考查命题，正确理解真假命题是解题的关键． 8．（2026春•中山市期中）把命题“直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式：　如果几个角都是直角，那么这几个角相等　 ． 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答． 【解答】解：命题“直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式：如果几个角都是直角，那么这几个角相等， 故答案为：如果几个角都是直角，那么这几个角相等． 【点评】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 9．（2025秋•二七区期末）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 　如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等　 ． 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”， 故答案为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题由题设和结论两部分组成． 10．（2025春•石柱县校级期中）将命题“正数都大于0”改写成“如果…那么…”的形式为 　如果一个数是正数，那么这个数大于0　 ． 【分析】命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．再结合原命题的题设与结论改写即可． 【解答】解：将命题“正数都大于0”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果一个数是正数，那么这个数大于0， 故答案为：如果一个数是正数，那么这个数大于0． 【点评】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 11．（2025春•长宁区校级期中）下列说法中，是假命题的是 　①②③　 ． ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段就是点P到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【分析】根据平行线的性质，根据点到直线的距离的定义和垂直的性质求解即可． 【解答】解：①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或者互补，原命题是假命题，符合题意； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意； ③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线的距离，原命题是假命题，符合题意； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，不符合题意． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了判断命题真假，点到直线的距离，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握各自的概念和性质． 12．（2025春•裕华区校级月考）对于命题“如果a＝b，那么a3＝b3”，把题设和结论交换位置，得到的新命题是：　如果a3＝b3，那么 a＝b ，这是一个 　真　 命题（填“真”或“假”）． 【分析】任何一个命题都可以写成，“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，然后根据命题真假性进行判断． 【解答】解：命题“如果a＝b，那么a3＝b3”，把题设和结论交换位置，得到的新命题是：如果a3＝b3，那么a＝b，这是一个真命题． 故答案为：如果a3＝b3，那么a＝b；真． 【点评】解析本题主要考查了命题的组成及真假命题的概念，理解命题的相关概念是解答本题的关键． 13．（2025春•闵行区校级月考）如图，已知AB∥CD，EF，CG分别是∠AEC，∠ECD的平分线． （1）求证：EF∥CG． 证明：因为AB∥CD（已知）， 所以∠AEC＝∠DCE（　两直线平行，内错角相等　 ）． 因为EF平分∠AEC（已知）， 所以AEC （　角平分线的定义　 ）． 同理ECD ． 所以∠1＝∠2， 所以EF∥CG（　内错角相等，两直线平行　 ）． （2）请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 【分析】（1）根据AB∥CD，可得∠AEC＝∠DCE，由角平分线的定义可得，，推出∠1＝∠2，即可证明； （2）根据（1）的证明即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEC＝∠DCE（两直线平行，内错角相等）， ∵EF平分∠AEC（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理， ∴∠1＝∠2， ∴EF∥CG（内错角相等，两直线平行）． （2）（1）中用到的互逆真命题为“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． 14．（2026春•泰兴市期末）如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，点F在BA的延长线上，连接EF交AC于点G，给出下列三个信息：①AD∥EF；②∠F＝∠AGF；③AD平分∠BAC．若以其中的两个作为条件，剩余的一个作为结论，得到一个真命题．你选择的条件是　①②　 ，结论是　③（答案不唯一）　 （填序号），请说明理由． 【分析】根据题意写出条件和结论，利用平行线的性质、角平分线的定义证明． 【解答】解：条件：①②，结论：③，理由如下： ∵AD∥EF， ∴∠F＝∠BAD，∠AGF＝∠CAD， ∵∠F＝∠AGF， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC， 故答案为：①②；③（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的性质、角平分线的定义是解题的关键． 15．（2026春•庆云县期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【分析】（1）根据题意，罗列全部真命题即可； （2）选择第一种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【解答】解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）选择第一种情况： 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C， 求证：AB∥CD． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD． 【点评】此题考查命题与定理问题，平行线的判定和性质、对顶角相等知识，分情况证明是解题的关键． 16．（2025春•海陵区期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F． 请从①OA＝OC，②OB＝OD，③OE＝OF中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构造出一个真命题并进行证明． 条件：　①②　 ，结论：　③　 （填序号）； 证明：　见解析　 ． （2）如图2，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连接AE，BE，仅使用无刻度的直尺在CD右侧作出一点F，并连接DF，EF，使得四边形ADFE为平行四边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）条件：①②；结论：③（答案不唯一）．证明四边形ABC都是平行四边形，再证明△AOE≌△COF（ASA）可得结论； （2）延长BE交AD的延长线于点N，延长AE交BC的延长线于点M，连接MN，DM，DM交EN于点J，连接AJ，延长AJ交MN于点F，连接DF，EF即可（可以证明EF＝AD，EF∥AD）． 【解答】解：（1）条件：①②；结论：③（答案不唯一）． 理由：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF； （2）如图2中，四边形ADFE即为所求． 【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【考点2】推理与论证（第17-27题） · · 逻辑推理题用假设法，逐一验证 · · 「只有一人说假话」：假设某人说假话，看其余是否矛盾 · · 抽屉问题：最坏情况+1 · · 几何证明每步注明依据 17．（2025•浙江模拟）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（　　） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【分析】根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况． 【解答】解：最坏情况考虑就行了，摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：14+14+12+14+10+10+1＝75个球； 故选：B． 【点评】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况先摸出9个黑球，14个白球，再摸出另三色中一色的14个球，此时再任意摸出一个小球即可保证15个小球颜色相同． 18．（2026•广西模拟）古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵．若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上？（　　） A．1 B．63 C．127 D．31 【分析】按淘汰规则逐步推导每一轮剩余士兵即可得到最终存活位置． 【解答】解：∵共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活士兵杀死相邻下一位， 第一轮淘汰所有偶数号位士兵，剩余1，3，5，⃯，127共64个士兵， 淘汰完126号后轮到127动手，127杀死下一个1号， 第二轮按规则淘汰后剩余3，7，11，⃯，127共32个士兵， 最后仍轮到127动手， 重复该淘汰过程，每一轮结束后127始终存活，直到最后仅剩127号士兵， ∴最开始应当站在127号位． 故选：C． 【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 19．（2026•西湖区校级开学）小明在期中考后，想急迫地核对答案，于是他来到数学组办公室，寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师，他们发现小明不认识他们中的任何一位，于是他们每人说了一句话： 甲说：“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说：“是乙出的试卷！” 丁说：“出卷的不是我！” 他们告诉小明，只有一位老师说了假话，而且出卷老师就在其中，那么请问到底是谁出的期中试卷（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】先找出矛盾关系，确定出其他命题的真假，即可推断出结论． 【解答】解：观察题干，发现乙和丁说的话矛盾， 结合题中说的只有一位老师说了假话， 则乙和丁必定一真一假，甲和丙说的都为真， 则应是乙出的试卷， 故选：B． 【点评】本题主要考查了推理与论证，掌握其相关知识点是解题的关键． 20．（2025•长沙模拟）某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人需完成各自对应的挑战任务．比赛规则如下： ①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的挑战完成时间为准（例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分钟）； ②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点（返程也需完成对应的挑战任务，耗时与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟）； ③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返； ④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束． 某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，则该组队员完成比赛所需的最短时间为（　　） A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟 【分析】通常在这种问题中，最优策略是让最快的两个人（甲和乙）多次往返，以减少返程时间．具体策略先让最快的两人（甲和乙）一起出发，然后让最快的（甲）返回．然后让最慢的两人（丙和丁）一起出发，让次快的（乙）返回．最后让最快的两人（甲和乙）一起出发．结合题意求得最短时间，即可求解． 【解答】解：由题意可得：要使得该组队员完成比赛所需的最短时间， ∴让最快的两个人（甲和乙）多次往返，以减少返程时间， 第一次出发：甲（1）和乙（2）一起出发．耗时：max（1，2）＝2分钟． 第一次返程：甲（1）返回．总时间：2+1 ＝ 3分钟， 第二次出发：丙（3）和丁（5）一起出发．耗时：max（3，5）＝5分钟． 总时间：3+5＝8分钟， 第二次返程：乙（2）返回．耗时：2分钟． 总时间：8+2＝10分钟， 第三次出发：甲（1）和乙（2）一起出发．耗时：max（1，2）＝2分钟． 总时间：10+2＝12分钟， 总计：2+1+5+2+2＝12分钟． 故选：A． 【点评】本题考查了推理，有理数的计算，正确记忆知识知识点是解题关键． 21．（2024秋•上海月考）有编号分别为1，2，3，⋯，2024的2024名同学轮流一二报数，报一的同学淘汰，然后剩下的同学形成新的队伍继续按照相同规则报数、淘汰，则最后剩下的同学的编号是　1024　 ． 【分析】由题可知经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为2n，据此求解即可． 【解答】解：根据题意知，第一次后留下的人是2的倍数的号； 第二次后留下的人分别是4的倍数的号； 第三次后留下的人的编号是8的倍数的号； 第四次后留下的人的编号是16的倍数的号； … 经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为2n， 2n≤2024，即n≤11， 当只剩一个人时，n＝10，这个同学的编号为2n＝210＝1024． 故答案为：1024． 【点评】本题考查了推理论证、数字的变化规律，解题的关键是根据题意，找出规律，根据规律，解决问题． 22．（2026•兰山区二模）一次数学考试共有8道判断题，每道题10分，满分80分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为 　60　 ． 题号学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 × √ × √ × × √ × 60 乙 × × √ √ √ × × √ 50 丙 √ × × × √ √ √ × 50 丁 × √ × √ √ × √ √ m 【分析】分析表可知，乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确；又因为甲得分60分，即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙、丙不同，故其余6题答案均正确，故而这8道判断的答案分别是：×√√×√，对比丁的答案，可知其2，8两题错误，故得分m＝6×10＝60． 【解答】解：∵乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同， ∴第2，5两题答案正确； 又∵甲得分60分，即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙、丙不同， ∴其余6题答案均正确， ∴这8道判断的答案分别是：×√√×√， 对比丁的答案，可知其2，8两题错误， ∴m＝6×10＝60． 故答案为：60． 【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是正确观察图表，推理分析正确． 23．（2025•渭城区校级开学）在一次数学考试中，有10道选择题，评分办法是：答对一题得4分，答错一题倒扣1分，不答得0分，已知参加考试的学生中，至少有4人得分相同．那么，参加考试的学生至少有　136　 人． 【分析】先确定得分的总范围，排除无法得到的分数得到实际不同分数的数量，再利用抽屉原理计算最少参加考试的人数． 【解答】解：首先计算得分范围，最高得分为10×4＝40分，最低得分为10×（﹣1）＝﹣10分， 从﹣10到40共有40﹣（﹣10）+1＝51种不同分数； 接下来找出无法得到的分数： 答对7题时，剩余3题最高得0分，得分为7×4＝28分，最低扣3分得25分， 因此29无法得到； 答对8题时，剩余2题最高得0分，得分为8×4＝32分，最低扣2分得30分， 因此33，34无法得到； 答对9题时，剩余1题最高得0分，得分为9×4＝36分，最低扣1分得35分，因此37，38，39无法得到；合计共6个无法得到的分数，实际不同分数的数量为51﹣6＝45种； 根据抽屉原理，要保证至少4人得分相同，最不利的情况是每种分数恰好有3人得分相同，此时再加1人即可满足条件， 因此参加考试的学生至少有45×3+1＝136人． 故答案为：136． 【点评】本题考查推理与论证，正确找到相关的等量关系是解题的关键． 24．（2023秋•雁塔区校级期中）三个有理数a，b，c两两不等，那么中负数有 　3　 个． 【分析】本题易得1，再根据题意，a、b、c两两不等，可设a＞b＞c，易得a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，进而可得，，，的符号，进而可得答案． 【解答】解：根据题意，a、b、c两两不等， 可设a＞b＞c， ∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0， ∴0，0，0， ∴1＜0， ∴有3个是负数， 故答案为3． 【点评】本题考查符号法则的运用，即同号为正，异号得负，熟练运用分式的基本性质是解题关键． 25．扑克游戏是指用纸牌这种道具来玩的游戏，一副扑克牌共有54张牌，有52张正牌，2张副牌（大、小王）．52张正牌均分为13张一组，并以黑桃、红桃、梅花、方块四种花色表示各组，每组花色的牌包括从1﹣10（1通常表示为A）以及J、Q、K标示的13张牌，玩法千变万化．在学习了整式加减之后数学李老师利用一副扑克牌（去除大小王）在课外活动中和同学们做了一个有趣的游戏： ①发给张华、李强、赵刚三位同学相同数量的扑克牌（假定每位同学的扑克牌数量超过四张）； ②张华同学拿出三张扑克牌给李强同学； ③赵刚同学拿出四张扑克牌给李强同学； ④张华同学手中此时有多少张扑克牌，李强同学就拿出多少张扑克牌给张华同学． 请同学们猜一下李强同学手中最终的扑克牌张数． 【分析】设张华、李强、赵刚三位同学的扑克牌数量为a（a＞4）张，利用代数式表示出张华与李强手中的扑克牌数量，再利用整式的减法法则解答即可． 【解答】解：李强同学手中最终的扑克牌张数为10张．理由： 设张华、李强、赵刚三位同学的扑克牌数量为a（a＞4）张， ∵张华同学拿出三张扑克牌给李强同学，赵刚同学拿出四张扑克牌给李强同学， ∴李强同学有（a+7）张扑克牌，张华同学手中有（a﹣3）张扑克牌， ∵张华同学手中此时有多少张扑克牌，李强同学就拿出多少张扑克牌给张华同学， ∴李强同学手中最终的扑克牌张数为（a+7）﹣（a﹣3）＝a+7﹣a+3＝10（张）． 【点评】本题主要考查了推理与论证，利用代数式表示出的数量关系是解题的关键． 26．（2024秋•镇海区月考）学校有语文、数学、英语三个兴趣小组，某班有46名学生，规定每人至少参加|两个兴趣小组，其中参加语文和数学的共25人，参加语文和英语的共19人，参加数学和英语的共18人，请问三个兴趣小组都参加的有几人？ 【分析】设三个兴趣小组都参加的有x人，则只参加语文、数学的有（25﹣x）人，只参加语文、英语的有（19﹣x）人，只参加数学、英语的有（18﹣x）人．根据题意列方程即可． 【解答】解：设三个兴趣小组都参加的有x人，则只参加语文、数学的有（25﹣x）人，只参加语文、英语的有（19﹣x）人，只参加数学、英语的有（18﹣x）人． 根据题意知： 25﹣x+19﹣x+18﹣x+x＝46， 解得x＝8， 答：三个兴趣小组都参加的有8人． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据题意列出一元一次方程． 27．（2026春•泉港区期末）2026年6月，被誉为U12“小世界杯”的意大利SIGISMONDI国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【分析】可以通过设未知数，根据“总积分”的等量关系列方程求解． 【解答】解：已知球队七场比赛全部获胜， 设“常规时间内打平， 最终通过点球获胜的场数”为x场， 则“常规时间内直接获胜的场数”为 （7﹣x）场（总场数减去点球获胜的场数）． 常规时间直接获胜的场数为 （7﹣x）， 每场得3分， 因此这部分积分是 3（7﹣x）分； 点球获胜的场数为x， 每场得2分， 因此这部分积分是2x分； 总积分为18分， 因此可列方程：3（7﹣x）+2x＝18， 解方程展开并整理方程：3×7﹣3x+2x＝18， 21﹣x＝18， ﹣x＝18﹣21， ﹣x＝﹣3， x＝3， 常规时间直接获胜的场数：7﹣3＝4场， 积分4×3＝12分； 点球获胜的场数：3场， 积分3×2＝6分； 总积分：12+6＝18分， 与题目条件一致． 因此，这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是3场． 【点评】题目考查了推理与论证，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【考点3】新定义及压轴题（第28-33题） · · 新定义题先读定义，按定义套 · · 开放题三种组合逐一判断真假 · · 选两个作条件、一个作结论 · · 证明过程从已知出发逐步推导 28．（2025秋•西城区校级期中）一种新运算定义如下：a⊕b＝a+b+|a﹣b|． （1）计算：6⊕（﹣5）＝　12　 ； （2）计算：3⊕[（﹣2）⊕4]＝　16　 ；（括号内的式子先进行运算） （3）我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足结合律：　否　 （填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足交换律：　是　 （填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可求解； （2）已知等式利用题中的新定义化简，代入计算即可求解； （3）根据题中的新定义可知“⊕”运算满足交换律． 【解答】解：（1）6⊕（﹣5）＝6+（﹣5）+|6﹣（﹣5）|＝6﹣5+11＝12； 故答案为：12； （2）3⊕[（﹣2）⊕4]＝3⊕{（﹣2）+4+|﹣2﹣4|}＝3⊕8＝3+8+|3﹣8|＝11+5＝16； 故答案为：16； （3）①否． 例如：3⊕[（﹣2）⊕4]＝3⊕{（﹣2）+4+|﹣2﹣4|}＝3⊕8＝3+8+|3﹣8|＝11+5＝16； [3⊕（﹣2）]⊕4＝{3+（﹣2）+|3+2|}⊕4＝6⊕4＝6+4+|6﹣4|＝11， 3⊕[（﹣2）⊕4]≠[3⊕（﹣2）]⊕4，所以不满足交换律． 故答案为：否 ②是．理由如下： 根据新定义运算得：a⊕b＝a+b+|a﹣b|，b⊕a＝b+a+|b﹣a|， ∵|a﹣b|＝|b﹣a| ∴a⊕b＝b⊕a，所以该新运算满足交换律， 故答案为：是． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 29．（2025秋•高新区期末）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． （1）已知：如图，EF分别交AB，CD于点G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD ，GI∥HJ；求证：AB∥CD ． （2）证明： （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是　真　 命题（填“真”或“假”）． 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）写出已知和求证，然后证明即可． 【解答】（1）解：如图，EF分别交AB，CD于点G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ．求证：AB∥CD． 故答案为：EF分别交AB，CD于点G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD；AB∥CD； （2）证明：由条件可知∠AGH＝2∠IGH，∠DHG＝2∠JHG， ∵GI∥HJ， ∴∠IGH＝∠JHG， ∴∠AGH＝∠DHG， ∴AB∥CD； （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题， 已知：AB∥CD，被EF所截，GN平分∠AGH，HM平分∠CHG，求证：GN⊥MH； 证明如下： 如图所示， 由条件可知∠AGH+∠CHG＝180°，，， ∴， ∴GN⊥MH． 故答案为：真． 【点评】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． 30．（2025秋•固原期末）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60⋯ 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 　9　 整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字均为b，请你通过推理说明猜想是正确的． 【分析】根据运算结果计算即可； （1）根据题意可得979﹣（9+7+9）＝944＝9×104，即可求解； （2）根据题意可得 （100a+10b+a）﹣（a+b+a）＝99a+9b＝9（11a+b），即可求解． 【解答】解：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11； 232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60． 将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 故答案为：9．、 （1）979﹣（9+7+9）＝954＝9×106，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （2）（100a+10b+a）﹣（a+b+a）＝99a+9b＝9（11a+b）， ∵a，b为整数， ∴9（11a+b）能被9整除， ∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 【点评】本题考查了推理与论证，整式的加减，解决本题的关键是理解“对称数”的意义，并能进行有关运算． 31．（2025•滨海县二模）标有1﹣25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． （1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 　乙　 选择； （2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 　110　 ． 【分析】（1）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，于是得到结论； （2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可． 【解答】解：（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位， 故答案为：乙； （2）可得丁选择了：19、6、1、2、11； 丙选择了：5、4、3、12； 乙选择了：7、8、9； 甲选择了：10、13； 故四人所选的座位号数字之和为：19+6+1+2+11+5+4+3+12+7+8+9+10+13＝110． 故答案为：110． 【点评】本题主要考查了推论与论证，有理数的加法，理清游戏规则是解答本题的关键． 32．（2025•北京校级自主招生）某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 【分析】根据所给的真假话条件以及楼层奇偶性条件，通过假设甲说真话来逐步推导每个人下电梯的顺序和对应的楼层，进而得出甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数． 【解答】解：若甲说的“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．”是真话，那么甲是第二个下电梯的，且因为“4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯”，所以甲在奇数楼层，同时甲说“乙说的是假话”，即乙说的是假话； 因为乙说的是假话，而丙说“乙说的确实是假话”，所以丙说的是真话，那么丙是最后一个下电梯的，且丙在奇数楼层； 由于甲丙说的是真话，所以乙和丁说的是假话．因为乙说“我将是最先下电梯的”是假的，所以乙不是最先下电梯的，那么丁是最先下电梯的． 又因为乙和丁说假话，所以乙和丁都在偶数楼层下电梯，所以丁在2层或4层． 因为甲是第二个下电梯且在奇数层，所以甲在3层或5层； 因为乙是第三个下电梯且在偶数层，所以乙在4层或6层； 因为丙是最后一个下电梯且在奇数层，所以丙在5层或7层． 因为乙和丁始终说假话，所以乙说“没有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即有人和乙在相邻楼层下电梯； 丁说“有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即没有人和丁在相邻楼层下电梯． 分情况讨论丁所在楼层： 若丁在2层，为了满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯，此时甲可以在5层，乙在6层，丙在7层，这种情况是合理的； 若丁在4层，若甲在5层，此时乙无论在6层还是其他偶数层，都无法满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯的条件，所以这种情况无法成立． 所以甲在5层，乙在6层，丙在7层，丁在2层． 答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 【点评】本题考查了逻辑推理问题的应用，充分利用题干条件：4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯是解题的关键． 33．（2024春•南海区月考）（1）如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事（规定必须向北走，或向东走，不走回头路），其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在题2图填出． ①根据图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，则从A点出发到B点的走法共有 　35　 种； ②根据上面的原理和图3的提示，从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 　17　 种． （2）给图4所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，现有4种不同颜色可供选用，问共有多少种不同的涂色方法． 【分析】（1）（2）因为只能向北或向东，所以每个圆圈内的数字等于其左侧和下方相邻圆圈的数字和，据此计算； （3）先确定C，D，E，F用了几种颜色，然后考虑A，B的涂色情况，根据乘法原理和加法原理求解即可． 【解答】解：（1）∵从A点到B点只能向北走或向东走， ∴用加法计数原理，如图2： ∴从A到B的走法共有35种， 故答案为：35； （2）∵从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C，如图3： 从A点B点，不经过C点的走法有17种， 故答案为：17； （3）①若C，D，E，F用了四种颜色，则有24（种）， 那么A，B可能为AD同色，BF同色或AD同色，BE同色，或AF同色，BE同色，3种情况， 共有24×3＝72（种）， ②若C，D，E，F用了三种颜色，则CD同色，则有•24（种）， 那么A，B可能为2×1＝2（种）， 共有24×2＝48（种）， 综上所述，共有72+48＝120（种）． 【点评】本题主要考查了标数法与染色问题，属于竞赛题型，明确逻辑思维是本题解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025•江都区一模）要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝　﹣4（答案不唯一）　 ． 【分析】要使得a2≥4成立，则a＜﹣2或a＞2，因此举反例可列举a＜﹣2的数字即可． 【解答】解：当a＝﹣4时，a2＝16＞4，但不满足a＞2， 故命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题， 故答案为：﹣4（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 【练习 2】（2026春•淄川区期中）命题“和为180°的两个角互为补角”的条件是　两个角的和为180°　 ，结论是　这两个角互为补角　 ． 【分析】根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论． 【解答】解：命题“和为180°的两个角互为补角”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角． 所以条件为两个角的和为180°，结论是这两个角互为补角．故答案为：两个角的和为180°，这两个角互为补角． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论． 【练习 3】（2025秋•临平区期末）七年级一班有40人报名参加了足球社团或篮球社团．已知参加足球社团的人数比参加篮球社团的人数多6人，两个社团都参加的有8人，则参加足球社团的人数为　27　 ． 【分析】设参加足球社团的人数为x人，则参加篮球社团的人数为（x﹣6）人，根据参加足球社团的人数+参加篮球社团的人数﹣两个社团都参加的人数＝40，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设参加足球社团的人数为x人，则参加篮球社团的人数为（x﹣6）人， 依题意，得：x+（x﹣6）﹣8＝40， 解得x＝27． 即参加足球社团的人数为27人． 故答案为：27． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【练习 4】（2025秋•北京校级期末）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失100元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①D→B→E→A→C；②D→A→C→E→B；③D→E→A→B→C中，经济损失最少的是　①　 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为　10100　 元． 【分析】（1）分别计算出三种方案的总停产时间，比较即可得到答案； （2）因为要先修理时间短的，时间长放在最后，所以两名修理工最后修理的是15分钟和29分钟的，最先修理的是7分钟和8分钟的，据此推理求解即可． 【解答】解：（1）①的总停产时间为7×5+8×4+10×3+15×2+29＝156（分钟）， ②的总停产时间为7×5+15×4+29×3+10×2+8＝210（分钟）， ③的总停产时间为7×5+10×4+15×3+8×2+29＝165（分钟）， ∵156＜165＜210， ∴经济损失最少的是①； 故答案为：①； （2）∵要使经济损失最小， ∴总停产时间要最少， ∴要先修理时间短的，时间长放在最后， ∴一最优方案为：一名修理工按顺序修理B（8分钟）、A（15分钟）；另一名修理工按顺序修理D（7分钟）、E（10分钟）、C（29分钟），此时各车床的停产时间分别为8、23、7、17、46分钟（B、A、D、E、C的顺序）， 总停产时间为8+23+7+17+46＝101（分钟）， ∴若由两名修理工同时修理车床，且每台机床只由一名修理工修理，最少经济损失为101×100＝10100（元）， 故答案为：10100． 【点评】本题考查了推理与论证，有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 命题=题设+结论，能改写为「如果……那么……」 · · 判断假命题只需举一个反例 · · 定理都有逆命题，但逆命题不一定为真 · · 几何证明每步都要写依据 · · 逻辑推理用假设法，找矛盾 【作业 1】（2025秋•浦东新区校级期中）下列命题中，真命题是（　　） A．两边之比为1：2的两个等腰三角形相似 B．底角相等的两个等腰梯形相似 C．有一个角是30度的两个等腰三角形相似 D．有一个锐角相等的两个直角三角形相似 【分析】选项A、B、C均存在反例，不一定相似；选项D中，直角三角形有一个角相等，则所有角对应相等，因此相似． 【解答】解：A．两边之比为1：2，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B．底角相等，但对应边不一定成比例，故不一定相似，不符合题意； C．有一个角是30度，但该角可能是顶角或底角，导致角不全对应相等，故不一定相似，不符合题意； D．∵两个直角三角形有一个锐角相等，且直角都等于90°， ∴两个三角形的三个角对应相等， ∴两个直角三角形相似．为真命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形以及多边形的判定，真假命题的判定，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 2】（2025秋•兴庆区校级期末）下列命题是真命题的是（　　） A．一个角的补角大于这个角 B．任何数的绝对值都是正数 C．两直线平行，同位角相等 D．是无理数 【分析】利用互补的定义、绝对值的意义、平行线的性质及无理数的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、0的绝对值是0，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，符合题意； D、3是有理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 【作业 3】（2026春•五华区校级期中）下列命题中是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40° D．在同一平面内，若b⊥c，a⊥c，则b∥a 【分析】根据平行线的性质、平行公理、平行线的判定判断即可． 【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40°或140°，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，若b⊥c，a⊥c，则b∥a，是真命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【作业 4】（2025春•兖州区期末）下列命题是真命题的个数为（　　） ①互为补角的两个角都是锐角； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据补角的概念、对顶角的概念、平行线的性质、平行公理的推论、垂直的定义判断即可． 【解答】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，故本小题命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如：等腰三角形的两底角相等，但不是对顶角，故本小题命题是假命题； ③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题； 则真命题的个数为2， 故选：B． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【作业 5】（2026春•龙岗区校级期末）命题“如果x＝y，那么x3＝y3”的逆命题是　真　 命题（填“真”或“假”）． 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【解答】解：命题“如果x＝y，那么x3＝y3”的逆命题是如果x3＝y3，那么x＝y，正确，是真命题， 故答案为：真． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 【作业 6】（2025秋•洞口县期末）命题“若|a|＝2，则a＝2”是个　假　 命题．（填“真”或“假”） 【分析】根据绝对值的定义，|a|＝2时，a的值可以是2或﹣2，因此命题不总是成立，进而可得答案． 【解答】解：根据绝对值的定义可知： 当a＝﹣2时，|a|＝|﹣2|＝2，但a≠2， ∴命题是假命题． 故答案为：假． 【点评】本题考查判断命题的真假，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 7】（2025秋•沈阳期末）某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 　267　 ． 【分析】由5和4都有重复，且位置相同，可以排除这两个数，则小亮猜对的数字是2，这样3和9也可以排除，所以小强猜对了个位上的7，小亮猜对了十位上的6，则这个三位数密码是267，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵三个人说出的数中，5和4都有重复，且位置相同， ∴他们猜对的数字不可能是5和4，可以排除这两个数， ∴小亮猜对的数字是2， ∵2在百位上， ∴3和9可以排除， ∴小强猜对了个位上的7，小明猜对了十位上的6， ∴这个三位数密码是267， 故答案为：267． 【点评】此题重点考查推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 【作业 8】（2025•长沙模拟）某校举办足球比赛，共有A，B，C，D四支球队参赛，其中每两支球队之间都要进行一场比赛，若胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．若A，B两队分别积6分和5分，则C队最多能积　4　 分． 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可求出比赛的总场数，根据A、B两支球队的分数，可确定这两支球队的得分情况，再结合另外二球队的比赛情况分类讨论，可得出C球队的积分，取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：这四支球队共进行了4×3＝6（场）比赛． ∵每支球队要进行3场比赛，A、B两队分别积6分和5分， ∴A球队二胜一负，B球队—胜二平， ∴B球队与C、D两支球队平，胜A球队，A球队胜C、D两支球队，此时C、D两队一负—平，积1分． 若C球队胜D球队，最后C球队积1+3＝4（分），丁球队积1分； 若C球队与D球队平局，最后C、D两球队都积1+12（分）； 若D球队胜C球队，最后C球队积1分，丁球队积1+3＝4（分）． ∴C队最多能积4分． 故答案为：4． 【点评】本题考查了排列与组合以及推理与论证，根据A、B两支球队的分数，分情况找出C球队的积分是解题的关键． 【作业 9】（2026•长沙二模）透明盒子中有A、B、C、D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表： 盖子 A B C D 直径（cm） 1 2 3 4 当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有　11　 种． 【分析】首先明确“恰好有两个盖子被罩住”的含义，即最终有两个盖子被完全罩住，另外两个盖子能被看到，由此分解出关键问题：确定哪两个盖子被罩住，哪两个不被罩住．对于取出D盖子的不同顺序进行分类讨论即可求出． 【解答】解：若最后取出4cm的D盖子，则有A，B，C三个盖子都能被罩住， ∴D盖子取出顺序不能是第四个，故可以为第一、第二或第三个． ①当第一个取出D盖子时，第二个无论取哪个盖子都不能罩住D盖子，因为有两个盖子被罩住，故C盖子应该在最后取出，第二个和第三个无论是先取A还是先取B，这两个盖子都能被C罩住，即有2种情况：DABC，DBAC； ②当第二个取出D盖子时，第一个盖子无论取哪个盖子，都能被D罩住，但第三个无论取哪个盖子都不能罩住D，故需要满足第四个取出的盖子能罩住第三个取出的盖子，故有3种情况：ADBC，BDAC，CDAB； ③当第三个取出D盖子时，前两次无论取哪两个盖子，都能被D罩住，即有6种情况：ABDC，ACDB，BCDA，BADC，CADB，CBDA． ∴共有2+3+6＝11（种）． 故答案为：11． 【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 10】（2024春•渝中区校级期中）如图，在△ABC中， （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线AD交C于点D，并在射线AD上另取一点E（不与A重合），使得DE＝DA，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作图形中，若D恰为线段BC的中点，求证：AB＝AC．（请补全下面的证明过程，不写证明理由） 证明： ∵D为BC中点， ∴BD＝CD， ∴在△ABD和△ECD中， ∴， ∴△ABD≌△ECD， ∴AB＝CE，∠BAD＝∠CED， 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴②　∠DAB＝∠DAC ， ∴∠CAD＝∠CED， ∴③CE＝AC ， 又∵CE＝AB， ∴AB＝AC． 由此发现一个结论，请完成下列命题： 如果一个三角形的一个内角的角平分线又是对边上的中线，那么④　这个三角形是等腰三角形　 ． 【分析】（1）按照基本作图，作角平分线作图即可； （2）证明△ABD≌△ECD，再证明△ACE是等腰三角形，从而证明出AC＝CE，即可证明出AB＝AC，把所缺过程填上即可． 【解答】（1）所画图形如图所示， 作法：以A为圆心任意长为半径画弧，交AB、AC于两个点， 再以这两个点为圆心，大于它们之间的距离的一半为半径画弧，两弧相交， 连接点A与这个点作射线，在射线上取点E，使AD＝DE． （2）证明：∵D为BC中点， ∴BD＝CD， ∴在△ABD和△ECD中， ∴， ∴△ABD≌△ECD， ∴AB＝CE，∠BAD＝∠CED， 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠DAB＝∠DAC， ∴∠CAD＝∠CED， ∴CE＝AC， 又∵CE＝AB， ∴AB＝AC． 由此发现一个结论，请完成下列命题： 如果一个三角形的一个内角的角平分线又是对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形． ∴①位置填∠ADB＝∠CDE，②位置填∠DAB＝∠DAC，③位置填CE＝AC，④位置填这个三角形是等腰三角形． 故答案为：①∠ADB＝∠CDE，②∠DAB＝∠DAC，③CE＝AC，④这个三角形是等腰三角形． 【点评】本题考查了基本作图和三角形全等，等腰三角形的性质是解题关键． 【作业 11】（2025春•淮安期末）如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+①　∠ACD ＝180°． ∵AE平分∠BAC． ∴∠1②　∠BAC ． ∵CE平分∠ACD． ∴∠2＝③　∠ACD ． ∴∠1+∠2＝④　90　 °． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑤　两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直　 ． 【分析】根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°．再结合角平分线的定义可得∠1+∠2＝90°，即可求证． 【解答】解：由条件可知∠BAC+∠ACD＝180°． ∵AE平分∠BAC， ∴． 由条件可知． ∴∠1+∠2＝90°． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 故答案为：∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直． 【点评】本题主要查了平行线的性质，角平分线的定义．熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 12】（2026春•同步）某地有A，B，C三个文化景点，由于三个景点具有一定的关联性，去了景点A的游客都会继续游览景点B，游览了景点B的游客也会游览景点C． （1）如果小明去了景点C，那么他一定去了景点A吗？ （2）如果小明没去景点C，那么他一定没去景点A吗？ （3）根据上面的信息，你还可以得到哪些结论？ 【分析】（1）已知“去A→去B→去C”，但“去C”是“去A”的必要不充分条件（即A能推出C，但C推不出A）．所以去了C，不一定是因为先去了A，也可能只去了B和C； （2）由“去A→去C”，其逆否命题“没去C→没去A”是成立的．因为如果去了A就必然会去C，所以没去C，就一定没去A； （3）从“去A→去B→去C”的传递性可直接推导：若满足“去A”这个起始条件，就会依次满足“去B”“去C”，因此能得出“去A必去B且必去C”的结论． 【解答】解：（1）根据题意，去了景点A的游客都会继续游览景点B，游览了景点B的游客也会游览景点C，这意味着如果去了A，就一定会去B和C，但小明去了景点C，有可能是只去了B和C，不一定去了A，所以，小明去了景点C，不一定去了景点A； （2）因为去了景点A的游客都会游览景点B，进而游览景点C，也就是如果去了A，必然会去C，现在小明没去景点C，那么按照这个逻辑，他一定没去景点A；所以，小明没去景点C，他一定没去景点A； （3）从已知条件“去了景点A的游客都会继续游览景点B，游览了景点B的游客也会游览景点C”可以推断出，如果小明去了景点A，那么他一定会去景点B和景点C．综上，（1）不一定；（2）一定没去；（3）如果小明去了景点A，那么他一定会去景点B和景点C． 【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是正确推理与论证． 【作业 13】（2026春•鼓楼区期末）我们用符号＜ab＞表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即＜ab＞＝10a+b，类似的，我们用符号＜abc＞表示一个三位数． 请根据以上材料，解答下列问题： （1）命题：若计算＜ab＞2的结果的个位数字为4，则b＝2．请举反例说明它是个假命题； （2）若a、b、c为三个连续整数（a＜b＜c），试证明：＜abc＞+7＜ab＞﹣6b能被13整除． 【分析】（1）根据182＝324说明即可； （2）根据新定义＜ab＞表示一个两位数、＜abc＞表示一个三位数用含a的代数式表示出＜abc＞+7＜ab＞﹣6b，即可证明． 【解答】解：（1）当a＝1，b＝8时，2＝182＝324， 说明命题“若计算2的结果的个位数字为4，则b＝2”是个假命题． （2）证明：∵a、b、c为三个连续整数（a＜b＜c）， ∴b＝a+1，c＝a+2， ∴＜abc＞+7＜ab＞﹣6b ＝100a+10b+c+7×（10a+b）﹣6b ＝100a+10（a+1）+a+2+7×（10a+a+1）﹣6（a+1） ＝100a+10a+10+a+2+77a+7﹣6a﹣6 ＝182a+13 ＝13（14a+1）， ∵a是整数， ∴13（14a+1）能被13整除， ∴若a、b、c为三个连续整数，+7＜ab＞﹣6b能被13整除． 【点评】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【作业 14】（2025秋•西城区校级期中）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然10+4＝14，但在表盘上看到的是2时，如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4＝2．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊙”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时） 根据上述材料解决下列问题： （1）8⊕9＝　5　 ，4⊙7＝　9　 ； （2）①在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，则8的相反数是　4　 ；a的相反数是　12﹣a；　 （用含a的代数式表达）； ②判断有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？　是　 （填“是”或“否”）； （3）规定在钟表运算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，对于钟表上的任意数字a，b，c，若a＜b，判断a⊕c＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，请举出一个反例加以说明． （4）已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚六个小时，飞行时间为11个小时，则北京时间9日晚10时出发，到达巴黎时是巴黎几日几时？请用式子表示出运算过程． 答：到达时间是巴黎　10　 日　上午　 （填“上午”或“下午”）　3　 时． 【分析】（1）根据钟表的定义及钟表上的加减法运算的方法进行计算即可； （2）①在钟表中，相加得12的两个数互为相反数，据此定义进行计算即可；②运用钟表中加减运算方法进行验证，此结论依然成立； （3）举出反例当a＝3，b＝5，c＝7时，3⊕7＝10，5⊕7＝0，则3⊕7＞5⊕7，即可验证此结论不一定成立； （4）根据钟表运算的定义列式10⊖6⊕11，并进行计算得到答案． 【解答】解：（1）8⊕9＝17＝12+5， 4⊖7＝4+12﹣7＝9． 故答案为：5，9； （2）①在钟表中，相加得12的两个数互为相反数， ∴12⊖8＝4，则a的相反数是12﹣a． 故答案为：4，12﹣a； ②仍然成立； 证明：设a，b分别表示钟表中的数字， b⊖a＝b+12﹣a， b⊕（12﹣a）＝b+12﹣a， ∴b⊖a＝b⊕（12﹣a）， ∵a的相反数为12﹣a， ∴“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立． 故答案为：是； （3）不一定成立，理由如下， 当c＝7，a＝3，b＝5时， 5⊕7＝0，3⊕7＝10，则3⊕7＞5⊕7， ∴当a＜b时，a⊕c＜b⊕c不一定成立． （4）10⊖6⊕11＝10﹣6+11＝15＝12+3． 故答案为：10，上午，3． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 【作业 15】（2025春•郑州期末）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．当生物成为标本后，机体内剩余碳﹣14所占百分比随时间的变化情况如图所示． （1）经过3820年，机体内剩余碳﹣14所占百分比为 　60%　 ； （2）机体内剩余碳﹣14所占百分比衰减至50%所用的时间称为“半衰期”，则碳﹣14的半衰期为 　5730　 年； （3）若某遗址一生物标本2025年出土时，机体内剩余碳﹣14所占百分比为80%，则可推断该生物大致于春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）成为标本，你认为推断正确吗？请说明理由． 【分析】（1）根据题目要求，找到时间为3820年对应的纵坐标，即可得出机体内剩余碳﹣14的百分比； （2）结合图象，找到剩余碳﹣14为50%时对应的时间； （3）先从图象中读取剩余80%碳﹣14对应的时间，结合出土年份推算生物死亡时间，再与春秋时期的时间范围对比，判断推断是否合理． 【解答】解：（1）从给定的图象中，我们找到时间为3820年对应的纵坐标，即机体内剩余碳﹣14所占百分比． 观察可知，经过3820年，机体内剩余碳﹣14所占百分比为60%． 故答案为：60%； （2）根据“半衰期”的定义，机体内剩余碳﹣14所占百分比衰减至50%所用的时间称为“半衰期”． 从图象中可以看到，当剩余碳﹣14所占百分比为50%时，对应的时间为5730年， 所以碳﹣14的半衰期为5730年． 故答案为：5730； （3）从图象可知，当机体内剩余碳﹣14所占百分比为80%时，对应的时间约为1900年．2025年出土，那么该生物死亡时间约为2025﹣1900＝125年，这是公元后的时间，而春秋时期是公元前770年﹣公元前475年， 所以推断不正确． 故本问答案为：不正确， 从图象可知，当机体内剩余碳﹣14所占百分比为80%时，对应的时间约为1900年，2025年出土，则该生物死亡时间约为2025﹣1900 ＝ 125年，属于公元后，并非春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）． 【点评】本题碳结合﹣14半衰期的题目设计得简洁且实用，考查了图象信息的读取与分析能力． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $