第三单元 小数除法（单元复习讲义）-五年级上册单元重难易错点一网打尽（人教版 新教材）

人教版五年级数学上学期单元复习 第三单元 小数除法 亲爱的同学们： 数学复习，不是简单重复课本，而是把零散的知识点串联起来，理清概念、看透题型、避开易错陷阱。 这份单元复习讲义，帮你梳理本单元全部核心内容。先搭建知识整体框架，再学习重点知识，研究典型例题，掌握做题方法，牢记答题模板，避开高频错题。希望大家边看边思考，学完之后完成最后的复盘清单，自查漏洞，夯实基础。 愿大家理清思路，稳扎稳打，把每一个知识点学懂弄通，从容应对练习与检测！ 一句话讲清：本单元学习小数除法——掌握除数是整数、除数是小数的小数除法（利用商不变的规律把除数变整数再除），认识循环小数，会根据问题需要灵活取商的近似数（四舍五入、进一、去尾），并解决平均分、倍数、路程等实际问题。本单元不要求超纲的复杂运算。 层次 要学什么 要考什么（掌握到什么程度） 基础掌握 会计算除数是整数的小数除法；会计算一个数除以小数（移动小数点把除数变整数，被除数位数不够补0）。 能正确竖式计算；商的小数点与被除数对齐；余数添0继续除。 能力提升 认识循环小数、能确定循环节、区分有限小数和无限小数；会根据需要取商的近似数。 能判断循环小数并简便书写；能按四舍五入、进一、去尾取近似值。 考试考点 竖式计算（点小数点、补0、商中间或末尾的0）；循环小数识别与书写；商的近似数；平均分、倍数、路程、分段计费应用题。 会算、会写循环小数、会取近似数；能用小数除法解决实际问题。 知识板块 核心概念 关键规律/公式 活动应用 除数是整数的小数除法 把小数除法看作整数除法的延续 商的小数点要和被除数的小数点对齐；除到末尾仍有余数就在余数后面添0继续除；不够商1商0 4名同学兑换22元，22÷4 循环小数 小数部分一个或几个数字依次不断重复出现 循环节、简便写法（首位和末位数字上面各记一个圆点）；小数部分位数有限/无限 400÷75=5.333… 一个数除以小数 利用商不变的规律把除数变整数 先移动除数的小数点使它变成整数，被除数也向右移动相同的位数（位数不够用0补足），再按除数是整数的方法除 奶奶编中国结7.65÷0.85 商的近似数 根据问题需要灵活取近似值 “四舍五入”法；装物品等用“进一”法；做包装个数等用“去尾”法 红小豆分装，2.7÷0.8 解决问题 平均分、倍数、路程、分段计费 速度×时间=路程；求倍数用除法；分段计费分段算 鸵鸟体重是天鹅的几倍、客车比货车快多少 知识点1：除数是整数的小数除法 概念定义：除数是整数的小数除法，就是被除数是整数或小数的除法，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 重点理解提示：整数部分不够商1就商0；除到被除数末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除（如22÷4余2，添0表示20角继续除）。 公式 / 规律：①按整数除法去除；②商的小数点与被除数的小数点对齐；③除到末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。 【典型例题】4名同学兑换了22元，平均每人兑换了多少元？ 名师解析：求平均每人多少，用总钱数除以人数。22÷4，商5余2，把余下的2元转化为20角继续除，商5.5（两个5之间点上小数点）。 标准答案：22÷4=5.5（元）。答：平均每人兑换5.5元。 知识点2：一个数除以小数 概念定义：除数是小数时，利用商不变的规律把除数转化为整数再除：除数和被除数同时扩大相同的倍数，使除数变成整数。 重点理解提示：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位；被除数位数不够时，在被除数的末尾用0补足。 公式 / 规律：①移动除数的小数点使它变成整数；②被除数的小数点也向右移动相同位数（位数不够用0补足）；③按除数是整数的小数除法计算。 【典型例题】编一个中国结要用0.85 m丝绳，用7.65 m丝绳可以编几个中国结？ 名师解析：7.65÷0.85。把除数0.85扩大到它的100倍得85，被除数7.65也扩大到100倍得765，765÷85=9。 标准答案：7.65÷0.85=9（个）。答：可以编9个中国结。 知识点3：循环小数 概念定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数；依次不断重复出现的数字叫作循环节。 重点理解提示：写循环小数只写第一个循环节，并在循环节首位和末位数字上面各记一个圆点；小数部分位数有限的是有限小数，位数无限的是无限小数。 公式 / 规律：5.333…写作5.3̇（循环节3）；7.14545…写作7.1̇45̇（循环节45）；6.9258258…写作6.9̇258̇（循环节258）。 【典型例题】王鹏跑400 m用时75秒，他平均每秒跑多少米？（用循环小数表示商） 名师解析：400÷75，商5，余数总为25，商的小数部分总是重复出现3，除不尽，是循环小数，写作5.3̇。 标准答案：400÷75=5.333…≈5.3̇（米）。答：平均每秒约跑5.3̇米。 知识点4：商的近似数 概念定义：根据问题的需要，可以按“四舍五入”法保留一定的小数位数求商的近似数；装物品时用“进一”法，包装个数时用“去尾”法。 重点理解提示：计算钱数一般精确到“分”（保留两位小数）；装完要用“进一”法（瓶子数要往上取整）；求“最多能包装几个”用“去尾”法。 公式 / 规律：先算出商 → 看保留位数的下一位 → 四舍五入（或按题意进一、去尾）→ 写出近似数。 【典型例题】妈妈用32元买了一袋2.7 kg的红小豆，每千克大约多少钱？把这些红小豆分装在每瓶装0.8 kg的密封瓶里，可以装满几瓶？需要准备几个瓶子才能装完？ 名师解析：单价32÷2.7=11.851…，钱数按四舍五入精确到“分”得11.85元。装瓶2.7÷0.8=3.375，能装满3瓶；要把红小豆都装完，用进一法需要准备4个瓶子。 标准答案：每千克大约11.85元；可以装满3瓶，需要准备4个瓶子。 知识点5：用小数除法解决问题 概念定义：运用小数除法解决平均分、求倍数、路程、分段计费等实际问题，并根据问题需要合理确定如何取商的近似值。 重点理解提示：求“每份是多少”用除法（总÷份数）；求“一个数是另一个数的几倍”用除法；求速度用“路程÷时间”；分段计费先把超过部分进一取整再算。 公式 / 规律：速度×时间=路程；倍数＝较大数÷较小数；平均速度＝总路程÷总时间；分段计费＝前段费用＋后段费用。 【典型例题】一只鸵鸟重134 kg，一只天鹅重9 kg，鸵鸟的体重是天鹅的多少倍？（得数保留两位小数） 名师解析：求鸵鸟是天鹅的几倍，用鸵鸟体重除以天鹅体重。134÷9=14.888…，保留两位小数看千分位8，进一得14.89。 标准答案：134÷9≈14.89。答：鸵鸟的体重约是天鹅的14.89倍。 1. 基础计算题（除数是整数、小数的除法竖式） 解题方法：除数是小数先移动小数点把除数变整数（被除数同步移动、位数不够补0），再按整数除法除，商的小数点与被除数对齐。 通用步骤：①转：除数是小数先移小数点变整数；②移：被除数同步移；③除：按整数除法除；④点：商的小数点与被除数对齐。 2. 填空选择常考题 解题方法：判断商小于1（被除数小于除数）；识别循环小数并简便书写；比较商的大小；判断竖式正误。 通用步骤：①判断考点→②套用规律或循环小数写法→③核对商与小数点位置。 3. 实操 / 图形题（填表、判断商大小） 解题方法：根据商不变规律或已知算式填表；判断商与1的大小看被除数与除数的大小关系。 通用步骤：①看已知算式→②按商不变规律或除法意义→③填写并核对。 4. 解决问题应用题（单元重难点） 解题方法：平均分用除法；求倍数用除法；路程问题求速度用除法；分段计费分段算。 通用步骤：①读题找数量关系→②判断用除法还是综合运算→③列式计算→④按需要取近似值（四舍五入/进一/去尾）→⑤写单位并答。 易错点一：商的小数点没有与被除数的小数点对齐。 【例1】22.4÷4 的商是（　）A.5.6　B.56　C.0.56 【错误解析】商的小数点要和被除数的小数点对齐。22.4÷4=5.6，选A。不要算成整数56。 易错点二：除数是小数时，只移动除数的小数点，忘了同步移动被除数。 【例2】4.68÷1.2 应转化成（　）A.46.8÷12　B.4.68÷12　C.468÷12 【错误解析】除数1.2×10=12，被除数4.68也要×10=46.8，所以是46.8÷12，选A。除数和被除数要同步扩大。 易错点三：被除数的小数位数不够，忘了补0。 【例3】计算 12.6÷0.28，被除数要补几个0？ 【错误解析】0.28×100=28，12.6也要×100，但12.6只有一位小数，位数不够，要在末尾补0，变成1260÷28，商45。补1个0。 易错点四：循环小数的简便写法或循环节写错。 【例4】7.14545…的循环节是（　）A.145　B.45　C.5 【错误解析】循环节是依次不断重复出现的数字“45”，选B。简便写法写作7.1̇45̇，只在循环节首位和末位数字上记圆点。 易错点五：商的近似数该“进一”还是“去尾”分不清。 【例5】25 m丝带，每个礼盒用1.5 m，可以包装多少个礼盒？ 【错误解析】25÷1.5=16.6…，包装礼盒个数不能是小数，丝带不够17个，用“去尾”法只能包装16个，不能进一。装物品用完则用“进一”法。 易错点六：商中间或末尾的0漏写。 【例6】0.54÷6 的商是（　）A.0.09　B.0.9　C.9 【错误解析】整数部分0不够商1，商0；54个0.01除以6得9个0.01，即0.09。商中间/末尾的0不能漏，选A。 题型 统一答题步骤（可直接套用） 小数除法竖式 一转：除数是小数先移动除数小数点变整数；二移：被除数同步移动（位数不够补0）；三除：按整数除法除；四点：商的小数点与被除数对齐。 循环小数 一除：按除法算出商；二看：看余数和商是否循环重复；三写：只写第一个循环节，循环节首位和末位数字上记圆点。 商的近似数 一算：算出商；二看：看保留位数的下一位；三选：按题意四舍五入、进一或去尾；四写：写出近似数。 平均分 / 求倍数 一找：找数量关系（总÷份数，较大数÷较小数）；二列式；三算；四按需要取近似值并答。 路程 / 分段计费 一分：把路程分成规定内和超出部分（超出部分进一取整）；二算：分别算费用/速度再合并；三答。 核心口诀：除数是小数，除数变整数，商不变规律来帮忙；商的小数点，对着被除数点；除不尽时用循环，末尾余数添0除。 必考公式：①除数是整数：商的小数点与被除数对齐，余数添0继续除；②一个数除以小数：除数、被除数同时扩大相同倍数，把除数变整数；③商的近似数：四舍五入、进一、去尾；④速度×时间=路程。 复习重点：一会除数是整数的小数除法；二会一个数除以小数（含补0）；三会识别和书写循环小数；四会根据问题需要取商的近似数并解决实际问题。 易错提醒：商的小数点与被除数对齐；除数变整数时被除数要同步移动、位数不够补0；循环节找准确；装物品进一、算包装个数去尾；商中间和末尾的0不能漏。 基础过关 一、选择题 1．与1.2÷24结果相等的算式是（    ）。 A．2.4÷48 B．12÷24 C．0.6÷24 D．0.08÷16 2．小虎在计算一个三位小数除以一个整数时，漏掉了被除数的小数点，得到的商是0.06。这道题原来的商是（    ）。 A．0.6 B．0.006 C．0.0006 D．0.00006 3．原来做300包豆腐干的材料，现在能做多少包？解决该问题还需要信息（    ）。 ①一包豆腐干的质量约25克。 ②原来做一包豆腐干要用1.18元的材料。 ③一包豆腐干卖1.2元。 ④现在做一包豆腐干少用0.18元的材料。 A．①④ B．①③ C．①②④ D．②④ 4．下边竖式中，箭头所指的数表示（    ）。 A．78个一 B．78个十分之一 C．78个百分之一 D．78个千分之一 5．有一堆货物重2.8t，一辆货车限载800kg，至少要运（    ）次。 A．4 B．5 C．3 D．2 二、填空题 6．商店里每袋酸奶1.5元，买4袋赠1袋。买6袋酸奶，实际每袋只要( )元。 7．80千克黄豆能做100千克豆腐，做1千克豆腐要用( )千克黄豆；平均每千克黄豆能做( )千克豆腐。 8．用18元买了6支同样的钢笔，用( )元可以买10支这样的钢笔；如果钢笔的单价变为原来的一半，用( )元就可以买到6支这样的钢笔。 9．51.1÷7，商的最高位在( )位上，商比1( )；5.11÷7，商的最高位在( )位上，商比1( )。 10．在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 25÷10( )25÷100            7.32÷100( )73.2÷100            0.35×100( )0.35×1000 35×0.4( )25×0.8            5.6÷100( )0.056×10            12.5÷5( )25÷10 三、判断题 11．一个数除以小数，商一定是小数。( ) 12．5.7除以一个小数，商一定比5.7小。( ) 13．每个油壶可以装4千克油，装45千克油需要准备11个油壶。( ) 14．求小数除法的商的近似值时，一般要除到比需要保留的小数位数多一位。( ) 15．循环小数5.9959595…的循环节是“95”。( ) 能力提升 四、计算题 16．口算。 7.8＋1.3＝    1.26×0.5＝    2÷0.4＝    7.2÷90＝ 0.55÷0.11＝    15.6－0.9＝    4×1.05＝    0.16×50＝ 3.6÷0.04＝    0.36÷0.2＝    56÷0.01＝    0.25×0.4＝ 5.04÷0.01＝    0.18÷18＝    2.7÷0.03＝    50×0.08＝ 17．用竖式计算，带*的题要验算。 2.4×41＝            0.246×45＝            71.4÷35＝            *3.24÷8＝ 18．计算下面各题，能简算的要简算。 0.84×13.5÷0.16    96.5÷5÷0.2    1.25×88 7.8＋2.2×5.54    4.5×2.74－0.74×4.5    0.225÷0.25×4 拓展培优 五、解答题 19．有两根同样长的电线，第一根用去23.6米，第二根用去43.2米，第一根余下的长度正好是第二根余下长度的3倍。这两根电线原来长多少米？ 20．在敬老院志愿服务活动中，志愿者们为敬老院更换了节能电暖器（响应煤改电绿色政策）。使用第一周，前3天共用电167.8千瓦时，后4天平均每天用电46.6千瓦时，这个星期平均每天用电多少千瓦时？ 21．在敬老院志愿服务活动中，志愿者要给一间活动室铺地砖。如果用面积为0.36平方米的正方形地砖，一共需要400块。如果换另一种规格的正方形地砖铺地，需要225块，那么这种规格的正方形地砖的面积是多少平方米？ 22．爸爸和妈妈带小丽去剧院看话剧，买票时付出360元，找回7.5元。已知儿童票价是成人票价的一半，则成人票和儿童票每张各是多少元？ 23．在敬老院志愿服务活动中，同学们为老人买了保健花茶。大家一共买了6罐同款花茶，付了200元，找回8.6元，每罐花茶多少元？ 参考答案 1．A 分析：计算原式和各选项的结果对比，看哪个与原式相等。 详解： A．，与原式结果相等； B．，与原式结果不等； C．，与原式结果不等； D．，与原式结果不等。 2．D 分析：三位小数漏掉小数点后，被除数扩大到原来的1000倍，除数不变时，商也扩大到原来的1000倍，用错误的商除以1000即可得到原来的商。 详解：0.06÷1000＝0.00006 这道题原来的商是0.00006。 3．D 分析：现在能做的豆腐干的包数＝总的材料÷现在做一包豆腐干需要的材料，分析能求出“总的材料”和“现在做一包豆腐干需要的材料”需要的信息即可。 详解：总材料＝原来做一包豆腐干需要的材料×原来做的包数，即1.18×300； 现在做一包豆腐干需要的材料＝原来做一包豆腐干需要的材料－现在做一包豆腐干少用的材料，即1.18－0.18。 综合算式：1.18×300÷（1.18－0.18） ＝1.18×300÷1 ＝354÷1 ＝354（包） 解决该问题还需要信息②④。 4．C 分析：小数除法竖式里，要看数字对应的数位。这里的7在十分位，8在百分位，78代表78个百分之一，据此选出正确选项。 详解：被除数是3.38，竖式中箭头指向的78，7对应十分位，8对应百分位，这个78实际表示0.78。0.78就是78个百分之一。 5．A 分析：先根据1t＝1000kg统一单位，再用总质量除以每次运的质量，运货物剩下不足一车也需要再运1次，要用进一法取结果。 详解：2.8t＝2800kg 2800÷800＝3.5（次） 运3次只能运：3×800＝2400（kg），还有货物剩下，还需要运1次。 3＋1＝4（次） 6．1.25 分析：“买4袋赠1袋”意味着花4袋的钱可以得到5袋酸奶。要购买6袋酸奶，先通过“买4袋赠1袋”获得5袋（花费4袋的钱），还需额外购买1袋，因此实际需要付钱的袋数是（4＋1）袋。再用每袋的金额乘（4＋1）袋，可得出总金额，再除以6，可得出实际每袋的价格。 详解：1.5×（4＋1）÷6 ＝1.5×5÷6 ＝7.5÷6 ＝1.25（元） 实际每袋只要1.25元。 7． 0.8 1.25 分析：黄豆质量÷做的豆腐质量＝做1千克豆腐需要的黄豆质量；豆腐质量÷用的黄豆质量＝平均每千克黄豆能做的豆腐质量，据此列式计算。 详解：80÷100＝0.8（千克） 100÷80＝1.25（千克） 8． 30 9 分析：根据总价÷数量＝单价，用18÷6，求出每支钢笔的单价，再用每支钢笔的单价乘10支，即可求出买10支钢笔需要多少钱；钢笔单价变为原来一半，用每支钢笔的单价除以2，求出钢笔的单价变为原来的一半的价格，再用钢笔的单价变为原来的一半的价格乘6，即可求出买6支钢笔需要多少钱。 详解：18÷6＝3（元） 3×10＝30（元） 3÷2＝1.5（元） 1.5×6＝9（元） 用18元买了6支同样的钢笔，用30元可以买10支这样的钢笔；如果钢笔的单价变为原来的一半，用9元就可以买到6支这样的钢笔。 9． 个 大 十分 小 分析：除数是整数的小数除法，按照整数除法计算，商的小数点和被除数的小数点对齐。算出两个算式的商，再填空。 详解：51.1÷7＝7.3，7.3＞1，商的最高位在个位上，商比1大。 5.11÷7＝0.73，0.73＜1，商的最高位在十分位上，商比1小。 10． ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ ＝ 分析：被除数相同（这里都是25）时，除数越大，商越小，据此解答即可； 除数相同（这里都是100）时，被除数越大，商越大，据此解答即可； 一个相同的因数（这里都是0.35）乘不同的数，乘的数越大，积越大，据此解答即可； 根据小数乘法分别计算出左右两边的算式结果，再进行比较即可； 根据小数乘法和小数除法分别计算出左右两边的算式结果，再进行比较即可； 根据小数除法分别计算出左右两边的算式结果，再进行比较即可。 详解：被除数相同时，除数，所以； 除数相同时，被除数，所以； 一个因数相同时，另一个因数，所以； 左边：；右边：，，所以； 左边：；右边：，，所以； 左边：；右边：，，所以。 11．× 分析：一个数除以小数，商不一定是小数，可以举反例来判断对错。 详解：例如：2÷0.5＝4，被除数2是整数，除数0.5是小数，商4是整数，不是小数。 所以“一个数除以小数，商一定是小数”这句话是错误的。 故答案为：× 12．× 分析：一个不为0的数除以小于1的小数，商比原数大，可举例验证。 详解：例如，所得的商57比5.7大，说明商不一定比5.7小，因此题干说法错误。 故答案为：× 13． 分析：用油的总质量除以每个油壶可装的质量，得到商和余数。如果计算结果存在余数，剩余的油仍需要个油壶，需采用进一法取商的近似数。 详解：（个） 个油壶可装油：（千克） 剩余油的质量：（千克） 剩余的千克还需要个油壶共需要油壶：（个） 故答案为： 14．√ 分析：求商的近似值的规则是先除到比需要保留的小数位数多一位，再用四舍五入法取近似值。 详解：求小数除法的商的近似值和一般求商的近似值方法一致，比如要保留1位小数，就除到小数部分第2位，再根据第2位的数值判断是否进位，题干说法正确。 故答案为：√ 15．√ 分析：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节，据此判断即可。 详解：观察循环小数5.9959595…的小数部分，从第二位起，9和5依次不断重复出现，因此它的循环节是“95”，原题说法正确。 故答案为：√ 16．9.1；0.63；5；0.08； 5；14.7；4.2；8； 90；1.8；5600；0.1； 504；0.01；90；4 17．98.4；11.07；2.04；0.405 分析：计算小数乘法时，先按照整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 除数是整数的小数除法，按照整数除法计算，商的小数点和被除数的小数点对齐。验算时，用商乘除数等于被除数来验证。 详解：2.4×41＝98.4                                0.246×45＝11.07                              71.4÷35＝2.04                            *3.24÷8＝0.405                       验算   18．70.875；96.5；110； 19.988；9；3.6 分析：①按从左往右的顺序依次计算； ②将连续除法转化为除以两个数的积进行简便计算； ③将88看作8×11；再按从左往右的顺序依次计算； ④先算乘法；再算加法； ⑤根据乘法分配律进行简便计算； ⑥按从左往右的顺序依次计算。 详解：0.84×13.5÷0.16 ＝11.34÷0.16 ＝70.875 96.5÷5÷0.2 ＝ 96.5÷（5×0.2） ＝96.5÷1 ＝96.5 1.25×88 ＝1.25×（8×11） ＝1.25×8×11 ＝10×11 ＝110 7.8＋2.2×5.54 ＝7.8＋12.188 ＝19.988 4.5×2.74－0.74×4.5 ＝4.5×（2.74－0.74） ＝4.5×2 ＝9 0.225÷0.25×4 ＝0.9×4 ＝3.6 19．53米 分析：两根电线原来长度相同，因此余下的长度差等于用去的长度差，将第二根余下的长度看作1份，第一根余下的长度是第二根的3倍，即第一根余下长度为3份，二者相差的份数为（3－1）份，对应的总长度是19.6米，因此可求出1份的长度，即第二根余下的长度，最后根据电线原来的长度等于第二根用去的长度加上第二根余下的长度即可求出电线原来的长度。 详解：43.2－23.6＝19.6（米） 3－1＝2（份） 19.6÷2＝9.8（米） 9.8＋43.2＝53 （米） 答：这两根电线原来长53米。 20．50.6千瓦时 分析：后4天每天用电量×天数＝后4天用电总量，前3天的总用电量＋后4天的总用电量＝这个星期的总用电量，这个星期的总用电量÷总天数＝这个星期平均每天用电量。 详解： （千瓦时） 答：这个星期平均每天用电50.6千瓦时。 21．0.64平方米 分析：活动室地面的总面积固定不变，先根据原有地砖的面积和块数求出总面积，再用总面积除以新地砖的块数，即可得到新地砖的面积。 详解：400×0.36÷225 ＝144÷225 ＝0.64（平方米） 答：这种规格的正方形地砖的面积是0.64平方米。 22．儿童票：70.5元；成人票：141元 分析：先计算买票的实际总花费，再根据儿童票价是成人票价的一半，将成人票换算为对应数量的儿童票，求出等价的儿童票总数量，用总花费除以总数量得到儿童票单价，进而求出成人票单价。 详解：（元） （张） （元） （元） 答：成人票每张141元，儿童票每张70.5元。 23．31.9元 分析：付的钱数－找回的钱数＝花茶的总钱数，花茶的总钱数÷买的罐数＝每罐钱数。 详解：（200－8.6）÷6 ＝191.4÷6 ＝31.9（元） 答：每罐花茶31.9元。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $