第十一章 整式的乘除（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦初中数学整式乘除单元，融合数学史、实际应用与创新定义，实现基础巩固与能力提升的高效培优单元卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|幂运算、平方差公式|贾宪三角形题渗透数学文化，培养抽象能力| |填空题|12/36|新定义“拉格数”、图形面积计算|正方形面积问题强化几何直观，拉格数提升符号意识| |解答题|7/52|整式化简求值、利润模型|超市利润问题体现模型意识，新定义运算题发展推理能力|

第十一章 整式的乘除（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 3．已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 4．已知，则的值是（    ） A． B． C．4 D．8 5．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 6．我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．计算：______． 8．计算：_______________． 9．填空：________． 10．已知，则______________ ． 11．填空：（ __________ ）n． 12．如果，那么的值为______． 13．计算：_______． 14．若，则_____________． 15．计算：______． 16．已知，，，，则_____． 17．有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为___________． 18．如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论有__________． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算． (1)； (2)． 20．已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 21．计算． (1)； (2)． 22．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 23．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 24．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 25．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 整式的乘除（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B B D D 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13．1 14． 15． 16．9 17．95 18．②③④ 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．（本题6分) 【详解】（1）解： ；……………………3分 （2）解： ．……………………6分 20．（本题6分) 【详解】（1）解：∵，， ∴；……………………3分 （2）∵，，， ∴， ∴， ∴．……………………6分 21．（本题6分) 【详解】（1）解： ；……………………3分 （2）解： ．……………………6分 22．（本题8分) 【详解】（1）解：因为， 所以， 即， 解得：；……………………4分 （2）解：因为， 所以， 所以， 所以， 解得：．……………………8分 23．（本题8分) 【详解】（1）解：原式． 当时， 原式．……………………4分 （2）解：原式． 当时， 原式．……………………8分 24．（本题8分) 【详解】（1）解：根据题意，可得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得；……………………2分 （2）根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴， ∴；……………………5分 （3）由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ．……………………8分 25．（本题10分) 【详解】（1）解：①的系数：；……………………2分 ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴.……………………5分 （2）解：的系数为： 不含项则， ∴．……………………7分 （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴……………………10分 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 整式的乘除（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A选项：无法转化为两数和与两数差的积的形式，不能用平方差公式计算，故A选项不符合题意； B选项：，要用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故B选项不符合题意； C选项：，要用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故C选项不符合题意； D选项：，能用平方差公式计算，故D选项符合题意． 3．已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法．依据整式的除法法则得到，，即可求出m，n． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解方程组得，． 故选：B． 4．已知，则的值是（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法以及幂的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．将白变形为求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B 5．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与几何图形．利用长方形的面积公式得到最大长方形面积为，也可以把最大长方形分割若干个小长方形，再求各小长方形的面积的和即可． 【详解】解：最大长方形的面积为，也可以表示为或或， 故选：D． 6．我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，关键是利用“首尾为1、中间数为肩上两数之和”的规律，逐步推导的展开式的系数． 【详解】解：观察发现贾宪三角形每行的最左侧和最右侧的数都是；除首尾的外，每行中间的每个数，都等于它肩上两个数的和，所以 第7行(对应：； 第8行(对应：； 第9行(对应：． 观察第9行，从左起第五项的数为，即展开式中从左起第五项的系数为； 故选：D． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，先把底数化为同底数幂，再计算乘法即可，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．计算：_______________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．填空：________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将等号右边的用平方差公式分解因式，再填空． 【详解】解：因为， 所以， 所以填， 故答案为：． 10．已知，则______________ ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 11．填空：（ __________ ）n． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟练掌握幂的乘方逆运算与积的乘方逆运算的运算法则是解题的关键．根据幂的乘方逆运算与积的乘方逆运算即可得出答案． 【详解】解：根据幂的乘方逆运算对等式右边变形： ， 根据积的乘方逆运算继续变形： ， 故答案为：． 12．如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先利用多项式乘多项式法则计算，再利用等式的性质得关于m、n的方程，求出m、n得结论，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， 故答案为：． 13．计算：_______． 【答案】1 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 14．若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，幂的乘方，同底数幂相乘，由题意可得，再将所求式子利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为，整体代入进行计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据同底数幂乘法的逆用将改写成，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．已知，，，，则_____． 【答案】9 【分析】根据，，，得到，再根据，得到，联立①②得到，然后利用幂的乘方将代数式变形，即可计算求值． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 联立①②得：， ， ， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了考查了同底数幂相乘，积的乘方的逆用，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 17．有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为___________． 【答案】95 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，设两个正方形的边长分别为，图1和图2中阴影部分的面积分别为和，进而求出，则，即可得解． 【详解】解：设两个正方形的边长分别为， 由图1可得：， ， 由图2可得：， ， ， ， 图2中大正方形的面积为， 故答案为：95． 18．如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论有__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 故①错误； ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 故③正确； 设，，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故④正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可； （2）原式先根据单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 【答案】(1)675 (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方法则，整体代数法求值即可； （2）根据同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴． 21．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了多项式的乘法运算，幂的乘方． （1）先将看做一个整体，根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可； （2）先将看做一个整体，根据完全平方公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键． （1）先将等式左边化为底数为的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 即， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以， 解得：． 23．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，5 (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简，解决此题的关键是正确的计算； （1）运用平方差公式和二项式相乘法则化简，再把x值代入即可； （2）运用完全平方公式和两项式相乘法则化简，再把a，b的值代入即可； 【详解】（1）解：原式． 当时， 原式． （2）解：原式． 当时， 原式． 24．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)4 (3)136 【分析】（1）由题目中的规定可知，根据完全平方公式的特征确定答案即可； （2）根据题目中的规定求出等号左边部分，可得，再借助完全平方公式，将代入求解即可； （3）根据三角形面积公式将阴影部分的面积表示出来，得到含，的整式，再代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算、完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题关键． 25．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 【答案】(1)①；②4052 (2) (3)；， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根据题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：①的系数：； ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴. （2）解：的系数为： 不含项则， ∴． （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴， 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $