第十一章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 整式的乘除单元复习提升卷，90分钟100分，覆盖整式运算、公式应用及几何与代数结合，注重基础巩固与能力提升，适配初中数学核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|整式乘除运算、平方差公式|基础概念辨析，考查运算能力| |填空题|12/36|完全平方、新运算、几何图形边长|结合创新运算与几何直观，培养抽象能力| |解答题|7/52|简便计算、化简求值、数形结合（面积/体积验证公式）|通过图形面积体积探究公式，体现数学思维与模型意识，如25题正方体体积验证因式分解|

第十一章整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D D A 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7.-x3+x 8.x22 4+x+ 9.9x+316 10.6 11.-4 -200x7y2 12 13.> 14.(a-6) 15.22100 16. -12 16 17,m- 2 18.36 三、解答题（本大题共7小题，1921每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分) 19.(本题6分) 【详解】)解：(x(x-(x}÷(x) =x6.(-x)-x6÷(-x2) =-x3-(-x4) 试卷第1页（共3页） =-x2+x4 3分 (2)解：(a+2-(a-2a+1) =a2+4a+4-(a2-a-2) =a2+4a+4-a2+a+2 =50+6.…6分 20.(本题6分) 【详解】(1)解： 999.…3分 (2)解：762+752-76×150 =76+752-2×76×75 =(76-75)} =12 =1.6分 21.(本题6分) (1)【详解】解： (2a-b+3c)2 =[(2a-b)+3c] =(2a-b)}+(3c)}2+2(2a-b)-3c =4a2+b2-4ab+9c2+12ac-6bc …3分 3(x-2)(x+1)+(2x-1)2-7(x+3)(x-3)>23 (2)【详解】解： 3(x2+x-2x-2)+4x2-4x+1-7(x2-9)>23 3x2-3x-6+4x2-4x+1-7x2+63>23 -7x>-35, 解得：x<5, 试卷第2页（共3页） 所以原不等式的解集为x<5。…6分 22.(本题8分) 【详解】山解：K+y广-(x+y+2x(x-川÷4x =[x2+y2-(x2+2xy+y2）+2x2-2xy÷4x =(x2+y2-x2-2xy-y2+2x2-2xy)÷4x =(2x2-4xy）÷4x =x-2y 2 当x-2y=2时， 原式-吃1.4分 (2)解：(2a-b-(a+1-ba+1+b)+a+) =4a2-4ab+b-[(a+l-b2]+(a2+2a+1） =4a2-4ab+b2-(a2+2a+1-b2)+(a2+2a+1 =4a2-4ab+b2-a2-2a-1+b2+a2+2a+1 =4a2-4ab+2b2 1 当a=2,b=-2时， 原武4得-×*(2+2x2列 =4×,+4+2×4 4 =1+4+8 =13.…8分 23.(本题8分) 试卷第3页（共3页） 【详解1解：4)3(x-1x+3)-(2x-5(x-2) =3(x2+3x-x-3-(2x2-4x-5x+10) =3x2+9x-3x-9-2x2+4x+5x-10 =x2+15x-19 …2分 2)（'÷2(-2y'+(2-（)y =-x2÷x2(-8y）+4x2y2.-xy =8x3y3-4x3y =4x3y23 4分 3)（a-2b+3cla+2b-3c) =[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)] =d2-(2b-3c2 =d2-(462-12bc+9c2） =a2-4b2+12bc-9c2 …6分 w小-jr-） 父+++-+2x-扩 +2x-习 试卷第4页（共3页） =e-5j》 4x-y8分 24.(本题8分) (a+b+c) 【详解】(1)解：大正方形的边长是 ,它是由三个小正方形和六个长方形组成的， .大正方形的面积等于这九个图形的面积之和， :(a+b+c'=d2+2+2+2ab+2ac+2hc …2分 (2)解：由(4)得(a+b+c=d+h2+c2+2ab+2ac+2hc :(a+h-c=d+h2+(-e+2ab+2a(-c)+2b(-c) .(a+b-c)=d+b+e+2ab-2ac-2bc .d+b'+e+2ab-2ac-2bc=(a+b-c) .5分 (3)解：：a+b+c=0,a2+b2+c2=12, (a+b+c)=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc :2(ab+bc+ac)=(a+b+c-(c++c)）=0-12=-l12, ..ab+bc+ac=-6, ..(ab+bc+ac)-db+bc+do+2abc+2dbc+2abc a'b2+b2c2+a'c2 =(ab+bc+ac)-2ab2c-2abc2-2a2bc ..a2b2+b2c2+a'c2 =(ab+bc+ac)-2abc(a+b+c) 试卷第5页（共3页） =(-6)}2-2abcx0 =36.…8分 25.(本题10分) 【详解】(1)解：方法①：a2-b2 方法@：a(a-b)+b(a-b) a2-b2=(a+b)(a-b) 可以验证的乘法公式为： 证明：右边=a2-ab+ab-b2=a2-b2=左边 .a2-b2=(a+b)(a-b) …4分 (2)方法①：a3-b 方法②： a(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b) 可以验证的乘法公式为：。-办=(a-b(d2+ab+6) 证明：右边(a-ba+ab+b) =a+a'b+ab2-a"b-ab2-b =a3-b3= 左边 d3-b=(a-b(a2+ab+b2） .…7分 3解：8r+少 =(2x°-(-y) =[2x-(y](2x+(2x(-y)+(-y] 试卷第6页（共3页） =(2x+y)(4x2-2xy+y2） 10分 试卷第7页（共3页） 第十一章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别利用各运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不可以合并，原选项错误，不符合题意； B、，原选项正确，符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意． 故选：B ． 2．计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，掌握积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．先根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算，再根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．若，，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆运算，解题的关键是能够正确运用这些运算法则．根据同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆运算进行变形求解即可． 【详解】解：，， ． 故选：D ． 4．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，含一组相同项和一组相反项，符合平方差公式结构； B、含一组相同项和一组相反项，符合平方差公式结构； C、将变形为，含相同项与相反项、，符合平方差公式结构； D、中两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式结构，故符合题意． 5．化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式逐步计算多项式乘积，再去括号合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 6．如图，某校准备在一个矩形场地中修建两条甬道，一条是矩形甬道，一条是平行四边形甬道，其余部分为草坪，若，，，则草坪面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减、求阴影部分的面积等知识点，明确各部分图形的面积关系成为解题的关键． 先说明，再观察得到，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴ ． 故选A． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 8．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法：底数不变指数相加，幂的乘方：底数不变指数相乘，有理数的乘方法则.根据这些法则计算即可. 【详解】解：. 故答案为. 9．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 10．若多项式是一个完全平方式，那么常数的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求完全平方式中的参数，根据完全平方式的特点，进行计算即可． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴，或 ∴； 故答案为： 11．若．求的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，由已知条件得出，再根据多项式乘多项式法则计算得出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：． 12．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，掌握两种运算的法则是关键；分别计算积的乘方，再计算单项式乘单项式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13．比较大小：________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方以及逆运算，积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，将变形为，即可比较大小． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 14．计算：_____（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的符号变化，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．先将转化为，再根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解： 故答案为：． 15．通过探究，小明总结得出：当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ______． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，按照结论计算是解题关键．首先根据题意可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 故答案为：． 16．规定新运算：． （1）计算：_____． （2）若正数满足，则代数式的最小值为_____． 【答案】 【分析】（1）代入新运算解答即可； （2）根据新运算可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵正数满足， ∴， ∴，即， ∴， 即当时，代数式取得最小值，最小值为16． 17．如图1，把一个长为、宽为的长方形，沿虚线剪开，将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的长方形，则阴影部分的小正方形的边长可用表示为___．    【答案】 【分析】设阴影部分的小正方形的边长为，根据拼接前后图形的面积的等量关系列方程，再解方程即可． 【详解】解：设阴影部分的小正方形的边长为, 则拼接成如图2所示的长方形的边长分别为， 根据拼接前后图形的面积的等量关系，得， 解得：（舍去）， 故阴影部分的小正方形的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，找出拼接前后图形的面积的等量关系是解题的关键． 18．如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 【答案】36 【分析】延长交的延长线于点，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图像列出的代数式，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 延长交的延长线于点， ∵点为的中点， ∴， 则， ， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 化简，得， ∴小正方形的面积为． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法，以及完全平方公式和多项式乘法．根据相关运算法则和公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．用简便方法计算： (1)10 (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行简便运算． （2）应完全平方公式进行简便运算． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 21．（1）计算： （2）解不等式：． （1）【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题的关键． 将原式化为，再由完全平方公式展开计算． 【详解】解： ． （2）【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤． 先利用整式的混合运算法则化简，再根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 所以原不等式的解集为． 22．化简求值 (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 当时， 原式 （2）解： 当，时， 原式 23．（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1） （2）（3）（4） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）先按多项式乘以多项式展开，然后合并同类项即可． （2）先计算乘方，然后计算乘除法，最后合并同类项即可． （3）按照平方差公式计算即可． （4）按照完全平方公式以及平方差公式计算即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 24．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 【答案】(1) (2) (3)，36 【分析】（1）仿照题意可得大正方形的面积等于九个图形的面积之和，据此可得答案； （2）根据（1）可得，据此可得答案； （3）根据，可求出，再根据可得的值． 【详解】（1）解：大正方形的边长是 ，它是由三个小正方形和六个长方形组成的， ∴大正方形的面积等于这九个图形的面积之和， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， ， ∴，    ， ∵， ∴          ． 25．请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【答案】(1)；；； (2) 方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）可将看作，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）略 故答案为：；；； （3）解： ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算结果是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的值（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 6．如图，某校准备在一个矩形场地中修建两条甬道，一条是矩形甬道，一条是平行四边形甬道，其余部分为草坪，若，，，则草坪面积是（    ）． A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．计算：_____． 8．计算：_____． 9．计算：______． 10．若多项式是一个完全平方式，那么常数的值是______． 11．若．求的值是______． 12．计算：______． 13．比较大小：________（填“”、“”或“”）． 14．计算：_____（结果用幂的形式表示）． 15．通过探究，小明总结得出：当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ______． 16．规定新运算：． （1）计算：_____． （2）若正数满足，则代数式的最小值为_____． 17．如图1，把一个长为、宽为的长方形，沿虚线剪开，将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的长方形，则阴影部分的小正方形的边长可用表示为___．    18．如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算： (1) (2) 20．用简便方法计算： (1)10 (2) 21．（1）计算： （2）解不等式：． 22．化简求值 (1)，其中． (2)，其中，． 23．（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 24．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 25．请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $