精品解析：福建福州市罗源县洪洋中学2026-2027学年九年级 第一学期10月份适应性练习 数学试卷

初三第一学期10月份适应性练习 数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 若函数是反比例函数，则m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，反比例函数解析式形式还有：，．先根据反比例函数的定义列出关于m的等式即可． 【详解】解：∵为反比例函数， ∴， 故选：C． 3. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 4. 下列抛物线中，顶点为，且与抛物线的开口方向相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；首先根据顶点坐标和开口向上，对选项中的抛物线逐一判断，然后可得答案． 【详解】解：所求抛物线与抛物线的开口方向相同， 所求抛物线开口向上， A、的顶点为，开口向上，与题干所要求的抛物线不相符； B、的顶点为，开口向上，与题干所要求的抛物线相符； C、的顶点为，开口向下，与题干所要求的抛物线不相符； D、的顶点为，开口向下，与题干所要求的抛物线不相符； 故选：B 5. 方程﹣x（x+1）＝0的解是（　　） A. x＝﹣1 B. x1＝﹣1，x2＝0 C. x＝0 D. x1＝1，x2＝0 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 6. 已知a和b是方程的两个解，则的值为（　　） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子变形为，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，然后由对称性得到，求出，然后将代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，， ∴ ∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称 ∴图中阴影部分的面积等于正方形的面积 ∴ ∴ 将代入得， ∴． 8. 已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的对称轴是直线 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 9. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目已知方程为一元二次方程，二次项系数为1，满足二次项系数不为0的要求，只需利用方程有实数根得判别式，解不等式即可得到的取值范围； 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 10. 已知多项式，其中为实数： ①若，则 ②有最大值，最大值为3； ③无论取任何实数，恒成立； 以上结论正确的个数有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分别对三个结论逐一验证，①通过列方程求解根判断正误，②利用二次函数的开口方向判断最值，③通过作差配方判断不等关系是否恒成立． 【详解】∵， ①验证结论：令，得，整理得，解得，与结论中不符，故①错误； ②验证结论：∵二次项系数，抛物线开口向上，∴只有最小值，最小值为，不存在最大值故②错误； ③验证结论：即，当时，，因此不恒成立，故③错误； 综上，三个结论全部错误，正确的个数为． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 小华在解方程x2 = 3x时，只得出一个根x = 3，则被他漏掉的一个根是x =_______ 【答案】0 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求出答案． 【详解】解：∵x2=3x， ∴x2-3x=0， ∴， ∴x=0或x-3=0， ∴x1=0，x2=3， 故答案为：0． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用因式分解法． 12. 如图，在正方形中，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的度数为______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． 由旋转的性质得到，，利用等边对等角以及三角形内角和求得的度数，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 14. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是______．（请用“<”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会通过反比例系数k的正负判断函数的增减性． 由反比例函数的增减性求得结果． 【详解】∵任何数的平方都大于等于， ∴，则 ， ∴， 反比例函数在第一，三象限内随的增大而减小， ∵点，，，横坐标，，， ∴这三个点都在第一象限，且， ∴． 故答案为：． 15. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 16. 如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的系数k的几何意义解答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，轴于 ∴， 连接，， ， 同理， ∵ ， ∴， ， … ∴， ∴当时，． 三、解答题（本题共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， 解得： 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 解得：． 18. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，0），B（0，﹣3）．求二次函数的解析式和顶点坐标． 【答案】y=x2+2x﹣3；（﹣1，﹣4）． 【解析】 【分析】把点A,B的坐标代入二次函数即可求出二次函数解析式，将一般式化为顶点式即可求出顶点坐标. 【详解】解：把A（1，0），B（0，﹣3）代入y=x2+bx+c 得 解得 ∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3. ∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键. 19. 已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； （2）求当，且时，自变量的取值范围． 【答案】（1）， 补充其函数图象如下： （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为 【小问2详解】 解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 20. 已知关于的方程． （1）取什么值时，方程有两个实数根． （2）如果方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根，，且， ，，， ，即， 平方得：， 整理得：， 解得： 21. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中， （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现： ①关于x的方程实数根为 ； ②关于x的方程有个实数根时，的取值范围是 ． 【答案】（1）0 （2） （3）① ② 【解析】 【分析】结合函数图像进行分析就可以完成题目． 【小问1详解】 解：将代入 求得 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①的实数根其实就是看函数与轴的交点， 三个交点分别为，所以实数根也为 ②有四个实数根意为与函数有四个交点， 观察函数即可得出当有四个交点． 22. 已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，）满足一次函数关系，部分数据如表： x/（元/件） 13 14 15 16 y/件 1100 1000 900 800 （1）求y与x之间的函数关系式． （2）当线下售价x为多少时，线下月销售利润最大，最大是多少？ （3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，）之间的函数关系式． 【答案】（1） （2）当线下售价x为每件17元时，线下月销售利润最大，最大是4900元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式，二次函数的解析式及性质，解题的关键是理解题意，列出函数解析式． （1）根据题意，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意，列出二次函数解析式，利用顶点式分析最值即可； （3）根据题意，列出二次函数解析式即可． 【小问1详解】 解：∵y与x满足一次函数的关系， ∴设． 将，；，代入，得 ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设线下销售利润为，根据题意可知，， ， ， ∴当线下售价x为每件17元时，线下月销售利润最大，最大是4900元； 【小问3详解】 解：根据题意可知， ． 23. 如图，是直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，得到（点B与点D是对应点，点C与点E是对应点），设． （1）画出； （2）连接，用含a、b的式子表示的面积为___________（直接写出化简后的答案）； （3）若，的面积为，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）先根据题意确定好点D、E，即可画出； （2）先求出，再根据旋转性质得到，，根据直角三角形面积公式即可求解； （3）根据的面积为得到，根据，得到，即可求出，根据直角三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为绕点A逆时针旋转，得到的直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴的面积为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了根据题意作旋转后的图形，旋转的性质，直角三角形面积公式，完全平方公式等知识，理解题意，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 24. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】（1） 与的函数关系式为（，且为整数）；当时，该充电站的收入为2000元 （2） 收支平衡时的值为20或100 （3） 解：符合条件的值为60 理由如下： 设净收益为元，由题意得 ， ∵ ， ∴ 该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值， ∵ 当时净收益取得最大值， ∴ 顶点横坐标为80，即， 解得. 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数定义设解析式，代入表格中一组对应值求出比例系数，再将代入解析式计算收入； （2）根据收入等于成本的等量关系列一元二次方程，求解得到符合实际意义的根； （3）先根据净收益的定义列出二次函数表达式，结合二次函数最大值在顶点处的性质，利用顶点横坐标列方程求解． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴（，且为整数）， 当时，（元）.  【小问2详解】 解：由题意得，收支平衡时， 即， 整理得， 因式分解得， 解得，， 均为正整数，符合实际意义； 【小问3详解】 解：略． 25. 如图，已知，抛物线交x轴于，两点，过点的直线交抛物线于，两点， （1）求抛物线的解析式； （2）若，求抛物线向左平移多少个单位时，与直线只有一个公共点？ （3）是轴上的一个动点，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由？ 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）设的横坐标分别为，则，进而求得，设平移后的解析式为，与直线只有一个交点，联立方程，令，求得，即可求解； （3）根据题意，求得，，则，设，，当为对角线，则，当为边时，则，解方程，即可求解，． 【小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：， 消去，得， 设的横坐标分别为，则， ∵， ∴， 解得： ∴直线， ∵， 依题意，设平移后的解析式为，与直线只有一个交点， 则方程有两个相等的实数根， 即， ∴， 解得：， ∴抛物线向左平移2个单位时，与直线只有一个公共点； 【小问3详解】 解：依题意， 解得：或 ∴，，则 设， 当为对角线时， ∴，即 解得：或 则或， 当为边时，，即 解得：或 则或， 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，平行四边形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第一学期10月份适应性练习 数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是反比例函数，则m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 4. 下列抛物线中，顶点为，且与抛物线的开口方向相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程﹣x（x+1）＝0的解是（　　） A. x＝﹣1 B. x1＝﹣1，x2＝0 C. x＝0 D. x1＝1，x2＝0 6. 已知a和b是方程的两个解，则的值为（　　） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 7. 如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的对称轴是直线 C. D. 9. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 10. 已知多项式，其中为实数： ①若，则 ②有最大值，最大值为3； ③无论取任何实数，恒成立； 以上结论正确的个数有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 小华在解方程x2 = 3x时，只得出一个根x = 3，则被他漏掉的一个根是x =_______ 12. 如图，在正方形中，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的度数为______． 13. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 14. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是______．（请用“<”号连接） 15. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 16. 如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 三、解答题（本题共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，0），B（0，﹣3）．求二次函数的解析式和顶点坐标． 19. 已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； （2）求当，且时，自变量的取值范围． 20. 已知关于的方程． （1）取什么值时，方程有两个实数根． （2）如果方程有两个实数根，，且，求的值． 21. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中， （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现： ①关于x的方程实数根为 ； ②关于x的方程有个实数根时，的取值范围是 ． 22. 已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，）满足一次函数关系，部分数据如表： x/（元/件） 13 14 15 16 y/件 1100 1000 900 800 （1）求y与x之间的函数关系式． （2）当线下售价x为多少时，线下月销售利润最大，最大是多少？ （3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，）之间的函数关系式． 23. 如图，是直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，得到（点B与点D是对应点，点C与点E是对应点），设． （1）画出； （2）连接，用含a、b的式子表示的面积为___________（直接写出化简后的答案）； （3）若，的面积为，求的面积． 24. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 25. 如图，已知，抛物线交x轴于，两点，过点的直线交抛物线于，两点， （1）求抛物线的解析式； （2）若，求抛物线向左平移多少个单位时，与直线只有一个公共点？ （3）是轴上的一个动点，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $