重难强化三 动态平衡和临界极值问题 讲义- 2027届高三物理一轮复习

重难强化三 动态平衡和临界极值问题 【基础回顾】 1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 2．做题流程：先确定研究对象并进行受力分析；判断哪些力恒定、哪些力的方向在变化；根据平衡条件选择合适的分析方法（图解法、解析法、相似三角形法等）；必要时结合数学方法求极值。 3．解决极值和临界问题的三种方法： 极限分析法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学分析法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值） 图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 题型一 动态平衡问题 1．"一力恒定，另一力方向不变"的动态平衡问题 一个力（）恒定，另一个力（）方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。若 与 不垂直，当 时， 有最小值，即 ，如图乙。 2．"一力恒定，另两力方向均变化"的动态平衡问题 一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与 几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本关系式：。 3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆法：恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 4．动态平衡问题的经典模型——晾衣架模型 问题特点：如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆 、 上的 、 两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。 (1)因为挂钩是光滑的，是"活结"，所以 。 (2) 。 证明：以结点 为研究对象，因为衣服处于静止状态，所以 、 在水平方向的合力为零，即 ，又因为 ，所以 。 (3)设两端点 、 的水平距离为 ，绳长为 ，则 。 证明：由几何知识可知 与 全等，所以 ， 即为绳长，故 。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）如图所示，挡板M、N可绕同一转轴O转动，挡板N竖直，两挡板夹角60°，中间静止一球，质量为m。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．初始时，挡板M对球的作用力大小为mg B．保持挡板N不动，顺时针缓慢转动M至水平，两板对球的弹力均逐渐增大 C．保持挡板M不动，逆时针缓慢转动N至水平，M对球的弹力一直减小，N对球的弹力先减小后增大 D．保持两挡板夹角60°不变，逆时针缓慢旋转到N水平的过程中，两木板对球的弹力均逐渐减小 【例2】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）（多选）如图所示是工人把货物运送到房屋顶端的场景简化图，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，关于此过程，下列说法正确的是（     ） A．货物对玻璃棚的压力变小 B．货物对玻璃棚的压力不变 C．绳子的拉力先减小后增大 D．绳子的拉力变大 【变式训练1】（2026·陕西商洛·一模）《墨经》中记载可以通过车梯（一种前低后高的斜面车）提升重物。如图所示，轻绳一端固定，另一端系在光滑小球上，向右推动车梯，小球沿斜面缓慢上升至轻绳与斜面平行。则此过程中轻绳中的张力大小（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先减小后增大 D．保持不变 【变式训练2】（2026·陕西西安·一模）如图所示，长为的不可伸长的轻绳，穿过一光滑的轻圆环，两端固定在水平天花板上相距为的、两点，轻圆环下悬吊一重为的物块。现用一水平力缓慢地拉圆环，当时，细绳的张力等于（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）（多选）如图所示，两轻绳OA、OB一端系于结点O，另一端分别系于竖直放置的圆环上，OA水平，与OB夹角α=120°。在O点悬挂一物体M，下列关于OA、OB绳拉力的大小F1、F2的分析中，说法正确的是（     ） A．若圆环和绳OB固定不动，绳OA顺时针缓慢转动60°的过程中，F1先减小后增大 B．若圆环和绳OA固定不动，绳OB逆时针缓慢转动30°的过程中，F2先减小后增大 C．若A、B端固定在圆环上，圆环绕圆心O顺时针缓慢转过60°的过程中，F1逐渐增大，F2逐渐减小 D．若A、B端固定在圆环上，圆环绕圆心O逆时针缓慢旋转30°过程中，F2逐渐变大 题型二 平衡中的临界、极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态"恰好出现"或"恰好不出现"，在问题的描述中常用"刚好""恰能""恰好"等。临界问题常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子恰好伸直，拉力 。 （3）刚好离开接触面，支持力 。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3．解题方法 （1）极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端（极大或极小），从而找出平衡的临界点和极值点。 （2）数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。 （3）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【例题精讲】 【例1】（2026·贵州毕节·模拟预测）一根细线系着一个质量为m的小球，细线上端固定在横梁上。给小球施加力F，小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为，如图所示。现改变F，使小球在图中位置保持静止。重力加速度为g，则（     ） A．F的最小值为0.5mg B．F的方向可以沿竖直向下 C．F的方向由水平向右开始沿逆时针方向缓慢改变时，F逐渐增大 D．F的方向由水平向右开始沿逆时针方向缓慢改变时，细绳的拉力逐渐增大 【例2】（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）（多选）如图甲所示，质量为的木箱与地面间的动摩擦因数恒为，拉力与水平面间的夹角为，在从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度不变且未离开地面。若把支持力与滑动摩擦力看成一个力，设与水平面间的夹角为，重力加速度为，则四力平衡可以等效为三力平衡，矢量三角形如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．随的增大而减小 C．拉力与重力的合力与水平面间的夹角为，且保持不变 D．拉力的最小值为 【变式训练1】（25-26高三上·新疆克拉玛依·期末）如图，一个重为的大砝码，用细线悬挂在点，现在用力拉砝码，使悬线偏离竖直方向时处于静止状态，此时所用拉力的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）（多选）举重是力量与技巧相结合的比赛，当运动员举起杠铃时必须使杠铃平衡一定时间才能被裁判视为举重成功，则在运动员举重成功的情况下，下列说法正确的是（　　） A．运动员两手间的距离等于肩宽时用力最小 B．用力大小与运动员两手间的距离无关 C．从两手间的距离等于肩宽时开始，运动员两手间的距离越大，用力越小 D．从两手间的距离等于肩宽时开始，运动员两手间的距离越大，用力越大 【变式训练3】（2026·四川宜宾·二模）（多选）如图，三个材质相同且半径均为R、质量均为m的半球，彼此接触但无挤压置于粗糙的水平面上；一个半径为R、质量为3m的光滑球，放在三个半球之上，整个系统处于静止状态。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则（　　） A．地面对每个半球的支持力大小为mg B．每个半球与光滑球之间的弹力大小为 C．半球与地面间的动摩擦因数最小值为 D．换一个质量仍为3m，半径略大于R的光滑球，则每个半球与地面摩擦力不变 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难强化三 动态平衡和临界极值问题 【基础回顾】 1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 2．做题流程：先确定研究对象并进行受力分析；判断哪些力恒定、哪些力的方向在变化；根据平衡条件选择合适的分析方法（图解法、解析法、相似三角形法等）；必要时结合数学方法求极值。 3．解决极值和临界问题的三种方法： 极限分析法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学分析法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值） 图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 题型一 动态平衡问题 1．"一力恒定，另一力方向不变"的动态平衡问题 一个力（）恒定，另一个力（）方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。若 与 不垂直，当 时， 有最小值，即 ，如图乙。 2．"一力恒定，另两力方向均变化"的动态平衡问题 一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与 几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本关系式：。 3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆法：恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 4．动态平衡问题的经典模型——晾衣架模型 问题特点：如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆 、 上的 、 两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。 (1)因为挂钩是光滑的，是"活结"，所以 。 (2) 。 证明：以结点 为研究对象，因为衣服处于静止状态，所以 、 在水平方向的合力为零，即 ，又因为 ，所以 。 (3)设两端点 、 的水平距离为 ，绳长为 ，则 。 证明：由几何知识可知 与 全等，所以 ， 即为绳长，故 。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）如图所示，挡板M、N可绕同一转轴O转动，挡板N竖直，两挡板夹角60°，中间静止一球，质量为m。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．初始时，挡板M对球的作用力大小为mg B．保持挡板N不动，顺时针缓慢转动M至水平，两板对球的弹力均逐渐增大 C．保持挡板M不动，逆时针缓慢转动N至水平，M对球的弹力一直减小，N对球的弹力先减小后增大 D．保持两挡板夹角60°不变，逆时针缓慢旋转到N水平的过程中，两木板对球的弹力均逐渐减小 【答案】C 【详解】A．初始时，对球受力分析可知，竖直方向 可得挡板M对球的作用力大小为，A错误； B．由图可知，保持挡板N不动，顺时针缓慢转动M至水平，θ角从60°增加到90°，可知两板对球的弹力均逐渐减小，B错误； C．由图可知，保持挡板M不动，逆时针缓慢转动N至水平，M对球的弹力一直减小，N对球的弹力先减小后增大，C正确； D．由图可知，保持两挡板夹角60°不变，逆时针缓慢旋转至N水平的过程中，N板对球的弹力先增加后减小，M板对球的弹力逐渐减小，D错误。 故选C。 【例2】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）（多选）如图所示是工人把货物运送到房屋顶端的场景简化图，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，关于此过程，下列说法正确的是（     ） A．货物对玻璃棚的压力变小 B．货物对玻璃棚的压力不变 C．绳子的拉力先减小后增大 D．绳子的拉力变大 【答案】AD 【详解】AB．以货物A为研究对象，货物缓慢向上移动，处于动态平衡状态，合力为零，设绳子和玻璃棚的夹角为，对A进行受力分析，在沿斜面方向有，垂直斜面方向有 则有绳子的拉力 根据牛顿第三定律又有货物对玻璃棚的压力 随着货物沿斜面缓慢向上移动，绳子与玻璃棚的夹角增大，的值增大，则货物对玻璃棚的压力变小，故A正确，B错误； CD．由AB选项，绳子的拉力 随着货物沿斜面缓慢向上移动，绳子与玻璃棚的夹角增大，的值减小，则绳子的拉力变大，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练1】（2026·陕西商洛·一模）《墨经》中记载可以通过车梯（一种前低后高的斜面车）提升重物。如图所示，轻绳一端固定，另一端系在光滑小球上，向右推动车梯，小球沿斜面缓慢上升至轻绳与斜面平行。则此过程中轻绳中的张力大小（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先减小后增大 D．保持不变 【答案】B 【详解】小球缓慢上升处于动态平衡状态，全程合力为0，小球共受三个力，竖直向下的重力，大小方向均恒定，斜面的支持力，方向始终垂直斜面向上，轻绳的张力。 将三个力构建矢量三角形，如图所示。 随着车梯右移，轻绳逐渐向斜面方向转动，张力的方向不断向平行于斜面的方向靠拢，这个过程中支持力持续增大，轻绳的张力逐渐减小。 故选B。 【变式训练2】（2026·陕西西安·一模）如图所示，长为的不可伸长的轻绳，穿过一光滑的轻圆环，两端固定在水平天花板上相距为的、两点，轻圆环下悬吊一重为的物块。现用一水平力缓慢地拉圆环，当时，细绳的张力等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，圆环所受重物的拉力及水平拉力的合力大小 合力与水平方向的夹角，圆环平衡时的状态如图所示 、两点沿垂直方向的距离 设绳子张力为，轻绳与合力方向的夹角为，由图可知，则 联立解得 对圆环受力分析可知，细绳的张力满足 解得 故选B。 【变式训练3】（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）（多选）如图所示，两轻绳OA、OB一端系于结点O，另一端分别系于竖直放置的圆环上，OA水平，与OB夹角α=120°。在O点悬挂一物体M，下列关于OA、OB绳拉力的大小F1、F2的分析中，说法正确的是（     ） A．若圆环和绳OB固定不动，绳OA顺时针缓慢转动60°的过程中，F1先减小后增大 B．若圆环和绳OA固定不动，绳OB逆时针缓慢转动30°的过程中，F2先减小后增大 C．若A、B端固定在圆环上，圆环绕圆心O顺时针缓慢转过60°的过程中，F1逐渐增大，F2逐渐减小 D．若A、B端固定在圆环上，圆环绕圆心O逆时针缓慢旋转30°过程中，F2逐渐变大 【答案】AC 【详解】A．OB固定不动，即方向不变。初始OA水平，OA顺时针转60°的过程中，的方向从水平向左逐渐转向斜向左上，由图可知，逐渐减小直至与垂直时最小，然后又逐渐增大，故先减小后增大，故A正确。 B．OA固定水平，初始OB与竖直方向夹角为30°斜向右上。OB逆时针转30°的过程中，OB仅从与竖直方向成30°转到与竖直向上，如图所示，一直减小，故B错误。 C．圆环绕圆心O顺时针转60°的过程中，两绳夹角始终保持120°不变，即，由几何关系得 圆环绕圆心O顺时针缓慢转过60°的过程中不变，从增大，从减小，故逐渐增大、逐渐减小，故C正确。 D．圆环绕圆心O逆时针缓慢旋转30°过程中，同理，据Ｃ该过程中不变，从减小，从增大，故减小，故D错误。 故选AC。 题型二 平衡中的临界、极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态"恰好出现"或"恰好不出现"，在问题的描述中常用"刚好""恰能""恰好"等。临界问题常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子恰好伸直，拉力 。 （3）刚好离开接触面，支持力 。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3．解题方法 （1）极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端（极大或极小），从而找出平衡的临界点和极值点。 （2）数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。 （3）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【例题精讲】 【例1】（2026·贵州毕节·模拟预测）一根细线系着一个质量为m的小球，细线上端固定在横梁上。给小球施加力F，小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为，如图所示。现改变F，使小球在图中位置保持静止。重力加速度为g，则（     ） A．F的最小值为0.5mg B．F的方向可以沿竖直向下 C．F的方向由水平向右开始沿逆时针方向缓慢改变时，F逐渐增大 D．F的方向由水平向右开始沿逆时针方向缓慢改变时，细绳的拉力逐渐增大 【答案】A 【详解】小球处于静止状态，受重力、细绳拉力（斜向左上方，与竖直方向夹角为）和外力三个力作用，构成闭合矢量三角形。 A．当外力的方向与细绳垂直时，取最小值。 由几何关系可知，此时与细绳垂直，与竖直方向夹角为，斜向右上方，如图所示 因此，故A正确； B．若方向沿竖直向下，则三个力（重力、拉力、）在水平方向无法平衡，因为细绳拉力有水平向左的分量，没有水平向右的力与之平衡，故B错误； CD．初始状态水平向右。将的方向由水平向右开始沿逆时针方向逐渐向上偏转，与细绳的夹角从逐渐减小，作出对应的动态力三角形，如图所示 因此，开始逆时针转动时，将逐渐减小，当与细绳垂直时，达到最小值，若继续逆时针转动，将再次增大；在逆时针转动的过程中，由图可知逐渐减小，故C、D错误。 故选A。 【例2】（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）（多选）如图甲所示，质量为的木箱与地面间的动摩擦因数恒为，拉力与水平面间的夹角为，在从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度不变且未离开地面。若把支持力与滑动摩擦力看成一个力，设与水平面间的夹角为，重力加速度为，则四力平衡可以等效为三力平衡，矢量三角形如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．随的增大而减小 C．拉力与重力的合力与水平面间的夹角为，且保持不变 D．拉力的最小值为 【答案】BC 【详解】A．滑动摩擦力，其中为地面的支持力，因此等效合力（支持力与滑动摩擦力的合力）满足。 由于动摩擦因数是定值，因此是不随变化的常量，故A错误； B．从乙图可看出，随的增大而减小，B正确； C．拉力与重力的合力与等大反向。与水平方向夹角恒为，所以拉力与重力的合力与水平面间的夹角为，且保持不变，故C正确； D．三力平衡（重力为竖直恒力、方向固定与水平面成角、拉力方向随变化）的矢量三角形中，当拉力的方向与固定方向的垂直时，取得最小值，由几何关系可得最小值为，故D错误。 故选 BC。 【变式训练1】（25-26高三上·新疆克拉玛依·期末）如图，一个重为的大砝码，用细线悬挂在点，现在用力拉砝码，使悬线偏离竖直方向时处于静止状态，此时所用拉力的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以大砝码为研究对象，作出力的矢量三角形，如图所示 根据图解法可知，当拉力与细线垂直时最小。根据平衡条件，得的最小值为 当拉力水平向右时，拉力 则所用拉力的值不可能为A。 故选A。 【变式训练2】（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）（多选）举重是力量与技巧相结合的比赛，当运动员举起杠铃时必须使杠铃平衡一定时间才能被裁判视为举重成功，则在运动员举重成功的情况下，下列说法正确的是（　　） A．运动员两手间的距离等于肩宽时用力最小 B．用力大小与运动员两手间的距离无关 C．从两手间的距离等于肩宽时开始，运动员两手间的距离越大，用力越小 D．从两手间的距离等于肩宽时开始，运动员两手间的距离越大，用力越大 【答案】AD 【详解】设两臂拉力大小均为，杠铃的重力为，两臂的夹角为，根据竖直方向受力平衡可得： 得 AB．两手间距等于肩宽时两臂夹角为零，用力最小，故A正确； CD．此后两手间距越大，两臂的夹角越大，增大时减小，拉力就会随之增大，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练3】（2026·四川宜宾·二模）（多选）如图，三个材质相同且半径均为R、质量均为m的半球，彼此接触但无挤压置于粗糙的水平面上；一个半径为R、质量为3m的光滑球，放在三个半球之上，整个系统处于静止状态。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则（　　） A．地面对每个半球的支持力大小为mg B．每个半球与光滑球之间的弹力大小为 C．半球与地面间的动摩擦因数最小值为 D．换一个质量仍为3m，半径略大于R的光滑球，则每个半球与地面摩擦力不变 【答案】BC 【详解】A．根据对称性可知，地面对每个半球的支持力大小相等，以三个半球和光滑球为整体，竖直方向根据平衡条件可得 解得，故A错误； B．根据几何关系可知，四个球心组成一个边长为的正四面体，设每个半球与光滑球之间的弹力与竖直方向的夹角为，则有 以光滑球为对象，根据平衡条件可得 解得每个半球与光滑球之间的弹力大小为，故B正确； C．以其中一个半球为对象，水平方向有 由，可得 可知半球与地面间的动摩擦因数最小值为，故C正确； D．换一个质量仍为3m，半径略大于R的光滑球，可知以上分析中只有发生变化，由 可知每个半球与地面摩擦力发生变化，故D错误。 故选BC。 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $