重难突破2 动态平衡 平衡中的临界与极值问题-【优学精研】2027年高考物理一轮总复习教用Word（提升版）

该高中物理讲义聚焦动态平衡、平衡中的临界与极值问题两大高考核心考点，按“方法分类—逻辑递进”架构整合解析法、图解法等解题策略，通过考点梳理、方法指导、真题讲解（含2025-2026年模拟题）等环节，帮助学生构建系统解题框架，突破力学平衡难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如用矢量三角形法动态分析力的变化，结合全反力等创新方法解决临界极值问题。设置基础例题到综合练习题的分层训练，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难突破2　动态平衡　平衡中的临界与极值问题 1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。 突破点一　动态平衡问题 　　 　〔人教版必修第一册P81·T5改编〕如图，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平，细线与竖直方向夹角为θ，与F的夹角为α。 （1）保持F水平，缓慢增大θ角，分析外力F和细线拉力FT如何变化？ （2）保持小球位置及θ角不变，逆时针缓慢转动外力F直至竖直状态，分析外力F如何变化？ （3）保持α角不变，缓慢增大θ角，直至细线水平，分析外力F如何变化？ 提示：（1）保持F水平，由平衡条件得FT＝，F＝Gtan θ，缓慢增大θ角，则cos θ逐渐减小，tan θ逐渐增大，则FT、F都逐渐增大。 （2）对小球受力分析，小球受重力G、外力F和细线拉力FT作用，作出矢量图，如图甲所示 保持小球位置及θ角不变，逆时针缓慢转动外力F直至竖直状态，由图甲可知，外力F先减小后增大。 （3）保持α角不变，增大θ角，直至细线水平，细线和F的方向都逆时针转动，如图乙所示，由图乙可知，细线的拉力FT水平时，外力F最大，则外力F逐渐增大。 三力动态平衡问题的分析方法 1.解决动态平衡问题的方法 矢量三角形法： 一个力（F1）恒定，另一个力（F2）方向不变，第三个力（F3）大小、方向均变化。F3方向的变化引起F2、F3大小变化 若F1与F2不垂直，F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sin θ 相似三角形法： 一力恒定，另两力方向均变化，力的矢量三角形与边长已知的三角形相似，对应边成比例关系 ＝＝ 辅助圆法（或正弦定理法）： 一力恒定，另外两力方向均变化，但两力夹角保持不变，可做出动态图，其中恒力为圆的一条弦，其他两力大小随位置变化 正弦定理＝＝ 2.分析动态平衡问题的流程 受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形 〔多选〕（2025·江西九江三模）图甲是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景，简化图如图乙所示。一名工人在高处控制绳子P，另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳，空调外机M缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角β保持不变，绳子质量忽略不计，则（　　） A.绳子P上的拉力不断变大 B.绳子Q上的拉力先变小后变大 C.地面工人所受的支持力不断变小 D.地面工人所受的摩擦力先变大后变小 答案：AC 解析：对空调外机进行受力分析如图甲所示，空调外机分别受到绳P、Q的拉力F1、F2和自身的重力mg的作用而平衡， 将这三个力构成矢量三角形如图乙所示，由图乙可知，地面上的工人在缓慢后退并缓慢放绳的过程中，β不变，α逐渐增大，F1、F2均增大，故A正确，B错误；对地面上工人进行受力分析如图丙所示， 该工人受到重力G、地面的支持力FN、绳Q的拉力F2'以及地面的摩擦力Ff四个力的作用处于平衡状态，竖直方向，根据平衡条件得FN＋F2'cos β＝G，水平方向，根据平衡条件得Ff＝F2'sin β，其中β不变，绳子Q的拉力F2'增大，所以该工人受到的支持力FN减小，摩擦力Ff增大，故C正确，D错误。 （2025·山东聊城二模）如图甲所示，警用钢叉是一种常用的防暴器械，其前端为半圆形的叉头，后端为握柄。如图乙所示，现将钢叉竖直放置，半圆环的圆心为O，小球a套在半圆环上，小球b套在竖直杆上，两者之间用一轻弹簧连接。初始时小球b在外力作用下静止在竖直杆上，此时小球a静止在离半圆环最低点较近处。现使小球b缓慢上移少许，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中弹簧始终在弹性限度内，则半圆环对小球a的弹力（　　） A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 答案：A 解析：对a球受力分析，如图所示，由几何关系可知，力的矢量三角形与△aOb相似，则有＝，在小球b缓慢上移过程中，Ob逐渐减小，Oa保持不变，则半圆环对小球a的弹力一直增大。故选A。 （2026·重庆沙坪坝期中）某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A.右手对铅球的弹力增加 B.右手对铅球的弹力先增加后减小 C.左手对铅球的弹力增加 D.左手对铅球的弹力先增加后减小 答案：B 解析：方法一（辅助圆法）：以铅球为研究对象，其受重力G、右手对铅球的弹力F1和左手对铅球的弹力F2，受力分析如图甲所示，缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态，作出辅助圆，在右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中，力的三角形变化如图甲所示，则F1先增大后减小，F2一直减小，故B正确。 方法二（正弦定理法）：以铅球为研究对象，受力分析如图乙所示，缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态，将三力平移后构成一首尾相连的三角形，两手之间夹角保持60°不变，右手由图示位置缓慢旋转的角度设为θ，根据正弦定理有＝＝，右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中，θ由0°变为60°，sin（60°＋θ）先变大再变小，则F1先增大后减小，sin（60°－θ）一直变小，则F2一直减小，故B正确。 突破点二　平衡中的临界、极值问题 　　 1.临界、极值问题特征 （1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 常见的临界状态有： ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 （2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 2.解决临界和极值问题的三种方法 物理 分析法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 数学 分析法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值） 极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 （2026·江西景德镇期中）单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。将其简化成如图乙所示，手指与球心在同一竖直面内，手指接触点1、2的连线水平且相距为L，截面半径为R＝3 cm，两接触点与圆心的连线与水平方向的夹角均为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ＝0.75，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，能保持球始终静止，则L不能小于（　　） A.3.6 cm B.4 cm C.4.8 cm D.5.4 cm 答案：C 解析：对球两接触点受力分析如图所示，设球质量为m，球保持静止，则有Nsin θ＋mg＜μNcos θ，即Nsin θ＜μNcos θ，可得μ＞tan θ，由图可知cos θ＝，联立可得μ＞，解得L＞4.8 cm，故选C。 （2026·四川泸州期中）如图所示，质量M＝2 kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量m＝ kg的小球B相连。今用与水平方向成α＝30°角的力F＝10 N，拉着小球带动木块一起向右匀速运动，运动中A、B相对位置保持不变，g取10 m/s2求： （1）木块与水平杆间的弹力； （2）运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ； （3）当α的正切函数值为多大时，使小球和木块一起向右匀速运动的拉力最小？ 答案：（1）25 N　（2）30°　（3） 解析：（1）对A、B组成的整体进行分析，根据平衡条件 FN＋Fsin 30°＝（M＋m）g 解得FN＝25 N。 （2）对B进行受力分析 设轻绳对B的拉力为T，由平衡条件可得 Fcos 30°＝Tcos θ Fsin 30°＋Tsin θ＝mg 解得T＝10 N， tan θ＝ 即θ＝30°。 （3）方法一（三角函数法）：对A进行受力分析，由平衡条件有T'sin θ＋Mg＝FN，T'cos θ＝μFN 又T'＝T 解得μ＝ 对A、B组成的整体进行受力分析，由平衡条件有 Fsin α＋FN＝（M＋m）g Fcos α＝μFN 解得F＝ 令sin β＝，cos β＝，即tan β＝ 则F＝＝ 显然，当α＋β＝90°时，F有最小值，则 tan α＝μ＝。 方法二（“摩擦角”法）：对A、B组成的整体，受力分析如图所示 设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为θ，则tan θ＝＝μ，再设FN与Ff的合力为F'。 如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值，即tan α＝tan θ＝μ＝。 全反力和摩擦角巧解四力平衡 1.全反力：接触面对物体的摩擦力Ff与支持力FN的合力，用FR表示。 2.摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称为摩擦角，用φ表示。如果近似认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则有tan φ＝＝μ。根据静摩擦力Ff≤μFN，可以确定FR的范围。 适用情境：物体受四个力平衡，其中一个力为弹力，一个力为滑动摩擦力，将支持力与摩擦力合成为全反力，化四为三。本方法常常应用到求解除弹力、摩擦力和重力外的第四个力的大小、方向，有时也会应用到对动摩擦因数的求解。 （2026·河北邯郸模拟预测）我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为15°，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（　　） A.mg B.mg C.mg D.mg 解析：A　对矿石受力分析如图，将FN与Ff合成，设其合力方向与FN成α夹角，易知tan α＝＝，得α＝30°，分别作出FN、FN与Ff合力的反向延长线，可知重力与FN的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即β＝15°，由几何关系得，过重力的下端点作FN与Ff合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，Tmin＝mgsin（α＋β），得Tmin＝mg。故选A。 　　 1.（2025·陕西渭南三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为O。一只小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知OQ与OP的夹角为θ＝45°，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A.大理石半球对小蚂蚁的作用力变大 B.大理石半球对小蚂蚁的支持力变小 C.地面对大理石半球的摩擦力始终为零 D.地面对大理石半球的支持力变小 解析：C　对小蚂蚁受力分析如图所示，可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持不变，A错误；蚂蚁受到的支持力为FN＝mgcos θ，由于θ逐渐变小，则FN变大，B错误；选取整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，即地面对大理石半球的支持力保持不变，摩擦力为零，故C正确，D错误。 2.（2026·陕西汉中期末）如图甲所示，趣味运动会上有一种“背夹球”游戏，A、B两个运动员背夹篮球完成各种动作，其过程可以简化为图乙。假设两运动员背部给篮球的压力均在同一竖直面内，不计摩擦，现保持A运动员背部竖直，B运动员背部倾斜且其与竖直方向的夹角α缓慢增大，而篮球保持静止，在此过程中下列说法正确的是（　　） A.A运动员对篮球的压力大于篮球对A的压力 B.A、B运动员对篮球的合力减小 C.A运动员对篮球的压力增大 D.B运动员对篮球的压力减小 解析：D　A对篮球的压力和篮球对A的压力是作用力与反作用力的关系，大小相等，故A错误；根据平衡条件可得，A、B对篮球的合力大小不变，始终等于篮球的重力，故B错误；作出篮球受力的矢量三角形，如图 可知在α角增大的过程中，A、B对篮球的压力均减小，故C错误，D正确。 3.★（2026·河北廊坊期末）如图甲所示是某中学科技馆外部照片，该建筑外形呈球形，表面可视为光滑球面。该球面对应的圆心为O、半径R＝3 m。现要在其顶部安装一质量为1 kg的球形光滑零件（可视为质点）。如图乙所示，工作人员用一轻质细绳一端系住零件，另一端连在吊装机的小滑轮上，吊装机的左端小滑轮始终在球心O正上方5 m处。现转动滑轮收缩轻绳使零件从图示位置的A点缓慢移动到球形建筑物顶端的B点，整个过程零件始终没有脱离球面。A点到小滑轮的距离为4 m，重力加速度大小为g＝10 m/s2，则下列说法正确的是（　　） A.零件静止在A点时，圆形球面对零件的支持力大小FN＝5 N B.零件静止在A点时，绳对零件的拉力大小FT＝10 N C.缓慢地收缩轻绳使零件由A移动到B，该过程中零件所受支持力大小先变小后变大 D.缓慢地收缩轻绳使零件由A移动到B，该过程中绳子拉力逐渐变小 解析：D　对零件受力分析，如图所示 由平衡条件作图可知力的矢量三角形与几何三角形AOO'相似，则有＝＝，解得FN＝6 N，FT＝8 N，故A、B错误；缓慢地收缩轻绳使零件由A运动到B，其中mg、h、R均不变，L逐渐减小，根据FN＝，FT＝可知，FN不变，FT变小，故C错误，D正确。 4.（2026·山东滨州期末）如图甲，铲车是施工生产中不可缺少的工具。某次铲车装载一个球形石块的过程可以简化为图乙。铲斗A板与B板内壁均视为光滑，顶角∠AOB为锐角。在装载的过程中，铲斗缓慢逆时针旋转，使∠AOB的角平分线竖直。下列说法正确的是（　　） A.A板受到的压力一直增加，B板受到的压力先增加后减小 B.A板受到的压力一直增加，B板受到的压力一直增加 C.A板受到的压力先增加后减小，B板受到的压力一直增加 D.A板受到的压力先增加后减小，B板受到的压力一直减小 解析：A　对球形石块受力分析如图甲所示，将力F1、F2、mg矢量平移到三角形中，在铲斗逆时针转动的过程中mg和mg的对角θ恒定，所以力F1和F2的交点在圆上移动，矢量图如图乙所示， 由图乙可知在铲斗逆时针缓慢转到竖直的过程中力F1逐渐增加，力F2先增大后减小。故选A。 5.（2026·山东淄博期末）图甲为通过传送带输送小麦的示意图，麦粒离开传送带后可视为竖直下落，形成的麦堆为圆锥状，如图乙所示。麦粒间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，单个麦粒的体积、形状均近似相同，不考虑麦粒的滚动。已知麦堆的总体积为V0，圆锥体的体积公式为V＝πr2h（其中r为圆锥体底面圆半径，h为圆锥体的高度），则麦堆高度的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　麦粒堆积时，以麦堆侧面一粒麦粒为研究对象，当mgsin α＜μmgcos α时，麦粒能够保持静止，麦堆逐渐堆积增高；当mgsin α＝μmgcos α时，麦堆的斜面倾角不再增大，由此可知μ＝tan α，因tan α＝，得r＝，可知V0＝πr2h＝πh，得h＝，故选B。 6.〔多选〕（2026·安徽合肥期末）如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成30°。已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A.水平拉力的大小可能保持不变 B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 解析：BD　对N受力分析可知N受到自身重力mNg、水平向左的拉力F和绳子拉力T而平衡，如图所示，从图中可以看出水平拉力F的大小逐渐增大，细绳的拉力T也一直增大，故A错误，B正确；由于M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsin θ，对M有T＝mMgsin θ＋f，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大；若mNg＜mMgsin θ，对M有T＝mMgsin θ－f，则M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后反向增大，故C错误，D正确。 7.（2026·重庆渝中期末）如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点可施加外力F，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A.AC绳的拉力为mg B.CD绳的拉力为mg C.外力F的最小值为mg D.外力F的最小值为mg 解析：D　令AC绳与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系有sin θ＝＝，解得θ＝30°，对C点与重物进行受力分析，如图甲所示，根据平衡条件有TACcos θ＝mg，TACsin θ＝TCD，解得TAC＝mg，TCD＝mg，故A、B错误；对D点进行受力分析，作出矢量动态三角形如图乙所示，可知，当外力F方向与绳BD垂直时，外力F最小，则有Fmin＝TCDcos θ＝mg，故C错误，D正确。 8.（2026·重庆期末）在工地上，经常用如图甲所示的推车搬运水泥，为保证水泥不滑落，推车的支架与底板会设计成钝角，且为120°，其侧视图如图乙所示。工人现将一袋质量为50 kg的水泥横放在推车底板上，水泥袋和支架接触；工人用双手缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为45°。不计这袋水泥与支架及底板间的摩擦，并把这袋水泥简化为圆柱体，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是（　　） A.当底板与水平面间的夹角为30°时，底板对这袋水泥的支持力为500 N B.当底板与水平面间的夹角为30°时，支架对这袋水泥的支持力为250 N C.缓慢压下把手的过程中，支架对这袋水泥的支持力一直增大 D.缓慢压下把手的过程中，底板对这袋水泥的支持力一直增大 解析：C　当底板与水平面夹角为30°时，底板、支架对水泥作用力大小相等，根据平衡条件有2Ncos 30°＝mg，可知底板、支架对水泥作用力大小均为N＝ N，故A、B错误；当缓慢压下把手时，作出动态变化图，如图所示，由图可知支架对水泥的支持力增大，底板对水泥的支持力减小，故C正确，D错误。 9.〔多选〕（2026·黑龙江哈尔滨期中）如图所示，甲、乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的可能值为（　　） A.0.6 B.0.8 C.0.9 D.0.95 解析：CD　分析可知，当摩擦力最大时半圆柱乙刚好不动，此时对应的动摩擦因数μ最小，且刚好达到最大静摩擦力，设甲、乙质量均为m，地面对乙的支持力、摩擦力分别为FN、f，挡板对甲的力为F板，整体分析可知FN＝2mg，f＝F板，设O1O2连线与水平方向夹角为θ，对甲，由平衡条件得F板＝，可得f＝，可知θ越小，f越大，几何关系可知，θ最小为30°，又f＝μFN，联立解得动摩擦因数的最小值μ＝，故选C、D。 10.（2026·北京西城期末）如图甲所示为很多商业步行街用来阻挡机动车辆进入的石墩路障。现有一工作人员用一轻绳绕过石墩按图乙所示方式匀速拉动质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（　　） A.轻绳的合拉力大小为 B.轻绳的合拉力大小为 C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小 D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 解析：B　设轻绳的合拉力为FT，地面对石墩的支持力为FN，对石墩受力分析，由平衡条件可知FTcos θ＝Ff，Ff＝μFN，FTsin θ＋FN＝mg，联立解得FT＝，A错误，B正确；轻绳的合拉力大小为FT＝＝，可知当θ＋φ＝90°时，轻绳的合拉力有最小值，则减小夹角θ，轻绳的合拉力不一定减小，C错误；摩擦力大小为Ff＝FTcos θ＝＝，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D错误。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $