20.2 二次根式的运算（第3课时）课件2026-2027学年沪教版五四制数学八年级上册

第20章 二次根式 20.2 二次根式的运算 （第3课时）分母有理化 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 学习目标 学习目标：把根号从分母中化去 理解概念 理解分母有理化和有理化因式的含义，明确非零前提。 掌握方法 会处理单项根式分母、两项式分母，并选择较简便的解法。 联系实际 根据面积关系求边长，检查字母条件与结果是否合理。 复习引入 观察　分母中的根号怎样化去？ 观察：。 分母中的是怎样化为的？ 答：分子、分母同乘非零的，分母成为。 解 分母。 分子也乘，因此分式的值不变。 方法：利用分式的基本性质。 注意：不能只把分母乘以一个式子。 知识讲授 分母有理化 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化． 目标是分母不再含根号。 分子仍可以含根号，如。 变形前后应保持原式的值不变。 知识讲授 分母有理化的基本方法 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号． 依据：分式的基本性质。 所乘的代数式必须非零。 有理化后还要化简根式、约分。 知识讲授 单项根式分母：让根式成为平方 先观察 （），可以消去分母中的根号。 再同乘 （）。分子、分母必须同乘。 最后整理 若分母中的根式可化简，先化简、约分，再决定所乘的式子。 例题讲解 例 6 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 写成。 同乘，得。 解第（2）题 （） 根式作除数，要求。 。 方法：先化简分母，再有理化。 注意：分母的系数不能漏掉。 方法：先检查条件，再约分。 注意：时原除法无意义。 例题讲解 例 6 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 化简、约分得。 同乘，得。 方法：根式先化简，计算更简便。 注意：最后检查还能否约分。 方法总结 单项根式分母：先整理，再同乘 先把分母看清楚 （1）把除法写成分式。 （2）化简根式，能约分的先约分。 再让分母成为平方 （1）分子、分母同乘适当的非零根式。 （2）计算平方并整理到最简。 （3）检查原式条件有没有保留。 例题讲解 例 7 如图20-2-2，在面积为的正方形中，截得面积为的直角三角形。求的长。 建立关系 答：设，则。 解 正方形边长，实际面积要求。 点在上，，可用三角形面积公式。 方法：正方形面积求边长，三角形面积列等式。 注意：三角形的底与高必须互相垂直。 例题讲解 例 7 如图20-2-2，在面积为的正方形中，截得面积为的直角三角形。求的长。 有理化与检验 答：。 解 。 ，符合点在线段内部。 方法：分子、分母同乘。 注意：因，约去合法。 例题讲解 变式 例 7 正方形的面积为，点在上。若直角三角形的面积为，求，并判断点的位置是否合理。 答：，且，位置合理。 解 ，。 比较平方：。 方法：先用面积求底，再检验底不超过边长。 注意：比较正数大小可比较它们的平方。 例题讲解 思考　分母是两个根式的和 如何将分母有理化？ 答：。 解 。 分子、分母同乘，商为。 方法：用平方差公式消去分母中的根号。 注意：所乘的，不是零。 知识讲授 有理化因式 像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 两个代数式都含有二次根式。 两个因式都必须非零。 相乘后，积不含有二次根式。 知识讲授 定义中的“非零”不能省略 单项根式 与的积为；互为有理化因式需要。 和差两式 与相乘得，须有且。 反例提醒 若，差式为，不能与和式互为有理化因式。 例题讲解 讨论　有理化因式是否唯一？ 一个含有二次根式的非零代数式的有理化因式是唯一的吗？ 答：不是唯一的。例如与都可作为的有理化因式。 解 ，。 两种所选因式都非零，且积均不含二次根式。 方法：用两个不同的符合定义的例子说明不唯一。 注意：通常选择使计算、约分最简便的因式。 例题讲解 例 8 把下列各式分母有理化： （1） （2） （3） （） 解第（1）题 同乘。 分母为，分子为。 解第（2）题 同乘。 分母。 方法：两项式分母用平方差。 注意：分子也要乘。 方法：把每一项连同系数作为整体。 注意：系数与都要平方。 例题讲解 例 8 把下列各式分母有理化： （1） （2） （3） （） 解第（3）题 （且） 同乘非零的，分母成为。 约去，得。 方法：同乘前检查有理化因式非零。 注意：原题条件必须保留。 例题讲解 例8（3）的另一种解法 直接分解 （）。 约去非零因式 。 比较条件 ，这一解法约去的因式始终非零，因而允许。 例题讲解 变式 例 8 将中的取为。分别检查原式、分解法的结果，以及同乘后的分式。 答：原式和都为；同乘法中间出现，无意义。 解 原式，分解法只约去非零的。 同乘法在时乘了零；两种解法的适用条件必须分别检查。 方法：区分原式的条件与某一步变形的条件。 注意：本变式用于讨论；原例8（3）仍带。 方法总结 两项式分母：有理化与分解约分 用平方差消去根号 （1）把分母两项各看作一个整体。 （2）选择和差配对的非零因式。 （3）分母计算平方差，分子完整展开。 先看分子能否分解 （1）寻找与分母相同的非零因式。 （2）直接约分可能更简便。 （3）区分原式条件与变形时增加的条件。 课堂练习 练习1 把下列各式分母有理化： （1） （2） （3） 解第（1）题 分子、分母同乘。 解第（2）题 分母。 同乘后得。 方法：单项根式配平方。 注意：分子分母必须同乘。 方法：先化简根式，再有理化。 注意：分母外的要参与计算。 课堂练习 练习1 把下列各式分母有理化： （1） （2） （3） 解第（3）题 （为任意实数） ，同乘。 方法：把根号内的整式看作整体。 注意：不能把拆成两项。 课堂练习 练习2 写出下列各式的一个有理化因式： ① ② ③ ④ 解第①题 两式的积为。 解第②题 （） 两式的积为。 方法：用平方差配对。 注意：有理化因式不唯一。 方法：单项根式可与自身相乘。 注意：根式非零使加强为。 课堂练习 练习2 写出下列各式的一个有理化因式： ① ② ③ ④ 解第③题 （且） 两式的积为，两个因式均非零。 解第④题 （）；若，可取。 要求且。 通常积为；特殊情况积为。 方法：先检查原式非零。 注意：时原式为零，不符合定义。 方法：先用平方差，再检查零因式例外。 注意：不能把值为零的差式选作有理化因式。 课堂练习 练习2回看：差式为零时怎样处理？ 原式的条件 要求且不同时为。 通常的选择 时，，两式相乘得。 特殊的选择 时，原式为；选，积为且两式非零。 课堂练习 练习3 把下列各式分母有理化： （1） （2） （3） 解第（1）题 同乘，分母为。 原式。 解第（2）题 （且） 同乘，分母为。 方法：平方差后整理负号。 注意：分母为负数，不得遗漏负号。 方法：根式有意义且原分母非零。 注意：不在原式的取值范围内。 课堂练习 练习3 把下列各式分母有理化： （1） （2） （3） 解第（3）题 （且） 同乘，分母为。 分子。 方法：分母用平方差，分子用完全平方。 注意：分子展开不能漏中间项。 方法总结 有理化之后，再做两类检查 检查运算 （1）系数与根式一起平方。 （2）展开分子，检查负号与中间项。 （3）化简根式并约去非零公因式。 检查条件 （1）根式的被开方数非负。 （2）原分母和所乘式都非零。 （3）不要扩大原式允许的字母取值范围。 课堂小结 分母有理化 理解目标 化去分母中的根号，使分式的值保持不变；分子可以保留根号，最后仍需整理结果。 判断因式 两个含二次根式的非零代数式相乘，积不含二次根式；有理化因式通常不唯一。 选择方法 单项根式分母可配平方，两项式分母常用平方差；分子能分解时先观察能否约分。 核对条件 先保证根式有意义、原分母非零；同乘或约分之前，还要检查所用因式不为零。 特别提醒：不能同乘零；不能只乘分母；化简后仍保留原条件。 针对训练 训练1　选择：识别正确结果 将分母有理化，正确的结果是（　　）。 A． B． C． D． 答：B 解 分子、分母同乘。 分母成为，分子成为。 方法：先看分子分母有没有同时变化。 注意：有理化是等值变形。 针对训练 训练2　填空：两种分母结构 填空： （1） ________ （2） ________ 解第（1）题 ，再有理化。 解第（2）题 同乘，分母为。 方法：先化简。 注意：能约分时先约分。 方法：用平方差。 注意：分母为。 针对训练 训练3　判断：紧扣定义 （1）的有理化因式只有。 错 理由：也可以，积为，有理化因式不唯一。 （2）只要两个含根式的代数式相乘不含根式，就互为有理化因式。 错 理由：还要求两个代数式都非零。 （3）与互为有理化因式。 对 理由：两个因式都非零，积为，不含二次根式。 方法：逐项核对定义的全部条件。 注意：不能遗漏“非零”，也不能误以为积必须为正。 针对训练 训练4　计算：先观察结构 把下列各式分母有理化并化简： （1） （2） （3） 解第（1）题 化简为。 解第（2）题 同乘，得。 方法：先看能否直接约分。 注意：不必机械地先相乘。 方法：有理化后继续约分。 注意：分母的要保留。 针对训练 训练4　计算：和差配对 把下列各式分母有理化并化简： （1） （2） （3） 解第（3）题 同乘，分母为。 方法：平方差后约分。 注意：分母是。 针对训练 训练5　计算：分子继续化简 把分母有理化，并化简。 答：。 解 同乘，分母为。 分子。 方法：有理化后继续化简分子中的根式。 注意：分配律要乘到分子中的每一项。 针对训练 训练6　辨错：所乘式可以为零吗？ 已知。小明认为对所有都成立。判断并改正。 答：错误。上述等式还要求；时原式为。 解 当时，所乘的。 此时右式无意义，左式仍有意义；所以不能一概使用此变形。 方法：找出有理化因式为零的特殊值。 注意：原分母非零并不能保证所乘式非零。 方法总结 把条件写在每一步旁边 同乘法：检查乘式 （1）写出准备相乘的式子。 （2）检查它什么时候可能为零。 （3）必要时分情况处理特殊值。 分解法：检查公因式 （1）先看分子能否分解。 （2）约去的公因式必须非零。 （3）用特殊值核对两种方法的适用范围。 针对训练 训练7　条件分类：存在还是不存在？ 当时，一定有有理化因式吗？分别讨论和。 答：时不符合非零前提；时可取。 解 时，原式为，不符合有理化因式的定义。 时，两个均非零，乘积为。 方法：先判原式是否为零，再寻找因式。 注意：“根式有意义”和“根式非零”是不同条件。 针对训练 训练8　化简：选择条件更少的解法 已知，化简。你的解法是否允许？ 答：；允许。 解 。 约去恒正的；时原式与结果均为。 方法：先分解分子，直接约去原分母。 注意：不要无故增加的限制。 针对训练 训练9　综合：有理化后相减 计算：。 答：。 解 两个分式分别化为与。 原式。 方法：分别有理化，再去括号合并。 注意：减去一个式子，要改变它每一项的符号。 针对训练 训练10　综合：保留原式条件 化简，并写出的取值条件。 答：，其中且。 解 原式要求且。 通分得。 方法：通分时利用分母的平方差结构。 注意：结果分母不含根号，仍不能取。 针对训练 训练11　应用：直角三角形卡片 一张直角三角形卡片的面积为平方分米，其中一条直角边长为分米。求另一条直角边长。 AB= dm dm 答：另一条直角边长为分米。 解 设另一条直角边为，则。 ，代回面积相符。 方法：另一条直角边等于面积的两倍除以已知直角边。 注意：面积单位与长度单位要区分。 针对训练 训练12　应用：长方形宣传板 一块长方形宣传板的面积为平方米，宽为米。求它的长，结果化简并将分母有理化。 长： m 宽： m 答：长为米。 解 长。 整理得，与宽相乘为。 方法：先列“长＝面积÷宽”，再有理化。 注意：宽为正数；最终答案要写长度单位。 $