20.2 二次根式的运算（第2课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第20章 二次根式 20.2二次根式的运算 二次根式的运算（2） 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习引入：积与商的算术平方根 填空：________； 。 将等式从右向左看，能得到什么？ 【答案】依次填、；可把根式的积、商合写在一个根号内。 【解析】 积的性质：（）。 商的性质：（）。 复习引入 教材问题：正方形的分割 如图20-2-1，将一个正方形分割成面积分别为和的两个小正方形和面积为的两个长方形，用含的代数式表示。 图20-2-1 【答案】先得到，其中。 【解析】 两个小正方形的边长分别为和。 面积为的长方形以这两个边长为相邻两边。 复习引入 教材问题：用积的性质求面积 续图20-2-1：已知，。 怎样把写得更简洁？ 【答案】。 【解析】 由积的性质，。 因为，所以。 归纳：两个二次根式相乘，可先把被开方数相乘，再化简。 新知讲授 二次根式相乘的法则 法则的来源 应用二次根式的性质3从右向左进行转化，即得二次根式相乘的法则： 乘法法则 ． 使用条件 在实数范围内，两个根式都有意义，要求。 注意 先将被开方数相乘，再把结果化成最简二次根式。 新知讲授 带系数的二次根式相乘 分开计算 根号外的系数相乘，根号内的被开方数相乘。 一般形式 （）。 继续化简 被开方数相乘后，检查是否产生完全平方因式。 易错提醒 根号外系数不能直接乘到根号内；负号也要参加系数运算。 例题讲解 例4（1）　整数被开方数相乘 计算： （1）。 【答案】。 【解析】 原式。 提出完全平方因数，得。 归纳：相乘后先找完全平方因数，避免只停留在一个大根式上。 例题讲解 例4（2）　先相乘约简 计算： （2）。 【答案】。 【解析】 原式。 因为，所以原式。 例题讲解 例4（3）　系数与根式分别相乘 计算： （3）。 【答案】。 【解析】 系数相乘得；根式相乘得。 原式。 例题讲解 例4（4）　字母的符号条件 计算： （4）。 【答案】。 【解析】 由有意义可知。 原式。 例题讲解 例4归纳：根式相乘的两种处理 方法1 数的乘法：合并后寻找平方因数 ① 先把被开方数相乘。 ② 遇分数可先约简， 使开方更方便。 ③ 结果仍含完全平方因数时 继续化简。 方法2 含字母：先检查有意义的条件 ① 由原式判断字母的取值范围。 ② 平方因式移出根号时先 写绝对值。 ③ 结合范围去绝对值， 保留正确符号。 新知讲授 二次根式相除的法则 法则的来源 同样地，二次根式的性质4给出了二次根式相除的法则，即 除法法则 ． 使用条件 在实数范围内，要求；除数不能为0。 注意 先把被开方数相除，再约简并化成最简二次根式。 新知讲授 商的计算与化简 带系数的除法 系数相除，根式相除；如。 被开方数出现分母 可先将分子、分母同乘适当因数，使分母成为完全平方数。 已有化简方法 。 易错提醒 分子、分母要同时乘同一个非零数，保持分式的值不变。 例题讲解 例5（1）　商的被开方数含分母 计算： （1）。 【答案】。 【解析】 原式。 再用商的性质，得。 例题讲解 例5（2）　被开方数中的分数相除 计算： （2）。 【答案】。 【解析】 原式。 约简得。 例题讲解 例5（3）　带系数的二次根式相除 计算： （3）。 【答案】。 【解析】 系数相除得。 原式。 例题讲解 例5归纳：商的约简与化简 方法1 直接相除：先把商算简 ① 根号外的系数先约简。 ② 根号内按分数除法计算。 ③ 观察被开方数中 是否能约去公因数。 方法2 商中有分母：把分母化为平方 ① 约简后再处理被开方数的分母。 ② 分子、分母同乘适当因数。 ③ 用商的性质开方， 最后检查是否最简。 新知讲授 乘除混合运算的顺序 只有乘除 按从左到右的顺序计算；也可把除法转化为乘法。 出现括号 先算括号内，再算括号外；括号内的商是一个整体。 便于计算的处理 在同一根号内整理乘除，优先约简公因数。 易错提醒 ；不要把括号直接去掉。 课堂练习 课堂练习1（1）　系数保留在根号外 计算： （1）。 【答案】。 【解析】 根号外的系数不变，根式按除法法则计算。 原式。 课堂练习 课堂练习1（2）　小数被开方数相乘 计算： （2）。 【答案】。 【解析】 原式。 因为，所以原式。 课堂练习 课堂练习1（3）　看清根号的范围 计算： （3）。 【答案】。 【解析】 除数为，整个分数都在根号内。 原式。 课堂练习 课堂练习1归纳：准确读取再计算 方法1 分清位置：系数与被开方数 ① 根号外的数参加系数运算。 ② 根号横线下的整个式子 都是被开方数。 ③ 分式在根号内时， 先算完整分式。 方法2 整理数值：小数与分数互化 ① 小数可转成分母为10 的幂的分数。 ② 先约简，再寻找完全平方分母。 ③ 结果检查根号内是否还有分母。 课堂练习 课堂练习2（1）　除数中的字母条件 计算： （1）。 【答案】，其中。 【解析】 根式有意义且除数不为0，所以。 原式。 课堂练习 课堂练习2（2）　乘除一起整理 计算： （2）。 【答案】。 【解析】 原式。 化为，再开方得。 课堂练习 课堂练习2（3）　先算括号内的商 计算： （3）。 【答案】。 【解析】 括号内。 原式。 课堂练习 课堂练习3　同面积图形的周长比 如果一个圆的面积与一个正方形的面积相等，那么该圆的周长与该正方形周长的比值是多少？ 面积相等 【答案】。 【解析】 设为圆半径，为正方形边长；由得。 两周长的比值。 课堂练习 课堂练习归纳：运算与应用 乘除法则 两个根式可合成一个根式；根号外系数分别计算。 计算顺序 含括号时先算括号内；除以分数要乘它的倒数。 应用中的关系 用面积公式求长度关系，再列所求的积或商。 易错提醒 长度取正值；检查除数非零、根号范围和最简结果。 课堂小结 课堂总结 乘法 ， 其中。 除法 ， 其中。 计算过程 系数与根式分别运算； 按顺序计算，结果化到最简。 关键检查 根号范围、除数非零； 字母符号、括号顺序与单位。 针对训练 训练1　选择题 计算，结果是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 原式。 相乘后还要化简，不能只停留在。 针对训练 训练2　填空题 （1）________。 （2）________。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）被开方数相除，。 （2）系数相乘得，被开方数相乘得。 针对训练 方法总结：基本乘除的计算 方法1 乘法：系数与被开方数分别相乘 ① 先识别根号外的系数。 ② 把两个被开方数相乘。 ③ 检查结果能否提出完全 平方因数。 方法2 除法：约简后检查除数 ① 确认原式的除数不为0。 ② 系数相除，被开方数相除。 ③ 将计算结果化成最简二次根式。 针对训练 训练3　判断并改正 判断下列等式是否成立；错误的请改正。 （1）； （2）。 【答案】（1）错误，应为；（2）正确。 【解析】 （1）被开方数应该相乘：。 （2），计算正确。 针对训练 训练4　分数与小数的计算 计算： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）原式。 （2）原式。 针对训练 方法总结：避免误用，利用数的结构 方法1 辨错：运算符号决定被开方数运算 ① 根式相乘对应被开方数相乘。 ② 根式相除对应被开方数相除。 ③ 用简单数值核验 可发现运算符号错误。 方法2 小数与分数：先看能否直接开方 ① 小数相乘后检查 是否为完全平方数。 ② 分数相除时改为乘倒数。 ③ 分母为平方数时， 用商的性质直接开方。 针对训练 训练5　含字母的乘除 已知，计算： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）原式，因为。 （2）原式。 针对训练 训练6　带括号的乘除混合运算 计算： 。 【答案】。 【解析】 括号内。 原式。 针对训练 方法总结：条件与顺序 方法1 含字母：用条件保证每一步成立 ① 先看根式有意义 和除数非零的条件。 ② 约去字母因式前确认它不为0。 ③ 平方因式开方后， 结合符号去绝对值。 方法2 含括号：把括号内看成一个整体 ① 先算括号内的根式乘除。 ② 求出的整体作为括号外的除数。 ③ 写出中间步骤， 再检查最终是否最简。 针对训练 训练7　应用题：长方形展板 一块长方形展板的长为分米，宽为分米。求展板的面积，结果用最简二次根式表示。 【答案】展板的面积为平方分米。 【解析】 面积。 ，所以平方分米。 针对训练 训练8　应用题：长方形步道 一条长方形步道的面积为平方米，宽为米。求步道的长，以及长与宽的比值。 【答案】长为米；长与宽的比值为。 【解析】 长米。 长与宽的比值。 针对训练 方法总结：用乘除解决实际问题 方法1 求面积：将边长相乘 ① 根据图形写出面积公式。 ② 根号外系数与被开方数 分别相乘。 ③ 化简结果，写出正确的 面积单位。 方法2 求长度或比值：明确谁除以谁 ① 用面积除以已知边长求另一边。 ② 按题目顺序写两个长度的商。 ③ 同类长度的比值 约去单位，再化简。 $