20.2 二次根式的运算（第2课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第20章 二次根式 20.2 二次根式的运算 （第2课时）二次根式的乘除 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 复习引入 本课学习目标 掌握法则 能用二次根式的乘除法则计算，说明各自的使用条件。 计算准确 能分别处理系数与根式，按顺序完成含括号的乘除。 联系图形 能由面积建立边长关系，计算面积、长度和周长比。 复习引入 温故　把已有性质反过来看 填空，并观察等式从右向左的转化： （1） ________。 （2） 。 解第（1）题 积的算术平方根等于各因数算术平方根的积。 解第（2）题 商的算术平方根可写成两个平方根的商。 方法：从已学的积的性质出发。 注意：两个因数均为非负数。 方法：从已学的商的性质出发。 注意：分母必须大于零。 复习引入 问题　从面积确定边长 如图20-2-1，将一个正方形分割成面积分别为和的两个小正方形和面积为的两个长方形，用含的代数式表示。 建立长方形面积式 答：，其中。 解 两个小正方形边长分别是、。 长方形的两邻边分别等于这两个边长。 方法：由正方形面积求边长。 注意：实际图形的边长为正，所以。 复习引入 问题　用积的性质化简面积 如图20-2-1，将一个正方形分割成面积分别为和的两个小正方形和面积为的两个长方形，用含的代数式表示。 化简并解释面积 答：。 解 。 因，所以。 方法：把两个根式的积合成一个根式。 注意：两个面积为的长方形全等。 知识讲授 二次根式相乘的法则 ． 由二次根式的积的性质，从右向左转化得到。 使用条件：、。 知识讲授 带系数的根式相乘 分别计算 ，其中、。 继续化简 相乘后可能出现新的完全平方因数，需要继续化简。 系数符号 根号外的系数连同正负号一起相乘，不能直接移入根号。 知识讲授 辨析　判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）。 对 理由：零可作被开方数，乘积也为零。 （2）。 错 理由：左边两个根式在实数范围内无意义。 （3）。 对 理由：系数相乘，被开方数相乘。 方法：先看是否有意义，再用法则。 注意：乘积为正不能替代两个被开方数非负。 例题讲解 例 4 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：相乘后寻找平方因数。 注意：结果还要化为最简。 方法：先约简被开方数的积。 注意：整个分数是被开方数。 例题讲解 例 4 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 （） 。 由有意义知。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：化简产生的系数还要相乘。 方法：先用有意义条件判断符号。 注意：不能无条件把写成。 例题讲解 变式 例 4 计算： （1） （2） （） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：系数先定符号。 注意：根式非负不表示整个乘积非负。 方法：提出平方因式。 注意：用去绝对值。 方法总结 乘法的两种处理 先合并被开方数 （1）系数与被开方数分别相乘。 （2）积中出现完全平方因数时继续化简。 先化简再相乘 （1）先提出各根式中的平方因数。 （2）用有意义条件确定字母移出根号后的符号。 知识讲授 二次根式相除的法则 ． 由二次根式的商的性质，从右向左转化得到。 使用条件：、，除数不能为零。 知识讲授 商的计算与化简 系数与根式 ，系数和根式分别相除。 分数被开方数 。 化简的依据 把被开方数的分子、分母同乘适当因数，使分母成为完全平方数。 例题讲解 例 5 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 方法：先求商，再化简分数根式。 注意：分子分母须同乘同一个非零数。 例题讲解 例 5 计算： （1） （2） （3） 解第（2）题 。 解第（3）题 。 方法：根号内先算分数的商。 注意：除以分数转化为乘倒数。 方法：系数相除、被开方数相除。 注意：除数是整个。 例题讲解 变式 例 5 计算，并写出含字母式子的条件： （1） （2） 解第（1）题 （） 根式有意义且除数非零，得。 。 解第（2）题 。 方法：先写原式的条件，再约去字母。 注意：不能把代入原式。 方法：先约简被开方数的商。 注意：结果检查是否最简。 知识讲授 乘除混合运算的顺序 没有括号 同级乘除从左到右计算，也可先把除法转化为乘法。 含有括号 先算括号内，括号内的商是括号外的一个整体除数。 核对范围 根号横线、分数线和括号都决定运算范围，读清后再计算。 知识讲授 辨析　判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）。 错 理由：除以一个商，应乘这个商的倒数。 （2）。 对 理由：从左到右先得，再乘。 （3）对都成立。 错 理由：必须，否则可能出现零作除数。 方法：先确定运算顺序与除数。 注意：没有括号时不能把后两项任意合成除数。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：根号外系数保留。 注意：除法只作用于对应部分。 方法：把有限小数写为分数。 注意：相乘后小数位数要数准。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 。 方法：先读清除数，再约简商。 注意：除数是整个。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 （） 。 方法：先确认再约去。 注意：除数非零，不能只写。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） 解第（2）题 被开方数为。 。 方法：把乘除统一在一个根号内。 注意：除以要乘。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 括号内为。 。 方法：先求括号内整个商。 注意：括号外应除以。 课堂练习 练习3 如果一个圆的面积与一个正方形的面积相等，那么该圆的周长与该正方形周长的比值是多少？ 先建立边长关系 答：设圆半径，正方形边长，有。 解 面积相等给出。 边长取正值，所以。 方法：先设正的长度量，再用面积相等。 注意：面积相等不表示周长相等。 课堂练习 练习3 如果一个圆的面积与一个正方形的面积相等，那么该圆的周长与该正方形周长的比值是多少？ 再求周长比值 答：所求比值为。 解 圆周长为，正方形周长为。 比值。 方法：按题目顺序列周长的商。 注意：比值无单位；才可约去。 环节归纳 计算与应用的检查 法则条件 乘法检查两个根式有意义，除法还要检查除数不为零。 计算顺序 有括号先算括号，同级乘除从左到右，结果化为最简。 图形关系 先把面积关系转成长度关系，再按问题列出积或商。 课堂小结 二次根式 的乘除 乘法法则 两个根式均有意义时，可以将被开方数相乘后开方。根号外系数另行相乘，结果继续化成最简形式。 除法法则 先保证被除式有意义且除数不为零，再把被开方数相除。含字母约简时，原式的取值条件必须保留。 运算顺序 没有括号的同级乘除按从左到右的顺序计算。有括号先算括号内，并把其中的商视为一个整体。 图形应用 利用面积公式求边长关系，再求面积、长度或周长的比值。长度取正值，结果的单位对应实际所求。 特别提醒：除数非零，平方因式开方后先检查绝对值。 针对训练 训练1　选择：乘积化简 计算，结果是（　　）。 A． B． C． D． 答：B 解 。 乘积中含有平方因数，继续提出。 方法：相乘后检查平方因数。 注意：答案应为最简形式。 针对训练 训练2　填空：基本乘除 填空： （1） ________。 （2） ________。 解第（1）题 。 解第（2）题 系数乘积为，被开方数乘积为。 方法：被开方数相除。 注意：分母不为零。 方法：系数与根式分开算。 注意：不能遗漏两个系数。 针对训练 训练3　判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）。 错 理由：被开方数应相乘，结果为。 （2）。 对 理由：被开方数的商为。 （3）对都成立。 错 理由：原式还要求，应为。 （4）。 对 理由：系数为负，被开方数乘积为。 方法：逐项核对运算与取值条件。 注意：负系数也要参加乘除。 方法总结 基本计算与读式 乘法先分清内外 （1）根号外系数相乘，被开方数相乘。 （2）符号确定后，再提出完全平方因数。 除法先读清范围 （1）认清完整的除数及根号范围。 （2）约简后检查结果是否仍可化简。 针对训练 训练4　计算：小数和分数 计算： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先求被开方数的积。 注意：算术平方根取非负值。 方法：分数除法先乘倒数。 注意：分母开方为。 针对训练 训练5　辨错：分母能这样开方吗？ 小华计算：。判断并改正，说明错误原因。 答：错误，正确结果为。 解 商的性质给出，分母也须开方。 。 方法：检查分子、分母是否都开方。 注意：等值转化时必须保持原式的值。 针对训练 训练6　字母：先看给定条件 已知，计算： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先写绝对值，再用。 注意：被开方数中的也要相乘。 方法：约简后再开方。 注意：保证除数非零。 针对训练 训练7　顺序：有无括号的对照 计算： （1） （2） 解第（1）题 括号内为。 。 解第（2）题 从左到右，先得，再乘。 方法：先求完整的除数。 注意：括号内的积作为一个整体除数。 方法：同级运算从左到右。 注意：后两项不能擅自加括号。 方法总结 字母条件与括号 取值条件要保留 （1）由原式确定被开方数非负。 （2）若字母出现在除数中，再排除零值。 括号内作为整体 （1）先算括号内的积或商。 （2）把求出的值作为括号外的完整除数。 针对训练 训练8　分类：字母一定要为正吗？ 化简，并写出的取值条件。 答：，其中。 解 原式，除数非零要求。 约去，得。 方法：先保留绝对值，再判断能否约去。 注意：可正可负；只有零值必须排除。 针对训练 训练9　求参数：由商确定被开方数 已知，且。求的值。 答：。 解 原式有意义要求，约简得。 两边平方得，故。 方法：先利用条件约简商，再用平方检验。 注意：回代时两边均为正。 针对训练 训练10　综合：负系数的连续乘除 计算。 答：。 解 系数商为，根式为。 原式。 方法：系数和根式分别整理。 注意：除数为整个，负号保留。 方法总结 模型与结果检查 面积求积 （1）用长乘宽列出根式乘法。 （2）化简后写面积单位，并核对正值。 长度与比值求商 （1）用面积除以已知边长求另一边。 （2）比值按题目规定的前后顺序相除。 针对训练 训练11　应用：制作长方形展板 一块长方形展板的长为分米，宽为分米。求展板的面积，结果用最简二次根式表示。 答：面积为平方分米。 解 。 ，所以。 方法：长方形面积等于长乘宽。 注意：最后应写平方分米。 针对训练 训练12　应用：长方形步道 一条长方形步道的面积为平方米，宽为米。 （1） 求步道的长。 （2） 求长与宽的比值。 解第（1）题：米。 长。 方法：先用面积除以宽，再求长与宽之比。 注意：面积与边长单位要对应；比值不带单位。 针对训练 训练12　应用：长方形步道 一条长方形步道的面积为平方米，宽为米。 （1） 求步道的长。 （2） 求长与宽的比值。 解第（2）题：。 。 方法：先用面积除以宽，再求长与宽之比。 注意：面积与边长单位要对应；比值不带单位。 $