20.2 二次根式的运算（第4课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第20章 二次根式 20.2二次根式的运算 二次根式的运算（4） 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习引入：先化简，再运算 计算： （1）；（2）。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）原式。 （2）用分配律，得。 归纳：加减要合并同类根式，乘法可以使用分配律。 复习引入 复习引入：乘法公式仍然适用 计算： （1）；（2）。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）平方差公式：。 （2）完全平方公式：。 归纳：先识别结构，完全平方展开时不能漏掉中间项。 复习引入 引入归纳：本课的三类任务 已有基础 加减、乘除、分母有理化的规则已经学过。 本课重点 把规则用于混合运算，并结合乘法公式选择简便算法。 应用方向 化简求值、解含根式系数的方程和不等式。 共同前提 每个根式有意义，分母和除式都不能为0。 新知讲授 混合运算的依据与顺序 运算依据 实数的运算律和运算顺序，在二次根式运算中同样适用． 运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号时先算括号里面。 同级运算 乘除属于同一级，加减属于同一级，通常从左到右进行。 易错提醒 每一步都要保留原来的符号；最终结果应当化简。 新知讲授 乘法公式中的二次根式 平方差结构 ，把根式看作整体。 完全平方结构 。 注意中间项 例如（）。 易错提醒 和的平方不等于平方的和；要先判断适用哪一个公式。 新知讲授 有分母时，先观察整体结构 根式分母 分子、分母同乘适当的非零有理化因式。 外面还有减号 相减的整个分式化简后，必要时先加括号再去括号。 结果整理 有理化后继续合并同类二次根式，不停在中间步骤。 易错提醒 分母有理化要分子分母同乘；括号前的负号作用于每一项。 新知讲授 化简求值：寻找可以整体代入的式子 先看结构 观察分子能否配成与分母相关的完全平方式。 整体转化 。 整体代入 若已知，可先求，再把它作为整体代入。 易错提醒 先化简再代入，同时核对原分母不能为0。 新知讲授 根式系数的方程与不等式 解方程 移项、合并同类项，再把未知数的系数化为1。 解不等式 步骤类似，但除以系数前必须先判断系数的正负。 比较系数 如，所以。 易错提醒 不等式两边同除以负数时，不等号方向改变。 例题讲解 例9（1）　有理化后再相减 计算： （1）。 【答案】。 【解析】 分别有理化：，。 原式。 例题讲解 例9（2）　完全平方展开 计算： （2）。 【答案】（）。 【解析】 原式。 三项分别为；原式有意义要求。 例题讲解 例9归纳：按结构选择算法 方法1 含分式：先处理分母 ① 先核对分母不为0。 ② 分子分母同乘有理化因式。 ③ 相减时保留括号，再合并。 方法2 含平方：先套用公式 ① 把括号中的两项看作整体。 ② 写全首项平方、 中间项、末项平方。 ③ 化简各项，再整理结果。 例题讲解 例10　整体代入求值 已知，求的值。 【答案】。 【解析】 把分子配方：，且。 原式。 例题讲解 例10对照：直接代入核对结果 仍取，分别算出与， 核对的值。 【答案】分子为，分母为；商为。 【解析】 。 分子，再除以。 归纳：两种算法结果相同；本题整体代入可以减少展开与合并。 例题讲解 例11　解含根式系数的方程 解方程：。 【答案】。 【解析】 移项得。 两边除以，得。 例题讲解 例12　负系数与不等号方向 解不等式：。 【答案】。 【解析】 移项、合并，得；系数为负，除后不等号反向。 所以。 例题讲解 例11、例12归纳：系数化为1 方法1 方程：等式两边同时运算 ① 先移项、合并同类项。 ② 两边同除以非零系数。 ③ 有理化并化简后，代回检验。 方法2 不等式：先判系数的符号 ① 比较根式的大小， 判断系数正负。 ② 除以负数时，不等号必须反向。 ③ 化简边界值，写出完整解集。 例题讲解 例题归纳：运算后的四项核对 值有没有改变 分母有理化时，分子和分母同乘一个非零式子。 公式是否完整 完全平方有三项；平方差的中间项相互抵消。 方向是否正确 负系数只在不等式中引起不等号反向，方程仍保持相等。 结果是否化简 合并同类根式，保留必要的字母取值条件。 课堂练习 课堂练习1（1）　解方程 解下列方程： （1）。 【答案】。 【解析】 移项、合并，得。 所以。 课堂练习 课堂练习1（2）　解不等式 解下列不等式： （2）。 【答案】。 【解析】 移项得，系数，不等号方向不变。 所以。 课堂练习 课堂练习2（1）　完全平方 计算： （1）。 【答案】。 【解析】 原式。 所以原式。 课堂练习 课堂练习2（2）　多项式相乘 计算： （2）。 【答案】。 【解析】 用分配律，原式。 合并同类二次根式，得。 课堂练习 课堂练习2（3）　除以一个分式 计算： （3）。 【答案】（且）。 【解析】 除以分式，改为乘它的倒数：原式。 利用，约分得。 课堂练习 课堂练习3　长方形的边长 设长方形的面积为，相邻两边长分别为。 已知，。求。 【答案】。 【解析】 由，得。 分子、分母同乘，得。 课堂练习 练习归纳：四类运算各有检查点 方程与不等式 先合并未知数项；不等式除以系数前要判正负。 乘法与乘方 先识别公式，或用分配律逐项相乘。 除法 除以分式要乘它的倒数，再利用因式分解约分。 应用题 先写数量关系，求得结果后代回原关系检验。 课堂练习 课堂练习回看：化简不能丢掉原条件 观察原式 中，根式要求，原分母要求。 检查除式 当时，；因此原除式不会等于0。 保留原条件 化简得，仍须保留x≥0且x≠1。 易错提醒 不能因化简后的式子可取，就让原式也取。 课堂练习 课堂练习回看：负号与平方 负号看作用范围 如，去括号后为。 平方看整个底式 ，系数也要平方。 条件看原表达式 出现根式分母时，既要有意义，又要非零。 核验结果 可代入允许的简单数核验，也可把方程的解代回原式。 课堂小结 课堂总结 运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减。 有括号先算括号。 乘法公式 识别平方差与完全平方。 完全平方不能漏掉中间项。 化简求值 先化简，再代入。 观察能否整体代入。 条件与方向 分母和除式不能为0。 除以负数时不等号反向。 针对训练 训练1　选择题 的计算结果是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 完全平方展开为。 合并有理数部分，得。 针对训练 训练2　填空题 ____________。 【答案】。 【解析】 两因式是同一组数的差与和，使用平方差公式。 原式。 针对训练 方法总结：看结构选公式 方法1 和与差相乘：用平方差 ① 确认两个因式只有中间 符号不同。 ② 分别计算两项的平方。 ③ 按平方差的顺序相减。 方法2 二项式平方：保留三项 ① 写出首项平方和末项平方。 ② 中间项是两项乘积的2倍。 ③ 最后合并，并检查符号。 针对训练 训练3　计算题 计算：。 【答案】。 【解析】 分别有理化，得，。 原式。 针对训练 训练4　判断并改错 判断：。 若有错误，请改正。 【答案】错误；正确结果为。 【解析】 平方展开为。 还要减去，故结果为。 针对训练 方法总结：复杂算式分步整理 方法1 有分式：有理化后再合并 ① 确认分母及所乘式均非零。 ② 分子与分母同乘有理化因式。 ③ 去括号时逐项处理负号。 方法2 有乘方：先展开再化简 ① 按顺序先计算乘方。 ② 根式化简后再寻找同类项。 ③ 逐项核对，防止漏掉后续运算。 针对训练 训练5　解方程 解方程：。 【答案】。 【解析】 移项得。 两边除以，得。 针对训练 训练6　解不等式 解不等式：。 【答案】。 【解析】 移项得；系数为正，除后不等号方向不变。 所以。 针对训练 方法总结：把未知数的系数化为1 方法1 方程：保持两边相等 ① 移项并合并含未知数的项。 ② 两边同除以非零系数。 ③ 化简后代回原方程检验。 方法2 不等式：判断系数正负 ① 比较根式大小，判断系数符号。 ② 除以正数不变向， 除以负数反向。 ③ 有理化并写出最终解集。 针对训练 训练7　应用题：长方形展示区 长方形展示区的长、宽分别为米和 米。求它的面积和周长。 【答案】面积为平方米，周长为米。 【解析】 面积。 周长。 针对训练 训练8　应用题：围栏长度限制 一个长方形花园的一边长为米， 另一边长为米。 四周围栏总长不超过20米。求的取值范围。 【答案】。 【解析】 按周长关系，，解得。 边长还必须为正，因此。 针对训练 方法总结：把几何关系转成算式 方法1 求面积与周长：先列公式 ① 面积是相邻两边长的乘积。 ② 周长是两邻边长之和的2倍。 ③ 计算后区分长度单位和 面积单位。 方法2 有长度限制：列不等式 ① 把“不超过”写成不大于关系。 ② 解不等式，并结合实际 正值条件。 ③ 代回边界值检查是否符合限制。 $