20.1 二次根式及其性质（第2课时）2026-2027学年沪教版五四制数学八年级上册

第20章 二次根式 20.1 二次根式及其性质 （第2课时）二次根式的化简 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 复习引入 本课学习目标 会转化 理解性质3、性质4及其字母条件。 会化简 移出完全平方因式，化去被开方数中的分母。 会判断 用两个条件判断并化为最简二次根式。 复习引入 化简前，复习关键知识 意义条件 被开方数非负；式子里所有分母都不能为。 平方开方 ，字母为负时不能原样移出。 整体意识 识别，把作为整体。 复习引入 思考　积与商的开平方 与相等吗？与相等吗？为什么？ 答：两组分别相等。 解 每组两式都是非负数，平方后分别等于和。 由算术平方根的唯一性，每组两式相等。 方法：比较非负性和平方后的结果。 注意：相等不是小数近似相同，而是精确相等。 知识讲授 性质3：积的算术平方根 　（，）． 在两个因式都非负时，可以分别开方。 例如。 知识讲授 性质4：商的算术平方根 　（，）． 被除数可以等于；除数必须大于。 例如。 知识讲授 拆分根号之前，核对条件 积的拆分 仅有不够；分别开方需且。 商的拆分 分别开方需且，分母不能为。 负数反例 有意义，没有意义。 知识讲授 完全平方式 形如（为整式）的代数式称为完全平方式，如、． ，。 注意：平方的底式可以是一个整式。 知识讲授 化简二次根式 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”． 例如（）。 被开方数含分母时，可先把分母变成完全平方式。 知识讲授 二次根式的广义写法 为了方便，我们常把形如（其中、为有理式）的代数式也称为二次根式，如、、等． 根号外可以带有理系数或含字母的有理式。 例如化简得到后，仍称为二次根式。 例题讲解 例 3 化简下列二次根式： （1） （2） （3） （）。 解第（1）题 。 。 原式。 解第（2）题 （）。 由得。 原式。 方法：找出最大的完全平方因数。 注意：化简后根号内不能再有平方因数。 方法：先由有意义推得字母符号。 注意：若未先说明，应保留。 例题讲解 例 3 化简下列二次根式： （1） （2） （3） （）。 解第（3）题 。 原式。 由，得。 方法：先按性质移出，再用条件去绝对值。 注意：不能省略已知的。 方法总结 移出根号的两类因式 数的因数分解 （1）寻找最大完全平方因数。 （2）把被开方数拆成平方因数与剩余因数的积。 （3）开方移出后，复查根号内能否继续化简。 字母的因式分解 （1）把偶数次幂写成某个整式的平方。 （2）移出时先写该整式的绝对值。 （3）结合已知条件或意义条件去绝对值。 例题讲解 例 4 化简下列二次根式： （1） （2） （3） （）。 解第（1）题 （）。 原式。 解第（2）题 （）。 由意义条件得。 原式。 方法：把分母补成完全平方数。 注意：分子、分母要同乘。 方法：先推条件，再把分母补成平方。 注意：分母开方是，再由去绝对值。 例题讲解 例 4 化简下列二次根式： （1） （2） （3） （）。 解第（3）题 （）。 且原式有意义，推出。 原式。 方法：用分子严格为正确定分母正负。 注意：若没有，不能直接去掉。 方法总结 化去根号内的分母 数值分母配成平方 （1）先约分或把带分数化为假分数。 （2）分子分母同乘适当的数。 （3）分母成为平方数后再分别开方。 字母分母先看范围 （1）分母非零与被开方数非负同时考虑。 （2）分子分母同乘适当代数式，保持分式值不变。 （3）分母开方先写绝对值，再用条件化简。 知识讲授 观察化简结果的共同特征 比较结果 、、的根号内都不含分母。 再看因式 经过因式分解，根号内没有可移出的完全平方因式。 结果要求 在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式。 知识讲授 最简二次根式 （1）被开方数中各因式的指数都为；（2）被开方数不含分母．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． 两个条件缺一不可；需要先做因式分解再判断。 判断代数式的形式，不用字母的特殊取值替代一般判断。 知识讲授 这里的“因式”怎样理解 被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数． 如，各因式的指数均为。 如，含可移出的平方因式。 例题讲解 例 5 判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 不是。 被开方数含分母。 解第（2）题 是。 ，各因式指数为，且无分母。 方法：检查根号内是否含分母。 注意：根号外的分母不影响此项判断。 方法：先分解，再逐条核对。 注意：按代数式形式判断，不代入特殊。 例题讲解 例 5 判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 不是。 ，含完全平方因式。 解第（4）题 不是。 。 方法：数的因数与字母因式都要检查。 注意：只检查数值部分不够。 方法：先因式分解再判断。 注意：多项式不能逐项分别开方。 例题讲解 例5思考　把非最简形式继续化简 如何将例5中（1）（3）（4）的二次根式化成最简二次根式？ （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 （）。 原式。 解第（3）题 （）。 原式有意义，得。 原式。 方法：化去根号内的分母。 注意：分子分母同乘。 方法：意义条件帮助去绝对值。 注意：这里不能取负数。 例题讲解 例5思考　平方底式含两个项 如何将例5中（1）（3）（4）的二次根式化成最简二次根式？ （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 。 原式。 方法：把看作完整底式。 注意：没有的范围，绝对值必须保留。 课堂练习 练习1 判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 解第①题 不是。 被开方数含分母。 方法：核对根号内是否含分母。 注意：可化为。 课堂练习 练习1 判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 解第②题 是（在的意义条件下）。 被开方数各因式指数为，且不含分母。 方法：按代数式的一般形式判断。 注意：不能随意把都限制为正。 课堂练习 练习1 判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 解第③题 不是。 含完全平方因式，可化为。 解第④题 不是。 被开方数含分母。 方法：查找字母平方因式。 注意：无符号条件，保留绝对值。 方法：先按形式检查两个条件。 注意：原式另需且。 课堂练习 练习1 判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 解第⑤题 不是。 。 解第⑥题 是。 一般不能按整式分解出平方因式。 方法：先因式分解。 注意：不能把三个加数分别开方。 方法：先看能否整体分解。 注意：不要把平方和误认为和的平方。 课堂练习 练习2 化简下列二次根式： （1） （2） （）。 （3） （）。 解第（1）题 。 ，原式。 解第（2）题 。 原式，由得。 方法：提出最大平方因数。 注意：根号内的无需再化简。 方法：先移出平方，再用条件。 注意：字母条件不能省略。 课堂练习 练习2 化简下列二次根式： （1） （2） （）。 （3） （）。 解第（3）题 （）。 且原式有意义，得。 原式。 方法：根号内先化简，再处理外部系数。 注意：根号外的不可漏乘。 课堂练习 练习3 化简下列二次根式： （1） （2） （3） （）。 解第（1）题 。 先把带分数化为假分数：，原式。 方法：先把带分数化为假分数。 注意：此处不是。 课堂练习 练习3 化简下列二次根式： （1） （2） （3） （）。 解第（2）题 （）。 分母，直接分别开方。 方法：分母已经是平方数时直接开方。 注意：要有。 课堂练习 练习3 化简下列二次根式： （1） （2） （3） （）。 解第（3）题 （）。 由，原式。 方法：先配平方分母，再处理外部系数。 注意：原式有意义还推出。 方法总结 判断与化简的完整流程 判断是否最简 （1）先做因式分解和素因数分解。 （2）检查根号内有无平方因式、有无分母。 （3）两个条件都满足才是最简。 检查化简结果 （1）数与字母的平方因式都要提出。 （2）无符号条件时保留必要的绝对值。 （3）核对条件、系数与根号的覆盖范围。 课堂小结 二次根式 化简与最简 性质条件 积的开方要求两因式都非负；商的开方要求分子非负、分母为正，拆分前先核对条件。 移出平方 分解被开方数，提出完全平方因式；字母或整式开方先取绝对值，再结合范围确定符号。 化去分母 分子分母同乘合适的数或代数式，使根号内分母成为完全平方式，再开方移到根号外。 最简标准 先因式分解再看各因式指数，根号内还不能含分母；按代数式形式判断，避免特殊值干扰。 特别提醒：平方和一般不是和的平方；没有条件不能删绝对值。 针对训练 训练1　选择：识别最简二次根式 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　）。 A． B． C． D． 答：选C，。 解 ，含分母，是完全平方式。 ，各因数指数均为。 方法：把两个标准逐项核对。 注意：“数大”不代表不能是最简二次根式。 针对训练 训练2　填空：从平方因数入手 化简填空： （1） ______。 （2） ______。 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 由性质4分别开方。 方法：先寻找平方因数。 注意：取的是正数。 方法：分母已是平方数。 注意：不要写成。 针对训练 训练3　判断：性质和最简形式 （1）对任意实数及都成立。 错 理由：应为；例如时原式为1。 （2）。 错 理由：平方和一般不等于和的平方，如时左边为。 （3）是最简二次根式。 对 理由：被开方数是；分母在根号外。 （4）若，则。 错 理由：右边两个根式在实数范围内都没有意义。 方法：先检查条件，再检查形式。 注意：根号内有分母与根号外有分母不同。 针对训练 训练4　计算：数与字母的平方因式 化简下列各式： （1） （2） ，其中。 （3） 。 （4） ，其中。 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 原式，因得。 方法：提出最大平方因数。 注意：结果要化到最简。 方法：先写绝对值，再用符号条件。 注意：负号来自取相反数，结果仍非负。 针对训练 训练4　计算：数与字母的平方因式 化简下列各式： （1） （2） ，其中。 （3） 。 （4） ，其中。 解第（3）题 （）。 意义条件推出。 原式。 解第（4）题 。 根式化为。 再乘得。 方法：先由被开方数推得符号。 注意：允许。 方法：先根内，后根外系数。 注意：别漏乘。 针对训练 训练5　因式分解后的平方底式 化简下列各式： （1） 。 （2） ，其中。 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 原式。 由，去绝对值得结论。 方法：先提公因式，再写成完全平方。 注意：无范围，保留绝对值。 方法：把多项式作为整体分解。 注意：根号不能对加法逐项拆开。 针对训练 训练6　根号内的分式化简 化简下列各式： （1） （2） 。 解第（1）题 。 原式。 解第（2）题 （）。 由意义条件知。 原式。 方法：分子分母同乘。 注意：不能只改变分母。 方法：先求允许范围，再配平方分母。 注意：分母不允许。 针对训练 训练7　辨错：化简还没有结束 小华写道：“，所以化简完成。”等式正确吗？结论正确吗？请写出最终结果。 答：等式正确；“化简完成”不正确。最终结果为。 解 ，所以第一步等式成立。 还能提出平方因数，故。 方法：检查根号内是否还含平方因数。 注意：等式成立与结果最简是两项检查。 针对训练 训练8　同一根式，按条件写结果 按给定条件化简： （1） 当时。 （2） 当时。 解第（1）题 。 原式。 因，得。 解第（2）题 。 原式。 因，得。 方法：把作为整体。 注意：等号时根式值为。 方法：负的整体取相反数。 注意：括号不能遗漏。 方法总结 用两次检查发现错误 等值检查 （1）分子分母是否同乘了相同的非零式子。 （2）完全平方因式开方是否带绝对值。 （3）根号外原有系数是否保留。 最简检查 （1）根号内是否还含完全平方因式。 （2）根号内的分母是否已经化去。 （3）无条件时，绝对值不能随意删除。 针对训练 训练9　逆向思考：还原被开方数 填空，其中字母均为非负数： （1） ，则______。 （2） 对任意成立，常数______。 解第（1）题 。 两边平方，。 解第（2）题 。 取，平方得。 复核。 方法：用平方逆向核验化简。 注意：根号外系数也要平方。 方法：先用合法的非零特殊值求常数，再作一般验证。 注意：仅取无法确定。 针对训练 训练10　条件推理：绝对值何时可以去掉 已知，求实数的取值范围。 答：。 解 左边，所以。 当且仅当时，成立。 方法：把等式转化为绝对值的符号条件。 注意：使两边同为，要保留。 针对训练 训练11　应用：正方形活动场地 学校要铺设一块面积为平方米的正方形活动场地。求场地边长，并将结果化成最简二次根式。 答：边长为米。 解 正方形边长为米。 ，所以。 方法：由面积求边长，再提出平方因数。 注意：面积单位平方米，边长单位米。 针对训练 训练12　应用：等面积展示板 一块长方形展示板长米、宽米。现改成面积相同的正方形展示板，求新展示板边长的精确值。 米 米 答：新展示板边长为米。 解 原展示板面积为平方米。 新边长米。 方法：先建立等面积关系，再开平方化简。 注意：面积相同不表示两块板的周长相同。 $