20.1 二次根式及其性质 暑期预习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义 课题：20.1二次根式及其性质 知识点一：二次根式的概念 1. 代数式（）叫做二次根式，读作“根号”，其中是被开方数． 2. 二次根式的判断方法： （1）根指数是否为2（2）被开方数是否大于或等于0。 【例1】下列各式中，二次根式的个数有 （ ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【课堂反馈】下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2.二次根式有,无意义的条件 分类 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义： 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义： 【例2】当x为何值时，下列各式有意义？ （1） （2） （3） （4） 【例3】已知实数满足，求的值． 【例4】把中，根号外的移入根号内的结果是________ 【课堂反馈】把的根号外因式移到根号内得____________． 【课堂反馈】二次根式中x的取值范围是（    ） A．x＞ 3 B．x≥3 C．x≤3 D．x<3 【课堂反馈】若一次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 知识点2 二次根式的性质与化简 Ⅰ、二次根式的性质 1. 性质1：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 2. 性质2： 性质3 =· (a≥0,b≥0). 性质4 (a≥0,b>0). Ⅱ、二次根式的化简 1.被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外 一般地，根据性质3,设a≥0,那么 =·=|b|. 完全平方式：形如A²(A为整式)的代数式称为完全平方式，如b²、(a+b)². 2.化去被开方数中的分母 根据性质4,设≥0,那么 这说明，如果二次根式里被开方数含有分母，那么可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的算术平方根代替后移到根号外面作为新的分母，从而化去被开方数中的分母. 3.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 4.最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数。 5.二次根式的第二形式：为了方便，我们常把形如(其中a、b为有理式)的代数式也称为二次根式，如、、-等. 【例5】计算下列各式的值： （1） 化简： （2）化简：（y≥0） （3）化简：（4）化简：； 【课堂反馈】化简下列二次根式： （1）； （2）； （3）． 【例7】下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【课堂反馈】将下列二次根式化成最简二次根式，然后找出其中被开方式相同的二次根式： ，，，， 【课堂反馈】下列根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化成最简二次根式： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【例8】实数a、b在数轴上对应的位置如图，则（　　） A．b﹣a B．2﹣a﹣b C．a﹣b D．2+a﹣b 【课堂反馈】a、b、c三个数在数轴上的点如图所示，求|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|的值． 【课堂反馈】在△中，是三角形的三边，化简． 沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义 课题：20.1二次根式及其性质 知识点一：二次根式的概念 3. 代数式（）叫做二次根式，读作“根号”，其中是被开方数． 4. 二次根式的判断方法： （1）根指数是否为2（2）被开方数是否大于或等于0。 【例1】下列各式中，二次根式的个数有 （ ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：B． 分析：考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数． 【课堂反馈】下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 解：A：，被开方数为（负数），不符合非负条件，故不是二次根式，故此选项不符合题意； B：，被开方数为．当时，被开方数非负，但题目未限定的范围，无法保证其始终有意义，故此选项不符合题意； C：，被开方数7是正数，根指数为2，完全符合二次根式定义，故此选项符合题意； D：，根指数为3，属于三次根式，而非二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2.二次根式有,无意义的条件 分类 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义： 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义： 【例2】当x为何值时，下列各式有意义？ （2） （2） （3） （4） 解析： （1） （2） （3） （4） 【例3】已知实数满足，求的值． 答案：2016． 解：由二次根式有意义的条件，可得，由此，此时则有，得，解得，． 【例4】把中，根号外的移入根号内的结果是________ 答案：． 解：依题意可得，可得，原式=．【例5】把【例5】的根号外因式移到根号内得____________． 答案： 分析：根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可． 解：， ； 故答案为： 【课堂反馈】．二次根式中x的取值范围是（    ） A．x＞ 3 B．x≥3 C．x≤3 D．x<3 答案：C 分析：根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”，列不等式求解． 解：根据题意，得3−x≥0，解得x≤3．故选：C． 【课堂反馈】若一次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查二次根式的定义的理解与掌握情况．形如的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数．正确理解只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义是解本题的关键．根据二次根式的定义，令二次根式的被开方数大于或等于零即可求出结论． 解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：A． 知识点2 二次根式的性质与化简 Ⅰ、二次根式的性质 3. 性质1：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 4. 性质2： 性质3 =· (a≥0,b≥0). 性质4 (a≥0,b>0). Ⅱ、二次根式的化简 1.被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外 一般地，根据性质3,设a≥0,那么 =·=|b|. 完全平方式：形如A²(A为整式)的代数式称为完全平方式，如b²、(a+b)². 2.化去被开方数中的分母 根据性质4,设≥0,那么 这说明，如果二次根式里被开方数含有分母，那么可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的算术平方根代替后移到根号外面作为新的分母，从而化去被开方数中的分母. 3.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 4.最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数 5.二次根式的第二形式：为了方便，我们常把形如(其中a、b为有理式)的代数式也称为二次根式，如、、-等. 【例6】计算下列各式的值： （1）化简： 分析：二次根式的性质：a（a≥0），根据性质可以对上式化简． 解：π﹣3． 故答案是：π﹣3． （2）化简：（y≥0） 分析：依据二次根式有意义的条件，即可得到x的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可． 解：由x3y2≥0，可得x≥0， 当y≥0时，|xy|xy， 故答案为：xy． （3） 分析：考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质。 （5） 分析：原式； 【课堂反馈】化简下列二次根式： （1）； （2）； （3）． 解：（1）； （2）； （3）． 【例7】下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 分析：根据最简二次根式的定义即可求出答案． 解：A、原式＝2，故A不是最简二次根式． B、原式，故B不是最简二次根式． C、原式＝2，故C不是最简二次根式． D、是最简二次根式，故D是最简二次根式． 故选：D． 【课堂反馈】将下列二次根式化成最简二次根式，然后找出其中被开方式相同的二次根式： ，，，， 分析：根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 解：2，3，2，，， ∴、、是被开方式相同的二次根式， 、是被开方式相同的二次根式． 【课堂反馈】下列根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化成最简二次根式： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 分析：根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断，根据二次根式的性质进行化简即可． 解：（1）是最简二次根式；（2），不是最简二次根式；（3），不是最简二次根式； （4），不是最简二次根式；（5）是最简二次根式；（6），不是最简二次根式． 【例8】实数a、b在数轴上对应的位置如图，则（　　） A．b﹣a B．2﹣a﹣b C．a﹣b D．2+a﹣b 【分析】由数轴判断a、b两数与1的大小关系，根据二次根式的性质解答． 【解析】由数轴上a、b所在的位置，可知a＜1，0＜b＜1 则 ＝|b﹣1|﹣|a﹣1| ＝1﹣b﹣1+a ＝a﹣b 故选：C． 【课堂反馈】a、b、c三个数在数轴上的点如图所示，求|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|的值． 分析根据数轴得到a﹣b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，根据绝对值的性质、二次根式的性质化简即可． 解：由数轴可知，a＜c＜0＜b，|c|＜|b|， 则a﹣b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0， ∴|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b| ＝b﹣a+c﹣a﹣c﹣b﹣c+a ＝﹣a﹣c． 【课堂反馈】在△中，是三角形的三边，化简． 答案： 解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可知，， 原式= ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $