20.1 二次根式及其性质 暑期预习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册
沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义
课题：20.1二次根式及其性质
知识点一：二次根式的概念
- 代数式
（
）叫做二次根式，读作“根号
”，其中是被开方数． - 二次根式的判断方法：
（1）根指数是否为2（2）被开方数是否大于或等于0。
【例1】下列各式中，二次根式的个数有 （ ）
；
；
；
；
；
．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【课堂反馈】下列各式是二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.二次根式有,无意义的条件
分类 | 条件 | 字母表示 |
二次根式有意义 | 被开方数为非负数 |
|
二次根式无意义 | 被开方数为负数 |
|
【例2】当x为何值时，下列各式有意义？
（1）
（2） 
（3） 
（4）
【例3】已知实数满足
，求
的值．
【例4】把
中，根号外的移入根号内的结果是________
【课堂反馈】把
的根号外因式移到根号内得____________．
【课堂反馈】二次根式
中x的取值范围是（ ）
A．x＞ 3 B．x≥3 C．x≤3 D．x<3
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【课堂反馈】若一次根式
在实数范围内有意义，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2 二次根式的性质与化简
Ⅰ、二次根式的性质
- 性质1：（
）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． - 性质2：
性质3 
=·
(a≥0,b≥0).
性质4 
(a≥0,b>0).
Ⅱ、二次根式的化简
1.被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外
一般地，根据性质3,设a≥0,那么
=·
=|b|.
完全平方式：形如A²(A为整式)的代数式称为完全平方式，如b²、(a+b)².
2.化去被开方数中的分母
根据性质4,设
≥0,那么
这说明，如果二次根式里被开方数含有分母，那么可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的算术平方根代替后移到根号外面作为新的分母，从而化去被开方数中的分母.
3.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”.
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4.最简二次根式：化简后的二次根式同时满足
，那么这个二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数。
5.二次根式的第二形式：为了方便，我们常把形如
(其中a、b为有理式)的代数式也称为二次根式，如
、
、-
等.
【例5】计算下列各式的值：
（1）化简：
（2）化简：
（y≥0）
（3）化简：
（4）化简：
；
【课堂反馈】化简下列二次根式：
（1）
； （2）
； （3）
．
【例7】下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．
B．
C．
D．
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