20.2 二次根式的运算（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第20章 二次根式 20.2二次根式的运算 二次根式的运算（1） 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习引入：化简与合并 口答：等于多少？ 把与化成最简二次根式。 【答案】；，。 【解析】 同类项合并时，系数相加减，字母部分不变。 两个根式化简后，都含有相同的根式部分。 思考：含有相同根式部分的式子，能否像同类项一样合并？ 复习引入 教材观察：化简后有什么相同之处 把与化成最简二次根式，所得结果有什么相同之处？ 【答案】，；被开方数都是。 【解析】 原式的被开方数不同，化简后都含。 判断这类根式的共同点，要先化成最简二次根式。 归纳：化简后的被开方数，是本课判断和合并的依据。 复习引入 引入归纳：二次根式怎样相加减 已有基础 能把二次根式化成最简二次根式，能合并同类项。 本课问题 哪些二次根式可以合并？ 怎样计算二次根式的和与差？ 运算依据 实数的运算律和运算顺序，在二次根式运算中同样适用． 新知讲授 同类二次根式的概念 概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 同类的例子 与化简后，被开方数都是。 不同类的例子 与已经最简，被开方数不同。 注意 比较的前提是化成最简二次根式，不能只看原式。 新知讲授 同类二次根式的判定 先化简 把根号内能开尽方的因数或因式移到根号外。 再比较 比较最简形式的被开方数是否相同。 系数不决定是否同类 与同类；正负号和系数可以不同。 易错提醒 与原来不同，化简后都是含的式子。 新知讲授 二次根式的加减 加减法则 二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式．为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式． 计算顺序 先化简，再合并同类二次根式。 不同类时 不能合并的最简二次根式保留在结果中。 易错提醒 不能写成。 新知讲授 合并时，系数相加减 类比同类项 。 合并同类二次根式 。 保留根式部分 系数相加减，根式部分不变。 易错提醒 的系数是，的系数是。 新知讲授 知识归纳：化简、分类与符号 化简后分类 被开方数相同的放在一起；不同的分别保留。 合并时看系数 系数带着前面的正负号一起计算。 有括号时 括号前是负号，去括号时括号内各项都要变号。 最后检查 结果中的根式应当最简；同类二次根式应当合并。 例题讲解 例1（前3式）　数的根式 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？ 、、。 【答案】与是同类二次根式。 【解析】 ，。 ；前、后两式化简后被开方数相同。 例题讲解 例1（后3式）　含字母的根式 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？ （）、（）、 （）。 【答案】与是同类二次根式。 【解析】 。 。 由有意义条件知，故。 例题讲解 例1归纳：同类二次根式的判定 方法1 数的根式先化成最简形式 ① 寻找能开尽方的因数。 ② 分数被开方数也要化简。 ③ 比较化简后的被开方数。 方法2 字母根式结合条件化简 ① 留意字母的取值条件。 ② 把平方因式移出根号时 判断符号。 ③ 系数不同，不影响同类的判定。 例题讲解 例2（1）　两类根式分别合并 合并下列各式中的同类二次根式： （1）。 【答案】。 【解析】 含的项：系数和为。 含的项：系数和为。 这两类根式不能继续合并。 例题讲解 例2（2）　系数中含有字母 合并下列各式中的同类二次根式： （2）。 【答案】。 【解析】 两项的根式部分都是，可以合并。 系数分别为与，相加得。 合并后的系数要用括号括起来。 例题讲解 例2归纳：合并同类二次根式 方法1 同一类根式分别合并 ① 找出相同的最简根式部分。 ② 系数连同正负号一起相加减。 ③ 保持根式部分不变。 方法2 系数的运算要完整 ① 分数系数先通分，再计算。 ② 字母系数按整式加减处理。 ③ 系数是多项式时，加上括号。 例题讲解 例3（1）　先化简再相加 计算： （1）。 【答案】。 【解析】 。 。 原式。 例题讲解 例3（2）　带括号的加减 计算： （2）。 【答案】。 【解析】 去括号后，最后一项是。 化简得。 两类系数分别为与。 例题讲解 例3归纳：含分数、括号的加减 方法1 小数、分数先转化 ① 有限小数可以先写成分数。 ② 各项都化成最简二次根式。 ③ 根号外的系数也要一起计算。 方法2 去括号后核对符号 ① 先看括号前是加号还是减号。 ② 减去括号，各项符号都改变。 ③ 同类合并后，再检查计算结果。 课堂练习 课堂练习1（1）　判断是否同类 判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式： （1）、、。 【答案】是同类二次根式。 【解析】 ，。 。 三个根式化简后的被开方数都是。 课堂练习 课堂练习1（2）　含字母的判定 判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式： （2）、、（）。 【答案】不是同类二次根式。 【解析】 ，。 三式的根式部分分别为、、。 化简后的被开方数不同，不能判为同类。 课堂练习 课堂练习1（3）　分式根式的判定 判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式： （3）、（）、 （）。 【答案】是同类二次根式。 【解析】 由原式有意义知；。 ，三式化简后被开方数相同。 课堂练习 课堂练习2（1）　直接合并 计算： （1）。 【答案】。 【解析】 两项已经是最简二次根式，且被开方数相同。 原式。 课堂练习 课堂练习2（2）　三个根式相加减 计算： （2）。 【答案】。 【解析】 各项化简为、、。 原式。 课堂练习 课堂练习2（3）　分数被开方数 计算： （3）。 【答案】。 【解析】 ，。 合并得，不同类的保留。 课堂练习 课堂练习3（1）　小数与带分数 计算： （1）。 【答案】。 【解析】 ；。 去括号后，原式。 课堂练习 课堂练习3（2）　同一字母的不同形式 计算： （2）。 【答案】。 【解析】 ，，。 原式。 课堂练习 课堂练习归纳：完整计算的检查 方法1 化简是否到位 ① 小数、带分数先化为分数。 ② 检查根号内能开尽方的因数。 ③ 结合字母条件， 确定移出后的符号。 方法2 合并是否准确 ① 同类二次根式的系数相加减。 ② 不同类二次根式分别保留。 ③ 复查去括号的变号和分数通分。 课堂小结 课堂总结 一个概念 同类二次根式：化成最简形式后，被开方数相同。 一个顺序 先化简，再合并；各项的正负号要跟随原项。 一个合并方法 同类项的系数相加减， 根式部分不变。 两处检查 括号前的负号是否处理正确？ 结果最简、同类根式已合并？ 针对训练 训练1　选择题 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，与的被开方数相同。 其余三式已经最简，被开方数都不是。 针对训练 训练2　填空题 计算：________。 【答案】。 【解析】 ，。 原式。 针对训练 方法总结：判定同类与直接合并 方法1 同类判定看最简形式 ① 先化简每一个二次根式。 ② 找出化简后的被开方数。 ③ 被开方数相同，才归入同一类。 方法2 合并只计算系数 ① 保留共同的根式部分。 ② 把根号外的系数相加减。 ③ 根号内的数不参与系数运算。 针对训练 训练3　判断并改错 判断：。 若错误，请改正并说明理由。 【答案】错误；应为。 【解析】 ，所以两项可以合并。 正确计算是。 二次根式相加，不能把被开方数直接相加。 针对训练 训练4　计算题 计算： 。 【答案】。 【解析】 三项分别化为、、。 系数和为。 针对训练 方法总结：纠正误算与分数系数 方法1 被开方数不能直接相加 ① 先检查各项能否化简。 ② 把同类根式作为共同部分。 ③ 系数相加减后再写结果。 方法2 分数系数准确通分 ① 化简时保留根号外的分母。 ② 把整数和分数系数统一计算。 ③ 最后约分，保持根式最简。 针对训练 训练5　含括号的计算 计算： 。 【答案】。 【解析】 去括号得。 化简得。 含的系数和为；含的系数和为。 针对训练 训练6　含字母的计算 已知，计算： 。 【答案】。 【解析】 三项化简后为、、。 去括号后，最后一项取正号。 系数和为。 针对训练 方法总结：括号与字母条件 方法1 括号前的符号决定变号 ① 减去括号，各项符号都改变。 ② 先写完整的去括号结果。 ③ 再按根式部分分类合并。 方法2 字母条件保障正确化简 ① 先确认各根式有意义。 ② 化简后比较完整的被开方数。 ③ 和或差可以为负数。 针对训练 训练7　应用题：两条路线 从到，经走的两段路分别长米、米。 直接从到的路长米。 走直达路线比经走少多少米？ 【答案】少走米。 【解析】 经的路程为米。 直达路程为米。 两条路线相差米。 针对训练 训练8　应用题：绳子的余量 一根长米的绳子，先剪去米，再剪去米。 余下绳子比计划需要的米少多少米？ 【答案】余下米，比计划需要的少米。 【解析】 两次共剪去米。 余下米。 计划需要米，还少米。 针对训练 方法总结：实际问题中的加减 方法1 路程比较先求各自总量 ① 按行走顺序列出各段路程。 ② 用加法求总路程，用减法求差。 ③ 化简后写出结果和长度单位。 方法2 用量问题逐次核对 ① 原有量减去已用量，得到余量。 ② 需要量减去余量，得到不足量。 ③ 答案对应所问，并核对大小。 $