20.2 二次根式的运算（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 -

第20章 二次根式 20.2 二次根式的运算 （第1课时）二次根式的加减 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 复习引入 本课学习目标 辨认同类 能先化简，再判断几个二次根式是否同类。 完成加减 能合并同类二次根式，正确处理分数系数和括号。 解释结果 能说明字母条件，并用根式加减解决数量比较问题。 复习引入 温故　从同类项到根式 口答：等于多少？把与化成最简二次根式。 答：；与。 解 同类项只把系数相加减。 两个根式化简后都含有。 方法：类比同类项，寻找相同部分。 注意：判断根式的共同部分要先化简。 知识讲授 实数运算的依据 实数的运算律和运算顺序，在二次根式运算中同样适用． 交换律、结合律可用于调整加法顺序。 有括号时，仍按已有的运算顺序计算。 复习引入 观察　化简后比较 把与化成最简二次根式，所得结果有什么相同之处？ 答：与；被开方数都是。 解 。 ，再比较最简形式。 方法：先化简，再比较被开方数。 注意：根号外系数可以不同。 知识讲授 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 关键词是“化成最简二次根式后”。 系数及其正负号不决定是否同类。 知识讲授 判定时比较哪一部分 相同的部分 与同类，最简形式都含。 不同的部分 与不同类，被开方数不同。 判断的顺序 先化简全部根式，再按最简形式的被开方数分类。 知识讲授 辨析　判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）与不是同类二次根式。 错 理由：化简为与，两式同类。 （2）与是同类二次根式。 对 理由：系数不同，但最简形式的被开方数相同。 （3）与是同类二次根式。 错 理由：两式已最简，被开方数不同。 方法：用最简形式判定。 注意：不要用系数或原式外观代替判断。 例题讲解 例 1 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？ （1） （2） （3） （4） （） （5） （） （6） （） 解第（1）题 ，提出因数。 解第（2）题 ，化简后含。 方法：找完全平方因数。 注意：化简后比较被开方数。 方法：化简后分类。 注意：它与含的式子不同类。 例题讲解 例 1 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？ （1） （2） （3） （4） （） （5） （） （6） （） 解第（3）题 。 解第（4）题 原式有意义推出；。 方法：把被开方数的分母化为平方。 注意：整个分数都在根号内。 方法：先确定移出根号的因式。 注意：可为负，但。 例题讲解 例 1 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？ （1） （2） （3） （4） （） （5） （） （6） （） 解第（5）题 ，且。 解第（6）题 由有意义知，提出因式。 方法：保留根号外的系数。 注意：由原式有意义知。 方法：先用绝对值表示移出的系数，再用条件。 注意：原式前的负号保留。 环节归纳 例1的分类结论 数的根式 与同类，化简后都含。 字母根式 与同类，化简后都含。 判断边界 按代数式的一般形式分类，不能用字母的特殊取值代替。 知识讲授 二次根式的加减 二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式．为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式． 先把每一项化成最简二次根式。 只合并同类二次根式，不同类的项保留。 知识讲授 合并只改变系数 类比整式 。 根式合并 。 符号随项 的系数是；系数运算不改变根式部分。 例题讲解 例 2 合并下列各式中的同类二次根式： （1） （2） 解第（1）题 的系数和为。 的系数和为。 解第（2）题 （） 两项都含，系数相减为。 方法：按根式部分分类，再算系数。 注意：系数连同正负号一起计算。 方法：字母系数按整式加减。 注意：多项式系数必须加括号。 例题讲解 变式 例 2 已知，合并同类二次根式： （1） （2） 解第（1）题 系数和为。 解第（2）题 同类系数。 方法：保留相同根式。 注意：系数为多项式时加括号。 方法：分数系数先通分。 注意：保留，不参与合并。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） 解第（1）题 化简为。 合并系数。 方法：先逐项化简，再合并。 注意：分母也要参加系数运算。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） 解第（2）题 去括号化简为。 分别合并含和的项。 方法：去括号后分两类合并。 注意：减去括号，括号内各项都变号。 方法总结 从化简到合并 化简检查 （1）把小数、分数写成便于开方的形式。 （2）根式最简后，再比较被开方数。 符号检查 （1）括号前是负号时，括号内各项都要变号。 （2）系数带符号参加通分和合并。 课堂练习 练习1 判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式： （1） 、、 （2） 、、（） （3） 、（）、（） 解第（1）题 是同类二次根式。 化简为、、。 解第（2）题 不是同类二次根式。 化简为、、。 方法：比较最简形式。 注意：根号外系数不能漏乘。 方法：比较完整的被开方数。 注意：按代数式形式判定，不代特殊值。 课堂练习 练习1 判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式： （1） 、、 （2） 、、（） （3） 、（）、（） 解第（3）题 是同类二次根式。 有意义推出，后两式化为、。 方法：先用条件确定系数的符号。 注意：三个最简形式均含。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 系数差。 解第（2）题 化简为。 方法：直接合并同类根式。 注意：和或差可以是负数。 方法：逐项化简后计算系数和。 注意：根号外的、不能漏乘。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 化为。 方法：通分合并同类项。 注意：不同类的保留。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） 解第（1）题 ，。 系数为。 方法：先把带分数化为假分数。 注意：括号内第二项去括号后是正号。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） 解第（2）题 （） 化为。 合并系数。 方法：统一为相同的根式部分。 注意：原式有意义要求。 环节归纳 计算结果的三项检查 最简了吗 各项根号内是否还有能开尽方的因数或因式？ 合并了吗 同类根式是否已合并，不同类根式是否分别保留？ 符号对吗 去括号的变号、根号外系数和字母条件是否都已核对？ 课堂小结 二次根式 的加减 同类判定 先把每一个二次根式化成最简形式，再比较被开方数。根号外系数的大小和正负不影响判断。 合并方法 同类二次根式的系数相加减，根式部分保持不变。存在不同类的最简根式时，在结果中分别保留。 顺序符号 有括号时按顺序计算，减去括号时各项都变号。分数系数先通分，整数系数也要一起参加运算。 条件应用 含字母时先检查根式有意义的条件。实际问题先明确总量与差量，列式化简后写出对应的单位。 特别提醒：先化简再合并，负号与系数都要跟随原项。 针对训练 训练1　选择：识别同类根式 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）。 A． B． C． D． 答：B 解 ，化简后被开方数是。 其余选项最简形式的被开方数均不是。 方法：先化简各选项。 注意：不能只比较原来的被开方数。 针对训练 训练2　填空：化简后合并 填空： （1） ________。 （2） ________。 解第（1）题 化为。 解第（2）题 ，系数相减。 方法：先化简再合并。 注意：根号外系数参与计算。 方法：确认同类再合并。 注意：相减可能得到零或负数。 针对训练 训练3　判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）。 错 理由：左边为。 （2）。 对 理由：系数相减为。 （3）已经不能合并。 对 理由：最简形式的被开方数不同。 （4）。 错 理由：去括号后应为。 方法：计算或用定义逐项判断。 注意：不同类根式不能直接把被开方数相加。 方法总结 同类判定与直接合并 先判定同类 （1）每项都化成最简二次根式。 （2）比较被开方数，系数不作为依据。 再完成合并 （1）同类根式只计算系数。 （2）不同类的最简根式分别保留。 针对训练 训练4　计算：四种同类合并 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 系数和为。 解第（2）题 化简后系数和为。 方法：分数系数先通分。 注意：符号随项。 方法：逐项化简。 注意：负数结果无需改成正数。 针对训练 训练4　计算：四种同类合并 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 系数和为。 解第（4）题 系数和为。 方法：把分数根式写为最简形式。 注意：根式外的分母保留。 方法：先找平方因数。 注意：第一项的系数需乘入。 针对训练 训练5　辨错：漏掉了什么？ 小明计算：。指出出错的一步并改正。 答：。 解 应先化简为。 合并时根式部分保持，系数。 方法：把错误定位到合并步骤。 注意：被开方数不随系数一起相加。 针对训练 训练6　计算：括号与两类根式 计算： （1） （2） 解第（1）题 去括号后化为。 两类分别合并。 方法：先去括号再分类。 注意：最后一项变为正号。 针对训练 训练6　计算：括号与两类根式 计算： （1） （2） 解第（2）题 化为。 合并含的三项。 方法：把负号作用到括号内每一项。 注意：含的项保留。 针对训练 训练7　字母条件与化简 已知，计算。 答：。 解 各项化为、、。 系数和为。 方法：统一根式部分后合并。 注意：同样满足原式与结果。 方法总结 括号与字母条件 先处理括号 （1）减去括号时，逐项改变符号。 （2）写出中间式后，再按根式部分归类。 核对字母范围 （1）保证每个原根式都有意义。 （2）移出平方因式时先用绝对值，再利用条件。 针对训练 训练8　分类：何时结果为零？ 已知，化简，并说明它等于的条件。 答：原式为；或时为。 解 先化简为。 若，任意均可；若，须。 方法：先合并，再按根式是否为零分类。 注意：不能直接除以可能为零的。 针对训练 训练9　比较：利用差判断大小 比较与的大小，并说明理由。 答：。 解 。 ，所以差为。 方法：先化简两式，再比较或作差。 注意：不要仅凭原被开方数的大小判断和。 针对训练 训练10　综合：化简后能否抵消？ 计算。 答：。 解 化简后系数为。 通分为。 方法：先统一根式部分，再集中算系数。 注意：括号内第二项也要变号。 方法总结 从代数式到实际数量 零值与比较 （1）先把表达式化简到可比较的形式。 （2）若要约去含字母的因式，先判断它是否为零。 总量与差量 （1）总量用加法，余量或差量用减法。 （2）结果对应所问，并核对单位和实际意义。 针对训练 训练11　应用：装饰绳还差多少？ 一根装饰绳长米，先剪去米，再剪去米。余下的绳子比下一项布置所需的米少多少米？ 答：还少米。 解 余量为米。 所需米，差为米。 方法：先求余量，再与所需量比较。 注意：“少多少”用所需量减去余量。 针对训练 训练12　应用：两条游览路线 公园的两条游览路线起点和终点相同。甲线两段分别长米、米，乙线两段分别长米、米。乙线比甲线少走多少米？ 答：少走米。 解 甲线长米。 乙线长米，差为米。 方法：先分别求总路程，再求差。 注意：两条路线的各段长度不能交叉相减后漏项。 $