专题09 因式分解的方法（期中真题汇编，上海专用）七年级数学上学期

专题09 因式分解的方法 7大高频考点概览 考点01 提公因式法分解因式 考点02 平方差公式分解因式 考点03 完全平方公式分解因式 考点04 综合运用公式法分解因式 考点05 综合提公因式和公式法分解因式 考点06 十字相乘法 考点07 因式分解的应用 地 城 考点01 提公因式法分解因式 一、填空题 1．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 3．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知：，，则______． 5．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：__________． 二、解答题 7．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 8．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 9．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 10．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 11．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 12．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：． 13．（25-26七年级上·上海黄浦·期中）因式分解： 14．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 一、单选题地 城 考点02 平方差公式分解因式 15．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 17．（25-26七年级上·上海·期中）填空：________． 18．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：___________ 19．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：______． 20．（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 21．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 22．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： （1）_________， （2）________． 23．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_____． 三、解答题 24．（25-26七年级上·上海金山·期中）在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式进行因式分解． 25．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 26．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 27．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 28．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 29．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 一、单选题地 城 考点03 完全平方公式分解因式 30．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 32．（25-26七年级上·上海青浦·期中）若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 33．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：__________． 34．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）已知，则___________． 三、解答题 35．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 36．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 37．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式：； 38．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 39．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 一、解答题地 城 考点04 综合运用公式法分解因式 40．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 41．（25-26七年级上·上海金山·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 42．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 43．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 44．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 45．（25-26七年级上·上海宝山·期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 46．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 47．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 一、单选题地 城 考点05 综合提公因式和公式法分解因式 48．（25-26七年级上·上海·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 49．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 50．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式：________ ． 51．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：______． 三、解答题 52．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 53．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 54．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 55．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 56．（25-26七年级上·上海·期中）在括号内填入一个单项式，使得整式（   ）能因式分解．请你写出这个单项式并将整式因式分解．（请写出所有情况） 57．（25-26七年级上·上海金山·期中）因式分解：． 58．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 一、填空题地 城 考点06 十字相乘法 59．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 60．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：__________． 61．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 62．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 63．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：_______． 64．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：__________________． 二、解答题 65．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)． 66．（25-26七年级上·上海崇明·期中）分解因式： 67．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 68．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 69．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 一、单选题地 城 考点07 因式分解的应用 70．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 二、填空题 71．（25-26七年级上·上海·期中）若，，，，则，，的大小关系是________．（用“”号连接） 72．（25-26七年级上·上海金山·期中）一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 73．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为__________． 三、解答题 74．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 75．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 76．（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 77．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 因式分解的方法 7大高频考点概览 考点01 提公因式法分解因式 考点02 平方差公式分解因式 考点03 完全平方公式分解因式 考点04 综合运用公式法分解因式 考点05 综合提公因式和公式法分解因式 考点06 十字相乘法 考点07 因式分解的应用 地 城 考点01 提公因式法分解因式 一、填空题 1．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 【答案】 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．通过分组分解法，将原式分为两组，分别提取公因式后，再提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知：，，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，把所求式子因式分解得到，进一步变形得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：7． 5．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．通过观察多项式的各项，提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为 ． 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式即可解答． 【详解】解：原式中，系数最大公因数为2，变量部分公因式为和，则公因式为． ∴． 故答案为 ． 二、解答题 7．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 9．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 先凑出公因式，然后再提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 10．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ． 11．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为： 12．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．直接利用提公因式法分解因式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·上海黄浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解． 【详解】解： 14．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，先提公因式分解因式，再根据多项式乘以多项式的计算法则去小括号后合并同类项，进一步根据多项式乘以多项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 一、单选题地 城 考点02 平方差公式分解因式 15．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式；平方差公式适用于两个平方项的差，即形式为 ，需检查各选项是否可化为该形式． 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 16．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解，需检查各选项左边是否为多项式，右边是否为整式的积，且等式成立． 【详解】解：A、的等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、的等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 17．（25-26七年级上·上海·期中）填空：________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将等号右边的用平方差公式分解因式，再填空． 【详解】解：因为， 所以， 所以填， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：___________ 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的几种常用方法．利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 19．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 观察多项式发现符合平方差公式的形式，直接应用公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 20．（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 【答案】2 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，解二元一次方程组，利用平方差公式分解因式得到，根据题意可得是正整数，是正整数，再把64分解成两个正整数的乘积，进而建立关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）， ∴这样的正整数对有和，共2个， 故答案为：2． 21．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查因式分解，该表达式为二项式，通过观察可发现其符合平方差公式的形式，因此应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 22．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： （1）_________， （2）________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）根据十字相乘法可进行分解因式． 【详解】解：（1）， 故答案为； （2）， 故答案为． 23．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题可利用平方差公式对原式进行因式分解，需要先将原式变形为平方差的形式，再逐步分解．本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的形式以及多次运用公式的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 24．（25-26七年级上·上海金山·期中）在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式进行因式分解． 【答案】 ① ； ② ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，掌握平方差公式是解本题的关键． 根据平方差公式进行添加只含字母a的单项式即可． 【详解】解：略． 25．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法因式分解以及分解要彻底成为解题的关键． 先运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解，最后根据积的乘方化简即可． 【详解】解： ． 26．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先将原式整理为平方差的形式，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解，直至分解彻底即可． 【详解】解： ． 27．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】先对式子进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了因式分解的分组分解法、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 28．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解： =          =                     =                        =                =． 29．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解、整式的混合运算等知识点，掌握运用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简，然后再运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 一、单选题地 城 考点03 完全平方公式分解因式 30．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐项检查各选项是否符合该形式． 【详解】解：对于A：能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意； 对于B：，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意； 对于C：，能用完全平方公式分解，故符合题意； 对于D：，常数项应为，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意， 故选：C． 31．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 二、填空题 32．（25-26七年级上·上海青浦·期中）若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【详解】解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 33．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．熟悉根据完全平方公式进行因式分解，是解题的关键．可以将看作一个整体，根据完全平方公式将原式转化为即可． 【详解】解：， ， ． 34．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）已知，则___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出的值，再利用完全平方公式分解因式可把原式变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为：6． 三、解答题 35．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简、因式分解、“配方法”的应用，熟练掌握利用“配方法”得到完全平方式是解题的关键． （1）通过“配方法”得到完全平方式，进行因式分解即可； （2）通过将分成与的和，得到两个完全平方式，根据完全平方式的值大于等于0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于， 则， 解得， 因此的值为． 36．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键，先提取负号，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 37．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式：； 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先利用十字相乘法分解因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 38．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了利用分组分解法分解因式，涉及了完全平方公式、平方差公式，正确进行分组是解题的关键． 将分组为，然后利用完全平方公式及平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 39．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先利用十字相乘法因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可． 【详解】解： 一、解答题地 城 考点04 综合运用公式法分解因式 40．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．先用完全平方公式进行计算，然后用平方差公式，进行计算即可． 【详解】解： ． 41．（25-26七年级上·上海金山·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先分组，再利用乘法公式分解因式即可； （4）把当成一个整体，利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 42．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，首先阅读材料、掌握材料分解因式的方法，类比材料中提供的解题思路解答即可． 首先在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式； 在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： 44．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先由完全平方公式把前三项因式分解，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 45．（25-26七年级上·上海宝山·期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 【答案】（1）1；25；121；361（2） （3）证明：∵ ∴ 【分析】本题考查了规律型:数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）根据有理数的乘法和加法可以计算出相应的结果； （2）根据题目中式子的特点，可以写出第n行的等式； （3）根据因式分解的方法可以说明第n行等式成立的理由． 【详解】解：（1）第一行：； 第二行：； 第三行：； 第四行：； 故答案为：1；25；121；361； （2）第n行的等式是：， 故答案为：； （3）略 46．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 47．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解的应用，整式的除法； （1）根据当时，，得多项式必有一个因式，设，然后比较同类项的系数，进而可得出答案； （2）根据多项式既能被整除，又能被整除，得当或时，，将代入整理得①，将代入整理得②，再由①②解出，的值即可． 【详解】（1）解： 当时，， 多项式必有一个因式， 设， ， 比较同类项的系数得：，， 由，解得：， 由，解得：， ； （2）解：多项式既能被整除，又能被整除， 多项式必有因式和， 当或时，， 当时，， 整理得：①， 当时，， 整理得：②， ①②，得：， ， 将代入②，得：． ，． 一、单选题地 城 考点05 综合提公因式和公式法分解因式 48．（25-26七年级上·上海·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的方法，利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、 ， 故选：． 49．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式是因式分解，符合题意； B、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 50．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式：________ ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 综合利用公式法分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 51．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．观察各项有公因式，提取后剩余部分根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：原式． 故答案为： 三、解答题 52．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 53．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 利用完全平方公式和单项式乘以多项式计算展开，然后合并同类项，再进行因式分解即可． 【详解】解： ． 54．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解： ． 55．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 56．（25-26七年级上·上海·期中）在括号内填入一个单项式，使得整式（   ）能因式分解．请你写出这个单项式并将整式因式分解．（请写出所有情况） 【答案】①，； ②，； ③，； ④，； ⑤，． ⑥， 【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去x或者都符合题意；由于，那么添加分组法因式分解也符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式再平方差公式因式分解也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：①填入时， 原式 ； ②填入时， 原式 ； ③填入时， 原式 ； ④填入时， 原式 ； ⑤填入时， 原式 ． ⑥填入 原式 57．（25-26七年级上·上海金山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 58．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 一、填空题地 城 考点06 十字相乘法 59．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 60．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握十字相乘法的原理（找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项）是解题的关键． 通过十字相乘法，寻找两个数，使其和为，积为，进而对二次三项式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 61．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法对二次三项式进行因式分解；通过寻找两个数，其乘积为二次项系数与常数项的乘积，且和为一次项系数，从而分解因式. 【详解】解： 原式 故答案为：. 62．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 【答案】9或12或21 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 63．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 64．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：__________________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 二、解答题 65．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，关键是掌握公式法（完全平方和（差）和平方差公式）和提公因式法结合使用即可得出结果． （1）将看成整体，应用完全平方公式因式分解，再利用十字相乘法分解即可得出结果； （2）利用平方差和完全平方公式分解因式即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 66．（25-26七年级上·上海崇明·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式，十字相乘法分解因式就是把三项式的两个平方项分别分解成两个单项式的乘积，单项式交叉相乘的和等于中间项，然后再横向书写． 【详解】解： ． 67．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先整体思想，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 . 68．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解﹒根据十字相乘法公式进行分解即可﹒ 【详解】解：﹒ 69．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因式，然后再运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 一、单选题地 城 考点07 因式分解的应用 70．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，通过计算 M 与 N 的差值并因式分解，结合的条件判断符号，从而比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选： C． 二、填空题 71．（25-26七年级上·上海·期中）若，，，，则，，的大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，分解因式，通过计算y与x的差以及z与y的差，利用已知条件判断差值符号，从而确定大小关系． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵，，， ∴ ， ， ∴，，即，， ∴． 故答案为：． 72．（25-26七年级上·上海金山·期中）一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 【答案】、 【分析】本题考查新定义、有理数的混合运算、因式分解，解题的关键是读懂题意，理解“间倍数”的概念． 根据题意求得，根据都能被整除，得或或，再根据，分类求得或，结合是四位数，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解： ， ∵无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除， 能被整除，即能被整除， ， 或或，满足能被整除，即能被整除， ∵， 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 综上所述，符合题意的“间倍数”为、， 故答案为：、． 73．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将给定表达式通过因式分解和约分进行化简． 【详解】解：长方形的面积为， 因为长方形的长为， 所以宽为：． 故答案为：． 三、解答题 74．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 【答案】(1) (2) 是，理由如下： ， （是整数）是“完全数”； (3) (4) 证明：设，（为整数）， ， 、b、c、d是整数， ，都是整数， 是完全数． 【分析】本题考查新定义，因式分解的应用，掌握“完全数”的定义是解题的关键． （1）根据“完全数”的定义即可解答； （2）根据“完全数”的定义即可解答； （3）利用完全平方公式将S配成“完全数”，即可解答； （4）设，（为整数），再证明即可． 【详解】（1）解：， 是完全数， 故答案为：（答案不唯一）； （2）略 （3）解：时，S为“完全数”，理由如下： ， 对于任意整数x、y，S都是“完全数”，，也是整数， ∴，即，S是完全数； （4）略 75．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 【答案】(1) ， 大正方形的边长为， (2) (3)张 【分析】此题主要考查了列代数式、整式的混合运算： （1）利用正方形的面积等于边长的平方，结合完全平方公式得出边长； （2）运用完全平方公式得出型卡片的张数； （3）设大正方形边长为，分析的取值． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， 张型正方形卡，大正方形的边长是， 故答案为：9，； （3）解：设大正方形边长为， 大正方形的面积为：（为正整数）， 三种不同型号的卡片各最多是9张： ：，：，：， 每种卡片至少取1张， 要使面积最大，需让最大因， 逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大， 代入，得， 故， 型卡片数量：， 型卡片数量：， 大正方形边长：， 总面积：， 此时三种不同型号的卡片总数为：张． 76．（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1) (2)m、n的值分别为和0； (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先试根和，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： 当时，， 当时， ∴，是多项式的一个因式， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 77．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． 【答案】 【分析】由于整式可以写成两个因式的积，且其中一个因式已知，可设另一个因式为，通过比较系数求解即可．本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 比较系数得，， 解得，， ∴另一个因式为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $