福建省泉州市培元中学2026-2027学年九年级上学期 第一次 数学学情调研

2026秋初三年（第一次）数学学情调研 (考试时间：120分钟；满分：150分) 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（共40分） 1.将方程2x2=3x一6化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为( A.2,-3,6 B.2,-3,18 C.2,-3,-6 D.2,3,6 2.下列长度的各组线段，是成比例线段的是() A.3cm,6cm,7cm,9cm B.2cm,8cm,6cm,5cm C.3cm,9cm,18cm,6cm D.1cm,2cm,3cm,4cm 3.方程x2-x+3=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 4.若一元二次方程x2+mx+n=0的两根为二1和3，则n的值是() A.-3 B.3 C.-2 D.2 5.在△ABC和△ABC中，AB=9cm,BC=8cm,AC=5cm,A'B=4.5cm,BC=2.5cm, AC=4cm.下列说法错误的是() A.△ABC与△ABC相似 B.AB与AB是对应边 C.两个三角形的相似比是2 D.BC与B'C是对应边 6.矩形相邻的两边长分别为25和x(x<25),把它按如图所示的方式分割 25 成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为() A.5 B.5V5 C.5v10 D.10 D 7.如图，AC,BD相交于点O,AB/DC,M是AB的中点，MN//AC,交BD 于点N若D0:0B=1:2,AC=12,则MN的长为() A.2 B.4 C.6 D.8 8.关于x的一元二次方程(m一2)x2+(2m+1)x+m-2=0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是( Am>是 B.m>3且m≠2 c.- <m<2 D.<m<2 第1页，共4页 9.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为AB,AD边上两点， BE=AB,AF=AD,连接AC,EF交于点P,若△AEP的面积为 S,则△APF的面积为( AsB.名sC吕sD.s 10.已知实数a,b,c,p,q,其中a≠0，满足p+q=p9=后以下说法：①b2-4ac≥0：②p, g是关于x的一元二次方程2+bx+c=0的两个根；③p-gl=2;④若a,b,c均为 lal 奇数，则p,g可能都为整数其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（共24分） 11.一元二次方程x2-1=0的实数根是 12.已知号=子则。2的值为 13.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC,若AD=3, DB=5,DE=2,则BC= 14.已知a,b分别是方程x2+2x-5=0的两根，则a4+4a+2b的值为 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点P,Q分别为 AB,BC上的动点，将aPQB沿PQ折叠，使点B的对应点D恰好落在边AC 上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=5,AB=3,D是线段BC 上一动点，连接AD,以AD为边作△ADE∽△ABC,N是AC的中点，连接 NE当线段NE最短时，CD= 三、解答题（共86分） 17.(8分)解方程：(1)x2-2x-15=0. (2)4x(2x+1)=3(2x+1). 18.(8分)如图，l1/2/,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的长. E 19.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F、G分别在边BC、CD 上，连接AF、EG,若BF=3,DG=三，求证：△ABF~△EDG. 第2页，共4页 20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-ax+a一1=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求α的值. 21.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°. (I)请用尺规作图法，在边AB上找一点D,连接CD,使得△ACD~△ABC (保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若已知BD=3,CD=4,求AB的长. 22.(10分)某公司通过技术创新开发了一条芯片生产线，开工第一季度生产200万个芯片， 第三季度生产288万个芯片. (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率. (2)1条生产线最大产能是600万个/季度若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减 少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入 成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该需要几条生产线？ 23.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P为△ABC内部一点，且∠APB= ∠BPC=135°. 求证：(1)△PAB~△PBC; (2)PA=2PC. 第3页，共4页 24.(13分)我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，在数学史上， 人类还研究过利用几何法求解一元二次方程.下面是阿拉伯数学家阿尔花拉子米利用几何法求 x2+2x-35=0正数解的过程：如图1是由一个边长为x的正方形、两个相邻边长分别为x 和1的矩形以及一个边长为1的小正方形构造成的一个大正方形根据构造的图形，我们可以 利用正方形的面积公式求得大正方形的面积为(x+1)2;同时，大正方形的面积又等于图中各部 分图形面积之和，即x2+2x+1.根据原方程我们得到x2+2x=35,进而可得方程(x+1)2= 35+1.由于在图形中x表示的是线段长，因此能得到方程的一个正数解x=5. ② ④ 图1 图2 (1)【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是() A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.整体代换思想 (2)【类比迁移】请参照上述构造图形的方法，求出一元二次方程x2+6x一55=0的正数解（请 画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程) (3)【拓展应用】类似地，你能否通过“利用不同的方式表达立体图形组合体的体积”的方式， 求特殊的一元三次方程的解？如：求方程x3+9x2+27x=973的解， 类比平面图形的研究，现准备以下立体图形： 需要准备图2①中的几何体 块：需要准备图2②中的几何体 块； 需要准备图2③中的几何体 块需要准备图2④中的几何体 块； 请直接写出方程x3+9x2+27x=973的正数解x= 25.(13分)如图，已知：在矩形ABCD中，E是边CD的中点，AF⊥BE,垂足为F,AF的延长线 交BC于点G,连接DF, (1)求证：△ABG~△BCE, (2)如果BF=2,EF=15,求AF的长. (3)求证：BG·DF=2CE2. B 第4页，共4页