八年级数学上学期期中学情自测·培优卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：第1章 因式分解～第3章 二次根式）

八年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 因式分解~第3章 二次根式 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）使二次根式有意义的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京通州·期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期末）下列说法正确的是（     ） A．分式值为0，则的值为 B．分式是最简分式 C．无论为何值总有意义 D．代数式是分式 4．（26-27八年级上·湖南·期中）计算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南周口·期末）如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 8．（25-26八年级上·陕西安康·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 9．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，，则______． 12．（25-26八年级下·四川广元·期中）已知，则的值为______． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 14．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 15．（25-26八年级下·山东青岛·期末）对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 16．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）生活中我们经常用到密码，有一种密码的产生采取以下方式：，当，都取时，各因式的值是，，，于是可以把“”作为一个六位数密码．类似的对于多项式，当、都取时，最小的位密码是__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1) (2)． 18．（6分）（26-27八年级上·湖南·期中）计算： (1)； (2)． 19．（8分）（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）按要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中． (2)解方程：． 20．（8分）（25-26八年级下·广东佛山·期末）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔200支以上（含200支），可以按批发价付款；购买铅笔数量小于200支只能按零售价付款．已知零售价是批发价的1.2倍．某学校开展区域性会议，需要购买一批铅笔，学校派采购人员小明到该店购买铅笔，花108元钱给参会人员每人买1支铅笔，回来后小明算了一下，发现如果再多买20支，反而可以少花8元钱． (1)在该文具店购买铅笔的批发价是每支多少元？ (2)某学校计划在该文具店购买支铅笔，求购买所需的费用（用含有的式子表示）． 21．（10分）（25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：____________；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：________________________（直接列出等式即可） (3)若，，为实数，，，利用（1）的结论求的值； 22．（10分）（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法：       即，所以． (1)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，(其中、代表两个被污染的系数)，他列出了下列竖式： 得出□= ，△= ． (2)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了： (*)(*代表一个多项式)，请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 23．（12分）（25-26八年级上·福建三明·期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： (1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 24．（12分）（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）使二次根式有意义的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：使二次根式有意义，则 ， 解得． 2．（25-26七年级下·北京通州·期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：，含因式，故A不符合题意； B选项：，含因式，故B不符合题意； C选项：，不含因式，故C符合题意； D选项：，含因式，故D不符合题意． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期末）下列说法正确的是（     ） A．分式值为0，则的值为 B．分式是最简分式 C．无论为何值总有意义 D．代数式是分式 【答案】C 【详解】解： A选项，分式值为0需要满足且，解得，故错误； B选项，∵，∴分子分母有公因式，∴不是最简分式，故错误； C选项，∵，∴，∴分母恒不为0，∴无论为何值总有意义，故正确； D选项，∵是常数，分母不含字母，∴是整式，不是分式，故错误． 4．（26-27八年级上·湖南·期中）计算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解，不符合题意； C、 ，能用平方差公式分解，符合题意； D、，不能用平方差公式分解，不符合题意． 6．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义处理：被开方数的因数是整数，因式是整式；不含开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．的根指数为3，不是二次根式，不符合题意． 7．（25-26八年级上·河南周口·期末）如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．依题意，分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的a和b都缩小到原来的， 则变化后的分式为， 即分式的值缩小为原来的， 故选：A． 8．（25-26八年级上·陕西安康·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的解法．解分式方程得到 ，根据解是非负数且分母不为零的条件，得到的取值范围即可． 【详解】解：，且 ， ∴ 方程化为 。 两边同乘得到，， 解得， ∵ 解是非负数， ∴ ， 即 ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴n的取值范围是且， 故选： A 9．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 10．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】拼成的正方形的面积等于三类砖的面积之和，求出三类砖的面积之和并分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴小明拼成正方形的边长是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，，则______． 【答案】 【分析】先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：，， ． 12．（25-26八年级下·四川广元·期中）已知，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 【答案】0或1 【分析】首先可将转化为，消去分母将分式方程转化为整式方程；再分类讨论分式方程无解的情况，第一种是化简后的整式方程无解，第二种是使原分式方程的分母为0的情况，进而求解a的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 【点睛】分式方程无解包含两种情况：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根． 14．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·山东青岛·期末）对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 【答案】 【分析】按照新运算规则代入对应分式，再根据同分母分式的减法运算法则、因式分解、约分化简即可得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，令，代入运算得： ． 16．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）生活中我们经常用到密码，有一种密码的产生采取以下方式：，当，都取时，各因式的值是，，，于是可以把“”作为一个六位数密码．类似的对于多项式，当、都取时，最小的位密码是__________． 【答案】 【详解】解： 当时，， ∴最小的位密码是：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式整理为平方差公式的标准形式，利用平方差公式分解后化简即可； （2）把看作整体，先十字分解，再利用完全平方公式分解至彻底即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 18．（6分）（26-27八年级上·湖南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用二次根式的性质化简，再运用二次根式的除法运算法则，然后合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式、二次根式的乘法运算进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．（8分）（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）按要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中． (2)解方程：． 【答案】(1) 化简结果为，值为 (2) 原方程无解 【分析】（1）根据分式的运算法则、因式分解计算； （2）根据分式方程的解法计算． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式； （2）解：， ， 两边同乘，得， ， ， ， 当时，，分式方程无意义， ∴原方程无解． 20．（8分）（25-26八年级下·广东佛山·期末）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔200支以上（含200支），可以按批发价付款；购买铅笔数量小于200支只能按零售价付款．已知零售价是批发价的1.2倍．某学校开展区域性会议，需要购买一批铅笔，学校派采购人员小明到该店购买铅笔，花108元钱给参会人员每人买1支铅笔，回来后小明算了一下，发现如果再多买20支，反而可以少花8元钱． (1)在该文具店购买铅笔的批发价是每支多少元？ (2)某学校计划在该文具店购买支铅笔，求购买所需的费用（用含有的式子表示）． 【答案】(1)该文具店购买铅笔批发价是每支0.5元 (2)当时，购买费用为元，当时，购买费用为元 【分析】（1）设该文具店购买铅笔批发价是每支元，则零售价是每支元，根据“花108元钱给参会人员每人买1支铅笔，回来后小明算了一下，发现如果再多买20支，反而可以少花8元钱”列分式方程求解即可； （2）求出零售价格，进而根据“凡一次性购买铅笔200支以上（含200支），可以按批发价付款；购买铅笔数量小于200支只能按零售价付款”作答即可． 【详解】（1）解：设该文具店购买铅笔批发价是每支元，则零售价是每支元． 根据题意得， 解得， 经检验，是方程的根且符合题意； 答：该文具店购买铅笔批发价是每支0.5元； （2）解：由（1）知，零售价格为元， 当时，购买费用为元， 当时，购买费用为元． 21．（10分）（25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：____________；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：________________________（直接列出等式即可） (3)若，，为实数，，，利用（1）的结论求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）作出图形，根据图形进行因式分解即可． （3）由得，然后展开，代入数据计算即可； 【详解】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． （2）解：如图所示： 由图可得，． （3）解：， ． ， ． ∴． ∴． 22．（10分）（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法：       即，所以． (1)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，(其中、代表两个被污染的系数)，他列出了下列竖式： 得出□= ，△= ． (2)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了： (*)(*代表一个多项式)，请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据竖式除法的运算方法先确定表示的数，然后确定代表的数； （2）利用列竖式除法的结果进行分解． 【详解】（1）仿照例题，得：， 则有， ，； （2）仿照例题，得： ∴ 23．（12分）（25-26八年级上·福建三明·期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： (1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是分母有理化的应用、实数的大小比较、二次根式有意义的条件，解题关键是根据分母有理化理解分子有理化的方法． （1）根据题意进行分子有理化即可得解； （2）先根据材料分别给和分子有理化，然后再进行比较即可； （3）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后对无理数部分分子有理化，求最大值即可． 【详解】（1）解：依题得：， 故答案为：； （2）解：， ， 而， ， ； （3）解：，， ， ， 当时，分母有最小值， 有最大值是． 24．（12分）（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 【答案】(1)解：A与B是和定分式，且，理由如下： ∵，， ∴， ∴A与B是和定分式，且； (2) (3)2， 【分析】（1）求出的结果即可得到结论； （2）设（k为常数），则可推出，根据分式D为真分式，得到M的次数小于等于1，据此求出k的值即可得到答案； （3）设（k为常数），则可推出，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，且C与D互为“和定分式”， ∴可设（k为常数） ∴， ∴ ∴， ∵分式D为真分式， ∴M的次数小于等于1， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，（a，b为常数），E与F互为“和定分式”， ∴可设（k为常数）， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $