第二章 实数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 第二章实数单元强化卷，立足基础巩固与能力提升，覆盖二次根式、无理数、平方根等核心知识点，通过新定义、文化素材及实际应用问题，培养运算能力与推理意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式、无理数判断、数轴上的实数|结合数轴考查实数几何意义，体现几何直观| |填空题|6/18|立方根、秦九韶公式应用、规律探究|引用秦九韶“三斜求积”，渗透文化传承| |解答题|9/72|二次根式运算、根整数新定义、数值转换器|设计“根整数”新定义及数值转换器，培养创新意识与运算能力|

第二章 实数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，一定是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、一定是最简二次根式； B、中的被开方数，无意义，不是最简二次根式； C、当时，，则无意义；当时，；则此项不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 2．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：我们把无限不循环小数叫做无理数，而整数和分数都属于有理数： 选项A的0是整数，属于有理数； 选项B的是负整数，属于有理数； 选项C的是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 选项D的是分数，属于有理数． 3．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：，是最简二次根式，且与可以合并， 两个最简二次根式的被开方数相等，即，解得． 4．如图，在数轴上点A 表示的实数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由勾股定理得 ∴在数轴上点A 表示的实数是． 5．在实数，，，，，，，中，正有理数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，是正整数，属于正有理数； 是正分数，属于正有理数； ，是正无限循环小数，属于正有理数； 既不是正数，也不是负数，不属于正有理数； 是负数，不属于正有理数； 是无理数，不属于正有理数； 综上，正有理数共有5个． 6．下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 【答案】D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 7．已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 8．定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，运算中， ，满足， 按定义得， 代入计算. 9．已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，且，，， ∴ ，，， 解得，，， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，和为直角边， ∴三角形面积． 10．已知，且的值是有理数，为整数，则的值为（     ） A． B． C．12 D．60 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∴， ∵是无理数，m为整数，是有理数， ∴，解得． ∴． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．27的立方根是________． 【答案】3 【详解】解：∵ ， ∴的立方根是． 12．比较大小：____1． 【答案】＜ 【详解】，，即， 不等式三边同时减，得． 13．计算：_____． 【答案】 【详解】解： ． 14．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 【答案】 【详解】解：三角形三边长满足，最长边为，最短边为， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∵边长为正数， ∴， ∵，符合条件， ∴它的第三边长为． 15．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． 16．已知，，，，比较、、的大小___________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ，即， ∵正数中，倒数越大，原数越小， ∴． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：正数的两个不相等的平方根为和， ，，， ， 1分 ， ， ， ． 3分 （2）把，代入得： ， ， ， ， 为正数， ． 6分 18．计算题 (1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； 2分 （2）解： ； 4分 （3）解： ． 6分 19．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：________，________，________； (2)求的平方根． (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得：； ∵的立方根是， ∴， 2分 ∴， 解得：； ∵是的算术平方根， ∴． 3分 （2）解：由（1）可得：，； ∴， ∴的平方根为． 4分 （3）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； ∴，， ∴． 6分 20．对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 【详解】（1）解：, ； 1分 , ， ； 2分 ， ． 3分 （2）解：， ， ， 又∵为整数， ． 4分 （3）解：， ,， ，， 原式． 6分 21．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； 2分 （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； 4分 （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 6分 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 8分 22．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． 3分 （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， 5分 ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 8分 23．观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； 第4个等式：，即； 第5个等式：，即； …… 第8个等式：，即． 2分 （2）解：第n个等式为． 4分 （3）解： ． 8分 24．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：； (3)计算： 【详解】（1）解：小莉的化简结果正确， 1分 理由如下： ∵ 4分 （2）解： 6分 （3）解： 8分 ． 12分 25．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 【详解】（1）① ； 2分 ② ． 4分 （2）解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． 6分 （3）解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 9分 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 12分 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章实数（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 2 3 4 5 6 > 8 9 10 A C C B D A D A 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.3 12.< 142+V5 13. 5 14.210 8 2025 15.9 2026 16.x>y>z 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：正数x的两个不相等的平方根为m和m+n, m+(m+n）=0.m2=x,(m+n=x ∴.2m+n=0, 1分 n=16, ∴.2m+16=0 ∴m=-8, .x=m2=(-8)2=64 3分 （②把m=,(m+=代入mx+(m+x=32得： 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+x2=32 .2x2=32 x2=16, x=±4， x为正数， X=4.… 6分 18. 【详解】(1)解，(35-22+66 =27-12V6+8+6√6 =35-6V6 .2分 (2)解，225+5 4 =12x3÷52 10v36*2 18 Γ10 -3 10… 4分 )解.（5+2-⑧+8x =345+4-45+y =7+√4 =7+2 =9.6f 19. 【详解】(1)解：：2a-1的平方根是±3， 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :2a-1=(32=9 解得：a=5; .25+b的立方根是3， 25+b=3 2分 .25+b=33=27, 解得：b=2: m是7的算术平方根， m= 3分 (2)解：由(1)可得：a=5,b=2: .2a+3b=2×5+3×2=16, .2+3b的平方根为士4.… 4分 3)解：由(1)得m=V7 4<7<9, .2<√7<3 :”的整数部分是2，小数部分是 7-2 :x=2.y=V7-2 :y-x=7-2-2=V7-4 6分 20. 【详解】(1)解： V25=5 「V25=5 1分 22=4,32=9 2<7<3, 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 []=2 .2分 273 3分 2解：[6]-1 1≤Vb<2 .1≤b<4, 又，b为整数， .b=1,2,3 4分 (3)解：(-2=-8(-3)=-27.2=43=9 .-3<-10<-22<V5<3 [-10]=-3[5]=2 ∴原式=-3-2=-5 .6分 21. 【详解1山)解：当=-7时.K-27-29.9=3,3不是无理数。 V35 再求算术平方根⊙， 是无理数， ÷当输入的为7时，输出的'值是5 5 故答案为： 2分 (2)解：算术平方根是它本身的数为0,1，而且0,1为有理数， 当k-2=0或-21 时，始终输不出y值， 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=2或x=3或x=1: 故答案为：2或3或1； 4分 (3)解：若第1次运算是V6 :(6=6, :k-2=6 解得x=8或x=-4, x为负整数， ∴输入的x值为-4： 6分 若第2次运算是V6】 :(6j=6,6=36, :k-2=36 解得x=38或x=-34, ,x为负整数， .输入的x值为34， :时<36 .X的负整数值为-4或-34..8分 22. 【详解】(1)解：V25<V35<V56 :5<35<6 :2-55-(-4)=6-V55>0 .2-V35>-4.. 3分 (2)解：，第一块面积为5m2,第二块面积为3m2, 518 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第-块的边长为5m √5m ,第二块的边长为 设第一块玻璃的边长比2m多出的长度为a,第二块玻璃的边长比2m少的长度为b, :a=5-2.b=2-5 :a-b=5-2-(2-)=5+5-4 ……万 1.752=3.0625,2.252=5.0625, :5<225.5<1.75 .5+3<4,即a-b<0 .第一块玻璃的边长比2m多出的长度小于第二块玻璃的边长比2m少的长度.8分 23. 【11元5与a-, 第2个等式： 2+1 第3个等式： 第4个等式： 4+1 V4+1: 第8个等式： (8+1)- 1 17 2x8+18×8+1,即9,8g 8+1 .2分 n+1-2n+1n1 (2)解：第n个等式为Vn+1 =h71十1.4分 618 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4051 4049 4047 2026 ×V2026+ ×√2025 2024 (3)解： /2025- 2026 √2024 2025 2024 =2025×2026 1 1 1 2026+2024× ×V2025-2023× ×V2024 V2025 2024 =2025+2024-2023 =2026 8分 24. 【详解】(1)解：小莉的化简结果正确，1分 理由如下： v7-210 =V2-2W2×5+5 -V(W2)2-22×V5+(5 =VW2-5 =V2-5 =V5-2 ..4f (2解：3+25=2+22+1=2+=反+1 .6分 （8)解：（个5-2万+5-26+7-2++4053-22026x207×v2027+1） （2-+vW3-2+v不4-可++v2027-2026不2027+1) 8分 =(V2-1+5-2+V4-3++√2027-2026)×W2027+1） =(√2027-1×(2027+1 =2027-1 =2026.12分 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25. 【详解】山04-25=0+)23=f+5-2x1x5=0-5:2分 ②10+2i-3+7+25x7-(5+7列+25xV万=(5+7.…4分 (2)解：“a+2万=(m+Vn ∴a+2万=(m+(n+2mn=m+n+2mm 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： a=m+nb=mn...... 6分 (3)解：根据题意，正方形DHFM的面积为 (8-2v15)cm2 8-2w5=6+5)-23x5=(5+(3-25.5=(W5-5 边长D=5-V5 (cm). 正方形BEFG的面积为(23+4Vi下)cm2 9分 :23+4w15=23+24×15=23+2W60=(V20+2203+(3=(20+v5 边长BE=20+V5=2W5+ (cm。 由图可知，正方形ABCD的边长D=+HD=V5-5+25+5=35 正方形ABCD的面积为(5=45 .12分 818 第二章 实数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，一定是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 3．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 4．如图，在数轴上点A 表示的实数是（    ） A．2 B． C． D． 5．在实数，，，，，，，中，正有理数的个数是（     ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 7．已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 8．定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 9．已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 10．已知，且的值是有理数，为整数，则的值为（     ） A． B． C．12 D．60 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．27的立方根是________． 12．比较大小：____1． 13．计算：_____． 14．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 15．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 16．已知，，，，比较、、的大小___________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值；(2)若，求的值． 18．计算题 (1) (2) (3) 19．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：________，________，________； (2)求的平方根． (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 20．对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 21．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 22．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 23．观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 24．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：； (3)计算： 25．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $