第十二章三角形单元练习2025-2026学年北京版八年级数学上册

第十二章 三角形 单元练习 一、单选题 1．下列各组给出的两个图形中，全等的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（    ） A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，13，6 D．5，12，13 3．如图，在中，，是边上的高，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．一个三角形的三边长分别为6，10，，另一个三角形的三边长分别为，6，8，若这两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，与在直线同侧，点在线段上．已知：，当时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 6．如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 10．如图，的外角的平分线交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知图中的两个三角形全等，则 ． 12．如图，，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 13．如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是 ． 14．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则长的取值范围是 ． 15．如图，是等腰的角平分线，，，过点B作，且，连接交于点F，交于点P，点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，连接、，下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中，正确的结论是 （请填入正确的序号）． 三、解答题 16．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若，求的度数． 17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)连接，则五边形的面积为__________. 18．如图，为的角平分线，E为的中点，交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：为等腰三角形． (2)求证：． (3)求的值． 19．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 20．在中，，点在边上，，点是平面内一点，连接，，，． (1)如图1，当点在边上时，连接． 求的度数； 求证：； (2)如图2，当点在的内部时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C C A B C D 1．C 【分析】本题主要考查了全等图形的定义，准确分析判断是解题的关键． 根据全等图形的定义，即能够完全重合的两个图形是全等图形判断即可； 【详解】根据已知条件分析可得，、、三项不是全等图形，项两个图形全等； 故选． 2．C 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，判断时只需验证两条较短边的和是否大于最长边即可． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边．对于每组数，只需检查两条较短边的和是否大于最长边． 【详解】解：对于选项A：∵，∴能组成三角形； 对于选项B：∵，∴能组成三角形； 对于选项C：∵，∴不能组成三角形； 对于选项D：∵，∴能组成三角形． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键． 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】解： ， ∴． 故选B． 4．A 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，即可得到，然后代入算出答案即可． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为6，10，，另一个三角形的三边长分别为，6，8，当这两个三角形全等， ， ， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，根据三角形的外角的性质可得，进而在中，根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了作图-基本作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 根据作图过程可得，，又，可以证明，即可得结论． 【详解】解：根据作图过程可知： ， 又， ， ， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质得到，进而作答即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长． 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至E，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至E，使，连接 ∵是上中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∵，， ∴ 即， ∴ ∴． 故选C． 10．D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容，解题的关键是掌握以上性质，并且巧妙添加辅助线构造全等三角形． 过点P作于点G，可证明，则有，；同理得，，则，，再利用证明，得，则可判定①②③；由三角形全等则面积相等可判定④；在上截取，连接，先由边角边证明，得，，再由边边边证明，得，即可判定⑤，最后确定结果． 【详解】解：如图，过点P作于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； 同理得， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴周长为， 即①正确； ∵ ， 即②正确； ∵， ∴在线段的垂直平分线上， 即垂直平分线段，但不垂直平分线段， 即③错误； ∵，， ∴， ∴ ， 即④正确； 在上截取，连接，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴， 即⑤正确； 综上，正确的有①②④⑤，即4个正确， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形对应角相等来确定的度数． 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，找到与对应的角，从而得出的度数． 【详解】解：因为两个三角形全等，在左边的三角形中，边长为和的两边的夹角是，右边的三角形中，边长为和的两边的夹角为， 根据全等三角形对应角相等，所以． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，求三角形的高的长． 根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵为的中线，的面积为6， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．6 【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形中线的性质，根据三线合一定理得到，则由三角形中线平分三角形面积可得；可证明，则根据图形面积之间的关系可得． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短．如图，过点作于点，根据角平分线的性质得，根据垂线段最短，则点与点重合时，最小，于是得到的最小值为．解题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为， ∴点与点重合时，最小，最小值为， ∴长的取值范围是． 故答案为：． 15．①②④ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、角平分线定理、全等三角形的性质与判定，根据轴对称的性质找到最短路径是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法证得，进而证得；根据角度之间的关系，证得，进而证得；根据证得得到和；连接，当、、三点共线，且时，有最小值，根据直角三角形的性质证得最小值为，据此进行逐一判断即可． 【详解】解：、， ， ， 、， ， 、， 因此①正确； ， ， 因此②正确； ， ， 平分， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， 因此③错误； ， 、， ， 因此④正确； 连接， 、平分， 是的垂直平分线， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值， 、， 当时，， 的最小值为， ， 因此⑤错误； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 16．(1)34 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）证明，，可得，再进一步求解即可．     （2）由，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，，     ∵， ∴，     ∵的周长为24， ∴， ∴，即， ∴的周长． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，     ∴． 17．(1)图见详解 (2) 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据轴对称图形的性质可进行作图； （2）根据割补法可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：由图可知：； 故答案为． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据为的角平分线，，证得进而证得为等腰三角形； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质证得，根据角平分线的性质证得，进而证得； （3）由（1）知，根据、，证得，进而证得即可． 【详解】（1）证明：， ， 为的角平分线 为等腰三角形； （2）证明：延长至点，使，连接， 为的中点 在和中， 、 、 为的角平分线 ； （3）解：由（1）知， 、、 ． 19．(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 20．(1)①；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】根据三角形内角和定理可知，根据可得：，根据即可求出结果； 根据等腰三角形的性质可得，根据等边对等角可以求出，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 当点在的内部时，在上截取一点，使，连接，利用可证，根据全等三角形的性质可得，设，则，根据三角形内角和定理可得，根据等角对等边可证，根据线段的和与差可得：． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， ， ， 解：， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如下图所示，在上截取一点，使，连接， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 在中，，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形全等的判定和性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $