3.2 双曲线（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线 课标要点 1. 理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的推导，能够根据已知条件求解双曲线标准方程。 2.掌握双曲线的几何性质，包括范围、对称性、顶点、渐近线、离心率，能运用性质分析双曲线图像。 3.灵活运用双曲线定义、方程与几何性质处理基础综合问题，体会数形结合思想，提升解析几何运算与逻辑推理能力。 学习重难点 重点： 1. 双曲线定义，明确 2a 与 2c 的大小关系，掌握双曲线标准方程。 2.双曲线渐近线、离心率相关性质，会求解离心率的值与范围。 3.使用待定系数法求双曲线方程，能够处理焦点三角形基础题型 难点： 1. 双曲线定义中是距离之差的绝对值，容易漏掉绝对值，混淆轨迹是双曲线还是单支。 2.a,b,c 关系式与椭圆区分，双曲线满足c2=a2+b2，极易和椭圆公式记混。 3.直线和双曲线联立运算，二次项系数可能为零，出现只有一个交点却并非相切的情况，容易忽略直线与渐近线平行这一特殊情形。 知识点 双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 特别提醒 1、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 2、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 随学随练 1．（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 知识点 双曲线的标准方程（重点） ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 特别提醒 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 随学随练 1．（26-27高三上·浙江·阶段检测）（多选）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西九江·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 3．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 知识点 双曲线的简单几何性质（重点） 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 特别提醒 双曲线几何性质，首先分清焦点在 x 轴还是 y 轴，牢记双曲线中 c 最大，关系式为 c²=a²+b²，切勿与椭圆 a²=b²+c² 混淆。双曲线离心率 e＞1，e 越大双曲线开口越开阔。渐近线是双曲线特有性质，焦点在不同坐标轴，渐近线方程形式不一样，做题切忌写反。双曲线只有两个顶点，没有短轴顶点，图像向两侧无限延伸，要注意 x 或 y 的取值范围。解题充分利用对称性简化计算，处理离心率题型多构造 a、c 齐次式。特别注意直线和双曲线相交，当直线平行渐近线时只会有一个交点，并不是相切。审题看清实轴长是 2a，不要直接代入 a 计算。 随学随练 1．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）若双曲线（）的一个焦点坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 3．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 知识点 直线与双曲线的位置关系判断（重点） 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 特别提醒 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 随学随练 1．（25-26高三上·江苏泰州·期末）已知双曲线的离心率为2，焦距为4．过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 2．（26-27高三上·青海西宁·阶段检测）已知双曲线的焦距为，直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，其中，． (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由． 3．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． (1)求双曲线的标准方程； (2)试证明直线的斜率为定值； (3)若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 拓展 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 活学活用 1．（26-27高二上·北京·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．6 B．10 C．12 D．15 2．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 拓展 求离心率范围的方法 建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 坐标法： 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 活学活用 1．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与y轴相交于点P，与C相交于M、N两点、且，则C的离心率为__________． 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 题型 双曲线的标准方程 解题贴士 求双曲线标准方程，第一步先判断焦点落在 x 轴还是 y 轴，不确定焦点位置不要直接设成某一种形式。焦点位置不明时可设渐近线对应的一般方程，避开分类讨论。分清 a、b 含义，实半轴 a 不一定大于 b，这点和椭圆有本质区别。运用定义求解时，一定要注意距离差的绝对值，去掉绝对值只表示双曲线其中一支。使用待定系数法列式，牢记c2=a2+b2，不要和椭圆公式混淆。算出结果后检验，看清实轴、虚轴，防止 a、b 写颠倒 ▌例1（2025·甘肃·模拟预测）已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（   ） A． B． C．2 D． ▌对点练1-1．（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． ▌对点练1-2．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为____________. ▌对点练1-3．（25-26高二上·天津·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________. 题型 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 解题贴士 解双曲线焦点三角形解题务必牢记定义，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值等于 2a，注意区分双曲线左支、右支，谨慎去掉绝对值符号。面积计算常用顶角结合余弦定理推导，也可使用b2cotθ/2​快速求值。双曲线焦点三角形周长不能直接套用固定公式，需要结合已知条件转化边长。解题用好c2=a2+b2，结合三角形边角条件求解离心率。注意动点只能在双曲线单支上，检验边长必须为正值，避免出现增根 ▌例1（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 ▌例2（2026高三·全国·专题练习）已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 ▌对点练1-1（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． ▌对点练1-2（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（2026·湖南常德·一模）（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ，则（    ） A．直线 斜率的取值范围是 B．当直线 过原点时， 的面积为 C．若 ，则 D．若直线 的斜率为 ，且 ，则 题型 双曲线上两点距离的最值问题 解题贴士 双曲线上两点距离最值，分清是定点与双曲线上动点，还是两个动点之间的距离。动点到定点距离，优先借助图像几何分析，双曲线两支向外无限延伸，不存在整体最大值，大多只求最小值。过焦点的弦要区分通径与实轴长，注意直线平行渐近线时只会交于单支一点。不要盲目套用椭圆距离结论，双曲线没有两点距离等于 2a 的最大值。代数计算可选用参数方程，必须注意双曲线定义域限制，看清动点在哪一支，验证等号能否成立，大题不可直接使用二级结论，需要简单推导。 ▌例1（25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. ▌例2（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 ▌对点练1-1（25-26高二上·宁夏固原·期末）双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. ▌对点练1-2（25-26高二上·天津河西·期末）已知是双曲线上一点，点分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．9 B．1或9 C．7 D．3或7 ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏南通·期中）双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（    ） A．到左焦点的距离为 B．到左焦点的距离为 C．到左焦点的距离不唯一 D．这样的点不存在 题型 双曲线上两线段的和差最值问题 解题贴士 双曲线上线段和差最值，核心利用双曲线定义转化焦半径，一定要留意绝对值，分清动点位于左支还是右支，不能直接去掉绝对值。双曲线两支向外无限延伸，很多线段不存在最大值，大多求解最小值。结合三角形三边关系，三点共线时取得临界最值，仔细分析定点在双曲线内部还是外部。不可照搬椭圆的解题结论，避免思路混淆。使用代数方法时要注意双曲线变量取值范围，检验等号是否能够真正成立。大题不能直接使用二级结论，需要简单写明几何依据，还要留意增根情况。 ▌例1（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. ▌对点练1-1（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． ▌对点练1-2（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． ▌对点练1-3（25-26高二上·重庆·阶段检测）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为______. 题型 双曲线的简单几何性质 解题贴士 处理双曲线几何性质题目，首先牢记c2=a2+b2，c 数值最大，切勿与椭圆公式混淆。分清焦点坐标轴位置，准确书写渐近线方程，焦点在 x 轴与 y 轴的渐近线不要写颠倒。双曲线离心率大于 1，e 越大开口越宽，求解离心率优先构造 a、c 齐次关系式。双曲线只有两个顶点，图像有对应取值范围，解题善用对称性简化计算。特别注意直线平行渐近线时仅有一个交点，并不是相切，审题区分实轴长 2a 与实半轴 a，避免低级计算失误。 ▌例1（26-27高三上·广东深圳·开学考试）双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． ▌例2（第八章 平面解析几何（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（ ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 ▌对点练1-1（2026·广东广州·模拟预测）已知双曲线：的左焦点为，且离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． ▌对点练1-2（26-27高三上·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型6 求双曲线离心率 解题贴士 求解双曲线离心率，核心是构造关于 a 与 c 的齐次等式或者不等式，利用c2=a2+b2消去 b 进行化简。离心率范围固定e>1，算出结果一定要据此取舍。可借助双曲线定义、焦点三角形、几何图形、直线位置关系建立条件。焦点三角形常结合余弦定理列式。若是求离心率范围，要挖掘题干隐藏不等关系。注意区分双曲线与椭圆公式，不要记混平方关系式，看清实轴位置，做完检验 e 大于 1 ▌例1（26-27高三上·河南·开学考试）已知双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为__________． ▌例2（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）（多选）记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（    ） A．双曲线的离心率是 B．若，则的周长为 C．存在四条不同直线使得 D．线段的中点坐标可能是 ▌对点练1-1（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（26-27高三上·广西贺州·开学考试）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）已知点，分别为双曲线：的左右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．直线，的倾斜角互余 C．以线段为直径的圆过的顶点 D．的取值范围是 题型7 直线与双曲线的位置关系 解题贴士 研究直线与双曲线位置关系，联立方程消元后，一定要留意二次项系数是否为零。系数等于零时直线平行渐近线，方程仅有一个解，但并不是相切，只会有一个交点。二次项不为零时，再通过判别式 Δ 判断，Δ 大于 0 相交，Δ 等于 0 相切，Δ 小于 0 无交点。使用韦达定理解题，前提要保证二次项不为零。解题务必讨论斜率不存在的特殊直线。不可直接照搬椭圆的解题套路，看清交点是单支还是两支，做完检验结果，排除不符合双曲线定义域的增根。 ▌例1（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知椭圆的离心率为，其左焦点F到直线的距离为，求此椭圆方程. （2）求渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程. ▌例2（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点的直线交的右支于，两点，且当与轴垂直时，． (1)求的方程． (2)证明：点在以为直径的圆外． (3)在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． ▌对点练1-1 （26-27高二上·河南驻马店·开学考试）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程． ▌对点练1-2（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． ▌对点练1-3（26-27高三上·安徽安庆·开学考试）已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点的轨迹方程； (2)设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程． 基础通关 1．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（    ） A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 2．（26-27高三上·广东·阶段检测）双曲线的实轴长为_________． 3．（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 4．（26-27高二上·全国·课前预习）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为8．（      ） 5．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．若为上一点，则 D．C的渐近线方程为 6．（25-26高三上·湖南·阶段检测）地铁已成为市民必不可少的交通工具，某地铁线路A，B，C三站点自左向右位于同一条直线上，某市民要步行去地铁站乘地铁前往C站，已知该市民在圆锥曲线E左侧时去A站到达C站更快，反之则去B站更快，若地铁平均速度是该市民的3倍，且A，B两站等候时间期望相同，则E的离心率为（    ） A． B． C． D．3 7．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）（多选）已知双曲线：（，）的一个焦点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程可能为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点.而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上.则该曲线的离心率为_________. 9．（2026·安徽·模拟预测）（多选）设双曲线：的左、右焦点分别为，，点的坐标为，则（    ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 10．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 素养提升 1．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为. (1)求的方程； (2)设直线与交于，两点，为坐标原点. （i）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ii）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标. 3．（24-25高三上·湖南·阶段检测）记焦距为2的双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交的左右两支于，两点．若，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（    ） A． B．E的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 5．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）（多选）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 迁移创新 1．（26-27高二上·福建·期中）（多选）已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 2．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）（多选）已知圆，圆，动圆满足：与圆、均相切，记动圆圆心为.下列说法正确的是（    ） A．圆与圆相交 B．若动圆与圆､均外切，则动点的轨迹是双曲线的右支（除顶点） C．若动圆与圆、一内切一外切时，存在直线，使得直线与所有满足条件的动圆均相交 D．若动圆与圆、均内切，过动点的轨迹上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 3．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）.已知点是双曲线（，）上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为. (1)证明：直线的方程为； (2)证明：直线为的平分线； (3)若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线 课标要点 1. 理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的推导，能够根据已知条件求解双曲线标准方程。 2.掌握双曲线的几何性质，包括范围、对称性、顶点、渐近线、离心率，能运用性质分析双曲线图像。 3.灵活运用双曲线定义、方程与几何性质处理基础综合问题，体会数形结合思想，提升解析几何运算与逻辑推理能力。 学习重难点 重点： 1. 双曲线定义，明确 2a 与 2c 的大小关系，掌握双曲线标准方程。 2.双曲线渐近线、离心率相关性质，会求解离心率的值与范围。 3.使用待定系数法求双曲线方程，能够处理焦点三角形基础题型 难点： 1. 双曲线定义中是距离之差的绝对值，容易漏掉绝对值，混淆轨迹是双曲线还是单支。 2.a,b,c 关系式与椭圆区分，双曲线满足c2=a2+b2，极易和椭圆公式记混。 3.直线和双曲线联立运算，二次项系数可能为零，出现只有一个交点却并非相切的情况，容易忽略直线与渐近线平行这一特殊情形。 知识点 双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 特别提醒 1、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 2、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 随学随练 1．（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解. 【详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 3．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用双曲线的定义结合即可计算求解； （2）由椭圆的离心率公式及过定点即可求出标准方程. 【详解】（1）， 根据双曲线的定义可知点的轨迹为双曲线的右支， 焦点为，故，实轴长，所以， 故点的轨迹方程为； （2）因为椭圆方程为. ,， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 知识点 双曲线的标准方程（重点） ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 特别提醒 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 随学随练 1．（26-27高三上·浙江·阶段检测）（多选）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过内切圆半径确定双曲线中需满足的等式关系，进而逐项判断即可. 【详解】以原点为圆心、为半径的圆方程为，该圆过双曲线的两个焦点， 根据直径所对圆周角为直角，可得为直角三角形，， 设，，由双曲线定义得； 直角三角形内切圆半径公式为，又，， 代入得；结合， 可得：， 由勾股定理， 将、代入上式化简可得关系：； 选项A：双曲线，，， ，不满足条件， 选项B：双曲线，，， ，满足条件， 选项C：双曲线，，， ，满足条件， 选项D：双曲线，，， ，满足条件. 2．（2026·江西九江·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以 3．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 知识点 双曲线的简单几何性质（重点） 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 特别提醒 双曲线几何性质，首先分清焦点在 x 轴还是 y 轴，牢记双曲线中 c 最大，关系式为 c²=a²+b²，切勿与椭圆 a²=b²+c² 混淆。双曲线离心率 e＞1，e 越大双曲线开口越开阔。渐近线是双曲线特有性质，焦点在不同坐标轴，渐近线方程形式不一样，做题切忌写反。双曲线只有两个顶点，没有短轴顶点，图像向两侧无限延伸，要注意 x 或 y 的取值范围。解题充分利用对称性简化计算，处理离心率题型多构造 a、c 齐次式。特别注意直线和双曲线相交，当直线平行渐近线时只会有一个交点，并不是相切。审题看清实轴长是 2a，不要直接代入 a 计算。 随学随练 1．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义及基本性质，结合余弦定理，列出方程，求得，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，椭圆与双曲线的焦距相同，即焦点相同，设，， 则在椭圆中，可得。，则， 则， 又，即， 即，所以， 所以， 在双曲线中，可得，则， 所以， 又，所以，化简得， 又，所以，所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 2．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）若双曲线（）的一个焦点坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程以及焦点坐标求出，进而得出双曲线的离心率. 【详解】由题意可知，，，则， 则该双曲线的离心率为. 3．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】双曲线：（），得双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 所以，，所以，. 知识点 直线与双曲线的位置关系判断（重点） 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 特别提醒 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 随学随练 1．（25-26高三上·江苏泰州·期末）已知双曲线的离心率为2，焦距为4．过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出双曲线的方程，再与直线联立，结合韦达定理求解即可； （2）由，可得，分别代入双曲线方程，求出点的坐标，再将点的坐标代入直线，求解即可. 【详解】（1）由题意可知在双曲线中，，解得， 又因为，解得， 所以， 所以双曲线的方程为， 所以右焦点， 则直线方程为， ，得， 设且， 由韦达定理可得， 所以，即， 解得或； （2）因为， 即， 所以， 从而得， 又因为，， 所以， 整理得①， 又因为②， 由①②可得，， 即或， 将点代入直线方程， 得； 将点代入直线方程， 得； 综上，. 2．（26-27高三上·青海西宁·阶段检测）已知双曲线的焦距为，直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，其中，． (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，直线的方程为或，理由如下： 假设存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形， 则直线的斜率显然存在，设的方程为，，， 由消去整理得， 由，， 解得且， 则，所以. 记的中点为，则， 当时，则，分别为双曲线的两个实顶点， 显然构成以为顶点的等腰三角形，此时直线的方程为，符合题意． 当时，为使构成以为顶点的等腰三角形，只需，所以， 即，， 整理得，解得或， 若，则不满足条件，舍去，因此. 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 【分析】（1）先分别计算及直线的斜率，再由它们的倾斜角的倍关系及二倍角的正切公式可得，进而可得双曲线的方程； （2）先判断直线的斜率存在，再设，并与双曲线方程联立，由根与系数的关系可得的中点为，当时，直线方程为；当时，由解得或，再结合直线与双曲线有两个交点的条件得，进而可得直线方程为，综合两种情况可得直线方程. 【详解】（1）记双曲线的焦距为，由题意可得，即， 因为，，所以斜率. 设直线的倾斜角为，则， 又因为直线的斜率为， 所以，，解得. 所以，则C的方程为． （2）略 3．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． (1)求双曲线的标准方程； (2)试证明直线的斜率为定值； (3)若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明：显然直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，将其与双曲线方程联立得， 化简得（，且）． 设，由韦达定理，，得， 将代入直线的方程，解得，则． 同理可得． 故直线的斜率. (3)或 【分析】（1）把点代入双曲线方程结合离心率公式以及的关系即可求解； （2）设直线的方程为，与双曲线联立根据韦达定理解出点的坐标，同理可得点的坐标，再根据两点斜率公式即可证明； （3）根据的坐标可求出点的坐标，然后消去参数即可求解. 【详解】（1）由题意，则,∵点在双曲线上， ∴，解得，则， ∴双曲线的标准方程为． （2）略 （3）由（2）得，， ∴的中点的坐标为， 即，整理得：，又因为， 所以点的轨迹方程为：或. 拓展 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 活学活用 1．（26-27高二上·北京·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【详解】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解， 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 2．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义与切线长定理确定出切点为定点，进而将问题转化为求已知圆上的动点到定焦点的最短距离. 【详解】由题意得，则，所以， 设的内切圆与分别相切于两点，则有， 由双曲线定义可得，即， 进而，即， 因为，所以， 联立得，因为，所以， 所以点在以为圆心，半径的圆上移动，且， 所以. 3．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设点在双曲线右支上，延长交的延长线于点，由 及得到平分且，从而，进而根据双曲线的定义结合中位线可求. 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 拓展 求离心率范围的方法 建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 坐标法： 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 活学活用 1．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式求出、利用余弦定理求出，根据列方程即可求出答案. 【详解】如图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，∴， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，，即，因此，双曲线的离心率为. 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与y轴相交于点P，与C相交于M、N两点、且，则C的离心率为__________． 【答案】 【分析】根据条件判断点是的中点，且点为的中点，，求出点的坐标，进而求出点的坐标，将点代入双曲线方程，计算即得离心率. 【详解】如图，取该双曲线的右焦点为，不妨设在第一象限，连接， 因，则点是的中点，且点为的中点， 又因点为的中点，则为的中位线，又，则， 将代入，可得，即， 故，因点为的中点，则得， 又因点在双曲线上，则，结合，化简得，解得， 故C的离心率为. 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据渐近线夹角求出的两种可能，由离心率范围舍去一种，再验证各选项中 的比值得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 两条渐近线夹角为，则渐近线与轴的夹角为或， 因此或. 由离心率定义，结合，得. 已知，故，即. 若，则，，不符合的要求，故舍去，仅保留，即. 验证选项： 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，此时，满足所有条件. 题型 双曲线的标准方程 解题贴士 求双曲线标准方程，第一步先判断焦点落在 x 轴还是 y 轴，不确定焦点位置不要直接设成某一种形式。焦点位置不明时可设渐近线对应的一般方程，避开分类讨论。分清 a、b 含义，实半轴 a 不一定大于 b，这点和椭圆有本质区别。运用定义求解时，一定要注意距离差的绝对值，去掉绝对值只表示双曲线其中一支。使用待定系数法列式，牢记c2=a2+b2，不要和椭圆公式混淆。算出结果后检验，看清实轴、虚轴，防止 a、b 写颠倒 ▌例1（2025·甘肃·模拟预测）已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，得到，结合双曲线定义即可求解. 【详解】设，， 则由已知得， 又， 所以，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. ▌例2（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和正弦定理得到与，再结合余弦定理即可求出值. 【详解】 设过点的切线与圆相切于点，则. 又，为双曲线的左、右焦点，所以，所以. 在中，由正弦定理可得，， 即，解得. 又点在双曲线右支上，所以，所以. 在中，由余弦定理可得， ， 即，所以， 又，所以， 又，所以. 故选：D. ▌对点练1-1．（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 【答案】 【分析】由题意可得椭圆的焦点为从而得双曲线的焦点为设所求双曲线的方程为，代入点坐标，结合，求解即可. 【详解】因为在椭圆中， 所以， 所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为， 则有， 解得， 所以所求双曲线方程为. 故答案为： ▌对点练1-2．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为____________. 【答案】 【分析】根据题目条件求出代入即可求出标准方程. 【详解】，代入由右焦点得，， 代入，故， 故双曲线的标准方程为. 故答案为： ▌对点练1-3．（25-26高二上·天津·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________. 【答案】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，则， 由，解得， 因为，所以，求得，即， 由，解得， 由正弦定理可得：， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 题型 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 解题贴士 解双曲线焦点三角形解题务必牢记定义，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值等于 2a，注意区分双曲线左支、右支，谨慎去掉绝对值符号。面积计算常用顶角结合余弦定理推导，也可使用b2cotθ/2​快速求值。双曲线焦点三角形周长不能直接套用固定公式，需要结合已知条件转化边长。解题用好c2=a2+b2，结合三角形边角条件求解离心率。注意动点只能在双曲线单支上，检验边长必须为正值，避免出现增根 ▌例1（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. ▌例2（2026高三·全国·专题练习）已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】如图，设A，B到右准线的距离分别是. 由双曲线定义知： . 设弦AB中点为M，它到准线l的距离为MN，则， 从而有. . . 因此以为直径的圆与右准线的位置关系是相交. ▌对点练1-1（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. ▌对点练1-2（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. ▌对点练1-3（2026·湖南常德·一模）（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ，则（    ） A．直线 斜率的取值范围是 B．当直线 过原点时， 的面积为 C．若 ，则 D．若直线 的斜率为 ，且 ，则 【答案】ACD 【分析】先根据双曲线性质确定基本参数，再结合直线方程与双曲线方程联立，几何性质、定义等知识逐一分析各选项. 【详解】因为双曲线，所以，焦点 ， 渐近线斜率，离心率，在A选项中，设直线， 联立双曲线得：， 故, 故，而直线与双曲线左、右支各有一个交点， 故,故，所以，A正确， 在B选项中，当直线过原点时，斜率，则直线，代入双曲线得： ，则，面积，B错误， 在C选项中，设，满足，设， 则：， 由二倍角公式：， 又 ，故 ， C正确， 在D选项中，因为直线的斜率为，且过点，则直线方程为， 因为，所以它们的中点坐标为， 斜率，与直线的斜率乘积为， 故直线是的垂直平分线，因此直线上任意点到和的距离相等， 即，由双曲线定义可得：在左支， 在右支，故， 因此，D正确. 题型 双曲线上两点距离的最值问题 解题贴士 双曲线上两点距离最值，分清是定点与双曲线上动点，还是两个动点之间的距离。动点到定点距离，优先借助图像几何分析，双曲线两支向外无限延伸，不存在整体最大值，大多只求最小值。过焦点的弦要区分通径与实轴长，注意直线平行渐近线时只会交于单支一点。不要盲目套用椭圆距离结论，双曲线没有两点距离等于 2a 的最大值。代数计算可选用参数方程，必须注意双曲线定义域限制，看清动点在哪一支，验证等号能否成立，大题不可直接使用二级结论，需要简单推导。 ▌例1（25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. ▌例2（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以. 故选：B ▌对点练1-1（25-26高二上·宁夏固原·期末）双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 【答案】9 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由双曲线，可知：， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在左支上，所以. 故答案为：9. ▌对点练1-2（25-26高二上·天津河西·期末）已知是双曲线上一点，点分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．9 B．1或9 C．7 D．3或7 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，所以， 所以，由双曲线的定义可得，即， 可得或，又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，，所以不成立， 所以， 故选：A. ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏南通·期中）双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（    ） A．到左焦点的距离为 B．到左焦点的距离为 C．到左焦点的距离不唯一 D．这样的点不存在 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和性质来判断到左焦点的距离． 【详解】对于双曲线，可得，，则， 设该双曲线的左、右焦点分别为、，由题意可知， 又因为，所以这样的不存在. 故选：D. 题型 双曲线上两线段的和差最值问题 解题贴士 双曲线上线段和差最值，核心利用双曲线定义转化焦半径，一定要留意绝对值，分清动点位于左支还是右支，不能直接去掉绝对值。双曲线两支向外无限延伸，很多线段不存在最大值，大多求解最小值。结合三角形三边关系，三点共线时取得临界最值，仔细分析定点在双曲线内部还是外部。不可照搬椭圆的解题结论，避免思路混淆。使用代数方法时要注意双曲线变量取值范围，检验等号是否能够真正成立。大题不能直接使用二级结论，需要简单写明几何依据，还要留意增根情况。 ▌例1（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. ▌例2（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． ▌对点练1-1（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 ▌对点练1-2（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用双曲线的定义推出，结合曲线与圆的位置关系推出，进而求出最大值． 【详解】双曲线方程为，则， ， ，， 又、分别是圆和上的点， 即、在以为圆心，半径为的圆上， ， ． 故选：D． ▌对点练1-3（25-26高二上·重庆·阶段检测）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为______. 【答案】9 【分析】由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9    题型 双曲线的简单几何性质 解题贴士 处理双曲线几何性质题目，首先牢记c2=a2+b2，c 数值最大，切勿与椭圆公式混淆。分清焦点坐标轴位置，准确书写渐近线方程，焦点在 x 轴与 y 轴的渐近线不要写颠倒。双曲线离心率大于 1，e 越大开口越宽，求解离心率优先构造 a、c 齐次关系式。双曲线只有两个顶点，图像有对应取值范围，解题善用对称性简化计算。特别注意直线平行渐近线时仅有一个交点，并不是相切，审题区分实轴长 2a 与实半轴 a，避免低级计算失误。 ▌例1（26-27高三上·广东深圳·开学考试）双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线，化为标准式：， 焦点在轴上，，即， 焦点在轴上的双曲线渐近线方程为， 代入得：. ▌例2（第八章 平面解析几何（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（ ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 【答案】AD 【分析】设的中点为，则，即可判断A；设直线与圆的切点为，直线为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点差法计算可得，求出直线的斜率即可判断C；设，则，根据双曲线的定义可得，结合计算即可判断D. 【详解】对于选项A，设的中点为，则， 以为直径的圆与圆的圆心距为两圆的半径之和， 故以为直径的圆与圆相切，故A正确； 对于选项B，因为点是双曲线的渐近线上的一点，， 所以，设直线与圆的切点为， 则，故直线的斜率为. 即直线为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知， ，即. 所以双曲线的离心率为，故B错误； 对于选项C，设的中点为，设， 则，直线的斜率为， 且，两式相减得. 整理得，即， 又因为直线的斜率为，所以直线的斜率为. 所以的中点在直线上，故C错误； 对于选项D，设，因为， 所以，由双曲线的定义得. 因为，代入得，化简整理得， 即，即. 解得，又， 所以的面积为，故D正确. ▌对点练1-1（2026·广东广州·模拟预测）已知双曲线：的左焦点为，且离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1). (2)（ⅰ）, （ⅱ）. 【分析】（1）易知，再由离心率定义得到，再由得到，从而得到双曲线方程. （2）（ⅰ）先设直线方程并与双曲线方程联立得到  ①，  ②，再由可得到   ③，联立①②③可解得：，从而得到直线方程.（ⅱ）先通过向量数量积得到，再通过，从而得到，最后通过函数在上是单调递增函数，求得的取值范围. 【详解】（1）已知双曲线：的左焦点为，因此， 由离心率定义，代入可得：，即， 又因为，所以，将代入双曲线方程， 可得到双曲线的方程为：. （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，与双曲线方程联立： 消去整理得：， 设，，,，由韦达定理得：   ① ，           ②. 由双曲线的中心对称性可知：若直线与的另一个交点为，则. ， ， 又，即，即， 又因为，， 所以，即，即  ③， 联立①，③可得：，， 所以，即，解得： ，又因为，所以. 故直线的方程为，即. （ⅱ）因为，在双曲线上， 所以有，作差可得：， 即，即， 又，， 所以，即. 由弦长公式得：， ， ，， ， ，即， ， ， 函数在上是单调递增函数， 当时，， 当时，， 因此，的取值范围为. ▌对点练1-2（26-27高三上·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心坐标和双曲线渐近线方程，可以得到圆与相切，然后利用圆心到渐近线的距离等于半径列出的一个方程，求解间的关系，最后求离心率. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为. 圆的圆心坐标为，半径. 由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切. 圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切. 圆心到渐近线的距离等于半径，即，整理得， ，， ， . ▌对点练1-3（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意解得，， 所以双曲线的渐近线方程为． 题型6 求双曲线离心率 解题贴士 求解双曲线离心率，核心是构造关于 a 与 c 的齐次等式或者不等式，利用c2=a2+b2消去 b 进行化简。离心率范围固定e>1，算出结果一定要据此取舍。可借助双曲线定义、焦点三角形、几何图形、直线位置关系建立条件。焦点三角形常结合余弦定理列式。若是求离心率范围，要挖掘题干隐藏不等关系。注意区分双曲线与椭圆公式，不要记混平方关系式，看清实轴位置，做完检验 e 大于 1 ▌例1（26-27高三上·河南·开学考试）已知双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为__________． 【答案】/ 【分析】根据双曲线的离心率为3可得，再化简求双曲线的离心率即可. 【详解】设双曲线的离心率为，则，故． 设双曲线的离心率为，则，故． ▌例2（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）（多选）记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（    ） A．双曲线的离心率是 B．若，则的周长为 C．存在四条不同直线使得 D．线段的中点坐标可能是 【答案】ABD 【分析】根据双曲线方程可确定的取值，根据离心率定义、双曲线的定义可求得AB正确；分别讨论直线斜率不存在和斜率存在的情况，通过与双曲线方程联立，利用弦长公式和中点坐标公式，结合韦达定理可求得可能的取值，进而得到CD正误. 【详解】对于A，由双曲线方程知：，，则， 双曲线的离心率，A正确； 对于B，，， 的周长为，B正确； 对于C，当斜率不存在时，即时，； 当斜率存在时，设，，， 由得：， 且，则，， ，解得：，即， 方程为：； 综上所述：存在三条不同的直线使得，C错误； 对于D，当直线斜率不存在时，线段中点为； 当直线斜率存在时，由C知，若线段中点为， 则，，解得：， 当方程为时，线段的中点坐标为，D正确. ▌对点练1-1（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义和已知比例关系求得，借助余弦定理建立等量关系，求得的关系，从而求得离心率. 【详解】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. ▌对点练1-2（26-27高三上·广西贺州·开学考试）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于为等腰直角三角形，所以，通过双曲线的性质可知，整理可得，最后求得的离心率. 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． ▌对点练1-3（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）已知点，分别为双曲线：的左右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．直线，的倾斜角互余 C．以线段为直径的圆过的顶点 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】通过等轴双曲线的性质，结合直线方程、斜率、圆的几何特征、距离范围求解等知识点，通过设双曲线上动点的坐标，结合双曲线方程逐一验证各选项即可. 【详解】 根据题意，如图所示： 对于A，双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，，，离心率，故A正确； 对于B，设，满足，，，则， 若均为负，对应倾斜角均为钝角，不满足互余，故B错误； 对于C，直线的方程为，令得，所以直线的斜率， ，故，即在以为直径的圆上，故C正确； 对于D，直线的方程为，令得，则， 由得，故，即，取值范围为，D正确. 题型7 直线与双曲线的位置关系 解题贴士 研究直线与双曲线位置关系，联立方程消元后，一定要留意二次项系数是否为零。系数等于零时直线平行渐近线，方程仅有一个解，但并不是相切，只会有一个交点。二次项不为零时，再通过判别式 Δ 判断，Δ 大于 0 相交，Δ 等于 0 相切，Δ 小于 0 无交点。使用韦达定理解题，前提要保证二次项不为零。解题务必讨论斜率不存在的特殊直线。不可直接照搬椭圆的解题套路，看清交点是单支还是两支，做完检验结果，排除不符合双曲线定义域的增根。 ▌例1（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知椭圆的离心率为，其左焦点F到直线的距离为，求此椭圆方程. （2）求渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质和点到直线的距离公式，分别求得和，进而求得的值，即可求解； （2）根据题意，设双曲线方程为，将点代入双曲线的方程，求得的值，即可求解. 【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为， 可得 ，即，可得， 又因为左焦点到直线的距离为， 可得 ，解得 ，即， 联立方程组，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，解得， 所以双曲线的方程为. ▌例2（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点的直线交的右支于，两点，且当与轴垂直时，． (1)求的方程． (2)证明：点在以为直径的圆外． (3)在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)由（1）得，，设直线的方程为，点，，联立方程整理得，则，，由直线与双曲线的右支交于，两点，得． 要证点在以为直径的圆外，只需证即可， 又，， 又，， 所以 ， 由，得， 所以， 所以，即点在以为直径的圆外． (3)不存在，理由如下： 假设在轴上存在点，使为等边三角形，设线段的中点为， 则，且， 由上，． 因为，所以直线的斜率， 所以． 又， 所以， 因为方程无解， 所以在轴上不存在点，使为等边三角形． 【分析】（1）由题意建立方程求得，，代入可得的方程； （2）由题意，只需证即可，设出直线方程，直线与双曲线联立方程组，由直线与双曲线的右支交于，两点，得，根据韦达定理及平面向量数量积坐标运算计算即可证明； （3）假设存在点，设线段的中点为，根据结合弦长公式建立等式得，因上述方程无解，故假设不成立. 【详解】（1）设双曲线的半焦距长为， 当直线与轴垂直时，，两点的横坐标为， 所以，解得，即， 所以， 又，，得，，， 故的方程为． （2）略 （3）略 ▌对点练1-1 （26-27高二上·河南驻马店·开学考试）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的离心率及的关系求解； (2)根据双曲线的渐近线方程求解. 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为，，所以． 设双曲线方程为． 因为，所以． 所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）由（1）知双曲线的渐近线方程为，即. ▌对点练1-2（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据离心率求出，得到双曲线方程； （2）由点差法得到直线的斜率，进而得到直线的方程，检验后可得答案 【详解】（1）因为，，所以，则， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，，由题知， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，整理，得， 则，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线的方程为． ▌对点练1-3（26-27高三上·安徽安庆·开学考试）已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点的轨迹方程； (2)设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设，直线的倾斜角为，可得，进而求得，根据同角的平方关系及诱导公式，即可求得，再由点到线的距离公式求得，，最后代入，化简后根据、的位置关系即可得答案； （2）设，利用韦达定理可得关于的式子，再求出直线、的方程，联立后求得，将直线的方程与双曲线方程联立，求出的坐标，然后代入直线的方程，求出的值，即可得答案. 【详解】（1）设，直线的倾斜角为， 则，且直线的倾斜角为，所以, 所以， 所以为钝角，即有， 又因为， 解得， 则, 又因为即为点到直线的距离， 所以， 同理可得：， 又因为，即， 即，整理得：，即， 又因为位于第一象限，位于第四象限， 所以动点的轨迹方程为：； （2）设， 由，得， 则且，则有， 由韦达定理可得 又因为直线，直线， 联立两方程，并消去，得， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以直线的斜率为， 联立，消去，化简得，解得， 故，所以，满足， 则直线的方程为，即. 基础通关 1．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（    ） A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合三角函数值的符号，曲线的方程，利用双曲线的标准方程的形式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当为第一象限角时，取，此时， 即曲线方程为，此时曲线表示以坐标原点为圆心，半径为的圆，所以A不正确； 对于B，当为第二象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以B正确； 对于C，当的终边在轴的非负半轴上时，可得 此时曲线方程为，即，可得方程表示两条平行线，所以C正确； 对于D，当为第四象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以D正确. 2．（26-27高三上·广东·阶段检测）双曲线的实轴长为_________． 【答案】 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，可得，所以双曲线的实轴长. 3．（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. 4．（26-27高二上·全国·课前预习）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为8．（      ） 【答案】正确 【分析】由双曲线的性质即可求解. 【详解】设光线与双曲线的交点为，双曲线的左焦点为．由题意知，共线， 故路径长． 5．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．若为上一点，则 D．C的渐近线方程为 【答案】ABD 【详解】由题可得双曲线方程可化为，则， 双曲线虚轴长为，故A选项正确； 双曲线的离心率，故B选项正确； 根据双曲线的定义，若在上支则，若在下支则， C选项没有给出具体位置，所以C选项错误； 因为焦点在y轴上，故C的渐近线方程为，故D选项正确. 6．（25-26高三上·湖南·阶段检测）地铁已成为市民必不可少的交通工具，某地铁线路A，B，C三站点自左向右位于同一条直线上，某市民要步行去地铁站乘地铁前往C站，已知该市民在圆锥曲线E左侧时去A站到达C站更快，反之则去B站更快，若地铁平均速度是该市民的3倍，且A，B两站等候时间期望相同，则E的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意可得当该市民位于点时，去站和去站到达站的时间相等，列式可得，结合双曲线定义判断求解. 【详解】设为圆锥曲线上任意一点，由题意可知当该市民位于点时，去站和去站到达站的时间相等， 设该市民的步行速度为，则地铁的平均速度为， 设两站间的距离为，即， 所以该市民从点去站到达站的时间为：， 该市民从点去站到达站的时间为：，其中为等候时间， 由，， 所以，即， 化简整理得，即， 所以点的轨迹是以点为焦点的双曲线，设， 所以，即双曲线的离心率. 7．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）（多选）已知双曲线：（，）的一个焦点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先根据双曲线焦点在给定圆上求出半焦距，再结合联立求解，的比值，进而得到渐近线方程。 【详解】设双曲线的焦点坐标为，因为双曲线的一个焦点在圆上， 所以，令，可得或， 因为双曲线的焦点坐标为，且， 所以或，因为，在双曲线中有， 当时，，即，此时无解，舍去； 当时，，即， 解得或，所以或， 则双曲线方程的渐近线为或. 8．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点.而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上.则该曲线的离心率为_________. 【答案】 【分析】最佳射门点使最大，等价于过、的圆与射线所在的直线相切，为切点.由此确定点所在的曲线方程，再求其离心率. 【详解】如图，建立直角坐标系. 设，，， 要使最大，则点为过、的圆与直线的切点. 设过、的圆的圆心为，因为为圆与直线的切点，所以. 又，所以. 即点在等轴双曲线上，所以点所在圆锥曲线的离心率为. 9．（2026·安徽·模拟预测）（多选）设双曲线：的左、右焦点分别为，，点的坐标为，则（    ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 【答案】ACD 【分析】根据标准方程求出，再结合双曲线的定义、几何性质逐一判断选项. 【详解】由双曲线，可得，因此， 即； 选项A：双曲线的焦距，A正确； 选项B：双曲线的渐近线方程为，不是，B错误； 选项C：双曲线的离心率，C正确； 选项D：将代入双曲线方程，左边，满足方程， 故在双曲线右支上，根据双曲线定义，右支上的点满足，D正确. 10．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线和双曲线关于原点中心对称得出点坐标. 【详解】由双曲线定义，，所以， 又直线和双曲线都关于原点中心对称，所以交点也关于原点对称， 不妨设，且，又，所以， 代入双曲线方程，得出， 所以的面积为. 素养提升 1．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 【答案】(1) (2)设，，， 先证该双曲线在点处的切线方程为， 证明过程如下： 联立，整理有， 由于，则，， 故直线与双曲线相切，证毕； 联立得，则为方程的解， 故，故P为线段的中点． 【分析】（1）利用双曲线右焦点到渐近线距离等于直接得到，结合离心率和关系式求出，写出标准方程； （2）写出双曲线上点处切线方程，联立切线与两条渐近线，利用韦达定理求出交点横、纵坐标之和，验证中点坐标恰好就是切点，完成证明． 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离，故， 又，且，解得，，， 则曲线C的标准方程为； （2）略 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为. (1)求的方程； (2)设直线与交于，两点，为坐标原点. （i）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ii）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)（i）（ii）或 【分析】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)(i)先由等轴双曲线的焦点坐标求出满足的等量关系，联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理和弦长公式（或三角形面积公式）表示出的面积，将关系式代入化简求值；(ii)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标. 【详解】（1）由已知得，得，所以. （2）（i）已知等轴双曲线的中心在原点，右焦点为， 设该双曲线的方程为， 其半焦距，解得， 所以该双曲线的方程为， 因为点在双曲线上，所以， 联立得， ， 设点到的距离为 ， 因为，所以. （ii）由第(1)问可知，椭圆的方程为， 椭圆的上顶点坐标为， 左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为：， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或. 3．（24-25高三上·湖南·阶段检测）记焦距为2的双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交的左右两支于，两点．若，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设过的直线为并与双曲线联立，由韦达定理表示；根据结合距离公式可得；再由双曲线定义用表示、，结合、、的位置关系得，从而；换元，利用导数求的最大值，即得面积的最大值. 【详解】由焦距为2得，设双曲线方程为，焦点，. 设过的直线为，与双曲线交于，. 将代入双曲线方程，整理得， 所以. 由得，即. 代入，化简得，所以. 联立得，化简得， 由可得， 由双曲线定义，对于左支上的，；对于右支上的，. 又，所以，. 因在的左侧，故. 到直线的距离，所以面积. 代入得, 令，则. 设，求导得. 故当时取最大值，所以. 所以面积的最大值为，选项 B 正确. 4．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（    ） A． B．E的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 【答案】ABD 【分析】A选项，利用直线斜率求得，余弦定理求得，由得结果；B选项，由勾股定理求，结合双曲线定义求出，可得渐近线方程；C选项，求出的横坐标结合曲线对称性可得的值；D选项，由正弦定理得的外接圆半径． 【详解】显然，由得， ， 由余弦定理得， ，于是，故选项A正确； 由勾股定理得，， 由定义得，，， 故渐近线方程为，故选项B正确； 显然的横坐标满足，，由曲线对称性可知，故选项C错误； ， ∴由正弦定理得的外接圆半径，故选项D正确． 5．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）（多选）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 【答案】ACD 【分析】根据条件，利用双曲线的定义求出，再由余弦定理即可求出，进而可得，即可判断出A、B和D的正误，再由平方关系和三角形面积公式，求出的面积，即可判断C的正误. 【详解】易知，则，又，所以，又，所以， 则，所以A正确， 对于B，因为，则，所以，则的渐近线方程为，所以B错误， 对于C，因为，则， 所以的面积为，故C正确， 对于D，因为，则，即，所以双曲线是等轴双曲线，D正确. 迁移创新 1．（26-27高二上·福建·期中）（多选）已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 【答案】AD 【分析】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断 选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支，所以存在点； 选项B：直线与一、三象限的曲线的渐近线不平行，故直线与曲线有交点； 选项C：结合图像，可知直线与曲线有两个交点，显然； 选项D：点到直线距离公式求得：，结合点是曲线上在第三象限内的一点，可求得：. 【详解】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断即可. 当，时，曲线：； 当，时，曲线：； 当，时，曲线：（不存在）； 当，时，曲线：. 画出图形如图所示：    对于选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支， 所以存在曲线上的点，使得成立，故选项A正确； 对于选项B：一、三象限曲线的渐近线方程为， 则直线与曲线有交点，故选项B错误； 对于选项C：设过点的直线：，与曲线有两个交点，显然，故选项C错误； 对于选项D：设，由点到直线距离公式得：，， 所以. 因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有， 即，所以，故选项D正确. 2．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）（多选）已知圆，圆，动圆满足：与圆、均相切，记动圆圆心为.下列说法正确的是（    ） A．圆与圆相交 B．若动圆与圆､均外切，则动点的轨迹是双曲线的右支（除顶点） C．若动圆与圆、一内切一外切时，存在直线，使得直线与所有满足条件的动圆均相交 D．若动圆与圆、均内切，过动点的轨迹上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】选项A：根据圆心距，可知两圆外切；选项B：根据动圆与圆､均外切，可得到：，，再根据双曲线定义可得到动点的轨迹；选项C：根据动圆与圆、一内切一外切，可知共有四种可能，再结合椭圆和双曲线定义中的特殊情况，可知点轨迹是直线上缺三点，直线经过所有动圆的圆心，即直线与所有动圆都相交；选项D：根据动圆与圆､均内切，可得到：，，再根据双曲线定义可得到动点的轨迹为双曲线的左支；设，可得到：，，，最后根据函数单调性，求出的最小值. 【详解】选项A：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径， 两圆心的距离，且，故， 即两圆外切，选项A错误. 选项B：设动圆的半径为，若动圆与圆､均外切， 则：，, 则：， 符合双曲线的定义，此处差为正值，则动点的轨迹是双曲线的右支（除顶点）. 选项C：设动圆的半径为，若动圆与圆、一内切一外切时，分四种情况： 第一种：动圆与圆外切，与圆内切，且时， ，， 则：， 第二种：动圆与圆外切，与圆内切，且时， ，， 则， 由上可知：. 此时点的轨迹方程为：或 第三种：动圆与圆外切，与圆内切，且时， ，， ， 此时，点轨迹方程为：. 第四种：动圆与圆外切，与圆内切，且时， ，， ， 此时点轨迹方程为. 综上可知：点轨迹是其中不能取，，. 直线与所有动圆都相交，故：选项C正确. 选项D：设动圆的半径为，若动圆与圆､均内切，则： ，， 则：， 则动点的轨迹是双曲线的左支， 设，因此：，，， 又，函数在上单调递增， 因此的最小值为， 故选项D正确. 3．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）.已知点是双曲线（，）上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为. (1)证明：直线的方程为； (2)证明：直线为的平分线； (3)若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)由题意知，点P与直线是双曲线的一对极点和极线， 故直线的方程为， 即. (2)如图，，， 则， 同理可得. 由直线，知，则，， 所以，，所以. 在中，， 在中，， 又，联立上式可得， 因为， 所以，所以直线l为的平分线. (3)由（2）知，又，，则， 故，即，故双曲线的方程为. 假设存在点，使得过点的双曲线的两条切线互相垂直. 由双曲线的几何性质可知，切线的斜率不为0，则两条切线的斜率都存在且不为0， 设切点分别为，， 则切线，. 由点和直线是双曲线的一对极点和极线， 得直线的方程为，即. 又，则. 因为点在直线上，所以， 切点在双曲线上，则， 化简可得， 同理可得， 则与是方程的两个解. 由韦达定理可得，得，故点K的轨迹方程为. 又直线， 圆心到直线的距离， 令，则， 由均值不等式，得，因此，即， 故，所以直线与曲线无交点， 故不存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直. 【分析】（1）利用极点极线的对应规则，曲线上点的极线就是该点的切线，代入圆锥曲线一般式可直接写出切线方程； （2）证明角平分线可优先用角平分线定理逆定理，通过线段长度比例直接判定，比正弦定理更简洁； （3）圆锥曲线两条互相垂直切线的交点轨迹为蒙日圆，先求出轨迹方程，再通过直线与曲线的位置关系判断是否存在满足条件的点。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $