第3章 习题课 抛物线焦点弦的应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦抛物线焦点弦性质的应用这一核心知识点，系统梳理了焦点弦中x₁x₂=p²/4、y₁y₂=-p²，弦长AB=x₁+x₂+p=2p/sin²α，以及焦半径关系1/AF+1/BF=2/p等性质，搭建从抛物线标准方程到焦点弦问题解决的学习支架。 资料通过例题对比传统联立与性质应用两种方法，培养学生数学思维的推理能力与运算优化意识，反思感悟精准归纳不同焦点位置的性质差异，助力数学语言的规范表达。课时对点练分层设计，从基础到综合题，帮助学生用数学眼光发现问题规律，课中提升教学效率，课后便于学生查漏补缺。

习题课　抛物线焦点弦的应用 学习目标　1.理解抛物线焦点弦的性质的推导.2.能利用焦点弦的性质解决一些问题. 一、x1x2＝，y1y2＝－p2的应用 例1　已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　) A.x2＝8y B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x 答案　C 解析　方法一　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 直线AB的方程为x＝my＋， 联立 消去x，得y2－2pmy－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y2＝－p2，x1x2＝， 得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12， 解得p＝4(负值舍去)， 即抛物线C的方程为y2＝8x. 方法二　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 直线AB的方程为x＝my＋， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由焦点弦的性质可得x1x2＝，y1y2＝－p2， 得·＝x1x2＋y1y2 ＝－p2＝－p2＝－12， 解得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x. 反思感悟　(1)选择题中直接运用结论，就可以脱离于传统的联立方程组求解，避免小题大做，可较为迅速地得到结果. (2)若抛物线的焦点在y轴上，此结论变为x1·x2＝－p2 ， y1·y2＝. 跟踪训练1　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝　　　　　　.  答案　－4 解析　方法一　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为， 设直线AB的方程为x＝my＋， 将直线AB的方程与抛物线的方程联立， 得 消去x得y2－2mpy－p2＝0， 由根与系数的关系得y1y2＝－p2. 由于点A，B均在抛物线上， 则得 因此，＝－＝－4. 方法二　由焦点弦的性质可得x1x2＝， y1y2＝－p2，故＝－4. 二、AB＝x1＋x2＋p＝的应用 例2　抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程. 解　依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋. 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则AB＝， 即＝8，解得p＝2， 故所求的抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为y2＝±4x. 反思感悟　利用AB＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题. 跟踪训练2　经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝　　　.  答案　2 解析　 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14， 即14＋p＝，解得p＝2 . 三、 的应用 例3　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若AF＝2BF，则AB等于(　　) A.4 B. C.5 D.6 答案　B 解析　因为AF＝2BF，＝1，解得BF＝，AF＝3， 故AB＝AF＋BF＝. 反思感悟　将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题. 跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且AF＝4，则线段AB的长为(　　) A.5 B.6 C. D. 答案　C 解析　如图，过点A作AD⊥l于点D，AD＝AF＝AC＝4，OF＝＝4××＝1， 所以p＝2， 因为，AF＝4， 所以BF＝， 所以AB＝AF＋BF＝4＋. 1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错. 1.过抛物线C：y＝x2的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，则AB等于(　　) A. B. C.13 D.9 答案　D 解析　由题意可得抛物线的标准方程为x2＝8y， 所以准线方程为y＝－2， 由题意可得A，B的纵坐标之和为×2＝5， 所以弦长AB＝5＋4＝9. 2.已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2等于(　　) A.－ B.－ C.－1 D.－2 答案　B 解析　方法一　依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y＝kx＋， 由消去y整理得x2－kx－＝0， ∴x1x2＝－. 方法二　y＝2x2即x2＝y， 由抛物线焦点弦的性质知， x1x2＝－p2＝－. 3.过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若AF＝6，则BF等于(　　) A.9或6 B.6或3 C.9 D.3 答案　D 解析　方法一　设点A为第一象限内的点， 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0， 则由题意可得F(2，0)，AF＝x1＋2＝6， 则x1＝4，由＝8x1，得y1＝4， 所以kAB＝＝2， 直线AB的方程为y＝2(x－2)， 将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0，所以x2＝1，所以BF＝x2＋2＝3. 方法二　由抛物线焦点弦的性质可得， ，所以， 可得BF＝3. 4.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是(　　) A.直角 B.锐角 C.钝角 D.与点A，B位置有关 答案　C 解析　方法一　抛物线C的焦点F的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m的斜率一定存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB为钝角. 方法二　因为抛物线焦点在y轴上，则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝＝1，则·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3<0，故∠AOB为钝角. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则的值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案　C 解析　由抛物线焦点弦的性质可得， ＝1. 2.抛物线y2＝4x过焦点F的弦被F分成长为m，n的两段，若m·n＝6，则m＋n等于(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　A 解析　＝1，而m·n＝6，∴m＋n＝6. 3.已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若AB＝4，则AB中点的纵坐标是(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　D 解析　如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得AA'＋BB'＝AB＝4，PQ＝＝2.又PQ＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝. 4.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　易知抛物线中p＝， 由抛物线的性质可得弦长AB＝＝12， 又O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝， ∴S△OAB＝AB·d＝. 5.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是(　　) A.抛物线的准线方程为x＝－1 B.若＝0，则2||＝||＋|| C.若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D.若AC＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 答案　ABD 解析　 把点B(1，2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确； 因为A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F(1，0) ，所以＝(x1－1，y1)，＝(0，2)，＝(x2－1，y2)，又由＝0，得x1＋x2＝2， 所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，故B正确； 因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确； 设AC的中点为M(x0，y0)， 因为AF＋CF≥AC，AF＋CF＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2， 即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确. 6.过抛物线y2＝2x焦点F的直线与该抛物线交于A，B两点，再过点F作线段AB的垂线，交抛物线的准线于点G，若FG＝，O为坐标原点，则S△AOB等于(　　) A. B. C. D.1 答案　C 解析　由抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设G，由题意可知＋12＝，解得y0＝±，若y0＝，则G，直线AB的斜率k＝，设直线AB的倾斜角为θ，则tan θ＝，所以sin θ＝，则S△AOB＝·OF·(AB·sin θ)＝. 7.(5分)过抛物线y2＝4x焦点F的弦长为，则此弦所在直线的倾斜角为　　　　　　　.  答案　60°或120° 解析　设过抛物线y2＝4x焦点F的弦为AB，其所在直线的倾斜角为θ，则AB＝，又∵0°<θ<180°，∴sin2θ＝，∴sin θ＝，∴θ＝60°或120°. 8.(5分)已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则AB＝　　　　　.  答案　8 解析　设直线AB的倾斜角为α，则sin α＝，由题意知，直线l：y＝x－1过点(1，0)，所以＝1，解得p＝2，则AB＝＝8. 9.(10分)已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；(5分) (2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.(5分) 解　(1)方法一　因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝. 又F. 所以直线l的方程为y＝. 联立 消去y，得x2－5x＋＝0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝5， 而AB＝AF＋BF＝＝x1＋x2＋p. 所以AB＝5＋3＝8. 方法二　因为抛物线y2＝6x，所以p＝3， 又直线l的倾斜角α＝60°， 所以AB＝＝8. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知， AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－， 所以M到准线的距离等于3＋. 10.(11分)已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且PF＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程；(4分) (2)若AB＝8，求直线l的斜率.(7分) 解　(1)由题意PF＝1＋＝2，解得p＝2， ∴抛物线方程为y2＝4x. (2)方法一　由(1)知焦点为F(1，0)， 若直线l斜率不存在，则AB＝4，不合题意， 因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， AB＝x1＋x2＋2＝＋2＝8， 解得k＝1或k＝－1. 方法二　若直线l的斜率不存在， 则AB＝4，不合题意， 设直线l的倾斜角为α， 根据焦点弦的性质，AB＝， 代入可得sin2α＝， 即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1. 11.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C的准线l上一点且PF⊥MN，连接PM交y轴于点Q，过点Q作QD⊥MF于点D，若MD＝2NF，则MF等于(　　) A.2－ B.2＋ C.2 D. 答案　B 解析　过点M作MM'⊥l于点M'，设MM'交y轴于点R. 易知△MM'P≌△MFP， 则∠PMM'＝∠PMF， 从而有△MRQ≌△MDQ， 所以MR＝MD. 因为MM'＝MF， 所以DF＝M'R＝1， 设NF＝x，则MD＝2x，易知x>1，MF＝DF＋MD＝1＋2x， 由＝1，得MF＝， 所以＝1＋2x， 解得x＝(负值舍去)，故MF＝1＋2x＝2＋. 12.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则AB＋DE的最小值为(　　) A.16 B.14 C.12 D.10 答案　A 解析　不妨设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为＋α， 根据焦点弦长公式得 AB＋DE＝≥16，故AB＋DE的最小值为16. 13.(5分)若抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则AF＋2BF的最小值为　　　. 答案　3＋2 解析　由题意知p＝2，所以＝1， AF＋2BF＝(AF＋2BF)＝3＋≥3＋2， 当且仅当时，等号成立，即AF＋2BF的最小值为3＋2. 14.(5分)过抛物线y2＝8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，MN＝　　　　.  答案　8 解析　由题意可知A(－2，0)， 设M(xM，yM)，N(xN，yN)， 则xMxN＝＝4，yMyN＝－p2＝－16. ·＝(xM＋2，yM)·(xN＋2，yN)＝0， 即(xM＋2)(xN＋2)＋yMyN＝0， 得4＋2(xM＋xN)＋4－16＝0， ∴xM＋xN＝4，MN＝xM＋xN＋4＝8. 15.(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　) A.·＝－p2 B.四边形ACBD面积的最小值为16p2 C. D.若AF·BF＝4p2，则直线CD的斜率为－ 答案　ACD 解析　由题意知， F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝，AB＝， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理可得y3y4＝－p2，x3x4＝，CD＝. 对于A，·＝x3x4＋y3y4＝－p2＝－，故正确； 对于B，四边形ACBD的面积S＝CD·AB＝，又θ∈，则2θ∈(0，π)，sin22θ∈(0，1]，故其面积的最小值为8p2，故错误； 对于C，，故正确； 对于D，若AF·BF＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝4p2， 则(x1＋x2)＝，∴x1＋x2＝7p，又7p＋p＝，∴sin2θ＝，sin θ＝(舍负)， 又θ∈，∴θ＝，则直线CD的倾斜角为，其斜率为－，故正确. 16.(12分)如图，A，B，M，N为抛物线y2＝4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0). (1)记A，B的纵坐标分别为yA，yB，横坐标分别为xA，xB，求yA·yB，xA·xB的值；(4分) (2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，若k2＝3k1，则直线AN是否过x轴上一定点，若过定点，求出定点坐标.(8分) 解　(1)由抛物线方程y2＝4x， 可知焦点为F(1，0)，直线AB过点F， ∴yA·yB＝－p2＝－4， xA·xB＝＝1. (2)设M(xM，yM)，N(xN，yN)， 直线MN过焦点F， 则yM·yN＝－4， ∴＝4xM，＝4xN， ∵直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，且k2＝3k1， ∴， 即， 整理得3(yM＋yB)＝yN＋yA， ∴3＝yN＋yA，即yN·yA＝－12， 设直线AN的方程为y－yA＝(x－xA)， ∴y－yA＝(x－xA)， 即y－yA＝(x－xA)， ∴4x－(yN＋yA)y＋yN·yA＝0， ∴4x－(yN＋yA)y－12＝0， 令y＝0，得x＝3， 则直线AN过x轴上一定点，定点坐标为(3，0). 学科网（北京）股份有限公司 $