4.4 数学归纳法（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第四章 数列 4.4 数学归纳法 课标要点 1. 了解数学归纳法的原理，清楚数学归纳法两个步骤各自的作用，理解该方法适用的证明场景。 2.能用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题，规范书写证明的完整步骤。 3.体会递推的思想，区分数学归纳法和不完全归纳法，能识别归纳推理与严格证明的区别。 学习重难点 重点： 1.掌握数学归纳法证明命题的两步流程，第一步奠基，第二步递推证明。 2.会利用数学归纳法证明数列相关等式、不等式类简单命题。 3.规范书写证明格式，保证答题步骤完整，拿到步骤分。 难点： 1. 第二步由 n 等于 k 成立推证 n 等于 k 加 1 成立，寻找前后两个式子之间的变形联系。 2.证明不等式时，合理放缩，准确完成递推推导，容易出现逻辑跳跃。 3.理解两步缺一不可，单独一步无法完成证明，容易忽略初始值验证。 知识点 数学归纳法的原理 1、数学归纳法定义： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2、数学归纳法的原理： 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． 它的证明共分两步： ①证明了第一步，就获得了递推的基础．但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； ②证明了第二步，就获得了递推的依据．但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）． 特别提醒 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 随学随练 1．（26-27高二上·浙江·开学考试）（多选）已知定义在上的函数满足对任意实数恒成立，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．至少有两个零点 D．对任意正整数恒成立 2．（24-25高二下·河南洛阳·期中）如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 3．（25-26高二下·江苏·期中）类比排列数，定义函数（其中），将右边展开并用符号表示的系数，得，以下说法正确的是：（      ） A． B． C． D． 知识点 运用数学归纳法的步骤与技巧（重点） 1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 2、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 特别提醒 运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 随学随练 1．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 2．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）（多选）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 知识点 用数学归纳法证题的类型（重点） 1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式； 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧． 3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题； 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 特别提醒 用数学归纳法证明，一定要先验证初始项，初始值不一定是 n 等于 1，要看题目规定。第二步假设 n 等于 k 成立，只能把这个假设当作条件，不能直接代入结论。推导 n 等于 k 加 1 时，必须找到 k 式与 k+1 式之间的联系，不能凭空变形。注意区分归纳假设和待证结论，不能循环论证。书写步骤不能省略两步，只写结论会大量丢分。证明完成后最后要写总结句，说明命题成立，答题规范才能拿全步骤分。 随学随练 1．（22-23高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 2．（21-22高二·全国·课后作业）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域． 3．（22-23高二·全国·随堂练习）平面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数. 拓展 数学归纳法中的归纳起点移位 常规题目一般验证 n 等于 1 作为奠基起点，但有部分命题并不是从 n 等于 1 开始成立，而是从某一个正整数 n 零，比如 n 等于 2 或者 n 等于 3 的时候才成立。完整证明分为两步，第一步奠基，验证 n 等于 n 零时命题成立。第二步归纳假设，假设 n 等于 k，k 大于等于 n 零，k 为正整数时命题成立，在这个前提之下证明 n 等于 k 加 1 时命题成立。两步全部完成，就可以推出命题对所有大于或者等于 n 零的正整数都成立。这类题目常见于数列等式、数列不等式证明。高频易错点是思维固化，习惯性验证 n 等于 1，发现不成立就判定命题错误。要记住奠基只需要验证命题生效的最小正整数，不用强行验证 n 等于 1，第二步里 k 的取值范围必须书写准确，两步缺一不可。 活学活用 1．（2027高二·全国·专题练习）（1）一只老鼠吃 立方体乳酪，它从一个角上的 小立方体开始，每一步走向一个与当前位置有公共面的、尚未吃过的小立方体. 问: 吃完全部 27 个小立方体时， 能否恰在大立方体中心? （2）设 为正奇数. 一个 大立方体由单位小方块组成. 从一个角上的小方块开始，每次只能敲去一个与上一次有公共面的未敲小方块. 求所有正奇数 ，使最后敲去的小方块可以是大方块中心. 2．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知数列的前n项积． (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数n，，求的最小值． 3．（26-27高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 题型 对数学归纳法的理解 解题贴士 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． ▌例1（2026·河北保定·三模）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. ▌例2（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 ▌对点练1-1．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（北京师范大学附属实验中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题）正整数列定义如下：，对有， . (1)直接写出； (2)对，若，求的值； (3)证明：每个正整数在数列中出现且恰好出现一次． ▌对点练1-3．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 题型 数学归纳法中的增项问题 解题贴士 在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别． ▌例1（24-25高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 ▌例2（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． ▌对点练1-2（23-24高二下·辽宁·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 ▌对点练1-3（2022高二下·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 题型 证明恒等式 解题贴士 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）时，等式的结构． （2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系． ▌例1（2025高三上·河南安阳·专题练习）（多选）有一列数，前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C．，，若数列为等比数列，公比为，则 D． ▌例2（八、二次函数不动点）已知，设. (1)求证：如果存在一个实数，满足，则对一切有成立； (2)若实数满足，则称为不动点，试求出所有的不动点； (3)是否存在区间，使得对任意，当时，都有？证明你的结论. ▌对点练1-1（四、数列不等问题的数学归纳）若，，，，，，求证：． ▌对点练1-2（三、数列恒等问题的数学归纳）是否存在常数，，，使得等式对任意的都成立？ ▌对点练1-3（24-25高二上·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 题型 归纳—猜想—证明 解题贴士 （1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”． （2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． ▌例1（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知整数数列满足，且对于任意的，均有，其中为的平均数． (1)求的所有可能取值； (2)若正整数满足，证明：； (3)在所有满足要求的数列中，求的最大值． ▌例2（2026高三·全国·专题练习）设，给定数列，其中，．求证： (1)，； (2)如果，那么． ▌对点练1-1（2026高三·全国·专题练习）设数列，，…，，…中的每一项都不为0．证明：为等差数列的充分必要条件是：对任意，都有． ▌对点练1-2（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，前项和与通项满足关系．求证：． ▌对点练1-3（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 题型 用数学归纳法证明整除性问题 解题贴士 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． ▌例1（2027高二·全国·专题练习）设 是给定的素数. 证明: 数列 中有无穷多个项被 整除. ▌例2（第四章 数列（举一反三单元测试�培优卷）数学人教A版选择性必修第二册）用数学归纳法证明：能被整除． ▌对点练1-1（二、整除性问题的数学归纳证明）求证：对任意正偶数，二项式能被整除． ▌对点练1-2（二、整除性问题的数学归纳证明）用数学归纳法证明：能被64整除． ▌对点练1-3（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 基础通关 1．（25-26高二下·浙江温州·期末）数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）（多选）在无穷数列中，，则下列选项正确的是（     ） A．若 ，，则对任意，都存在，使得 B．若 （ ），，且对任意，都有 ，则 的最大值是 C．若，，使得集合中有有限个元素 D．若，当时，为递减数列，且存在常数，使得 恒成立 3．（25-26高二下·云南大理·期中）（多选）已知数列是首项为1的正项数列，前项和为，若对任意的正整数都有，则称是“数列”．下列结论正确的为（    ） A．若是公差为2的等差数列，则是“3数列” B．若是“2数列”，则不存在正整数，满足 C．若是“数列”，且，则的最小值为4 D．任给，若，且，则是“数列” 4．（2026·北京大兴·三模）已知正项数列满足：，数列的前项和.给出下列四个结论：①当时，；②当时，数列单调递增；③当时，；④当时，，都有成立.其中正确结论的序号是______________. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知表示不超过的最大整数（例如），数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．对任意，恒成立 D．存在， 6．（2026·湖南株洲·三模）（多选）已知数列满足，，则下列正确的有（    ） A．任意， B．任意，都有 C．存在， D． 7．（2026·山东济宁·三模）（多选）若数列各项均为正数，且，则（ ） A．存在，使得 B．可以是常数列 C．当时， D．当时， 8．（25-26高二下·北京顺义·期中）若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 9．（2026·山西运城·模拟预测）（多选）已知正项等比数列，等差数列满足：，，，记为前项和，为前项和，则下列正确的有（    ） A． B． C．存在，使得 D．对任意，都有 10．（25-26高二下·贵州·期中）已知函数对任意的，，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)求证：当时，. 素养提升 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的各项均为自然数，，且它的前项和为，若对所有的正整数，有成立，通过计算，，，然后归纳出等于（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）欲用数学归纳法证明:对所有不小于的正整数，，的第一个取值应当是（   ） A．1 B．大于1小于10的某个整数 C．10 D．大于10的某个整数 3．（25-26高二下·四川资阳·期末）（多选）已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（    ） A． B．存在，且，使得 C． D．取得最大值时的值为4 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数对任意都有，． (1)当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； (2)已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 5．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 迁移创新 1．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知数列 满足 ， ，则下列命题正确的有 _________. ① 是递减数列； ② ； ③ ； ④ . 2．（2026·湖南湘潭·一模）（多选）某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．记，满足的最小 D． 3．（25-26高二下·四川雅安·期末）（多选）已知数列的前项和为，若，，则（    ）． A． B．存在，或 C．数列为递减数列 D．对任意， 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.4 数学归纳法 课标要点 1. 了解数学归纳法的原理，清楚数学归纳法两个步骤各自的作用，理解该方法适用的证明场景。 2.能用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题，规范书写证明的完整步骤。 3.体会递推的思想，区分数学归纳法和不完全归纳法，能识别归纳推理与严格证明的区别。 学习重难点 重点： 1.掌握数学归纳法证明命题的两步流程，第一步奠基，第二步递推证明。 2.会利用数学归纳法证明数列相关等式、不等式类简单命题。 3.规范书写证明格式，保证答题步骤完整，拿到步骤分。 难点： 1. 第二步由 n 等于 k 成立推证 n 等于 k 加 1 成立，寻找前后两个式子之间的变形联系。 2.证明不等式时，合理放缩，准确完成递推推导，容易出现逻辑跳跃。 3.理解两步缺一不可，单独一步无法完成证明，容易忽略初始值验证。 知识点 数学归纳法的原理 1、数学归纳法定义： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2、数学归纳法的原理： 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． 它的证明共分两步： ①证明了第一步，就获得了递推的基础．但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； ②证明了第二步，就获得了递推的依据．但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）． 特别提醒 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 随学随练 1．（26-27高二上·浙江·开学考试）（多选）已知定义在上的函数满足对任意实数恒成立，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．至少有两个零点 D．对任意正整数恒成立 【答案】ACD 【分析】先通过对题干不等式双向赋值（交换的取值顺序），利用不等式的上下限夹逼得到特定点的函数值，判断选项A；再代入正负搭配的特殊值，夹逼得到的准确值，结合判断函数奇偶性，验证选项B；接着赋值推导，再通过另一组赋值得到第二个零点，判断选项C；最后通过归纳递推得到正整数对应的函数表达式，代入选项D的不等式作差验证其恒成立. 【详解】选项A： 令，代入不等式得： 令，代入不等式得： 因此，A正确. 选项B： 令，得，代入，解得； 令，得，解得. 故，而，，因此不是奇函数，B错误. 选项C： 令，代入不等式得，即对任意恒成立，故，是一个零点. 令与，可推得，是另一个零点. 因此至少有两个零点，C正确. 选项D：先证明对任意正整数 , . 当 时, ,成立； 假设当 ( 为正整数)时, 成立, 令 ,代入得， 代入 , 得， 当 时, ,两边约去 ， 得 ,即 时也成立. 由数学归纳法,对所有正整数 , . 于是， ， 作差得， 对任意正整数 , ,故 恒成立，D 正确. 2．（24-25高二下·河南洛阳·期中）如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 【答案】B 【分析】根据题意可得，当命题成立，可推出均成立，即可解题. 【详解】由于若命题对成立，则它对也成立． 又已知命题成立，可推出均成立， 即对所有正偶数都成立. 3．（25-26高二下·江苏·期中）类比排列数，定义函数（其中），将右边展开并用符号表示的系数，得，以下说法正确的是：（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ， ， ，令， ， 当时，系数为； 当时，系数为； 当时，系数为， 对任意，有， 与选项A一致，故A正确． 知识点 运用数学归纳法的步骤与技巧（重点） 1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 2、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 特别提醒 运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 随学随练 1．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 【答案】 【详解】， ， ， 则比多了项． 2．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）（多选）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 【答案】AC 【详解】A选项，当时，等式只有一项，所以命题左边为1，所以A选项错误； B选项，当时，等式左边为，所以B选项正确； C选项，当时，等式左边为， 所以在的基础上增加的部分是，所以C选项错误，D选项正确. 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 【答案】 【详解】在数学归纳法的递推性证明中，由到时，增加的项是从到的所有项，即. 知识点 用数学归纳法证题的类型（重点） 1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式； 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧． 3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题； 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 特别提醒 用数学归纳法证明，一定要先验证初始项，初始值不一定是 n 等于 1，要看题目规定。第二步假设 n 等于 k 成立，只能把这个假设当作条件，不能直接代入结论。推导 n 等于 k 加 1 时，必须找到 k 式与 k+1 式之间的联系，不能凭空变形。注意区分归纳假设和待证结论，不能循环论证。书写步骤不能省略两步，只写结论会大量丢分。证明完成后最后要写总结句，说明命题成立，答题规范才能拿全步骤分。 随学随练 1．（22-23高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【答案】 证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 【分析】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 2．（21-22高二·全国·课后作业）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域． 【答案】 当时，1个圆将平面分为2个区域，，显然命题成立， 假设当时，个圆将平面分为个区域， 当时，第个圆与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两部分， 因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分， 即， 即当时，命题成立 根据数学归纳法可得：平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这个圆把平面分成了个区域. 【分析】利用数学归纳法进行证明. 【详解】略 3．（22-23高二·全国·随堂练习）平面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数. 【答案】 证明：（1）当时，两条直线的交点只有一个，又， 当时，命题成立． （2）假设，且时，命题成立，即平面内满足题设的任何条直线交点个数， 那么，当时，任取一条直线，除以外其他条直线交点个数为，与其他条直线交点个数为，从而条直线共有个交点， 即， 这表明，当时，命题成立． 由（1）、（2）可知，对命题都成立． 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，即可证明结论． 【详解】略 拓展 数学归纳法中的归纳起点移位 常规题目一般验证 n 等于 1 作为奠基起点，但有部分命题并不是从 n 等于 1 开始成立，而是从某一个正整数 n 零，比如 n 等于 2 或者 n 等于 3 的时候才成立。完整证明分为两步，第一步奠基，验证 n 等于 n 零时命题成立。第二步归纳假设，假设 n 等于 k，k 大于等于 n 零，k 为正整数时命题成立，在这个前提之下证明 n 等于 k 加 1 时命题成立。两步全部完成，就可以推出命题对所有大于或者等于 n 零的正整数都成立。这类题目常见于数列等式、数列不等式证明。高频易错点是思维固化，习惯性验证 n 等于 1，发现不成立就判定命题错误。要记住奠基只需要验证命题生效的最小正整数，不用强行验证 n 等于 1，第二步里 k 的取值范围必须书写准确，两步缺一不可。 活学活用 1．（2027高二·全国·专题练习）（1）一只老鼠吃 立方体乳酪，它从一个角上的 小立方体开始，每一步走向一个与当前位置有公共面的、尚未吃过的小立方体. 问: 吃完全部 27 个小立方体时， 能否恰在大立方体中心? （2）设 为正奇数. 一个 大立方体由单位小方块组成. 从一个角上的小方块开始，每次只能敲去一个与上一次有公共面的未敲小方块. 求所有正奇数 ，使最后敲去的小方块可以是大方块中心. 【答案】（1）不能. （2）所求正奇数恰为满足 的 .其中 为平凡情形， 时由上述蛇形-螺旋构造实现. 【分析】把小方块作为顶点，共面相邻作为边，操作过程就是一条经过全部顶点的哈密顿路. 需要先按坐标和的奇偶把方块分成两类，由行走时两类交替给出必要条件，再对满足条件的 给出覆盖全部方块的明确构造. 【详解】顶点总数为奇数，哈密顿路两端必须同属较多的一类，从而得到 是必要条件。 充分性中， 把中心层按向内螺旋排成一条哈密顿路; 下半部用逐层往返的蛇形路， 上半部在“螺旋位置层号”的偶宽矩形网格中走一个哈密顿圈，删去指定边后接回中心层. 给每个小方块记坐标 ，其中， 按 的奇偶性给顶点染成两色. 共面相邻的两个小方块恰有一个坐标相差 1 ， 所以每走一步颜色改变. 当 为奇数时，两色顶点数相差 1，角块 所在的奇色类多一个. 哈密顿路含奇数个顶点， 其两个端点必须都在较多的颜色类中. 中心块为，其中，故它必须与 同色. 中心坐标和 与 同奇偶，所以 必须为奇数，即 这已经说明问题 1 中 时不可能. 下面证明上述必要条件也充分. 时结论直接成立. 设 且，则 为奇数，中心层下方和上方各有 层，这个数是偶数. 先在任一 水平层中规定一个向内螺旋次序，其中， 沿外框绕行一周后进入下一圈方框，最终 为平面中心. 相邻两项对应共边小方格. 从 出发: 第 1 层按 正向走，第 2 层按 反向走，此后逐层交替. 每层终点与下一层起点上下相邻. 下方层数为偶数， 所以走完第 层时位于 ，向上到中心层的 ，并走到 . 再考察上方各层. 把每个位置 视为纵坐标，把层号视为横坐标，就得到一个 行、 列的矩形网格； 后一维为偶数. 这个矩形网格有哈密顿圈:在第一列从 走到 ，以后各列在 至  之间蛇形往返， 最后沿 所在的一行返回起点. 该圈包含底层的边 . 删去这条边，便得到一条从 到 、遍历全部上方小方块的哈密顿路. 从向上接入这条路，走完后由 向下回到 ，再沿中心层螺旋次序走到中心. 下方各层、上方各层以及中心层的全部小方块都恰好出现一次， 所构造的路从角块出发并在中心结束. 这里还要注意: 只给出两类交替的奇偶条件便断言充分. 问题 2 还必须为所有给出可行的哈密顿路构造; 另外， 把总顶点数为奇数时的哈密顿路端点说成异色. 奇数个顶点的交替序列首尾同色， 且同属较多的一类. 问题 1: 不能. 问题 2: 所求正奇数恰为满足的 .其中 为平凡情形， 时由上述蛇形-螺旋构造实现. 2．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知数列的前n项积． (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数n，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 且也满足此式， 所以的通项公式为； （2）记， 则， 所以， 即对成立， 易知递增， 故，故，所以的最小值为． 3．（26-27高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)①当时，左边，右边，等式成立； ②假设当时，等式也成立，即， 则当时， ， 所以当时，等式也成立．由①②可知，等式对任何都成立． (2)①当时，左边右边，等式成立；②假设当（）时，等式成立， 即．则当时， 左边 右边， 所以当时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立． 【详解】（1）略. （2）略. 题型 对数学归纳法的理解 解题贴士 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． ▌例1（2026·河北保定·三模）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先假设是等差数列，结合条件可得，从而假设错误，即可求解； （2）（i）根据条件可猜想当时，，用数学归纳法，即可求解；（ii）由（i）得，分为偶数和奇数，利用分组求和，即可求解. 【详解】（1）因为且，令，得到，所以， 假设是等差数列，则公差，所以， 则，又，所以， 整理得到，解得，所以，与数列是正项数列相矛盾， 故假设错误，故数列不可能为等差数列. （2）（i）因为，则，， 猜想，当时，，下面用数学归纳法证明， 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即， 则时，则，所以时，猜想仍成立， 所以，则当时，， 又时，，满足，所以. （ii）由（i）知，所以， 设的前项和为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. ▌例2（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】找出使成立的最小正整数即可. 【详解】当时，，不成立. 当时，，不成立. 当时，，成立，故使不等式成立的最小正整数为，. ▌对点练1-1．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． ▌对点练1-2．（北京师范大学附属实验中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题）正整数列定义如下：，对有， . (1)直接写出； (2)对，若，求的值； (3)证明：每个正整数在数列中出现且恰好出现一次． 【答案】(1) (2) (3)证明： 由定义，由（1）知，即当时，取遍中的正整数， 假设当时，取遍中的正整数， 不妨取，则当为偶数时，，当为奇数时，，即总有， 从而，由归纳假设，k取遍中的正整数时，亦取遍中的正整数， 故，则当n取遍中的正整数时，也取遍中的正整数， 综上所述，对一切自然数s，区间中的正整数在数列中恰出现一次，从而每个正整数在数列中均出现且恰好出现一次. 【分析】（1）根据数列递推关系式求解即可； （2）结合数列定义有，然后用数学归纳法证明即可； （3）利用数学归纳法证明即可 【详解】（1）根据数列新定义可知； （2），下面用数学归纳法证明： 当时，由数列定义，且对任意，均有，所以； 当时假设有，即为数列中唯一取值为的项， 若，其中， 若，， 因为为正整数，所以有不小于3的奇因子，与矛盾， 故，，若为偶数，则为奇数，矛盾； 故为奇数，此时，可知， 由归纳假设，l有唯一解，故有唯一解， 所以对一切自然数m，； （3）略. ▌对点练1-3．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2) 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据数学归纳法的证明步骤证明． 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）略 题型 数学归纳法中的增项问题 解题贴士 在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别． ▌例1（24-25高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B ▌例2（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出增加的项，即可得解. 【详解】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． ▌对点练1-1（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用归纳法可得个圆最多把平面分成个区域，可得结论. 【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. ▌对点练1-2（23-24高二下·辽宁·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据题意，结合变到时，左边由项增加到项，即可求解. 【详解】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. ▌对点练1-3（2022高二下·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将、分别代入等式左边的代数式，相除即可得解. 【详解】从到，等式的左边需要增乘的代数式是 . 故选：D. 题型 证明恒等式 解题贴士 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）时，等式的结构． （2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系． ▌例1（2025高三上·河南安阳·专题练习）（多选）有一列数，前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C．，，若数列为等比数列，公比为，则 D． 【答案】BD 【分析】根据题意可得到数列为周期为6的周期数列，即可判断A、B选项；根据等比数列的性质即可判断C选项；利用数学归纳法即可证明出D选项. 【详解】由题意知，，（）. 则，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； 可见数列为周期为6（1，1，2，3，1，0）的周期数列. 选项A：，故A错误； 选项B：一个周期的和为：1+1+2+3+1+0=8. ，故B正确； 选项C：设数列为公比为的等比数列，则， 将代入得，， 即， 所以，整理得，解得. 当时，，则， 当时，，则，故C错误； 选项D：证明. 当时，左边，右边，等式成立； 假设时，成立， 当时，左边， 右边，因此左边=右边， 故对任意，，D正确. 故选：BD. ▌例2（八、二次函数不动点）已知，设. (1)求证：如果存在一个实数，满足，则对一切有成立； (2)若实数满足，则称为不动点，试求出所有的不动点； (3)是否存在区间，使得对任意，当时，都有？证明你的结论. 【答案】(1) 证明：用数学归纳法证明. 当时，显然成立； 假设当时，成立， 则当时，也成立.命题得证. (2)或 (3)存在，证明： 即，解得或， 由知，可得或， 因此要使对一切都有成立，只需或， 而由，可得或， 由，即，解得， 所以，取区间，或，或即可满足题意. 【分析】（1）运用数学归纳法证明易得； （2）根据不动点的定义，由解方程即得； （3）先解，得或，由知，可得或，由题设条件只需或，解不等式，即得所求区间. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知当且仅当，即时，为不动点. 由，解得或. （3）略 ▌对点练1-1（四、数列不等问题的数学归纳）若，，，，，，求证：． 【答案】 用加强命题法，先证． （i）当时，，成立； （ii）假设当时，成立， 则时， ，即时命题成立． 由（i）（ii）知对命题均成立． 因为， 且， 所以． 【分析】用数学归纳法先证可得答案 【详解】略 ▌对点练1-2（三、数列恒等问题的数学归纳）是否存在常数，，，使得等式对任意的都成立？ 【答案】存在 【分析】先令，，，列出方程组求出，再利用数学归纳法证明等式成立. 【详解】假设存在，，使题设的等式成立， 令，，，有，则. 于是，对，，，下面等式成立： ． 记， 假设时上式成立，即， 那么当时， ， 也就是说，等式对也成立. 综上所述，当，，时，题设对任意的均成立. ▌对点练1-3（24-25高二上·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【答案】 存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 【分析】由数学归纳法证明即可. 【详解】略 题型 归纳—猜想—证明 解题贴士 （1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”． （2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． ▌例1（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知整数数列满足，且对于任意的，均有，其中为的平均数． (1)求的所有可能取值； (2)若正整数满足，证明：； (3)在所有满足要求的数列中，求的最大值． 【答案】(1) (2)由题意，为整数， 故由得， 又，故． 因此． (3)12 【分析】（1）由题知，进而得，再结合是整数数列即可求得答案； （2）由是整数数列得为整数，进而得，再结合题意得，进而根据即可证明； （3）设，，先利用（2）的结论得到，结合不等式放缩得出，因此可以得到，即，再利用数学归纳法给出满足题意和取等条件的数列构造即可． 【详解】（1），故．又为整数，所以． （2）略 （3）不妨设，则． 对于，设． 故对于，，由（2）得，因此． 对于任意满足的，有， 故，结合是整数，故． 因此． 化简得到． 又，所以，因此． 由，得，故，解得． 另一方面，构造数列：对非负整数，当时，令． 下面采用数学归纳法验证此数列满足条件． 当时，，，，，成立；，即． 假设对，当时，，且， 对，前项和为， 故． 由得，因此，满足． 且当时，，符合． 因此该构造完全满足题设条件． 由于，对应，故，可以取到． 综上，的最大值为12． ▌例2（2026高三·全国·专题练习）设，给定数列，其中，．求证： (1)，； (2)如果，那么． 【答案】(1)即证． ，，， 假设，则，，． 综上所述，根据数学归纳法，命题成立． (2)由（1）得． 当时，， 当时，，又， ，即； ． 【分析】(1)拆分递推式，用数学归纳法证明数列恒大于 2 且单调递减； (2)构造做等比型放缩，累乘后结合推出上界. 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练1-1（2026高三·全国·专题练习）设数列，，…，，…中的每一项都不为0．证明：为等差数列的充分必要条件是：对任意，都有． 【答案】证明：先证必要性． 设数列的公差为．若，则所述等式显然成立． 若，则 再证充分性． 证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切都成立．首先，在等式 ① 两端同乘，即得，所以，，成等差数列，记公差为，则． 假设，当时，观察如下二等式 ② ③ 将②代入③，得， 在该式两端同乘，得 将代入其中，整理后得． 由数学归纳法原理知，对一切，都有．所以是公差为的等差数列． 证法2：（直接证法）依题意有： ① ② ②-①得， 在上式两端同乘，得③ 同理可得．④ ③-④得． 即，所以是等差数列． 【分析】利用等差数列的定义证明必要性；再利用数学归纳法或等差中项的定义推理证明充分性. 【详解】略 ▌对点练1-2（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，前项和与通项满足关系．求证：． 【答案】 ①当时，，即，，结论成立． ②假设时，结论成立，即，则当时， ， 即，（）． 所以，当时，结论也成立． 由①、②知，对都成立． 【详解】略 ▌对点练1-3（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：已知是奇数，假设是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得是奇数， 根据数学归纳法，对任何，都是奇数． (2) 证明：当时，左式， 右式， 又， 当时，成立， 则时， ． 根据数学归纳法，若时，，都有． (3)或 【分析】（1）（2）利用数学归纳法进行证明； （3）利用，得到不等式，求出或，作差法得到与，从而对，都有，得到的取值范围． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解法一：由知，当且仅当或， 另一方面，若，则；若，则， 根据数学归纳法，，，；，． 综合所述，对一切都有的充要条件是或． 解法二：由，得，于是或， ， 又，，则所有的均大于0，因此与同号． 根据数学归纳法，，与同号． 因此，对一切都有的充要条件是或． 解法三（不动点法）：记，则，，于是为凸函数． 则不动点满足，则得到不动点方程，解得不动点，， 由对一切，都有得数列为递增，所以或， 又，故的取值范围或． 题型 用数学归纳法证明整除性问题 解题贴士 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． ▌例1（2027高二·全国·专题练习）设 是给定的素数. 证明: 数列 中有无穷多个项被 整除. 【答案】先处理 . 当取任意正偶数时， 是偶数，已经得到无穷多个符合条件的项. 接下来设 为奇素数. 表达式中的 由指数除以的余数控制，而线性项由除以的余数控制， 因此考虑 与 . 因为 ，中国剩余定理给出一个整数解 ， 并且 在 取充分大的非负整数时给出无穷多个正整数解. 对每个这样的，由及费马小定理可得 ，同时 ， 故 . 因此数列中确有无穷多个项被整除. 这里必须把单独处理，因为此时费马小定理中用于控制指数的等于1 . 【解析】略 ▌例2（第四章 数列（举一反三单元测试�培优卷）数学人教A版选择性必修第二册）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】 ①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立． 【详解】略 ▌对点练1-1（二、整除性问题的数学归纳证明）求证：对任意正偶数，二项式能被整除． 【答案】证明： （i）当时，能被整除，命题成立； （ii）假设当（为正偶数）时命题成立，即能被整除， 当时，． 由可被整除，能被整除，则能被整除， 故当时，命题成立． 由（i）和（ii）知对任意正偶数，命题成立． 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可，注意对任意正偶数进行证明则归纳步骤的跨度为2． 【详解】略 ▌对点练1-2（二、整除性问题的数学归纳证明）用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】 （i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】略 ▌对点练1-3（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明: （1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【详解】略. 基础通关 1．（25-26高二下·浙江温州·期末）数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 【答案】(1)法一：当时， ，，， ， ， ， ， 是常数列，设该常数为k，则，， ，也符合上式，因此是等差数列． 法二： ， ， ， ①， 又， ②， ②-①， 则数列是等差数列. 法三： 当时，解得， 当时，， 即， ，，，成等差数列， 猜想，. （ⅰ）时，，，成等差数列，猜想显然正确. （ⅱ）假设时猜想正确， 即，， 则当时，， ， ， ， ，， ， 时，猜想也正确； 综上所述，，对都成立. 是等差数列. (2)（Ⅰ）（Ⅱ）54 【分析】（1）法一：利用的关系可证是常数列，进而可证结论；法二：利用的关系可得，可证结论；法三：利用数学归纳法可证结论； （2）（Ⅰ）利用已知结合（1）求得，进而得，利用错位相减法可求得数列的前n项和； （Ⅱ）求得与之间插入的k项之和，可得前k组之和，判断的单调性，进而计算可求得的最小值． 【详解】（1）略. （2）（Ⅰ），，， 设数列的前n项和为， ③， ④， 所以③-④得， ， 所以. （Ⅱ）新数列为：，，，，，，…，，，，…，，…， 将此数列分成若干组，，为第一组；，，为第二组；……，，，…，为第k组， 与之间的k项数列的和为：， 可得数列取到后的第k项时：. 前k组之和为： ， 显然随k的增大而增大， 当时，，， ，第44项再往后取m项，使m项的和大于978， 即：， ，当时，，时，， ，有最小值为54． 2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）（多选）在无穷数列中，，则下列选项正确的是（     ） A．若 ，，则对任意，都存在，使得 B．若 （ ），，且对任意，都有 ，则 的最大值是 C．若，，使得集合中有有限个元素 D．若，当时，为递减数列，且存在常数，使得 恒成立 【答案】AC 【分析】对于选项A，需要分析函数 的单调性，结合 的范围判断数列的变化趋势；对于选项 B ，根据递推关系和 的条件，通过不等式求解 的取值范围；对于选项 C D，结合反例可判断它们的正误. 【详解】对于选项A，已知 ，对其求导得 ，所以 在 上单调递增； 因为 ，则 ，由于 ，所以 ，那么 . 同理 ， 下证：当时， . 证明：当时，，故成立； 设当时，，则， 而 ， 故， 由数学归纳法可得， 因为时，，故， 故对任意 ，都存在 ，使得 ，故A正确. 对于选项B，已知 ． 因为对任意 ，都有 ，所以 ，解得 ， 又 ，即 ， 当 时， ，不满足对任意 ， 所以 的最大值不可能为 ，故选项B错误. 对于选项C，当 时， ， ， 以此类推，对任意 ，都存在 ，使得 ， 此时集合 有有限个元素，故选项C正确； 对于选项D，因为 ， 由于 ，故，所以 ， 这与为递减数列矛盾, 故选项D错误. 3．（25-26高二下·云南大理·期中）（多选）已知数列是首项为1的正项数列，前项和为，若对任意的正整数都有，则称是“数列”．下列结论正确的为（    ） A．若是公差为2的等差数列，则是“3数列” B．若是“2数列”，则不存在正整数，满足 C．若是“数列”，且，则的最小值为4 D．任给，若，且，则是“数列” 【答案】ABC 【分析】对A，等差数列的通项公式和前项和，直接验证；对B，得到，再用数学归纳法估计，进而估计；对C，证明时定义中的不等式对任意正整数都成立，再证明任意都不能满足定义，从而确定最小值；对D，选取符合题设条件的，构造反例判断． 【详解】A：因为，公差为，所以 于是 又 所以对任意正整数，都有，故是“数列”，A正确． B：因为是“数列”，所以对任意正整数，都有 因此 下面证明 当时，，结论成立． 假设当时，，则 所以由数学归纳法可知，对任意正整数，都有． 当时， 所以不存在正整数，使，B正确． C：由可得 由等比数列前项和公式，得 又 先取． 此时 化简得 所以时，对任意正整数都成立，即是“数列”． 下面证明任何都不符合条件． 由于且，若是“数列”，则必有． 若，则当时，不符合定义． 若，令 因为数列可以无限增大，所以存在正整数，使 于是 而 由，得 所以对这个，有，与“数列”的定义矛盾． 因此任何都不符合条件，而符合条件，故的最小值为，C正确． D：取 则，且 但是而 所以，即定义中的不等式在时不成立，故不是“数列”，D错误． 4．（2026·北京大兴·三模）已知正项数列满足：，数列的前项和.给出下列四个结论：①当时，；②当时，数列单调递增；③当时，；④当时，，都有成立.其中正确结论的序号是______________. 【答案】①③ 【分析】对于①，根据已知条件求出，，进而求出，再比较与的大小；对于②，通过作差法判断与的大小关系，从而确定数列的单调性；对于③，利用放缩法结合已知条件得到的范围，进而求出的范围；对于④，举反例可说明. 【详解】当时，由可得， 因为数列是正项数列，所以， 则，所以， 那么，， 因为，所以，故①正确； 已知，（）， 两式相减得：， 即， 因为数列是正项数列，所以，那么与同号. 当时，，所以，则， 所以，即，数列单调递减，故②错误； 若，则，，故， 则时，故， 得到，故③正确； 当时，当，， ，，则，故④错误. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知表示不超过的最大整数（例如），数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．对任意，恒成立 D．存在， 【答案】C 【分析】先由递推式求出、，判断A、B的关键起点．再证明始终在合适范围内，从而恒成立，把含取整的递推式化为普通递推式，进而判断C．最后利用递推式比较与的大小，判断D． 【详解】由，得所以． 故选项A不正确． 由，得 下面证明数列单调递增． 先证明对任意正整数，都有 当时，，结论成立． 假设． 因为，所以从而，于是 又因为当时，函数单调递增，且，所以 由数学归纳法可知，对任意正整数，都有． 因此恒成立，即 由上式可得即 所以C正确． 因为，且， 由可知，所以，即数列单调递增． 故． 所以选项B不正确． 同时，不存在正整数使，故选项D不正确． 6．（2026·湖南株洲·三模）（多选）已知数列满足，，则下列正确的有（    ） A．任意， B．任意，都有 C．存在， D． 【答案】ABD 【分析】由，得，令，则；对于A，利用数学归纳法证出，即可得到；对于B，由，得，结合不等式的性质即可得到；对于C，由，得，即，结合裂项相消法判断即可；对于D，利用数学归纳法及放缩法证出，结合等比数列的前项和得到，即可得证. 【详解】由，得，即， 令，则，. 对于A，用数学归纳法证明. 当时，，成立；假设时，，成立； 当时，，故成立. 因此，即，故A正确； 对于B，，所以， 又，，所以，故B正确； 对于C，由，得， 所以，即. ， 因为，，所以，， 所以，故C错误； 对于D，用数学归纳法证明. 当时，，成立；假设时，，成立； 当时，， 因此，所以， 即，故D正确. 7．（2026·山东济宁·三模）（多选）若数列各项均为正数，且，则（ ） A．存在，使得 B．可以是常数列 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【分析】假设成立，代入中得到矛盾，可判断A；假设（为常数），代入有解，可判断B；利用数学归纳法，可判断C；当时，利用可得，再计算，即，同理可得，可判断D. 【详解】由题意知：， 对于A：若，且数列各项均为正数，则， 所以与题意矛盾，故A错误； 对于B：若是常数列，假设（为常数）， 则可转化为，解得或（舍去） 所以当时，符合题意,即可以是常数列.故B正确； 对于C：当时，，成立； 设时，，则， 即：，化简可得： ，，则，即. 由数学归纳法，对所有，.故C正确； 对于D：当时，，即，得， 又， 同理可推：.故D正确. 8．（25-26高二下·北京顺义·期中）若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 【答案】A 【详解】由题意可得，奇数项为负数，偶数项为正数且相邻项数的绝对值之差的绝对值为3， 故 9．（2026·山西运城·模拟预测）（多选）已知正项等比数列，等差数列满足：，，，记为前项和，为前项和，则下列正确的有（    ） A． B． C．存在，使得 D．对任意，都有 【答案】ACD 【分析】利用等比数列和等差数列的通项公式以及前n项和公式可将，，，表示成关于n的式子，根据解析式判断选项即可． 【详解】因为是正项等比数列，设公比为；为等差数列，设公差为； 因为，，； 则，， 即，；解得：，； 故；；故A正确，B错误； 因为；； 设存在，使得，则，可得；故存在；C正确； 由数学归纳法可证： 当时，，；满足； 当时，，；满足； 假设当时，不等式成立，即； 当时，左边， 因为假设，故； 因为，故； 故 故对任意，都有恒成立，故D正确． 10．（25-26高二下·贵州·期中）已知函数对任意的，，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)求证：当时，. 【答案】(1)， (2) 已知，对，将代入原函数式得， 即（），两边同除以得，即. 首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. (3) 由（2）可得：，即，从而. 首先用数学归纳法证明当时，： 时，，成立； 假设时，则时，，成立. 因此对，，两边乘，得. 对求和式放缩：， 右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得： ， 因此，得证. 【分析】（1）通过对抽象函数赋值，令和，代入已知关系式，直接求得和的值； （2）根据递推关系构造数列，通过计算相邻两项的差为常数，证明其为等差数列； （3）先求出的通项公式，再利用数学归纳法和放缩法，将放缩为等比数列的项，最后求和证明不等式. 【详解】（1）已知对任意，恒成立. 令，得，移项得； 令，得，已知，代入得，解得. （2）略 （3）略 素养提升 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的各项均为自然数，，且它的前项和为，若对所有的正整数，有成立，通过计算，，，然后归纳出等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得 可化为，且 ， 令 ，，又 ， 所以， 解得 （ 舍去），， 令 ， ， 解得 （负根舍去），， 令 ，，得到， 解得 （负根舍去），， 由，归纳得. 2．（2026高三·全国·专题练习）欲用数学归纳法证明:对所有不小于的正整数，，的第一个取值应当是（   ） A．1 B．大于1小于10的某个整数 C．10 D．大于10的某个整数 【答案】B 【详解】当时，,当时，,当时，, 当时，,当时，,当时，, 因为指数函数比幂函数增长快，所以当时，， 所以的第一个取值应当是5，即大于1小于10的某个整数. 3．（25-26高二下·四川资阳·期末）（多选）已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（    ） A． B．存在，且，使得 C． D．取得最大值时的值为4 【答案】ABC 【分析】A利用等比数列的通项公式求解；B举反例；D根据增减性判断；C利用数学归纳法求证. 【详解】由题意得，，则，故A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以， 若，则，则，则， 故取得最大值时的值为3，故D错误； 因为， ， ，，均满足； 假设当时成立，即， 则当时， 综上，成立，故C正确. 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数对任意都有，． (1)当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； (2)已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 【答案】(1)，猜想：当x为正整数时，.（下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当x为正整数时，. 综上：当x为正整数时，. (2)①用反证法证明： 假设存在满足：恒成立； 则：恒成立，化简得：恒成立； ∴ 这与矛盾，故假设不成立， ∴ 不具有周期性； ②1 【分析】小问（1）直接按照题目要求来求解；小问（2）的①使用反证法证明；小问（2）的②先求出的性质，再进行计算. 【详解】（1）略 （2）①略； ②由结论知为偶函数，则为偶函数，又为奇函数，   则定义域为R，关于原点对称，   故， 所以为定义域为R的奇函数， ∴ . 5．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【答案】(1) (2)当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 【分析】（1）根据求解； （2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）略 迁移创新 1．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知数列 满足 ， ，则下列命题正确的有 _________. ① 是递减数列； ② ； ③ ； ④ . 【答案】②④ 【分析】①通过前后两项相减判断单调性.②通过函数单调性求解.③通过累乘法构造判断范围.④通过裂项相消法求解. 【详解】①因为，易知，故，所以是递增数列，错误. ②由于数列各项为正整数且是递增数列，由数学归纳法可证：, 假设，则， 故对所有的正整数成立，因此，正确. ③因为（当时取等），所以，错误. ④因为，所以，， ，正确. 2．（2026·湖南湘潭·一模）（多选）某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．记，满足的最小 D． 【答案】ABD 【分析】根据繁殖规律推导递推关系，结合初始值逐项计算即可得到对应项的值即可判断A选项，利用递推关系将偶数项转化为相邻奇数项的差，裂项相消后求和即可判断B选项，对前项和进行裂项相消，得到，将不等式转化为，通过查找数列项的值确定最小即可判断C选项，用数学归纳法证明平方和等式，关键是利用递推关系 完成从到的递推即可判断D选项． 【详解】首先根据题目给出的特殊繁殖规律： 雄虫由未受精的卵细胞发育而来，只有母亲；雌虫由受精卵发育而来，有父亲和母亲，由此可以推导祖辈数量的递推关系： 第代的雄虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量 = 它的母亲的祖辈数量； 第代的雌虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量 = 它的父亲的祖辈数量 + 它的母亲的祖辈数量； 最终可以得到递推公式：，这是斐波那契型数列， 结合已知的，，可以依次算出前几项： ， 接下来逐个验证选项： 选项A：根据递推结果，，所以A正确； 选项B：利用递推关系 ， 对偶数项求和：，故B正确； 选项C：计算前项和， ， 要求，即， 已知， 因此，，最小是10不是11，所以C错误； 选项D：当时，，成立； 假设当时等式成立，即， 当时， ， 所以等式对也成立，由数学归纳法，等式对所有正整数成立，即D正确． 3．（25-26高二下·四川雅安·期末）（多选）已知数列的前项和为，若，，则（    ）． A． B．存在，或 C．数列为递减数列 D．对任意， 【答案】ACD 【分析】选项A：配方得，结合数学归纳法证明恒成立，排除选项B中的，；作差判断选项C正确；选项D：利用构造函数在单调递增，结合数学归纳法和代数放缩证明双向不等式成立. 【详解】选项A：已知，，，因此A选项正确； 选项B：对递推公式变形得：，对所有成立； 下面用数学归纳法证明恒成立： 由已知， 若，则， 因为，所以，故，因此不存在或，B选项错误； 选项C：（因为），故，是递减数列，C选项正确； 选项D：用数学归纳法证明不等式： 时：，，，不等式成立， 假设时不等式成立：即开口向下，对称轴为， 因为，所以在单调递增，故， 因为， ， 所以当时，， 因此对任意，不等式成立，D选项正确. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $