5.1.1 平均变化率（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

　第5章 导数及其应用 5.1.1　平均变化率 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率. 2.会在具体情境中，说明平均变化率的实际意义. 重点 难点 重点：会求平均变化率. 难点：理解平均变化率的实际意义. 1.平均变化率 (1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 2.平均变化率的几何意义 函数y＝f(x)在定义域内，从x0变化到x0＋Δx的平均变化率等于该函数图象上过两点P0(x0，f(x0))，P(x0＋Δx，f(x0＋Δx))割线的斜率，如图. 关于平均变化率的两个注意点 (1)x2－x1可以是正值，也可以是负值，但不为0. (2)平均变化率可正可负，也可为0.但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]. 1.判断正误 (1)圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为0.4π.(　 ) (2)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为零，说明函数值在此区间上没有发生变化.(　 ) (3)自变量的改变量x2－x1取值越小，越能准确体现函数的变化率.(　 ) (4)已知某弯曲山路的上、下两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可以近似刻画此弯曲山路的陡峭程度.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.如图，函数y＝f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为(　 ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案：B 3.一次函数f(x)＝ax＋b从x1到x2的平均变化率有什么特点？ 提示：一次函数的图象为直线，图象上任意两点间连线的斜率固定不变，故一次函数定义域内的任意两个自变量之间的平均变化率等于常数a. —————————————————————————————————— 实际问题中的平均变化率 —————————————————————————————————————— [典例]　地高辛是用来治疗心脏病的一种药物，若某病人血液中地高辛的初始剂量为0.5 mg，且x天后血液中剩余的剂量为y mg，y与x的部分数据如下表所示. x 0 1 2 3 4 5 y 0.5 0.345 0.238 0.164 0.113 0.078 　　将y看成x的函数，分别求函数在[0，2]和[3，5]上的平均变化率. [解]　由题意知，该函数在[0，2]上的平均变化率为＝－0.131；在[3，5]上的平均变化率为＝－0.043. [方法技巧] 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键.　　 [对点训练] 　小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t内所经过的距离为s(t)＝at2，求小球在时间段[2，2＋h]内的平均速度. 解：因为小球在t内所经过的距离为s(t)＝at2， 所以在时间段[2，2＋h]内的平均速度为＝＝4a＋ah. —————————————————————————————————— 求函数的平均变化率 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快； (2)已知函数f(x)＝x2＋1，求f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率. [解]　(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为 ＝＝. 因为<， 所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快. (2)f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2＋1－(22＋1)＝4Δx＋(Δx)2， 所以f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为 ＝＝4＋Δx. [方法技巧] 求函数平均变化率的三个步骤 第一步：求自变量的改变量x2－x1；　 第二步：求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； 第三步：求平均变化率.　　 [对点训练] 1.若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________. 解析：由题意得＝3，所以m＝2(m＝1舍去). 答案：2 2.若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围. 　 解：因为函数y＝f(x)在