第4章 §4.4 第1课时 数学归纳法（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“数学归纳法”核心知识点，从生活中的不完全归纳法现象切入，通过多米诺骨牌游戏类比抽象出“两步证明”原理，系统梳理初始值确定、项变化规律及等式证明等应用，构建完整学习支架。 资料以生活情境导入培养数学眼光，类比推理深化数学思维，例题与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师突破归纳假设应用等难点，课后分层练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第1课时　数学归纳法 [学习目标]　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 导语 同学们，生活中大家是否有过这种经历，比如说，你在家里做错了一点事情，你的父母就会感觉你做什么都是错的；比如说，你知道有一个人欺骗了你，你就会感觉所有的人都在欺骗你；比如说，当你做题时，第一个题不会，你就会认为所有的题目都不会了，其实这些都用了不完全归纳的方法，其结论不一定成立，而这些也往往给予特定的目标一些心理暗示，容易对一些目标造成心理伤害，我们今天就一起解决这些特定目标的心理障碍吧． 一、数学归纳法的理解 问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示　不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，需要验证． 问题2　在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示　要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下．像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫作数学归纳法．它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的． 知识梳理 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： (1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)(2)就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法． 注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择． 例1　(1)用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取________． 答案　5 解析　当n＝1时，2＝2，不成立， 当n＝2时，4<5，不成立． 当n＝3时，8<10，不成立． 当n＝4时，16<17，不成立． 当n＝5时，32>26，成立． 当n＝6时，64>37，成立． 由此可知n0应取5. (2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，那么当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明中存在的错误是__________________． 答案　未用归纳假设 解析　本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用归纳假设，这与数学归纳法的要求不符． 反思感悟　数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 跟踪训练1　对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时， ＝＜ ＝＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案　D 解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法． 二、项的变化规律 例2　用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 答案　B 解析　当n＝k时，等式的左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，等式的左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋1＋k)(k＋k＋2)， 所以从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为＝2(2k＋1)． 反思感悟　弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律，才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项或减少了多少项． 跟踪训练2　利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　) A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 答案　D 解析　增加项为＋＋＋…＋，共2k项． 三、用数学归纳法证明等式 例3　用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋. 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立． 反思感悟　用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n＝n0时，等式的结构． (2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 跟踪训练3　用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． (2)假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N*都成立． 1．知识清单： (1)数学归纳法的概念． (2)增加或减少项的个数问题． (3)用数学归纳法证明等式． 2．方法归纳：数学归纳法． 3．常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错． 1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证当n＝1时，左边应取的项是(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 答案　D 解析　当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4. 2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，等式左边需增添的项是(　　) A．2k＋2 B. C．[(2k＋2)＋(2k＋3)] D. 答案　C 解析　当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，共2k＋1个连续自然数相加； 当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)， 所以从n＝k到n＝k＋1，等式左边需增添的项是[(2k＋2)＋(2k＋3)]． 3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　) A．当n＝4时命题不成立 B．当n＝6时命题不成立 C．当n＝4时命题成立 D．当n＝6时命题成立 答案　A 解析　因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立． 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________________________________． 答案　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 解析　当n＝k＋1时， 表达式左边为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)， 表达式右边为(k＋1)(k＋2)2， 则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　边数最少的凸n边形是三角形，故选C. 2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　) A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案　B 解析　因为n为正偶数， 所以当n＝k时，下一个偶数为k＋2. 3．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为(　　) A．1＋a B．1＋a＋a2 C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4 答案　C 解析　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C. 4．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)成立，则有(　　) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 答案　C 解析　由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立．在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 5．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　) A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2 C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2 D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2 答案　A 解析　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 6．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　) A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2 B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2 C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2 D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2 答案　B 解析　由数学归纳法知第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2. 7．(5分)设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________. 答案　＋＋ 解析　注意末项与首项， 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 8．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加了________项． 答案　2k 解析　运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)． 当n＝k时，有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左边表示的为2k项的和． 当n＝k＋1时， 左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项． 9．(10分)用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，左边＝， 右边＝1－＝，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时， 等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－， 那么当n＝k＋1时， 左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－. 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立． 10．(12分)用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3. 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立． 11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．(k＋1)2 B．k2＋1 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 答案　D 解析　因为当n＝k时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋2，所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2， 故选D. 12．(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1,2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是(　　) A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 答案　AD 解析　由题意知p(k)对k＝2,4,6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD. 13．已知f＝＋＋＋＋…＋，则(　　) A．f中共有n项，当n＝2时，f＝＋ B．f中共有项，当n＝2时，f＝1＋＋＋ C．f中共有项，当n＝2时，f＝1＋＋＋ D．f中共有项，当n＝2时，f＝1＋＋＋ 答案　C 解析　f中共有n2－＋1＝n2－n＋2项，当n＝2时，f＝1＋＋＋. 14．(5分)记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 答案　π 解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 15．(5分)用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步假设n＝k(k∈N*)时命题为真后，需证n＝________时命题也为真． 答案　k＋2 解析　因为n为正奇数，所以n＝k＋2时命题也为真． 16．(12分)用数学归纳法证明：1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)，其中n∈N*. 证明　(1)当n＝1时，左边＝1×22＝4， 右边＝×(3×12＋11×1＋10)＝4， 所以左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立， 即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2 ＝(3k2＋11k＋10)， 那么当n＝k＋1时， 1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2 ＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋5k＋12k＋24) ＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． 即当n＝k＋1时，等式也成立， 根据(1)和(2)可知，对任何n∈N*，等式都成立． 学科网（北京）股份有限公司 $