3.3 抛物线（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线与方程 3.3 抛物线（讲义） 课标要点 1. 理解抛物线定义，掌握标准方程推导，分清焦点、准线，能依据条件求出抛物线标准方程。 2.掌握抛物线简单几何性质，理解 p 的几何含义，能根据方程写出焦点、准线、范围、对称性等。 3.运用抛物线定义、方程与几何性质处理焦半径、焦点弦、距离最值等问题，类比椭圆双曲线，体会数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.抛物线的定义，区分定点在定直线上的特殊情况，掌握四种形式的标准方程。 2.抛物线几何性质，焦半径公式、焦点弦、通径相关结论。 3.利用待定系数法求抛物线方程，借助定义转化距离求解最值。 难点： 1. 灵活运用抛物线定义进行线段转化，解决距离最值问题，容易忽略定点与定直线的前提条件。 2.直线与抛物线联立问题，涉及斜率不存在、焦点弦，运算量大，韦达定理应用容易出错。 3.区分抛物线与椭圆、双曲线的差异，抛物线离心率恒等于 1，没有 a,b,c 的对应关系，容易混淆圆锥曲线概念。 知识点 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．特别提醒 抛物线定义为平面内动点到定点焦点与定直线准线距离相等，一定要注意定点不能落在这条定直线上，倘若定点在定直线上，动点轨迹将会是一条直线，而不是抛物线，这是高频易错点。解题遇到距离最值，优先利用定义实现线段转化，把到焦点距离转化为到准线距离，省去复杂计算。熟记参数 p 的几何意义，代表焦点到准线之间的距离，p 恒大于零。做题分清四种标准方程对应的开口方向，准确找准焦点坐标与准线方程。抛物线离心率固定等于 1，区别于椭圆和双曲线。 随学随练 1．（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 知识点 抛物线的标准方程（重点） 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，． 特别提醒 抛物线一共有四种标准方程，做题首先判断抛物线开口方向，开口朝向决定方程形式，不要混淆焦点坐标与准线方程。参数 p 表示焦点到准线的距离，p 一定大于 0，2p 并不是焦点到准线距离，此处极易出错。当题目没有指明开口方向时，不可直接套用某一个方程，要分类讨论，或者设成一般形式简化计算。方程中一次项决定对称轴，一次项是 x 则对称轴为 x 轴，一次项是 y 则对称轴为 y 轴。求方程优先使用定义法或者待定系数法，算出数值之后核对焦点、准线。抛物线不存在 a、b、c，不要照搬椭圆双曲线相关公式。轨迹题要检验动点条件。 随学随练 1．（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 2．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 3．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 知识点 抛物线的简单几何性质（重点） 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 特别提醒 抛物线离心率恒等于 1，图像只向一侧无限延伸，没有中心，属于非中心对称圆锥曲线，切勿和椭圆、双曲线性质混淆。做题先看准开口方向，分清对称轴是 x 轴还是 y 轴，准确写出焦点坐标与准线方程。p 代表焦点到准线的距离，p＞0，通径长度等于 2p，是过焦点最短的弦。抛物线只有一条对称轴、一个顶点，没有对称中心，不存在实轴虚轴。灵活利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离的定义，简化焦半径计算。抛物线上点存在单向取值范围，审题不能忽略变量限制。使用二级结论做选择填空可以提速，解答题不可直接照搬，需要简单推导，同时重视斜率不存在的直线这一特殊情况，防止漏解。 随学随练 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 3．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 知识点 直线与抛物线的位置关系（重点） 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且．特别提醒 直线与抛物线联立解题，一定要注意二次项系数有可能等于零，此时直线平行于抛物线对称轴，只会产生一个交点，但并不是相切，这是高频易错点。当二次项不为零时，再利用判别式 Δ 判断位置，Δ 大于 0 有两个交点，Δ 等于 0 代表相切，Δ 小于 0 无交点。运用韦达定理时，必须保证方程是一元二次方程。遇到焦点弦题型，优先借助抛物线定义转化焦半径，熟记通径结论，减少运算。答题需要考虑直线斜率不存在的特殊情况，避免漏解。抛物线图像单向延伸，联立算出结果后，要检验横坐标或者纵坐标取值范围。 (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 2．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与交于，两点，的最小值为4，为坐标原点． (1)求； (2)证明：为钝角三角形； (3)求的外接圆圆心的轨迹方程． 3．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）已知曲线，D为直线上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点； (2)若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形的面积． 拓展 直线与抛物线相交弦长问题 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点，切点弦方程为，点在抛物线外与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 活学活用 1．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 2．（2027高三·全国·专题练习）直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 3．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长． 拓展 焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 活学活用 1．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）过抛物线对称轴上一点作直线交于，两点，过，作直线的垂线，垂足分别记为，，则（    ） A． B．记坐标原点为，则，，三点共线 C．记的中点为，则直线与抛物线相切 D．对于任意的正数， 2．（26-27高三上·四川成都·开学考试）（多选）已知抛物线 的焦点为， 为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线上任意一点到点 的距离最小值为 B．若点为抛物线上的动点，点，则 的最小值为 C．若过焦点且倾斜角为 的直线与抛物线交于， 两点，且，则 D．若过点的直线与抛物线交于 ， 两点，则点 在以为直径的圆内 3．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（    ） A．若，则 B． C．过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D．直线，（为坐标原点）的斜率之积为 题型 抛物线的标准方程 解题贴士 求解抛物线标准方程，首要判断开口方向，分清上下左右四种开口，选对对应方程形式。牢记 p 的几何意义是焦点到准线的距离，p 恒大于零，切勿把 2p 当作该距离。题干未指明开口方向时，需要分类讨论，也可设一般式减少步骤。优先选用待定系数法与定义法解题，看清一次项变量确定对称轴，一次项为 x 对称轴就是 x 轴。抛物线没有椭圆、双曲线的 a,b,c，不要混用相关公式。求出方程之后回代核验焦点与准线。轨迹类题目要检验动点条件，排除定点落在准线上的特殊情形，大题规范书写步骤，小题可直接快速代入计算 ▌例1（2026高三·全国·专题练习）设（分别是x、y轴正方向上的单位向量），且． (1)求点的轨迹C的方程； (2)过点作直线l交曲线C于A、B两点，若，求证：四边形OAPB为矩形． ▌例2（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线C的焦点为F，A，为抛物线C上两个不同的动点.当时，.求抛物线C的方程. ▌对点练1-1．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． ▌对点练1-2．（23-24高三上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（     ） A． B．抛物线的准线方程是 C．直线的方程为 D． ▌对点练1-3．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型 抛物线距离和与差的最值问题 解题贴士 抛物线距离和差最值核心技巧是活用定义，将抛物线上点到焦点距离等价转化为到准线距离，大幅简化运算，尽量不用两点距离公式硬算。距离之和最值常结合三点共线求解，依据几何图形找临界位置；距离之差最值利用三角形三边关系判断。做题分清定点在抛物线内部还是外部，定点位置不同取等条件不一样。抛物线单向延伸，部分距离不存在最大值，大多求最小值。求出结果必须验证等号能否成立，对应动点是否真实在抛物线上。解答题不可直接套用结论，要写明几何转化依据，同时注意自变量取值范围，防止出现不符合题意的答案。 ▌例1（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌例2（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． ▌对点练1-1（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 ▌对点练1-2（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 ▌对点练1-3（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型 抛物线的几何性质 解题贴士 运用抛物线几何性质做题，首先确定开口方向与对称轴，准确写出焦点、准线方程，离心率固定等于 1，和椭圆双曲线做好区分。抛物线无对称中心，仅有一个顶点、一条对称轴，通径长 2p，是过焦点最短弦。解题多利用定义转化焦半径，避开复杂距离计算，时刻注意 x 或 y 的取值范围。选择填空可以巧用二级结论提速，但是大题不能直接照搬结论，需要简单推导。看清参数 p 的含义，杜绝 p 与 2p 混淆。遇到对称题型借助图像对称性简化计算，做题多画图辅助分析，认真审题，区分焦点坐标正负符号，减少低级概念失误。 ▌例1（26-27高三上·河北保定·阶段检测）（多选）抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． ▌例2（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）（多选）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：（），设，，点为抛物线上的动点（异于顶点），连接并延长交抛物线于点，连接，并延长交抛物线于点，，连接，，，设，的斜率分别为，，下列说法正确的是（     ）    A．若，，，则 B．若，则的坐标为 C．若为抛物线的焦点，则的最小值为 D． ▌对点练1-1（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）（多选）设分别为直线和曲线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称该值为曲线到直线的距离，记作，已知直线，则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 ▌对点练1-2（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（    ） A．抛物线的准线方程为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．若、、共线，则面积的最小值为 D．若，则直线恒过点 ▌对点练1-3（26-27高三上·四川·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线与交于不同的两点，（点在线段上），则（   ） A． B．当时，的面积为 C．存在使得 D．若的斜率为，则 题型 直线与抛物线的位置关系 解题贴士 处理直线与抛物线位置关系，联立消元之后先观察二次项系数，系数为零时直线平行对称轴，仅有一个交点，但并不是相切，属于高频陷阱。二次项不为零，再依靠判别式 Δ 判断交点情况，Δ 大于 0 相交，Δ 等于 0 相切，Δ 小于 0 无交点。使用韦达定理的前提必须是一元二次方程，不要忽略斜率不存在的直线，防止漏解。焦点弦相关题目优先抛物线定义转化线段，简化弦长运算。计算完成之后检验变量取值范围，舍去增根。小题可以直接使用焦点弦相关结论，解答题禁止直接默写二级结论，要写出联立化简过程，保证步骤完整，避免无故扣分。 ▌例1（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ▌例2（2026·安徽·模拟预测）设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． (1)证明：点在以为直径的圆上； (2)若，求的面积． ▌对点练1-1（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． ▌对点练1-2（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． ▌对点练1-3（2026高二·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为．过的直线交于两点，其中在轴上方，在轴下方．过分别作的切线，两切线交于点． (1)证明：点在一条定直线上，且． (2)记的外接圆为．设为第一象限内一点．若恰存在一条符合条件的直线，使相应的圆经过点，求点的轨迹． 题型 弦长、定点定值问题 解题贴士 抛物线弦长、定点定值题型，常规思路是直线和抛物线联立，结合韦达定理得到两根之和与两根之积。计算弦长优先弦长公式，焦点弦可以借助抛物线定义转化距离简化计算。定点定值问题先特殊情况试探结果，再进行一般情况推导，提升做题效率。一定要讨论直线斜率存在与不存在两种情况，斜率不存在时单独验证，避免漏解。运算过程仔细整理式子，减少计算错误。不要直接照搬各类二级结论写大题，关键代数化简步骤必须书写完整。求出定点后带回原式检验，排除不符合条件的点，定值题型也要验证特殊情形，保证答案严谨无误。 ▌例1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线：，直线与抛物线有且只有一个交点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于异于原点的两点，，若，过作的垂线，垂足为，求证：直线恒过定点，并求出的取值范围． ▌例2（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． ▌对点练1-1（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知抛物线：上的一点（）到的焦点的距离为，点，是上不同的两点． (1)求的方程； (2)若，求点到直线的距离的最大值． ▌对点练1-2（2026·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 ▌对点练1-3（25-26高三下·广东惠州·阶段检测）设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 基础通关 1．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）（多选）已知曲线，则（     ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上至少有4个整点（即横、纵坐标均是整数的点） C．曲线上存在一点，使得点与点间的距离大于1 D．曲线所围成的区域的面积小于4 2．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）（多选）已知抛物线：（）的焦点为，准线为：，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则（    ） A． B． C．若弦的中点到的距离为，则的斜率为 D．设交于点，则 3．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为 D．为钝角 4．（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，直线与轴相交于点，与抛物线相交于，两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C．存在，使得 D． 5．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）（多选）已知曲线上的动点到点的距离比它到直线的距离小，则（    ） A．曲线的方程为 B．若以为直径的圆过点，则 C．若点到直线， 的距离分别为，则的最小值为 D．已知是曲线上的两点，若，则线段的中点到轴的距离为 6．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知抛物线，的焦点分别为，，则（    ） A． B．与有两个交点 C．的准线方程为 D．点到的准线的距离为4 7．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A．的坐标为 B． C． D． 8．（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 9．（24-25高二上·湖南株洲·期末）（多选）已知且、两点的坐标分别为，，曲线上的点满足，则（     ） A．曲线的图象既有对称轴也有对称中心 B．若，曲线的方程为 C．曲线上点的纵坐标的最大值为 D．若点在上，则 10．（25-26高二下·西藏昌都·期末）（多选）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 素养提升 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，连接并延长与准线交于点，与轴交于点，准线与轴交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）（多选）已知点在抛物线C：上，圆E：与相切于两点，设点，则（    ） A． B．当在圆上时， C． D． 5．（26-27高二上·全国·课后作业）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． 迁移创新 1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，是上的动点，过点作的切线，直线与椭圆：交于，两个不同的点，记的中点为．设直线（为原点）与直线交于． (1)若椭圆经过抛物线的焦点，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2)在（1）的条件下，证明：直线与直线垂直； (3)若与交于，且，证明： 2．（26-27高三上·广西贺州·开学考试）（多选）抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（    ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线与方程 3.3 抛物线（讲义） 课标要点 1. 理解抛物线定义，掌握标准方程推导，分清焦点、准线，能依据条件求出抛物线标准方程。 2.掌握抛物线简单几何性质，理解 p 的几何含义，能根据方程写出焦点、准线、范围、对称性等。 3.运用抛物线定义、方程与几何性质处理焦半径、焦点弦、距离最值等问题，类比椭圆双曲线，体会数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.抛物线的定义，区分定点在定直线上的特殊情况，掌握四种形式的标准方程。 2.抛物线几何性质，焦半径公式、焦点弦、通径相关结论。 3.利用待定系数法求抛物线方程，借助定义转化距离求解最值。 难点： 1. 灵活运用抛物线定义进行线段转化，解决距离最值问题，容易忽略定点与定直线的前提条件。 2.直线与抛物线联立问题，涉及斜率不存在、焦点弦，运算量大，韦达定理应用容易出错。 3.区分抛物线与椭圆、双曲线的差异，抛物线离心率恒等于 1，没有 a,b,c 的对应关系，容易混淆圆锥曲线概念。 知识点 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．特别提醒 抛物线定义为平面内动点到定点焦点与定直线准线距离相等，一定要注意定点不能落在这条定直线上，倘若定点在定直线上，动点轨迹将会是一条直线，而不是抛物线，这是高频易错点。解题遇到距离最值，优先利用定义实现线段转化，把到焦点距离转化为到准线距离，省去复杂计算。熟记参数 p 的几何意义，代表焦点到准线之间的距离，p 恒大于零。做题分清四种标准方程对应的开口方向，准确找准焦点坐标与准线方程。抛物线离心率固定等于 1，区别于椭圆和双曲线。 随学随练 1．（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 2．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 3．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 知识点 抛物线的标准方程（重点） 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，． 特别提醒 抛物线一共有四种标准方程，做题首先判断抛物线开口方向，开口朝向决定方程形式，不要混淆焦点坐标与准线方程。参数 p 表示焦点到准线的距离，p 一定大于 0，2p 并不是焦点到准线距离，此处极易出错。当题目没有指明开口方向时，不可直接套用某一个方程，要分类讨论，或者设成一般形式简化计算。方程中一次项决定对称轴，一次项是 x 则对称轴为 x 轴，一次项是 y 则对称轴为 y 轴。求方程优先使用定义法或者待定系数法，算出数值之后核对焦点、准线。抛物线不存在 a、b、c，不要照搬椭圆双曲线相关公式。轨迹题要检验动点条件。 随学随练 1．（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或． 【分析】（1）根据条件可设方程为，结合焦点到准线的距离可得结果； （2）根据点坐标确定抛物线开口方向，分类讨论，设出标准方程，代入坐标可得结果； （3）求直线与坐标轴交点，分类讨论可得结果. 【详解】（1）已知抛物线的焦点在轴上，可设方程为， 由焦点到准线的距离为5，知，， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为或． （2）因为点在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得． 故所求抛物线的标准方程为或． （3）对于直线方程，令，得；令，得，所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 故所求抛物线的标准方程为或． 2．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 【答案】或． 【分析】设所求抛物线的标准方程，,结合抛物线的定义和距离公式求得，进而求出抛物线方程. 【详解】设所求抛物线的标准方程为， 设，由题意知． 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入方程得，，解得或． 所以所求抛物线的标准方程为或． 3．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 知识点 抛物线的简单几何性质（重点） 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 特别提醒 抛物线离心率恒等于 1，图像只向一侧无限延伸，没有中心，属于非中心对称圆锥曲线，切勿和椭圆、双曲线性质混淆。做题先看准开口方向，分清对称轴是 x 轴还是 y 轴，准确写出焦点坐标与准线方程。p 代表焦点到准线的距离，p＞0，通径长度等于 2p，是过焦点最短的弦。抛物线只有一条对称轴、一个顶点，没有对称中心，不存在实轴虚轴。灵活利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离的定义，简化焦半径计算。抛物线上点存在单向取值范围，审题不能忽略变量限制。使用二级结论做选择填空可以提速，解答题不可直接照搬，需要简单推导，同时重视斜率不存在的直线这一特殊情况，防止漏解。 随学随练 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由抛物线，得， ∴ 焦点， 准线方程为. 设， 由抛物线定义得. 将代入， 整理得， 由韦达定理得. 对选项A：∵ ， ∴ ， 解得，代入得， ∴ ， 解得， 又， ∴ ， A正确； 对选项B：∵ ， 为坐标原点， ∴ 在线段的垂直平分线上， 而中点为， 垂直平分线为， 故. 代入抛物线方程得， 又， ∴ ，∴ ， 解得， B正确； 对选项C：∵ ， ∴ ， 即. 代入得， 即， 解得（负根舍去）， 则， ∴ ， 解得， 又，∴ ， C错误； 对选项D：， 代入， 得， 令， 解得， 又， ∴ ， D正确. 2．（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】当直线不存在斜率时，直线的方程为， 当时，，该方程无实根，此时直线与抛物线无交点； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 当时，， 此时直线与抛物线 有且只有一个交点，符合题意； 当时，要想直线与抛物线有且只有一个公共点， 只需， 方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 显然不是方程的实根， 所以满足条件的直线共有3条. 3．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)设，， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 因为直线与关于对称，所以，即， 所以． （提示：的证明可用三种方法： 法1：到角公式，化简得； 法2：OA与OB的倾斜角，满足，即， 则，得； 法3：设关于直线的对称点为，则， 则，即，得．） 法1.设，，由题意得，且， 则直线的斜率存在，从而可设方程为，显然，， 将与联立消去，得，， 由韦达定理知，可得， 则方程为，可知直线恒过定点． 法2.由前面已得，直线的斜率为， 则直线的方程为， 化简． 又，所以， 则直线恒过定点． 法3.因为直线与关于对称，所以． 设直线的斜率为，则直线OB的斜率为． 直线，与联立， 解得或，则． 同理，直线，与联立， 解得或，则． 直线的斜率为， 于是直线的方程为， 化简得． 则直线AB恒过定点． 【分析】（1）法1：由抛物线定义可知从而得到，设点，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，结合二次函数的图像和性质得到最小值.      法2：利用导数的几何意义求出与直线平行且与抛物线相切的切线方程，求出切线和直线的距离就是所求的最小值. （2）设，，由于直线与关于对称得到，求得（提示：的证明可用三种方法．法1：利用到角公式求解；法2：与的倾斜角，满足，即，利用三角函数的公式求解；法3：设关于直线的对称点为，则，则，从而得解．）法1.利用韦达定理得到，得到的值，从而得到，直线恒过的定点．法2.求出直线的斜率为，利用点斜式求出直线的方程，结合得到直线恒过的定点．法3.由于直线与关于对称得到，直线与联立求出．同理求出，求出直线的斜率，得到直线的方程，通过化简得到直线恒过的定点． 【详解】（1）法1：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 设点，则点P到直线l的距离为 ， 当且仅当时取等号． 则动点P到直线的最小距离为． 法2：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 抛物线，其切线斜率为，要与直线平行， 则，，．切点为，切线为． 直线与的距离． 则最小距离为． （2）略 知识点 直线与抛物线的位置关系（重点） 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且．特别提醒 直线与抛物线联立解题，一定要注意二次项系数有可能等于零，此时直线平行于抛物线对称轴，只会产生一个交点，但并不是相切，这是高频易错点。当二次项不为零时，再利用判别式 Δ 判断位置，Δ 大于 0 有两个交点，Δ 等于 0 代表相切，Δ 小于 0 无交点。运用韦达定理时，必须保证方程是一元二次方程。遇到焦点弦题型，优先借助抛物线定义转化焦半径，熟记通径结论，减少运算。答题需要考虑直线斜率不存在的特殊情况，避免漏解。抛物线图像单向延伸，联立算出结果后，要检验横坐标或者纵坐标取值范围。 (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． (2)4 【分析】（1）设直线AB方程：，与抛物线的方程联立，根据韦达定理，由垂直的向量表示，可得关于的方程，求解可得的值，从而得到直线所过定点； （2）由（1）可得面积， 根据韦达定理，并结合二次函数的最值求法可得面积的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴当时，的面积取得最小值为4． 2．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与交于，两点，的最小值为4，为坐标原点． (1)求； (2)证明：为钝角三角形； (3)求的外接圆圆心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)由（1）可得抛物线方程为，所以焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，所以，整理得， 所以， 所以， 所以，所以， 所以为钝角三角形； (3) 【分析】（1）设直线的方程为，，利用弦长问题可求得的最小值，进而可求得； （2）设直线的方程为，，与抛物线方程联立，利用向量的数量积可证明为钝角三角形； （3）求得和的垂直平分线方程，利用交轨法可求得的外接圆圆心的轨迹方程． 【详解】（1）抛物线方程为，所以焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，所以，整理得， 所以， 所以 ， 当时，的最小值为， 因为的最小值为4，所以，解得； （2）略. （3）由题意可得的中点为，又， 所以的垂直平分线的方程为， 整理得①， 同理可得的垂直平分线的方程为②， ①-②，得， 所以， 所以，所以， ①+②，得 ， 又， 所以， 所以， 所以，所以. 3．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）已知曲线，D为直线上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点； (2)若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形的面积． 【答案】(1)设，， 设切线的方程为， 代入抛物线方程，得，整理得， 所以，化简得， 所以，所以，解得， 所以切线的斜率为，所以切线的方程为， 又切线过点，所以， 整理得点满足， 同理可得点满足， 所以直线的方程为，所以直线过定点 (2)四边形的面积为3或 【分析】（1）设，，设切线的方程为，联立方程求得点，点满足的方程，进而可得直线的方程，可求直线AB过定点； （2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得，设分别为点到直线的距离，利用求得面积，进而根据切点为线段AB的中点，求得，可求得四边形的面积． 【详解】（1）略. （2）由（1）得直线的方程为， 由，得， 所以， 设分别为点到直线的距离， 则，， 所以四边形的面积为 ， 设为的中点，则， 由于，又与向量共线， 所以，解得或， 当时，；当时，. 所以四边形的面积为3或. 拓展 直线与抛物线相交弦长问题 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点，切点弦方程为，点在抛物线外与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 活学活用 1．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 【答案】14 【分析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案． 【详解】由抛物线方程得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以， ，， 所以， 即该光线经过的路程为. 2．（2027高三·全国·专题练习）直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程消去得到关于的二次方程，由判别式大于零确定的范围，再利用韦达定理和弦长公式建立关于的方程求解即可． 【详解】由得：． ，所以或， 因为． ． 解得或， ∴抛物线方程为或． 3．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，利用直线的斜率与直线的斜率的差是2列出方程化简即可； （2）设直线的方程为：，联立与的轨迹方程，根据韦达定理以及得到，从而得出，求出，最后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）设，由， 则，其中， 由题意知：，化简得， 所以点的轨迹方程为：. （2）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为：， 联立，消去得：， 由， 所以设，所以，① 因为，所以即， 也即， 整理可得：， 将①代入上式，得，解得：， 所以 . 拓展 焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 活学活用 1．（26-27高三上·安徽·开学考试）（多选）过抛物线对称轴上一点作直线交于，两点，过，作直线的垂线，垂足分别记为，，则（    ） A． B．记坐标原点为，则，，三点共线 C．记的中点为，则直线与抛物线相切 D．对于任意的正数， 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，设出直线的方程并与抛物线的方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式及三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】设直线的方程为，，由对称性不妨令，则， 由消去，得，则， 对于A，，A错误； 对于B，直线的斜率，直线的斜率， 因此，，，三点共线，B正确； 对于C，，直线的斜率， 直线的方程为，即， 由消去，得，， 因此直线与抛物线相切，C正确； 对于D，， 因此 ，D正确. 2．（26-27高三上·四川成都·开学考试）（多选）已知抛物线 的焦点为， 为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线上任意一点到点 的距离最小值为 B．若点为抛物线上的动点，点，则 的最小值为 C．若过焦点且倾斜角为 的直线与抛物线交于， 两点，且，则 D．若过点的直线与抛物线交于 ， 两点，则点 在以为直径的圆内 【答案】CD 【分析】A设出抛物线上点的坐标，用距离公式转化为二次函数求最值；B由定义把转化为点到准线的距离，再求距离之和的最小值；C联立直线与抛物线方程求出交点横坐标，用焦半径公式比较与；D设直线，联立后计算，由数量积的符号判断点与圆的位置关系. 【详解】A中，设为抛物线上任意一点，则，其中. 因为. 配方得，当时取得最小值， 即的最小值为，不等于，A错误. B中，抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线的定义知等于点到准线的距离，所以， 即折线的长度. 点到准线的距离为，而折线长度不小于点到直线的距离， 且当取过垂直于的直线与抛物线的交点时取到等号. 故的最小值为，不等于，B错误. C中，焦点，倾斜角为的直线斜率为，其方程为. 代入得，解得，. 由焦半径公式，，所以，C正确. D中，设过点的直线方程为，代入得， 其判别式恒大于零. 设，，则，. 因为. . 所以为钝角，即点在以为直径的圆内，D正确. 3．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（    ） A．若，则 B． C．过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D．直线，（为坐标原点）的斜率之积为 【答案】AC 【分析】通过联立方程组，整理得到一元二次方程，由韦达定理求得交点坐标的关系，由抛物线的定义和性质，逐一判断各个选项. 【详解】由题意可知，直线一定过焦点， 联立方程组，整理得， 设， 则， 即 当时，，由交点弦长公式可知，A选项正确； ， 则，B选项错误； 直线，则，则，， 因为，，所以，所以，，三点共线，C选项正确； ，所以，D选项错误. 题型 抛物线的标准方程 解题贴士 求解抛物线标准方程，首要判断开口方向，分清上下左右四种开口，选对对应方程形式。牢记 p 的几何意义是焦点到准线的距离，p 恒大于零，切勿把 2p 当作该距离。题干未指明开口方向时，需要分类讨论，也可设一般式减少步骤。优先选用待定系数法与定义法解题，看清一次项变量确定对称轴，一次项为 x 对称轴就是 x 轴。抛物线没有椭圆、双曲线的 a,b,c，不要混用相关公式。求出方程之后回代核验焦点与准线。轨迹类题目要检验动点条件，排除定点落在准线上的特殊情形，大题规范书写步骤，小题可直接快速代入计算 ▌例1（2026高三·全国·专题练习）设（分别是x、y轴正方向上的单位向量），且． (1)求点的轨迹C的方程； (2)过点作直线l交曲线C于A、B两点，若，求证：四边形OAPB为矩形． 【答案】(1) (2)证明：由可知四边形为平行四边形，要证其为矩形，只需证即可，即证. 设， 当轴时，， ，即； 当不与轴垂直时， 设的斜率为，易知，且方程为，② 将②代入轨迹的方程得：. 由根与系数关系得，， 所以， 所以，所以，故得证． 【分析】(1)先计算向量和的模长，因为，所以对模长平方后化简，得到的关系式，即为轨迹的方程. (2)设直线的方程，分斜率存在和不存在两种情况，将直线方程与曲线的方程联立，得到关于或的一元二次方程，利用韦达定理得到交点坐标的和与积.计算向量，如果，那么，结合可知四边形是平行四边形，即可证明其为矩形. 【详解】（1）由已知，即， 整理得. （2）略 ▌例2（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线C的焦点为F，A，为抛物线C上两个不同的动点.当时，.求抛物线C的方程. 【答案】 【详解】由抛物线的定义知：， 因为，，则，即，所以抛物线的方程为. ▌对点练1-1．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，根据点的坐标建立方程求出的值即得抛物线的方程. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F作于点G， 则，则， 又，则，则有，解得. 故抛物线的方程为：，即. 故答案为：. ▌对点练1-2．（23-24高三上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（     ） A． B．抛物线的准线方程是 C．直线的方程为 D． 【答案】ACD 【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式和中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；由，在直线上及中点坐标公式得到，从而得到，利用抛物线的定义求出，从而得到，判断D正确. 【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确； 故抛物线的方程为，抛物线准线方程为，故B错误； 则，． 又是的中点，则，所以， 即，所以直线的方程为．故C正确； ，在直线上，，， ，， ，， ．故D正确. 故选：ACD． ▌对点练1-3．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 题型 抛物线距离和与差的最值问题 解题贴士 抛物线距离和差最值核心技巧是活用定义，将抛物线上点到焦点距离等价转化为到准线距离，大幅简化运算，尽量不用两点距离公式硬算。距离之和最值常结合三点共线求解，依据几何图形找临界位置；距离之差最值利用三角形三边关系判断。做题分清定点在抛物线内部还是外部，定点位置不同取等条件不一样。抛物线单向延伸，部分距离不存在最大值，大多求最小值。求出结果必须验证等号能否成立，对应动点是否真实在抛物线上。解答题不可直接套用结论，要写明几何转化依据，同时注意自变量取值范围，防止出现不符合题意的答案。 ▌例1（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. ▌例2（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）延长交准线于点，由抛物线定义知，再利用三角形不等式可得答案； （2）设点关于准线的对称点为点，利用对称性及三角不等式可得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，延长交准线于点， 如图所示．根据抛物线的定义知，． 所以， 故的最小值为9． （2）因为，所以，准线方程为． 设，则，即， 代入中，得， 不妨取，即． 设点关于准线的对称点为点，可得， 故， 故的最小值为． ▌对点练1-1（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. ▌对点练1-2（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据抛物线的定义性质，重心坐标公式，平行线间的距离公式逐项求解即可. 【详解】 抛物线的焦点， 设,由抛物线定义可知：,已知， 即， 又因为的重心为抛物线的焦点，即代入 得或，因为所以，故A对 抛物线. 因为的重心为抛物线的焦点，所以(三角形两边之和大于第三边)， 即的周长，故B对. 的三个顶点到轴的距离之和，故C对. 设与直线平行，与抛物线相切的直线方程为， 联立得，， 所以直线，两条平行线间的距离：， 即动点到直线的距离的最小值为，故D错. ▌对点练1-3（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 题型 抛物线的几何性质 解题贴士 运用抛物线几何性质做题，首先确定开口方向与对称轴，准确写出焦点、准线方程，离心率固定等于 1，和椭圆双曲线做好区分。抛物线无对称中心，仅有一个顶点、一条对称轴，通径长 2p，是过焦点最短弦。解题多利用定义转化焦半径，避开复杂距离计算，时刻注意 x 或 y 的取值范围。选择填空可以巧用二级结论提速，但是大题不能直接照搬结论，需要简单推导。看清参数 p 的含义，杜绝 p 与 2p 混淆。遇到对称题型借助图像对称性简化计算，做题多画图辅助分析，认真审题，区分焦点坐标正负符号，减少低级概念失误。 ▌例1（26-27高三上·河北保定·阶段检测）（多选）抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 【答案】AD 【详解】选项 A，抛物线的焦点为，是关于原点的对称点，故，由，且是的中点，得， 因为都在抛物线上，代入抛物线方程得，， 即，，所以，得，由，解得，故 A 正确； 选项 B，由，抛物线方程为，其准线方程为，故 B 错误； 选项 C，由，，因为点B在第一象限，故，即，故， 所以，故 C 错误； 选项 D，如图，延长AF与抛物线交于点C，在F的右侧且在x轴上取一点X， 焦点，，， 可得，说明直线与关于轴对称，所以， 因为，所以，故D 正确. ▌例2（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）（多选）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：（），设，，点为抛物线上的动点（异于顶点），连接并延长交抛物线于点，连接，并延长交抛物线于点，，连接，，，设，的斜率分别为，，下列说法正确的是（     ）    A．若，，，则 B．若，则的坐标为 C．若为抛物线的焦点，则的最小值为 D． 【答案】ACD 【分析】利用直线与抛物线方程联立，求弦长即可判断A，根据抛物线的性质即可判断BC，利用斜率公式即可判断D. 【详解】选项A．直线，设∴ ∴．∵∴，故A正确； 对于B，若，则E的坐标为，故B错误； 对于C，若E为抛物线的焦点，设MN的倾斜角为则的最小值为，故C正确； 对于D，设则有， 即，故D正确． ▌对点练1-1（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）（多选）设分别为直线和曲线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称该值为曲线到直线的距离，记作，已知直线，则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AD 【分析】根据平行直线间距离公式可知A正确；根据圆上点到直线距离最小值的求法可求得B错误；对于CD，假设与曲线相切的直线方程，通过与曲线方程联立，由可求得切线方程，利用平行直线间距离公式可求得或的值，验证直线与的位置关系可确定CD正误. 【详解】对于A，表示的直线与直线平行， 则两平行线间距离即为，，A正确； 对于B，表示以原点为圆心，半径的圆， 则圆心到直线的距离，即直线与圆相离， 则，B错误； 对于C，由得：，则， 直线与曲线相离； 设直线与曲线相切， 由得：，则，解得：， 则直线与直线均与曲线相切， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，C错误； 对于D，设直线与曲线相切， 由得：，则， 又，，，解得：或， 当时，，由得：， 则，此时直线与相交，即，不合题意； 当时，，由得：， 则，此时直线与相离，满足题意； 综上所述：，D正确. ▌对点练1-2（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（    ） A．抛物线的准线方程为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．若、、共线，则面积的最小值为 D．若，则直线恒过点 【答案】ACD 【分析】根据抛物线方程判断A，根据三角形为等腰直角三角形分类讨论求出判断B，设直线方程，利用韦达定理求三角形面积最值判断C，利用垂直关系求出判断D. 【详解】由抛物线知，，，所以抛物线准线方程为，故A正确； 若为等腰直角三角形，则或， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾，故B错误； 设，易知直线斜率不为，设直线， 由，可得，， 则 若、、共线，则三点所在直线，则， 所以面积， 当时等号成立，故C正确； 若，则，， 代入，解得或（舍去）， 所以直线，直线恒过，故D正确. ▌对点练1-3（26-27高三上·四川·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线与交于不同的两点，（点在线段上），则（   ） A． B．当时，的面积为 C．存在使得 D．若的斜率为，则 【答案】ABD 【分析】根据条件求出抛物线方程，设出直线的方程后联立方程利用韦达定理求解. 【详解】 因为点在抛物线：的准线上，所以，即， 抛物线方程为，故A正确； 焦点，设直线的方程为， 联立方程得，，解得， 设，则， 根据焦半径公式得，， 当时，即，又，， 所以，即，又因为，即， 代入得，解得，又，故， 因为点在线段上， 所以的面积为， 又因为，，， 所以，故B正确； 过点作垂直于准线，垂足为点，则，若， 则，又，所以，，即， ，又，故不存在使得，C选项错误； 因为，， 所以，又， 所以，即，D选项正确. 题型 直线与抛物线的位置关系 解题贴士 处理直线与抛物线位置关系，联立消元之后先观察二次项系数，系数为零时直线平行对称轴，仅有一个交点，但并不是相切，属于高频陷阱。二次项不为零，再依靠判别式 Δ 判断交点情况，Δ 大于 0 相交，Δ 等于 0 相切，Δ 小于 0 无交点。使用韦达定理的前提必须是一元二次方程，不要忽略斜率不存在的直线，防止漏解。焦点弦相关题目优先抛物线定义转化线段，简化弦长运算。计算完成之后检验变量取值范围，舍去增根。小题可以直接使用焦点弦相关结论，解答题禁止直接默写二级结论，要写出联立化简过程，保证步骤完整，避免无故扣分。 ▌例1（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果； （2）求出直线的方程，将其与抛物线方程联立，由韦达定理求得，再结合线段的长度，根据三角形面积公式即可求出结果； （3）由题意，设，，由于四边形是平行四边形，则的中点为，可得与的关系，将其代入抛物线方程，可求出的值，即可求出点的坐标，并对其检验，即可得到结果. 【详解】（1）将代入得，故， 抛物线方程为，焦点. （2）直线的斜率为1且过，直线：，即， 代入得，设，， 韦达定理，，， ，，且，即、位于轴两侧， 故. （3）四边形为平行四边形，顺次顶点，则对角线与互相平分， ，，故的中点为， 设，， 则由中点关系，，，即， 将代入直线， 得， 化简得，即，解得或， ①当时，，，四点，，， 四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； ②当时，，，四点，，，，四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； 综上，对应点的坐标为或. ▌例2（2026·安徽·模拟预测）设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． (1)证明：点在以为直径的圆上； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：设直线的方程为，， 联立，即，则，，， 因为，则，又， 所以，所以，即， 所以点在以为直径的圆上； (2) 【分析】（1）设直线方程及，两点坐标，联立方程组，列出韦达定理，要证点在以为直径的圆上，即证即可； （2）先根据已知条件可求出，再通过弦长公式及点到直线的距离公式，将面积表示成关于的式子，从而求出面积. 【详解】（1）略 （2）由题可得，，则， 所以，又， 所以， 由（1）知，，所以，解得， 由弦长公式可得， 又点到直线：的距离， 所以. ▌对点练1-1（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 【答案】(1)2 (2) (3)，定值为2． 【分析】（1）由直线与抛物线联立求解出，两点，再根据三角形面积公式即可求出. （2）先设出直线的方程，再联立抛物线方程，分别表示出即可. （3）由（2）可得，，再代入求解即可. 【详解】（1）由且轴，得：． 将代入，得，得， 从而． 点到直线的距离为1，故． （2）设直线：， 联立抛物线方程得， ，设，， ，又∵，∴， ，， ∴. （3）由（2）得， ∴， ∴， 当时，为定值． ▌对点练1-2（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． （2）如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． ▌对点练1-3（2026高二·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为．过的直线交于两点，其中在轴上方，在轴下方．过分别作的切线，两切线交于点． (1)证明：点在一条定直线上，且． (2)记的外接圆为．设为第一象限内一点．若恰存在一条符合条件的直线，使相应的圆经过点，求点的轨迹． 【答案】(1)证明：因为，设过点的直线的解析式为，，， 联立 得 由韦达定理得，， 则(=，. 设抛物线过点的切线为，过点的切线为， 联立 得，且， 因为点在抛物线上，所以， 代入得， 解得 则， 同理， 联立 得， 即点坐标为， 所以，点在定直线上. 当时， 因为过点的直线的解析式为，所以，即直线的斜率， 又， 所以， 即； 当时， 直线，， 则， 即， 综上所述. (2)点P的轨迹是以为圆心，为半径，在x轴上方的半圆. 【分析】(1)先假设过点的直线的解析式，将其与抛物线联立，由韦达定理得到,两点坐标的关系，再分别设这两点的切线方程，与抛物线联立通过得到斜率，再将两切线方程联立得到点坐标，即可得出点在定直线上，通过即可得出. (2)证明，则外接圆圆心为中点，利用待定系数法求出圆的方程，再将点代入圆的方程，通过得到点的轨迹方程. 【详解】（1）略. （2）因为， 所以， 所以外接圆的圆心为斜边的中点， 则的坐标为. 直径 ， 则半径， 圆的方程为： . 设在第一象限， 由题可知， 化简得： 即： 恰有一个实数意味着该二次方程有唯一解， 由于，故判别式，即， 化简得，即或， 因为点在第一象限，所以不符题意，舍去， 所以，即，得， 又因为点在第一象限，所以，， 即点的轨迹方程为， 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径，在x轴上方的半圆. 题型 弦长、定点定值问题 解题贴士 抛物线弦长、定点定值题型，常规思路是直线和抛物线联立，结合韦达定理得到两根之和与两根之积。计算弦长优先弦长公式，焦点弦可以借助抛物线定义转化距离简化计算。定点定值问题先特殊情况试探结果，再进行一般情况推导，提升做题效率。一定要讨论直线斜率存在与不存在两种情况，斜率不存在时单独验证，避免漏解。运算过程仔细整理式子，减少计算错误。不要直接照搬各类二级结论写大题，关键代数化简步骤必须书写完整。求出定点后带回原式检验，排除不符合条件的点，定值题型也要验证特殊情形，保证答案严谨无误。 ▌例1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线：，直线与抛物线有且只有一个交点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于异于原点的两点，，若，过作的垂线，垂足为，求证：直线恒过定点，并求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线恒过定点  的取值范围为 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据，求的值； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据，结合根与系数的关系确定直线恒过定点；求出点的轨迹方程，利用几何意义确定的取值范围． 【详解】（1）联立直线与抛物线方程： ，消去得， 因为直线与抛物线仅有一个交点，所以，即， 因为，所以， 所以抛物线的标准方程为. （2）设直线，，，. 联立，得， 根据根与系数的关系得，. 由 ，得，即， 其中，故， 所以得，，因为，所以， 因此直线，恒过定点. 因为点在直线上，所以， 又，，故，即. 将及代入， 得，整理得，，即， 又直线不过原点，所以点的轨迹方程为.其轨迹为圆心，半径为2的圆，去除点. 令，得， 由，解得， 因此的取值范围为. ▌例2（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入，得， 所以，． ，整理得， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B的坐标，再根据点A和点B关于对称获得点A的坐标，最后根据点A在抛物线上，列方程求得，最后求得抛物线的方程; （2）设，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知，，又，整理化简得到，最后得到直线过定点. 【详解】（1）将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）略 ▌对点练1-1（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知抛物线：上的一点（）到的焦点的距离为，点，是上不同的两点． (1)求的方程； (2)若，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线定义可求，从而可求抛物线方程； （2）直线的方程为，，，则可由得坐标关系，再联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理化简前者可得，从而可判断过定点，从而可求距离最大值. 【详解】（1）由抛物线的定义可得，解得，所以的方程为． （2）因为是上的一点，所以，解得，故． 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，，． 因为，所以，即即， 化简得，所以，即， 所以直线的方程可化为，即， 故直线过定点，又， 所以点到直线的距离的最大值为． ▌对点练1-2（2026·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 【答案】(1) (2)当直线l斜率为0时，l与抛物线有且只有一个交点， 则可设直线l的方程为，，，联立， 得，，，， ， ， ，或，由题（舍去），则，l过定点． 【分析】（1）根据几何关系，结合抛物线定义即可得解； （2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去，利用韦达定理代入求出即可得证. 【详解】（1）由题意，动圆圆心P到点的距离比其到直线的距离大1， 圆心P到点的距离等于它到直线的距离， 圆心P的轨迹E是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， 设E的方程为（），则，，E的方程为． （2）略. ▌对点练1-3（25-26高三下·广东惠州·阶段检测）设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)依题意，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 直线的斜率，直线的方程，由，得， 由轴，得，则，因此，解得， 所以直线：过定点. 【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组，即可求解. （2）设直线，，联立直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间的关系即可求解. 【详解】（1）由抛物线上的一点到焦点的距离为，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）略 基础通关 1．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）（多选）已知曲线，则（     ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上至少有4个整点（即横、纵坐标均是整数的点） C．曲线上存在一点，使得点与点间的距离大于1 D．曲线所围成的区域的面积小于4 【答案】ABC 【分析】利用代入法求解对称性判断A，先求出变量范围，再结合题意求出整点判断B，直接求解距离判断C，发现菱形的面积包裹在曲线之内，进而判断D即可. 【详解】对于曲线上任意一点，其关于轴对称的点为， 则，故曲线关于轴对称，A项正确； 由题意得曲线，且， 所以，解得， 而，则，解得，故， 当时，；当时，；当时，， 故曲线过点，，，B项正确； 曲线上的点与点间的距离大于1，C项正确； 曲线的大致图形如图所示，菱形完全包裹于曲线之内， 故曲线所围成的区域的面积大于，D项错误. 2．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）（多选）已知抛物线：（）的焦点为，准线为：，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则（    ） A． B． C．若弦的中点到的距离为，则的斜率为 D．设交于点，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由准线方程可得抛物线方程；对于B，设，，然后由韦达定理，抛物线定义，基本不等式可判断选项正误；对于C，设中点为，由题设结合抛物线定义可判断选项正误；对于D，由题设可得，注意到，，然后由射影定理可判断选项正误. 【详解】对于A，由准线方程为，可得，故A正确； 对于B，由选项A可得，由题设可得直线，斜率均存在且不为0， 则设，因，则. 将两直线与抛物线联立，可得. 设，由韦达定理可得： ， 又由抛物线定义可得， 从而， 当且仅当两直线倾斜角分别为时取等号； 对于C，设中点为，结合选项B可得， 则到的距离为，从而的斜率为； 对于D，将与联立可得，又因， 则， 注意到 ，则，又易得， 由射影定理，可得， 则， 又由射影定理可得，则. 3．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为 D．为钝角 【答案】BD 【分析】求抛物线准线方程判断A；利用抛物线定义求解判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求解判断CD. 【详解】如图： 对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 则，，， 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，则， 结合，则为钝角，D正确. 4．（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，直线与轴相交于点，与抛物线相交于，两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C．存在，使得 D． 【答案】ABD 【分析】直线与抛物线联立方程组，由根与系数的关系计算判断A；根据抛物线定义及三角形中位线定理判断B；由题意结合韦达定理可得，根据抛物线定义可判断C；过点作轴的垂线，垂足为，根据三角函数定义及抛物线定义结合计算可判断D. 【详解】由题意可得，抛物线的准线为， 对于A，联立直线与抛物线的方程得：， 当时，不合题意；当时，可得， 得且，所以，故A正确； 对于B，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，， 则，，所以， 又因为，点在准线上，所以，故B正确； 对于C，因为，且，又，， 所以，因为，所以，故C错误； 对于D，过点作轴的垂线，垂足为， 则，， 又因为，所以，D正确. 5．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）（多选）已知曲线上的动点到点的距离比它到直线的距离小，则（    ） A．曲线的方程为 B．若以为直径的圆过点，则 C．若点到直线， 的距离分别为，则的最小值为 D．已知是曲线上的两点，若，则线段的中点到轴的距离为 【答案】BC 【分析】根据抛物线定义，利用抛物线性质，平面向量垂直的坐标表示，点到直线的距离公式，中点公式逐项分析即可. 【详解】选项A，由动点到点的距离比它到直线的距离小， 等价于动点到点的距离等于到直线的距离， 根据抛物线的定义可得，曲线的轨迹是焦点为，准线为的抛物线， 设抛物线方程为：，由题意知：， 所以曲线的方程为，故A错误； 选项B，设此时， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 又，所以即，① 又，② 联立①②，解得：，即， 根据抛物线性质可得：，故B正确； 选项C，由为抛物线的准线方程，设点到直线的距离为， 根据抛物线的定义可得：， 设点到直线的距离为， 所以， 要使得有最小值， 当且仅当三点共线时，也即，如图所示， 问题转化为求点到直线的距离即， 由点到直线的距离为：， 所以的最小值为，故C正确； 选项D，设，如图所示： 根据抛物线的性质可得：， 由，则，即， 所以线段的中点的横坐标为：， 所以线段的中点到轴的距离为，故D错误. 6．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知抛物线，的焦点分别为，，则（    ） A． B．与有两个交点 C．的准线方程为 D．点到的准线的距离为4 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，以及联立方程组的解的个数，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为，所以C错误； 又由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为， 可得，所以A正确； 联立方程组，解得或， 所以抛物线和有两个公共点，交点坐标分别为，所以B正确； 由且抛物线准线方程为，可得点到的准线的距离为，所以D正确. 7．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由抛物线方程易得焦点坐标，判断A；由抛物线定义判断B；设直线，与抛物线方程联立得韦达定理，利用弦长公式以及数量积的坐标表示判断C，D. 【详解】由可知抛物线的焦准距，则，则焦点的坐标为， 准线为，由抛物线定义可知，故A错误，B正确； 显然直线的斜率不为0，可设，，， 联立方程，消去x可得， 则，，， 则，, 故，当且仅当时，等号成立，故C正确； 又因为，， 则，所以不成立，故D错误. 8．（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 9．（24-25高二上·湖南株洲·期末）（多选）已知且、两点的坐标分别为，，曲线上的点满足，则（     ） A．曲线的图象既有对称轴也有对称中心 B．若，曲线的方程为 C．曲线上点的纵坐标的最大值为 D．若点在上，则 【答案】AC 【分析】首先根据已知等量关系得，再由任意曲线上的点，都有、满足方程判断A，将参数值代入方程整理化简判断B，令，并代入曲线化简得，结合二次函数的性质判断C，将取最大值的情况作分析判断D. 【详解】设点，根据题意有， 所以，整理得， 由，则曲线的方程为， A：对于任意曲线上的点，都有， 则，即也在曲线上， 且，则，即也在曲线上， 因此曲线关于轴对称，同时关于原点对称，正确 B：当时有，则， 所以，化简得，B错误， C：由曲线方程得，令，则， 所以，关于的开口向下的二次函数，对称轴为， 因为，故时，， 所以，即纵坐标的最大值为，C正确， D：由C知，当取最大值时，即，此时，D错误. 10．（25-26高二下·西藏昌都·期末）（多选）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 素养提升 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)由（1）知．设，， 因为为直角，所以，即， 其中、均与不重合． 若与轴平行，设，则、关于轴对称， 设，， 由得，结合，解得，， 此时与重合，不合题意， 故不与轴平行，可设． 代入椭圆方程，整理得． 因为直线与椭圆交于、两个不同的点， 所以判别式，即． 所以， ，且，． 于是， 即，因式分解得，解得或． 当时，直线恒过点，而在椭圆上，所以、中恰有一点与重合，不存在，不符合题意，舍去； 当时，，判别式恒成立， 直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点，符合题意． 所以直线恒过定点． 【分析】（1）根据抛物线方程确定焦点坐标，再根据同焦点可得椭圆方程与离心率； （2）根据，可得为线段的中点，结合中点公式及点在椭圆上，可得解； （3）分情况讨论当与轴平行及不平行时直线的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理及向量垂直的坐标表示可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距． 又，所以， 所以椭圆方程为， 所以椭圆的离心率； （2）因为，即为线段的中点． 又，，所以． 由点在椭圆上，得，即，解得． 又，所以； （3）略. 2．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，连接并延长与准线交于点，与轴交于点，准线与轴交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由抛物线性质得到点，准线，点，联立抛物线与直线方程，利用韦达定理得到，.A选项中，由直线方程计算点坐标即可；B选项中，利用直线方程计算点坐标即可；选项C中，利用即可；选项D中，利用向量求，即可. 【详解】由抛物线得到焦点，准线，准线与轴交点. 设过的直线方程为，联立抛物线方程消去得. 设，则，则. 对于选项A，直线方程为，将点横坐标代入得. 又因为，所以，所以点. 又因为，所以轴.又因为轴，所以，故A正确； 对于选项B，因为，，所以直线方程为. 令，得，则. 又，中点为，即，所以，故B正确； 对于选项C，，所以. 所以与不垂直，故C错误； 对于选项D，， 所以， . 由得，所以. 所以，故D正确. 3．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到直线方程，从而得到点坐标，再结合求出，最后由抛物线准线方程的公式即可求解. 【详解】 如图所示，抛物线：（），焦点的坐标为，准线方程为， 过点且倾斜角为的直线，其斜率为，因此直线方程为， 由于直线与轴的交点为，令，得，所以点的坐标为， 将直线方程代入抛物线方程中，得，整理得， 解得或， 由于交点在第一象限，所以，代入直线方程，得， 所以点的坐标为， 又因为，所以，解得， 所以抛物线的准线方程为. 4．（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）（多选）已知点在抛物线C：上，圆E：与相切于两点，设点，则（    ） A． B．当在圆上时， C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A选项，代入点的坐标求解即可；对于B选项，联立圆与抛物线方程，根据交点与方程间的关系即可求解；对于C选项，讨论参数与和圆与抛物线的位置关系即可求解；对于D选项，根据参数间关系，以及抛物线定义即可求解； 【详解】对于A选项，将点代入抛物线方程得，，因此A选项正确； 对于B选项，当点在圆上时，代入圆方程得，， 联立圆与抛物线方程得，， 圆与抛物线相切于两点，因此方程应有两个相等的实数根，且均为正根， 则， 解得， 将其代入联立后的圆的方程， 解得， 代入得，， 因为，因此。 故B选项错误； 对于C选项，由相切条件，方程的二重根为， 若，则此时只有一个公共点，不满足条件， 因此，即，代入得，，因为，因此， 故C选项正确； 对于D选项，点，由且得，，即， 因此点的轨迹为抛物线，，. 该抛物线的焦点为，准线为， 因此， 点到焦点的距离， 由三角不等式，代入得， 当时，两点重合，不满足定义，但D选项仍然成立， 故D选项正确. 5．（26-27高二上·全国·课后作业）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． 【答案】(1)或 (2)证法一：设，，且， 如图，分别过，作轴的垂线分别交轴于点，， 设直线的方程为， 欲证，可证，即证， 即证，即证，整理得． 由，得，显然，所以，， 所以，故，得证； 证法二：当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以， 当与轴不垂直时，设，，，则，， 由，得，，知，， 直线，的斜率之和为①， 将，及，的表达式代入①式分子， 可得， 所以，可知直线，的倾斜角互补，所以， 综上，，得证. 【分析】（1）根据已知有直线的方程为，进而确定的坐标，结合已知写出直线的方程； （2）法一：应用几何法，设，，且，分别过，作轴的垂线分别交轴于点，，则为，分析法将问题化为证明，联立抛物线及韦达定理证明即可；法二：应用代数法，讨论与轴是否垂直，设，，，联立抛物线及韦达定理证明即可. 【详解】（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为，可得为或， 而，所以直线的方程为或； （2）略 迁移创新 1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，是上的动点，过点作的切线，直线与椭圆：交于，两个不同的点，记的中点为．设直线（为原点）与直线交于． (1)若椭圆经过抛物线的焦点，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2)在（1）的条件下，证明：直线与直线垂直； (3)若与交于，且，证明： 【答案】(1)； (2)由（1）可知，，则． 设，．由于在抛物线上，所以． 由，求导数得，，所以在点切线的斜率为：， 其方程为． 联立方程，消得，①， 此时即, 由于直线与椭圆：交于，两个不同的点， 所以为方程①的两根，则， ， 所以点坐标为． 因此，直线的方程为， 再联立方程，得的横坐标，所以直线与垂直． (3)当时，直线，即，介于轴与抛物线准线之间． 延长交抛物线的准线于点， 再联立方程，消得，①， 此时即. 显然为方程①的两根，则， ， 所以点坐标为． 因此，直线的方程为， 再联立方程，得的横坐标，所以与轴垂直． 则点的坐标为；点的坐标为， 则直线的斜率为，又直线的斜率为， 因为，所以． 由抛物线的定义，为等腰三角形，且得直线平分． 而，．所以， 由角平分线性质可知， 因为,故， 所以． 【分析】（1）利用抛物线与椭圆的基本性质即可求解； （2）利用导数法来写出抛物线在某点处的切线，然后借助方程组思想和韦达定理来求出中点的坐标，再通过直线与直线相交求解出的横坐标，即可得出证明； （3）利用（2）的解法同理可求出的横坐标，再利用抛物线的定义可求出点的坐标为，然后通过斜率可判断，再借助几何意义可得，从而问题即可得到证明. 【详解】（1）由题意可知抛物线E的焦点为，故，则， 因为椭圆C的离心率为，， 所以联立方程组可解得：，故椭圆的方程为． （2）略 （3）略 2．（26-27高三上·广西贺州·开学考试）（多选）抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（    ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线性质判断A选项；利用抛物线定义将进行转化，再利用三角不等式求周长的最小值判断B选项；利用抛物线定义将进行转化后判断C选项；将直线方程与抛物线方程联立消元得到韦达定理，表示和点坐标，得到到轴的距离，进一步表示，再利用函数性质求最值即可判断D选项. 【详解】对于A，由直线：与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当，，共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率为，故，C错误； 对于D，由，得，， 所以，则， ，到轴的距离为， ，当且仅当时取得等号，故D正确． 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②直线过定点． 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式构造方程求出，进而求出抛物线方程； （2）①设为，联立抛物线方程，运用韦达定理得出纵坐标关系，利用三角形面积公式结合不等式求面积最小值； ②联立直线与抛物线方程，分别利用韦达定理，综合求出，设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，进而求出相关参数，求出方程，从而判断直线是否过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $