专题3.3 抛物线 （高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线核心知识点，系统梳理定义（“一动三定”及隐含条件）、四种标准方程（含参数p几何意义）、几何性质（范围、对称性等对比），构建从概念到性质再到应用的学习支架，涵盖定义应用、轨迹方程、中点弦、最值等题型。 资料亮点在于题型设计层层递进，典例与变式结合，强化数学思维中的推理与运算能力。如最值问题结合圆与抛物线，培养用数学眼光观察距离关系；实际应用题（隧道限高）体现数学语言表达现实问题。课中辅助教师突破重难点，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题3.3 抛物线 教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． 2.掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． 3.了解抛物线的简单应用． 教学重难点 1.重点 （1）抛物线的定义、方程与性质； （2）直线与抛物线的位置关系； 2.难点 （1）抛物线中的最值与范围问题； （2）抛物线中阿基米德三角形相关性质的应用。 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化 知识点02 抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点03 抛物线简单的几何性质 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 题型01 抛物线的定义及应用 【典例1】．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式3】．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【变式4】．（2026·福建·模拟预测）若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 题型02 抛物线的轨迹方程 【典例2】．（25-26高二上·吉林延边·期中）在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是______． 【变式1】．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【变式2】．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3】．（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离小个单位，求动点的轨迹方程． 【变式4】．（24-25高二上·天津南开·期末）曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 题型03 中点弦问题 【典例3】.（25-26高二上·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式1】．（25-26高三上·广东·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【变式2】．（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】．双曲线的渐近线与抛物线交于，两点，若中点的横坐标为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【变式4】．（25-26高二上·上海·期末）已知过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，为坐标原点，若点的横坐标为3. (1)求点的纵坐标； (2)若点在的准线上，且满足，求点的坐标. 题型04 与抛物线有关的距离与最值问题 【典例4】．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二下·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知点满足方程，点Q在圆上运动，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】．（25-26高二上·广西崇左·期末）若抛物线上有一动点，且焦点为，则的最小值为（    ） A．10 B．17 C．12 D．22 【变式4】.（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型05 焦半径、焦点三角形问题 【典例5】．（25-26高二上·四川自贡·期末）（多选题）在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 【变式1】．（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式2】．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）（多选题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点在直线上且（为坐标原点），则下列结论中正确的是（    ） A． B．的最小值为6 C． D．的面积的范围为 【变式3】．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 题型06 直线与抛物线的位置关系 【典例6】．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【变式1】．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 【变式2】．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【变式3】．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知直线：. (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，求证：. 【变式4】．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程. 题型07 定点与定值问题 【典例7】．已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. (1)求C的方程及； (2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B. 证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【变式1】．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【变式2】．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线： （ ），为坐标原点，直线 ： ， 经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于， 两点，为线段 中点．动直线 ： 在轴上方．    (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分三角形的面积，求 的值． (3)点在直线上的射影为点 ，是否存在 使得以点为圆心且过点 的圆过定点，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】．（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 题型08 最值与范围问题 【典例8】．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【变式2】．（2026·安徽宿州·模拟预测）已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式3】．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】．（26-27高三·全国·一轮复习）已知过抛物线焦点的直线与交于两点，以线段为直径的圆与轴交于两点，则的取值范围为_______ 【变式5】．（2026·重庆万州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于，两点，与轴的交点为，为坐标原点，且满足，记，的面积分别为，，则的最小值为______． 题型09 开放性与探索性问题 【典例9】．（2026·陕西安康·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，且的面积为，求的值． 【变式1】．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 【变式2】．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式3】．已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于，两个动点．记动点的轨迹为曲线E． (1)求点的轨迹方程； (2)设直线l与曲线E相交于两点，与圆相切于点T，若T为的中点，求T的纵坐标取值范围； (3)过点作圆（圆在曲线E内部）的两条切线分别交曲线E于两点（异于点），探究直线PQ是否过定点． 【变式4】．已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程； (3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．（23-24高二上·新疆喀什·阶段检测）动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 7．设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 10．（2026·山东济宁·三模）已知抛物线的焦点为，圆，直线与圆相切于点，且与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则（ ） A． B．的最小值为 C．存在直线使得圆内切于 D．存在直线使得 11．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）如图，抛物线的焦点为，过点的直线与在第一象限内交于两点，，延长交于点，为坐标原点，则（    ） A． B．直线的斜率为 C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 13．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为___________． 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 16．（2026·江苏南京·一模）已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． (1)求和的值； (2)，为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 17．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 抛物线 教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． 2.掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． 3.了解抛物线的简单应用． 教学重难点 1.重点 （1）抛物线的定义、方程与性质； （2）直线与抛物线的位置关系； 2.难点 （1）抛物线中的最值与范围问题； （2）抛物线中阿基米德三角形相关性质的应用。 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化 知识点02 抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点03 抛物线简单的几何性质 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 题型01 抛物线的定义及应用 【典例1】．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线的方程求参数 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 【变式1】．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】先将点代入抛物线方程，求出横坐标，再利用抛物线定义或两点间距离公式计算点到焦点的距离即可. 【详解】∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，，即 ， 由得：，即 ， ∴ 焦点，准线方程， ∵抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离， ∴点到准线 的距离为， 即点到焦点的距离为 . 【变式2】．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用抛物线定义求动点轨迹 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 【变式3】．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线定义求出点A的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标的绝对值，即为点到轴的距离. 【详解】对于抛物线，由标准形式得，即，其准线方程为，焦点. 设点的坐标为，由抛物线的定义得，解得. 将代入抛物线方程，得，故. 因此点到轴的距离为. 【变式4】．（2026·福建·模拟预测）若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解 【详解】设， 因为，所以， 则，所以， 所以． 题型02 抛物线的轨迹方程 【典例2】．（25-26高二上·吉林延边·期中）在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是______． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点M的轨迹方程为； 当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为； 所以点M的轨迹方程为或. 故答案为：或. 【变式1】．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 【变式2】．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、利用抛物线定义求动点轨迹、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 【变式3】．（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离小个单位，求动点的轨迹方程． 【答案】（1） 或 ；（2）． 【难度】0.65 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据题意分类讨论抛物线的对称轴为轴和轴时，分别设出抛物线方程，将点 的坐标代入，求出待定系数的值，即可得出答案； （2）根据题意分析出动点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线定义得出动点的轨迹是抛物线，再求出抛物线的方程即得解. 【详解】（1）由于点 在第四象限，所求抛物线以原点为顶点，且以坐标轴为对称轴， 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得 ，所以抛物线方程为 ； 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得，所以抛物线方程为 综上，所求的抛物线方程为 或 （2）由题意知，点 不可能在 轴左侧．设直线 ， 则轴右侧的点到直线的距离比它到直线的距离小个单位， 等价于动点到点的距离等于它到直线的距离， 根据抛物线的定义，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为． 【变式4】．（24-25高二上·天津南开·期末）曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由抛物线定义可知曲线类型，然后可得方程； （2）直线方程联立抛物线方程消元，然后利用韦达定理，结合弦长求出直线方程. 【详解】（1）因为曲线上的点到的距离与到的距离相等， 所以轨迹为焦点在轴上，以为焦点的抛物线， 所以的方程为. （2）设，直线的方程为， 联立得， 所以. 所以， 解得， 所以直线的方程为. 题型03 中点弦问题 【典例3】.（25-26高二上·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线的中点弦 【分析】（1）根据抛物线的定义，得到动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得抛物线的标准方程； （2）根据题意，利用“点差法”求得所求直线的斜率，进而得到所求直线方程. 【详解】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【变式1】．（25-26高三上·广东·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线的中点弦 【分析】设，由以及线段的中点的纵坐标为1，可得直线的斜率，从而得到直线的方程，求出直线的中点的横坐标为，则，由抛物线的弦长公式求解即可 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C 【变式2】．（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的中点弦 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 【变式3】．双曲线的渐近线与抛物线交于，两点，若中点的横坐标为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、抛物线的中点弦 【分析】联立双曲线渐近线方程和抛物线方程，求出点的坐标，然后根据中点的横坐标为列出等式求出的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线为， 由于双曲线的渐近线与抛物线交于，两点， 所以联立渐近线方程和抛物线方程得，解得或（舍去）， 所以， 又中点的横坐标为，所以，化简得， 所以，所以双曲线的离心率为. 故选：A. 【变式4】．（25-26高二上·上海·期末）已知过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，为坐标原点，若点的横坐标为3. (1)求点的纵坐标； (2)若点在的准线上，且满足，求点的坐标. 【答案】(1)2 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据已知条件得到直线方程，与抛物线联立，结合韦达定理及中点坐标公式，求出值，得到直线方程，将点的横坐标代入直线方程即可得到纵坐标. （2）设出点坐标，得到、.联立直线方程与抛物线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，结合得到，代入求解即可. 【详解】（1）已知抛物线：，其焦点的坐标为. 又直线的倾斜角为，所以直线的方程为. 联立，整理得. ， 设，，则，.    因为是的中点，且点的横坐标为3，所以，即，解得. 所以直线的方程为. 因为点的横坐标为3，所以点的纵坐标为2. （2）由（1）知，，所以抛物线的方程为，直线的方程为. 联立，整理得. 所以，. 所以， . 因为点在的准线上，所以可设，则，. 因为，所以，即. 展开整理得， 即，整理得，解得. 所以点的坐标为. 题型04 与抛物线有关的距离与最值问题 【典例4】．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 【变式1】．（24-25高二下·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】本题先利用抛物线定义，将转化为点到准线的距离；再根据圆的性质，的最小值为（为圆心），故；当在抛物线上时，的最小值为到准线的距离，因此的最小值为． 【详解】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 【变式2】．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知点满足方程，点Q在圆上运动，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】首先化简点的轨迹方程，即可得到点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，过点作垂直准线，垂足为，再由抛物线的定义计算可得. 【详解】因为点满足方程， 所以，则，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 过点作垂直准线，垂足为，则，又，所以到的距离为 又圆的圆心为，半径， 所以， 当且仅当、、三点共线且为与圆的交点时取等号. 故选：B 【变式3】．（25-26高二上·广西崇左·期末）若抛物线上有一动点，且焦点为，则的最小值为（    ） A．10 B．17 C．12 D．22 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】由抛物线定义结合题设可得答案. 【详解】由题可得抛物线焦点为，准线为，如图，过作准线垂线，垂足为，由抛物线定义，. 故选：C 【变式4】.（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线定义得出，再应用两点间距离公式结合距离和最小值计算求解. 【详解】因为抛物线，所以且准线为， 由抛物线的定义可知，则， 因为且，所以， 则，当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 题型05 焦半径、焦点三角形问题 【典例5】．（25-26高二上·四川自贡·期末）（多选题）在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的切线方程、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定值问题 【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程，得到，，代入斜率公式即可判断A；根据抛物线的定义及基本不等式求得最小时的坐标，设切线PA的方程，再联立抛物线方程，由得到切线方程即可判断B；先结合A得到，，再根据题意得，利用焦点弦长求解即可判断C；利用两点距离和焦半径公式求得，然后利用换元法，利用函数的单调性求解范围即可判断D． 【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，， ，， 联立，消整理得， 则，代入得， 则直线OA与OB的斜率之积为，故A正确； 对于B， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，不妨取，则可设切线的方程为， 联立，消整理得， 则，解得，所以切线的方程为， 联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故B正确； 对于C，结合A可得，， 由，得，解得，所以，故C错误； 对于D，， 令，则， 因为，所以，则，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【变式1】．（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线的对称性的应用、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 【变式2】．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）（多选题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点在直线上且（为坐标原点），则下列结论中正确的是（    ） A． B．的最小值为6 C． D．的面积的范围为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】利用，可判断Q在以为直径的圆上，判断A；设方程为，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，结合焦半径公式可得的表达式，可判断B；结合数量积的坐标表示可求得，判断C；根据求出的面积的表达式，即可判断D. 【详解】对于A，设，由题意知，    因为，故Q在以为直径的圆上，为圆心， 故，A正确； 对于B，由于的斜率不为0，故设其方程为，， 联立，得，， 则， 故， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为6，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，当且仅当时，等号成立， 即的面积的范围为，D错误， 故选：ABC 【变式3】．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 题型06 直线与抛物线的位置关系 【典例6】．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 【变式1】．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 【答案】(1) ，准线的方程为； (2) 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）对照抛物线标准形式求出，直接推导焦点坐标和准线方程； （2）先写出过焦点的直线方程，与抛物线联立后用韦达定理结合抛物线定义求解弦长. 【详解】（1）由可得，即. 则抛物线的焦点坐标为，准线的方程为. （2）设点，，由题意，设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程 消去，整理得， 则， 又因，， 故弦长. 【变式2】．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.85 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）根据抛物线的定义列式计算即可求解； （2）设，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合中点坐标公式及弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 【变式3】．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知直线：. (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，求证：. 【答案】(1) (2) 直线：与抛物线的方程联立， 消去，得，， 设，，则， 所以，所以. 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用两直线垂直，其斜率之积为 即可求得参数 ; （2）直线与抛物线联立方程组，求出，利用向量的数量积为0即可求证. 【详解】（1）由题知直线的斜率， 设直线的斜率为，则， 因为，所以，解得. （2）略 【变式4】．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）根据抛物线的定义和点的坐标列方程组，求解方程组即可； （2）设直线方程，联立方程，结合韦达定理可求面积表达式，结合面积的值可求答案. 【详解】（1）因为的准线方程为，由定义可得， 又为上一点，所以，联立两个方程可得，解得， 所以的方程为. （2）由 （1）知焦点， 设直线 l 的方程为，与抛物线 联立得. 设 ，由韦达定理得：, △OAB 的面积为：, 解得，所以直线 l 的方程为：或. 题型07 定点与定值问题 【典例7】．已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. (1)求C的方程及； (2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B. 证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【答案】(1)， (2)因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为， 设直线l的方程为， 与抛物线方程联立可得， 故，， 可得，， 设，，则，， 可得直线OM的方程为， 与联立，可得，同理可得. 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为. 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，. 【难度】0.56 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据抛物线的定义可得，代入抛物线方程即可得； （2）设直线l的方程为，联立方程利用韦达定理可得圆的方程，令运算求解即可. 【详解】（1）因为抛物线C：（）经过点，F为抛物线的焦点，且， 所以由抛物线的定义，可得，解得，所以， 又因为P的横坐标为1， 所以，解得， 又，所以. （2）略 【变式1】．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入，得， 所以，． ，整理得， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【难度】0.53 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B的坐标，再根据点A和点B关于对称获得点A的坐标，最后根据点A在抛物线上，列方程求得，最后求得抛物线的方程; （2）设，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知，，又，整理化简得到，最后得到直线过定点. 【详解】（1）将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）略 【变式2】．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线： （ ），为坐标原点，直线 ： ， 经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于， 两点，为线段 中点．动直线 ： 在轴上方．    (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分三角形的面积，求 的值． (3)点在直线上的射影为点 ，是否存在 使得以点为圆心且过点 的圆过定点，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【难度】0.53 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，结合直线恒过的定点与焦点重合，直接求解参p，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理得到交点坐标的整体关系，结合三角形面积公式及共线线段的纵坐标比例，将面积条件转化为t与交点纵坐标的等式，进而求出t； （3）用斜率参数k表示圆心、半径相关点的坐标，写出圆的标准方程，将方程整理为关于参数k的多项式形式，构造方程组得出定点坐标及t的值． 【详解】（1）直线l： 经过点，由题意知，抛物线焦点即为， 所以 ， 故抛物线方程为： ． （2）已知直线与抛物线交于 两点，设，，联立直线与抛物线方程得： ， ，， 记直线分别与 ， 交于点E，F， 由三角形面积公式 ， 则，， 所以．    （3）存在，， D为线段 中点，则 ， ， 故，点， 以点为圆心且过点 的圆为， 即 ， 令， 所以存在，，使得以点为圆心且过点 的圆过点．    【变式3】．（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【难度】0.52 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 题型08 最值与范围问题 【典例8】．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的切线方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设过，点的切线方程，分别与抛物线联立，求得切线方程，将切线方程联立，可求得．又，，即可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 【变式1】．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求实际问题中的抛物线方程 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    【变式2】．（2026·安徽宿州·模拟预测）已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设两焦半径，由抛物线定义将中点到准线距离转化为焦半径和的一半，再求焦点到中点距离的平方，利用基本不等式消元求比值的最大值. 【详解】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，点到抛物线的准线的距离为， 因为， ， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以的最大值为. 【变式3】．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】基本不等式求和的最小值、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，再求得，再结合抛物线的焦半径公式，用表示，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】如图： 因为，可设直线：，代入，整理得. 设，，则，. 所以， 所以. 又. 因为，所以，当且仅当即时取等号. 即. 【变式4】．（26-27高三·全国·一轮复习）已知过抛物线焦点的直线与交于两点，以线段为直径的圆与轴交于两点，则的取值范围为_______ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设直线方程，联立方程组，由抛物线的弦长公式，求出，结合圆的弦长公式求出，得到的表达式，利用对勾函数单调性，即可求得其取值范围. 【详解】由抛物线，可得其焦点， 设直线的方程为，联立方程组，整理得， 设，，根据韦达定理， 因为且，可得，， 所以， 由抛物线弦长公式得， 且圆心横坐标为，半径 可得圆心到轴距离， 则， 所以， 令，则，可得， 设，则，且，所以， 因为在上为单调递增函数，所以，所以. 【变式5】．（2026·重庆万州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于，两点，与轴的交点为，为坐标原点，且满足，记，的面积分别为，，则的最小值为______． 【答案】4 【难度】0.42 【知识点】数量积的坐标表示、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】利用已知条件求出抛物线方程，设直线方程及相关点坐标，联立直线和抛物线方程，运用韦达定理，结合向量数量积构造方程求出相关变量，利用三角形面积公式结合基本不等式求解． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 已知抛物线的焦点为， ，解得，则抛物线方程为， 设直线方程为，与轴的交点为， 设点， 联立直线与抛物线，得， 由韦达定理得， 向量，则， 得到， ，即，解得， ， ， ， ，则异号，设，则， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为4． 题型09 开放性与探索性问题 【典例9】．（2026·陕西安康·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，且的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.56 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据向量的数量积为0可知两个向量垂直，由的横坐标可求出，进而可求出方程； （2）设直线的方程为，，联立抛物线的方程，由的面积结合韦达定理可求出， 设，结合共线性质得，列方程组可求得. 【详解】（1）抛物线：的焦点为， 由知，又点在抛物线上，所以，解得， 因此抛物线的方程为. （2）由（1）得， 假设直线的斜率不存在，即轴，将代入可得， 此时的面积为，矛盾，假设不成立，所以直线的斜率存在； 如图，设直线的方程为， 由消去得. 设， 由韦达定理得， 所以. 所以的面积为， 整理得，解得，所以. 设，结合共线性质得， 所以，所以， 又，所以，解得或. 【变式1】．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①设直线的方程为，直线与直线交于点，设，， 则， ， ， 联立， 得， ； ， 联立，得， 代入上式得：， ， 则有， （舍去）， 所以直线的斜率为定值． ②依题意，， 则， 由①知直线的方程为与抛物线的方程联立得， 所以，代入上式得， 故为定值． 【难度】0.35 【知识点】求抛物线的切线方程、抛物线中的定值问题 【分析】（1）先把点代入抛物线方程求出，再设过点的直线方程，此直线方程和抛物线联立方程组，利用相切得到判别式为零求出切线方程. （2）①依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线与直线交于点，设，，通过联立方程组，结合判别式和韦达定理求出直线的斜率为定值．②求出，，计算即可得到结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程，得，解得， 所以抛物线的方程为． 设直线的方程为，与抛物线的方程联立得， 所以，即，得， 所以直线的方程为. （2）（i）略 （ii）略 【变式2】．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②直线过定点． 【难度】0.28 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式构造方程求出，进而求出抛物线方程； （2）①设为，联立抛物线方程，运用韦达定理得出纵坐标关系，利用三角形面积公式结合不等式求面积最小值； ②联立直线与抛物线方程，分别利用韦达定理，综合求出，设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，进而求出相关参数，求出方程，从而判断直线是否过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 【变式3】．已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于，两个动点．记动点的轨迹为曲线E． (1)求点的轨迹方程； (2)设直线l与曲线E相交于两点，与圆相切于点T，若T为的中点，求T的纵坐标取值范围； (3)过点作圆（圆在曲线E内部）的两条切线分别交曲线E于两点（异于点），探究直线PQ是否过定点． 【答案】(1) (2) (3)直线恒过点． 【难度】0.22 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）依题意可知圆的圆心在x轴上，即圆关于x轴对称，三角形ABC是直角三角形，再根据直角三角形射影定理可知，即可得解； （2）设，，，利用点差法求出，再根据化简求出，再根据T在抛物线内部即可得解； （3）设过点D且斜率存在的直线方程为，直线DP，DQ的斜率分别设为，，根据直线与动圆相切可得，再化简，利用韦达定理求出，设PQ方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两根之和与积，再化简求出m，n的关系，即可得出结论. 【详解】（1）依题意可知圆的圆心在x轴上，即圆关于x轴对称，是直角三角形，且B点必在y轴右侧，即， 在中，由射影定理得，即， 所以点的轨迹方程为； （2）设，，， 则有， 由直线与圆相切可知，即， ，故， 由T在抛物线内部可知，故， 即T的纵坐标取值范围为； （3）设过点D且斜率存在的直线方程为，即， 由该直线与动圆相切可得，整理得， 由题意知直线DP，DQ的斜率存在，分别设为，，则，是方程的两个不等实根， 则有，由于PQ的斜率不为0， 设，，设PQ方程为，与抛物线联立， 得，则由韦达定理可知，，， ， 整理得，即，， 即PQ方程为，此时直线恒过点． 【变式4】．已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程； (3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在定点 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）将的坐标代入方程，求即可； （2）由条件结合点斜式确定的方程，联立方程组求出的坐标，结合导数的几何意义求切线方程； （3）设的方程为，，，联立方程组，求得，当时，可得对应的点的坐标，再验证该点对任意均满足关系DB平分即可. 【详解】（1）解：因为抛物线经过点，可得， 所以的方程为． （2）解：当直线的斜率为1时，可得直线的方程为，即， 联立方程组，解得或，即， 由，得，所以点处的切线的斜率为2， 则在点处的切线方程为，即， 所以点处的切线的斜率为，则在点处的切线方程为，即， 所以在点处的切线方程为， 综上可得，在点和处的切线方程分别为和. （3）解：由题可知的斜率存在，设，即，且， 联立方程组，整理得， 则且， 当时，，此时点为线段的中点， 过点作的垂线，其方程为， 与直线的交点即为，满足平分， 下面证明点满足题意： 当直线的斜率不存在时，， 此时，则，直线的斜率为， 可得，所以平分， 根据对称性，当直线DN的斜率为0时，直线DM的斜率不存在， 同理可得平分； 当直线的斜率存在且不为时，， 设直线，直线， 点到直线，的距离分别为， 又 成立， 所以， 所以平分． 综上，直线上存在定点，使得平分． 一、单选题 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解． 【详解】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立． 故选：B． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 4．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 5．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】由抛物线的定义求解． 【详解】表示动点到直线的距离， 表示动点到定点的距离， 因为，所以动点的轨迹为抛物线， 故选：D． 6．（23-24高二上·新疆喀什·阶段检测）动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据题意可知，动点P到直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线. 【详解】如图所示，由于动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2， 于是动点P在直线的右边，且动点P到直线的距离大于2， 因此动点P到直线的距离等于它到点的距离， 进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线． 故选：D 7．设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程． 【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方）， 所以，， 又因为过作圆的切线， 所以切线的方程为， 因为动点到的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为， 所以的轨迹方程为． 故选：A. 8．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 9．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线的焦半径公式、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设出直线方程，由焦半径公式得到，从而根据求出，从而通过焦半径公式转化得到，由几何关系得到距离和最小值， 【详解】设直线的方程为，与联立可得， 设，则， 因为，则， 则， 因为，所以直线的直线方程为， 故可得， 因为，所以， 即，解得， 故抛物线方程为，故焦点为，准线方程为， 设P到准线的垂线段为，为垂足， 则，故， 表示点到准线的距离与到点的距离之和， 故当三点共线时，距离和最小， 此时点坐标为，故， 即，的最小值为4. 二、多选题 10．（2026·山东济宁·三模）已知抛物线的焦点为，圆，直线与圆相切于点，且与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则（ ） A． B．的最小值为 C．存在直线使得圆内切于 D．存在直线使得 【答案】ABD 【难度】0.38 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】A选项，根据焦点坐标得到；B选项，根据焦半径公式转化，得到重合时，取得最小值，取最小值，得到B正确；C选项，假设存在，由对称性分析得到故关于轴对称，并推出矛盾，得到直线圆不内切；D选项，设出直线，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，并根据得到方程，求出直线方程 【详解】A选项，由题意得，故，解得，A正确； B选项，过点作⊥准线于点，则， 连接，则⊥，， 故，其中， 故，显然当最小时，取得最小值， 当重合时，取得最小值，最小值为2，此时设直线的方程为， 故到的距离为1，即，解得， 故直线的方程为，与联立得， 显然有两个根，满足要求， 此时最小值为，B正确； C选项，假设存在直线使得圆内切于， 由对称性可知，与圆的切点和与圆的切点关于轴对称， 故分别位于轴的两侧，且关于轴对称， 设，则，不妨设，， 直线为，即，到的距离为1， 故，故，，所以，解得， 则，直线方程为， 此时到直线的距离为22，不等于1，故不存在直线使得圆内切于，C错误； D选项，显然直线斜率为0时，不满足要求，设直线的方程为， 到直线的距离为1，故，， 与联立得，， 则，，， 故， 假设存在直线，使得，则， 即，解得或0， 当时，，故，此时直线过原点， 或重合，不合要求，舍去； 当时，，故，直线的方程为， 满足要求，综上，存在直线使得，D正确. 11．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）如图，抛物线的焦点为，过点的直线与在第一象限内交于两点，，延长交于点，为坐标原点，则（    ） A． B．直线的斜率为 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】设，直线方程，联立方程利用韦达定理结合，解得，利用弦长公式得到，直线的斜率为，进而依次判断各项的正误. 【详解】设，直线方程， 联立，得， 由韦达定理得， 因为，所以， 代入韦达定理，解得， 所以，故A正确； 直线的斜率为，故B正确； 因为为的中点，所以，故C错误； 由上分析知，， 所以的直线方程， 联立，得， 所以或，即， 所以关于轴对称，则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【难度】0.66 【知识点】抛物线定义的理解、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 13．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】利用中点在直线上，解得斜率，设点，代入抛物线方程并作差，结合中点坐标、斜率公式，即可得解. 【详解】根据题意，点在直线上，所以，解得. 设点， 则，两式作差得， 整理得， 又，且，解得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】设，可得，且到轴的距离为，再根据抛物线定义及三角形性质求解即可. 【详解】由抛物线，得焦点为，准线方程为， 设， 因为线段的中点为，所以，且到轴的距离为， 由抛物线定义及三角形三边关系定理，可知， 当且仅当三点共线时等号成立， 则，即到轴的最小距离为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 16．（2026·江苏南京·一模）已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． (1)求和的值； (2)，为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 【答案】(1)， (2) ①方法一： 设，， 则的重心为， 由题意知，，则． 所以直线的斜率，为定值． 方法二： 因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为，显然． 设，． 联立，整理得． 所以. 已知， 所以的重心的纵坐标， 所以，解得． 因此，直线的斜率，为定值． ②因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为．设，． 联立，整理得． 所以. 设为的中点，则： ，， 即． 直线与轴交点，，则中点． 由于，所以． 所以． 直线的斜率：， 直线的方程：，整理得. 法一： 令，代入方程，解得， 因此，直线经过定点． 因为，于， 所以在以为直径的定圆上． 法二： 由于，， 所以的方程为，即， 联立，得 即． 令，则，， 令，则，， 令，则，， 求得经过，，的圆方程为， 代入的坐标符合，所以在定圆上． 【难度】0.36 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线定义的理解、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据抛物线的定义结合求出，进而得到抛物线方程，将点代入抛物线方程即可求出. （2）①方法一：利用作差法及重心坐标公式证明即可.方法二：设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合重心坐标公式证明即可.②结合①设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，即可求出直线方程. 方法一：求出直线方程恒过定点，结合集合关系即可证出在以为直径的定圆上运动.方法二：求出的方程，与直线方程联立，得到点坐标，取特殊点求出圆的方程，再将点坐标代入验证即可. 【详解】（1）抛物线的准线方程为． 根据抛物线定义，，所以． 因此，抛物线的方程为． 将代入抛物线方程：，又，故． （2）略 17．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 由题意得，．设． 联立化简得，而判别式． 解得，由焦半径公式得，． 若，则，则， 即，解得，与矛盾，故． (2) (3)对于一元四次方程， 设四个根为，则方程为， 则， 化简得， 可得，则韦达定理得证， 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，则由弦长公式得， 解得，故，联立，解得或， 则，，令，则，即点在上． 对于点，有，即；对于点，有，即． 设，，将的外接圆方程可设为． 将，代入，可得， 化简得， 此四次方程的四个根恰为外接圆与的四个交点的参数，，，． 由韦达定理得，则．得到， 由题意得直线的斜率为， 代入，得． 此值与无关，故直线的斜率为定值． 【难度】0.39 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据抛物线的几何意义，结合直线与抛物线交点个数即可证明. （2）结合（1）问，得到与的值，直线互相垂直则意味着直线的方向向量数量积为零，进而构建方程即可求解. （3）将抛物线方程转化为参数方程，表示出外接圆表达式，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得为顶点，若，得到 而，可得， 由韦达定理得，，则， 解得或，当时，，此时不符合题意，舍去， 当时，，满足所有条件，故． （3）略 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $