4.2 等差数列（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第四章 数列 4.2 等差数列 课标要点 1. 通过实例理解等差数列的定义，掌握公差概念，能利用定义判断一个数列是否为等差数列。 2.掌握等差数列通项公式，理解公式推导的累加法，会运用通项完成求值、简单变形运算。 3.掌握等差数列前 n 项和公式，理解倒序相加的推导思想，能运用通项、求和公式解决基础习题，体会方程思想。 学习重难点 重点： 1. 等差数列定义，通项公式、前 n 项和公式，基本量法求首项与公差。 2.等差数列常用性质，灵活运用性质简化计算。 3.等差数列前 n 项和的函数特征，求解最值问题。 难点： 1. 灵活使用等差数列性质，在复杂条件下快速转化项，容易混淆下标关系。 2.等差数列前 n 项和的最值问题，结合二次函数分析，忽略 n 为正整数的限制。 3.证明数列为等差数列，规范书写定义法证明步骤，容易直接使用结论而缺少推理过程。 知识点 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 特别提醒 ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一． ②三个数，，成等差数列的充要条件是． 随学随练 1．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）设等差数列的前n项和为，且，（为常数），则的通项公式是_______． 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 由是等差数列，得时也应满足，即， ，解得，所以的通项公式是. 2．（2026·山东日照·三模）已知数列，则“为等差数列”是“，（m为常数）”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件； 若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如数列，通项公式为，满足，不是等差数列； 所以“为等差数列”是“，（m为常数）”的充分不必要条件. 3．（25-26高二下·河北衡水·期末）（多选）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为. 对于A，， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对于B，， 因为不一定为常数，所以不一定是等差数列，B错误； 对于C，因为，所以为常数列，故为等差数列，C正确； 对于D，因为，所以为等差数列，D正确. 知识点 等差数列的通项公式（重点） 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 根据等差数列定义可得：，所以， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 特别提醒 ①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 随学随练 1．（26-27高三上·安徽·开学考试）各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 【答案】A 【详解】题意知是首项为，公差为3的等差数列， 因为，所以，即， 当时，， 又因为各项均为正数，则. 2．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，且，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 比较， 所以的最小值为. 3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列满足，（），则__________． 【答案】100 【详解】由可得， 两式相减得， 则对于奇数项数列，首项为，公差， 得， 令. 知识点 等差数列的性质（重点） 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 特别提醒 等差数列通项公式为第 n 项等于首项加上 n 减 1 倍公差，也可写成第 n 项等于第 m 项加上 n 减 m 倍公差。核心性质：若两项下标之和等于另外两项下标之和，则对应两项相加相等；下标成等差数列，对应的项也构成等差数列。做题要记住项数 n 只能是正整数，不能当成实数计算。公差可以是正数、负数或者零，公差为零时就是常数列。解题优先观察下标关系，用性质简化计算，减少列方程。易错点：分清项和项数，不要混淆 n 与公差；两个等差数列相加减依旧是等差数列，但相乘不具备等差性质，结论不能直接套用，算出结果最好代回原式检验。 随学随练 1．（26-27高二上·全国·课堂例题）若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 【答案】 【详解】由题意得. 由等差数列的性质可知： ，，…，，， 所以. 2．（25-26高二下·广东茂名·期末）等差数列的前项和为，，则_____________． 【答案】 【详解】因为为等差数列，所以，所以 因此. 3．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果． 【详解】设数列的公差为， 因为是等差数列，所以， 由 ，可得 ，解得， 所以． 知识点 等差数列的前n项和公式（重点） 等差数列的前项和公式 等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 特别提醒 等差数列前 n 项和有两个常用公式，一个用首项末项与项数，一个用首项、公差与项数。前 n 项和可看作关于 n 的二次函数，不含常数项。使用时注意 n 是正整数，不能直接按全体实数求最值。利用性质求和时，优先用下标性质简化运算。易错提醒：不要记错项数，奇数项和偶数项分开计算时，分清项的个数；求最值要留意 n 必须取整数，算出结果后最好代入验算，避免直接套用二次函数顶点而忽略 n 的取值限制。 随学随练 1．（25-26高三上·山东威海·期中）（多选）已知数列的前项和，则（   ） A．不是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】BC 【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，即可判断B的正误，对A，由等差数列的定义，即可求解；对C，利用等差数列的前项和公式及等差数列的定义，即可求解；对D，先判断的正误，从而将问题转化成求，即可求解. 【详解】因为，当时，， 所以时，， 又，满足，所以，故B正确， 对于A，因为为常数，所以是等差数列，故A错误， 对于C，因为，则为常数， 所以数列是等差数列，故C正确， 对于D，因为，则时，，时，， 所以， 又，所以，故D错误. 2．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，由也成等差数列求解. 【详解】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得 ． 3．（2027高三·全国·专题练习）等差数列中，已知公差，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将个偶数项分别与其前一项奇数项对应，利用等差数列相邻项之差均为公差，把偶数项之和转化为已知的奇数项之和求解． 【详解】. 拓展 等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则： （，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则： （，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值 ②当时，有最大值 活学活用 1．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是(    ) A． B． C．与均为的最大值 D．满足的的最小值为14 【答案】ACD 【详解】A选项：因为，所以A正确； B选项：因为，，所以，所以B错误； C选项：因为，是一个递减等差数列，当时，，所以当时，，故与均为的最大值，故C选项正确； D选项：因为，，所以，而，所以满足的的最小值为14,故D选项正确. 2．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（   ） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和是关于的二次函数，由二次函数的对称性即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和是关于的二次函数，所以由二次函数图象的对称性及，, 可得，解得. 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则________. 【答案】 【分析】根据已知比例关系及等差数列前n项和公式对应函数，设，的表达式，再由求结果. 【详解】根据等差数列前n项和的函数性质，且， 可设，，且， 所以. 拓展 等差数列前项和的最值 （1）在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 活学活用 1．（26-27高三上·广东肇庆·开学考试）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式及数列单调性逐项判断. 【详解】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 2．（25-26高二下·陕西汉中·期中）（多选）设为数列的前n项和，已知，，则（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．当时，取得最大值 【答案】BCD 【详解】已知，则数列是公差为的等差数列， ，由等差数列前n项和公式得，代入可得： ，解得， 则， 选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：， 则，故，，成等比数列，故C正确； 选项D：令，解得，则数列前项非负， 从第项开始为负数，则当时，取得最大值，故D正确． 3．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 【答案】BCD 【分析】由题设不等式作差可得公差，数列递增，且，所以前14项为负，从15项起为正，由且可推出即可判断A选项；前14项均为负,15项后均为正，结合数列递增可判断B选项；计算，，据此判断满足的最小，从而判断C选项； 将等价化简为，而该式已知成立，即可判断D选项． 【详解】由得由得 故，因此公差， 由得 对于A选项：由于，且，所以，所以A错误； 对于B选项：因为，所以此数列为递增数列， 又，所以前项均为负数，15项以后均为正数， 所以当时，最小，所以B正确； 对于C选项：，而，故， 又，因为，所以， 又数列为递增数列，所以使的最小自然数为，所以C正确； 对于D选项：， 因为，所以；因为 ，所以， 所以，， 要证，即 而由，得，所以D正确. 题型 等差数列的通项公式及其应用 解题贴士 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． ▌例1（26-27高二上·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【答案】(1)证明：因为，所以数列是等差数列 (2) 【分析】（1）根据等差数列定义结合题意计算即可证明； （2）根据等差数列通项公式求法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，解得． ▌例2（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知各项均不相同的数列满足，则（    ） A．2027 B．2028 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列的基本量运算化简，结合裂项求和法化简，代入所求式计算即得. 【详解】由可得数列为等差数列， 设公差为，则，， 于是， 又因，可得，则有， 故. ▌对点练1-1．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据与的关系，结合题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得 ，再根据求得. 【详解】由，得， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 所以. ▌对点练1-2．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据题意，利用等差数列的定义，得到数列为等差数列，求得，得到，结合裂项法求和，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，可得，所以 所以， 又因为，可得，解得， 因为，所以的最小值是． ▌对点练1-3．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 【答案】 【详解】，即， 所以数列是公差为1的等差数列， 因为， 所以， 因此， 则， 所以数列的前项和. 题型 等差中项及应用 解题贴士 若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项． ▌例1．（25-26高二下·安徽·阶段检测）是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】由，得，， 所以与的等差中项为. ▌例2（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是等差中项，，故选项A正确. ▌对点练1-1（26-27高三上·辽宁·开学考试）在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求得，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，为方程的两实根，可得， 由等差数列的性质，可得. ▌对点练1-2（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知集合，，任取，，，，都有，则集合中元素个数的最大值为______. 【答案】8 【分析】先证明集合中元素个数的最大值小等于，再结合实力可求最大值. 【详解】设集合，， 对于，去掉中的任意两个元素，则必有个奇数，它们构成等差数列； 对于，去掉中的任意两个元素，则必有个偶数，它们构成等差数列. 如果从中任意取不少于元素，则至少有个元素同在中或同在中. 由前述讨论可得有个元素必有3个整数（它们同奇或同偶），它们构成等差数列， 故集合中元素个数的最大值小等于. 对于集合，检验可知集合符合题意， 此时集合的元素共有8个； 综上所述：集合中元素个数的最大值为8. ▌对点练1-3（25-26高二下·云南昆明·期末）已知等差数列的通项公式为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】由题意令可得，. 题型 等差数列的实际应用 解题贴士 （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． （2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现． ▌例1（24-25高二下·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】求出温度差，利用海拔每升高米气温就降低，即可求解. 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. ▌例2（24-25高二下·上海·期中）已知集合，，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为______. 【答案】 【分析】确定数列中最大值为，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知条件得, 设，则， 因为函数，则， 所以 ， 若，则, 由，得或或， 对应点, 由，得，对应点, 因此产生集合的集合中，点一定存在，至少有一个， 所以集合的个数为. 若，则, 由，得或， 对应点, 由，得或， 对应点, 因此产生集合的集合中， 点一定存在，至少有一个，至少有一个，至少有一个， 所以集合的个数为. 综上，集合的个数为. 故答案为：. ▌对点练1-1（24-25高三下·广东惠州·阶段检测）一枚质地不均匀的正四面体骰子，各面分别标有1，2，3，4，掷出点数朝下为1，2，3，4点的概率依次成等差数列，独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为，若事件“”发生的概率为则事件“”发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设出所得各点数的概率，由独立性事件同时发生的概率公式、互斥事件的和事件的概率公式求解. 【详解】设掷出点数朝下为1，2，3，4点的概率依次为，则， 又事件“”为所得点数是， 其发生的概率为， 即，代入，可解的，， 事件“”即为所得点数是， 其概率为. 故选：A ▌对点练1-2（2026高二·全国·专题练习）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为______. 【答案】167 【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，依题可知是首项为0，公差为12的等差数列，根据，解不等式即可. 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故答案为：167 ▌对点练1-3（23-24高三上·上海·阶段检测）将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张. 第一组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第二组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5； 第三组的卡牌左上角都标 3，右下角分别标上3，4，5、6. 将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回地抽取3张，其中满足左上角数字依次不减小，且右下角数字依次构成等差数列的不同的抽取方式有_____种. 【答案】50 【分析】根据题意，通过对公差所有可能2，，0，1，进行讨论，使用列举法，即可求解. 【详解】为方便讨论，将左上角的1，2，3改记为A，B，C，对公差讨论 当时，共10种： 1 3 5 2 4 6 A A BC A A C B BC AB B C C AB C 当时，不可能； 当时，共2种：3，3，3和4，4，4； 当时，共29种，分别如下： 1 2 3 A A ABC B BC 此时有5种； 2 3 4 A A ABC B BC C C B B BC C C 此时有9种； 3 4 5 A A BC B BC C C B B BC C C C C C 此时有9种； 4 5 6 ABC C C AB B A A 此时有6种 当时 6，5，4 是1种 5 4 3 B B BC C C C C C 此时为4种； 4 3 2 A A AB B B 此时有3种； 3 2 1 A A A 此时有1种，总计有50种 故答案为：50. 题型 等差数列性质的应用 解题贴士 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． ▌例1（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知等差数列满足，，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．2026 【答案】B 【详解】由等差数列可知，即. ▌例2（25-26高二下·江西上饶·期中）在等差数列中，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【详解】在等差数列中，若，则，解得： ▌对点练1-1（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知等差数列中，，，则（   ） A．-1 B．0 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求解即可 【详解】由题可知，所以 ▌对点练1-2（25-26高二下·黑龙江·期中）已知等差数列中，，则__________． 【答案】7 【详解】因为为等差数列， 则，解得， 因为，故． ▌对点练1-3（25-26高二下·宁夏吴忠·期中）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【详解】由等差数列的性质可得，即， 故. 题型 等差数列前项和的有关计算 解题贴士 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用 ▌例1（2027高三·全国·专题练习）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与前12项中奇数项的和之比为，则公差________． 【答案】5 【详解】由题意，可知 前12项中偶数项共6项，奇数项共6项， 故，． ▌例2（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【详解】由，可得，又， 所以，即， 所以， 所以. ▌对点练1-1（26-27高三上·重庆·阶段检测）记为等差数列的前项和，，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和公式，通项公式求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 所以，公差，所以. ▌对点练1-2（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，，则__________. 【答案】 7 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 又，即，所以，即， 可得，即，解得，故， 所以. ▌对点练1-3（2026·湖南永州·一模）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)由(1)知，故， ， ， 因为，所以. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设等差数列公差为, 因为，所以， 因为， ，所以， 则，解得，即， 联立，解得， 则. （2）略 题型 等差数列前项和的比值问题 解题贴士 设，的前项和为，，则 ▌例1（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 ▌例2（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. ▌对点练1-1（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可设，，结合运算求解即可. 【详解】因为，即， 又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，， 所以. ▌对点练1-2（25-26高二下·江西赣州·期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【详解】. ▌对点练1-3（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因均为等差数列， 则. 题型7 等差数列前项和的最值问题 解题贴士 （1）等差数列前项和最大（小）值的情形 ①若，，则存在最大值，即所有非负项之和． ②若，，则存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前项和最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 或来寻找．②运用二次函数求最值． ▌例1（25-26高二下·山东淄博·期末）记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等差数列 C．不是等差数列 D．当且仅当时，取到最小值 【答案】D 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法推理判断C；求出判断A；求出及求解判断BD. 【详解】对于C，由， 得到，则数列是公差为2的等差数列，C错误； 对于A，，A错误； 对于B，，则， 当时，， 满足上式，因此，，不是等差数列，B错误； 对于D，， 因此当且仅当时，取到最小值，D正确. ▌例2（2026·广东肇庆·模拟预测）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】因为，故，故B正确； 因为，所以，即等差数列为递增数列，故A正确； 因为，故C正确； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故D错误. ▌对点练1-1 （25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【分析】根据条件可得，结合，利用二次函数性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 故，又，所以， 所以， 而，所以n取值是6或7时，取最大. ▌对点练1-2 （25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出首项，再利用等差数列前项和公式，求出关于的二次函数表达式，根据二次函数的性质求出的值，最后确定答案即可. 【详解】因为，则， 则， 所以当时，取得最小值，即. ▌对点练1-3 （2026·内蒙古赤峰·三模）（多选）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．是公差为2的等差数列 D．的最小值是-4 【答案】BC 【详解】对于A，即，故，故A错误； 对于B，由于为等差数列，则，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为，根据，得到， 所以，所以是以为首项，为公差的等差数列. 因为公差，所以是公差为2的等差数列，故C正确； 对于D， 故，，故当时，．故D错误． 题型8 求数列的前项和 解题贴士 已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”． ▌例1（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2)106 【分析】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. ▌例2（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前99项和为99 D．若数列满足，则的前50项和为2132 【答案】ABD 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出可判断选项A；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项错误； 选项D，， 则前项和为， 故D项正确. ▌对点练1-1 （26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）（多选）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递增数列 B．当时，取得最小值 C．若，则的最小值为11 D．数列的前10项和为50 【答案】ACD 【分析】先根据等差数列已知的首项和前10项和求出公差，得到通项公式与前项和公式，再逐一判断各选项． 【详解】设等差数列公差为，由， 代入，得，解得， 因此通项公式为，前项和， 选项A：公差，所以是递增数列，A正确； 选项B：令，解得，即，， 前项均为负，第项起为正，故在时取得最小值，B错误； 选项C：令，解得（为正整数）， 因此时的最小值为，C正确； 选项D：前项和为，D正确． ▌对点练1-2 （2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分和分析计算即可求解； （2）根据的正负情况分析计算. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. ▌对点练1-3 （2026·河北邢台·三模）（多选）已知 为等差数列{an}的前n项和， 则下列结论正确的是（    ） A．{an}是递增数列 B．使 成立的n的最大值为9 C．取最小值时，n=11 D． 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为，由 ， 所以，即，解得：， 所以，则{an}是递增数列，故A正确； 则， 令，解得：，所以使 成立的n的最大值为9，故B正确； 当时，取最小值，故C错误； 由于，故D正确. 题型9 等差数列片段和的性质 解题贴士 连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ▌例1（26-27高三上·广西河池·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 【答案】B 【详解】由等差数列的性质：仍成等差数列； 计算得：， 由等差中项性质：， 代入数值：，即， 解得：. ▌例2（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（     ） A．35 B．45 C．55 D．60 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质进行计算即可. 【详解】由题意知，，成等差数列， 又，， 所以，即， ． ▌对点练1-1 （25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 【答案】D 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 则，即，所以. ▌对点练1-2 （25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. ▌对点练1-3 （25-26高二下·云南玉溪·期中）（多选）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为32 【答案】AC 【分析】利用得到，，即可判断A；根据等差数列片段和的性质和等差数列定义可判断B；可得，利用二次函数性质可判断C；解不等式可判断D. 【详解】A选项，由题，当时，， 当时，， 显然，即满足上式，从而， 由于，故为等差数列，A正确； B选项，， ，由于， 由A选项知，的公差为， 故成等差数列，公差为，B错误； C选项，， 又，故当或时，取得最大值，C正确； D选项，，即，解得， 又，故，n的最大值为33，D错误. 题型10 等差数列的奇数项与偶数项和 解题贴士 （1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， ▌例1（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. ▌例2（24-25高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据等差数列性质即可化简求出奇数项之和. 【详解】解：由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. ▌对点练1-1（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． ▌对点练1-2（25-26高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 【答案】B 【分析】设等差数列共项，利用等差数列求和公式表示所有奇数项的和与偶数项的和列方程，结合等差数列性质解方程求即可. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列． 偶数项和为， 奇数项和为， 因为， 所以，解得． 所以，即等差数列的项数为19． ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 【答案】 【分析】根据等差数列下标的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为前项的和是99，其中奇数项和， 所以偶数项和， ， 所以，所以由，解得， 因为， . 故答案为： 基础通关 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）若一个等差数列的前5项和为25，前10项和为100，则该数列的公差为________． 【答案】 2 【分析】利用等差数列前项和公式建立关于首项和公差的二元一次方程组，求解得到公差. 【详解】设该等差数列的首项为，公差为，前项和为（）， 根据等差数列前项和公式，结合题意列方程： 当时，，化简得 ； 当时，，化简得 . 联立，解得，即该数列的公差为2. 2．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测），则数列的前项和为（    ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先根据求出,根据数列判断出正负情况，进而求得答案 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 3．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）（多选）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．为递减数列 C． D．当时，最小 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】因为数列为等差数列，为其前项和.已知，， 设该数列的首项为，公差为，则， 化简得，解得. 所以，所以A正确； 由于，所以数列为递增数列，B错误； ，C正确； 由于， 所以当时，最小，为，D正确. 4．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．对任意， B． C．若，则 D．当数列是等差数列时， 【答案】ACD 【分析】对于A，将原递推公式的替换为,得 ，再利用递推公式即可判断；对于BC，使用分组求和解决；对于D，利用等差数列的性质，先求出通项公式，再求出. 【详解】对于A，将原递推公式的替换为,得 ， 又，两式相减可得，故A选项正确； 对于B， ，故B选项错误； 对于C， ，故C选项正确； 对于D，当数列是等差数列时，设公差为，则，， 令，则即，， 所以，，故D选项正确. 5．（2026·广东广州·模拟预测）（多选）某果园有若干棵树苗，按地势排成行，将第行树苗棵数记为，其中，，，是一个首项为的等差数列，且，，；记．将，，，分为组，每组个数，使得每组的个数之和可构成一个项数为且公差为的等差数列，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】AD 【分析】先求出前9项等差数列的通项，计算总棵数，再结合分组和构成等差数列的性质推导公差和首项的可能值，逐项判断选项. 【详解】对于选项A，前9项是首项的等差数列，， 设前9项公差为，则，解得公差， 故，所以，故A正确； 对于选项B，前9项和，后3项和， 所以，故B错误； 对于选项C，6个组的和的总和为，对，前6项和，得. 因所有均为奇数，两奇数和为偶数，故所有都是偶数，因此为偶数. 若，代入得为奇数，不符合要求，故C错误； 对于选项D，由，为正偶数，且为偶数. 当时，；当时，； 当时，小于最小两数和，不可能.所以或，故D正确. 6．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，利用赋值法得到；B选项，验证，即可证明不是等差数列；C选项，，然后利用赋值法并项求和即可；D选项，，利用转化为等差数列求和即可. 【详解】A选项，令，则， 令，则，于是解得，A正确. B选项，令，则，解得， 因为，所以不是等差数列，B错误. C选项， ，C正确. D选项， ，D正确. 7．（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”从上向下数，第一层有1个球，第二层比第一层多2个球，第三层比第二层多3个球，第四层比第三层多4个球，以此类推，设各层球数为，则下列说法正确的是（    ） A．若该“三角垛”共5层，则小球总数为35个 B． C．设，则的前项之和为 D．若该“三角垛”的每个小球半径都为，则当层数为层时，该“三角垛”的高度为 【答案】ABD 【分析】根据题意列举出前5项求和判断A，由题意及等差数列的前n项和公式求判断B，由题设得相邻两项之和，再应用累加及等差数列的前n项和公式判断C，根据已知上层的一个球恰好落在下层三个相邻球构成的凹槽中，且球心构成一个棱长为的正四面体，求出该四面体的高，结合100层的特征求总高度判断D. 【详解】A：由题意，各层球数为，，，，， 若共5层，小球总数个，正确， B：由题意，第层的球数为前个正整数的和，即，正确， C：由，则，，，，， 相邻两项之和，， 则 ，显然与不相等，错误， D：每增加一层，上层的一个球恰好落在下层三个相邻球构成的凹槽中，四个球的球心构成一个棱长为的正四面体， 正四面体的高为， 则第一层球的球心到第层球心间的距离为， 故该“三角垛”的总高度为，正确. 8．（25-26高二下·广东深圳·期中）（多选）已知是等差数列的前项和，为公差，且，则下列说法正确的是（     ） A． B．当时，取最小值 C． D． 【答案】AD 【分析】利用等差数列前项和的性质依次分析选项即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 由以上分析可知，故C错误，D正确． 9．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）（多选）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．是递增数列 B．，，成等差数列 C．的最小值为9 D．若（），则 【答案】ACD 【分析】根据求出，可判断AB，令，结合基本不等式可判断C，根据得，再根据，解不等式可判断D. 【详解】因为数列的前项和，， 当时，，也符合， 所以是等差数列，且公差，. 故是递增数列，A正确； ，，，故，，不成等差数列，B错误； ，令， 则， 当且仅当即时取等号，即的最小值为9，C正确； 即， ，即， 又，故D正确. 10．（25-26高二下·重庆·期末）（多选）随着国产新能源汽车的发展，我国新能源汽车销量逐月攀高，2026年5月全品类乘用车销量排行榜前15名都是新能源汽车．某新能源汽车企业在2018年的年产量为万辆，由于技术升级和市场需求增长，该企业每年的产量构成一个等差数列，年产量逐年增加且每年增加固定的万辆．已知该企业在2018年、2020年、2022年这三年的年产量之积等于其2018年至2026年这九年总产量的三分之一．记该企业前年的累计产量为万辆．则下列结论正确的有（   ） A．若2018年的年产量为1万辆，则每年增加1万辆 B．若2018年的年产量大于每年增加的固定产量，则每年增加固定产量小于1万辆 C．2018年与2019年的年产量之和的最小值为2万辆 D．2018年的年产量的取值范围是万辆 【答案】AB 【分析】由题意分析可得，进而得到，，即可判断D；对于A，代值即可求解判断；对于B，由得，进而由结合函数的单调性求解判断即可；对于C，化简结合基本不等式求解判断即可. 【详解】由题意，数列为等差数列，且公差为，， 则，即， 由于，解得，故D错误. 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，解得， 则， 因为函数在上单调递减，且时，， 所以，故B正确； 对于C，由于， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为3，故C错误； 素养提升 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式，并证明为等差数列； (2)若，求． 【答案】(1)， 证明：令，所以， 由的通项公式可得：， 由通项公式可知：，所以为等差数列. (2) 【分析】（1）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列；（2）由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）令可得：，即. 当时，由，可得， 两式相减可得， 不满足，所以的通项公式为. （2）由（1）知，当时， ， 所以. 2．（26-27高三上·广东·阶段检测）某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（    ） A．81本 B．84本 C．87本 D．90本 【答案】C 【详解】数列 后 7 项 构成等差数列，公差为 d， 则 ，，. 由 ，得 ， 即 ；① 由 ，得 .② ② − ①，得 ，即 ； 代入②，得 ，即 . 又 成等差数列，且 ，，故 。 因此 9 层书架图书总数为 3．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则______． 【答案】 【分析】根据等差数列前项和公式、累加法求得正确答案. 【详解】由图中实心点的个数得 ，， ， 相邻两数之差依次构成首项为 、公差为 的等差数列，故 ， 则 ， 所以 4．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知等差数列满足，记数列的前n项和为. (1)求； (2)若数列的前n项和，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，分别令和，并结合等差数列的定义求得，从而求得数列的通项公式，并求得其前n项和. （2）根据数列的项与和的关系，求得数列的通项公式，结合数列的通项公式，可求得数列的通项公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为d. 因为， 所以，即，解得， 则，故. （2）当时，，则； 当时， ， 可得. ，也符合上式， 故数列的通项公式为. 5．（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ． 迁移创新 1．（26-27高二上·上海徐汇·开学考试）给定有穷数列 ，定义数列 的绝对差分数列 ，其中 . 已知各项均为整数的数列 满足 ，且其绝对差分数列为等差数列，若 ，则 的所有可能值共有_____个. 【答案】3 【分析】设，则绝对差分数列的前三项分别为，利用题目的约束条件构造不等式组，遍历求解. 【详解】，且均为整数，， 设 则 则绝对差分数列的前三项分别为， 利用等差中项得. 解得， 即 的所有可能值共有3个. 2．（24-25高三上·湖南·阶段检测）若有限数列满足：对任意两项，（），总存在第三项（，），使得，，的某种排列为等差数列，则称为“分差数列”． (1)判断以下数列是否为“分差数列”，无需说明理由； ①1，2，3； ②1，2，3，4； ③0，2，3，4，6 (2)若为“分差数列”，求的值； (3)若是各项各不相同的“分差数列”，求该数列项数的所有可能值． 【答案】(1)①是；②不是；③是； (2) (3)3和5 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）分别假设数列四项均不同，有三项相同，以及有两项相同和全部相同，分别用定义判断即可； （3）（3）对各项作仿射变换，把最小项、最大项化为 ，．由端点对先得到 ；再证明右半区间内若有额外项只能是 ，由对称性左半区间内只能是 ，从而确定项数． 【详解】（1）根据定义验证， ①数列1，2，3中任意两项都存在剩余的第三项，三者可排列为等差数列，符合定义； ②数列1，2，3，4中取两项1和4，剩余项只有2，3，不存在第三项使得1，4和2或3的某种排列为等差数列，不符合定义； ③数列0，2，3，4，6中任意两项都能找到剩余第三项满足三者可排列为等差数列，符合定义. （2）记该数列为，该数列共4项，先假设四项各不相同，将四项从小到大排序为， 取最小项0，和最大项M，根据分差数列定义，存在第三项使得成等差，故，即， 此时数列中包括，设数列的第四项为t， 取数列中两项，根据分差数列定义，存在第三项使得成等差，或者成等差， 即或者，其中或者， 由此可知存在三种情况，而我们假设是四项各不相同，且为数列中最大项， 无论哪种情况均和假设不符，故该数列存在相同项； 当数列存在三项相同，即或者，其中不为0 此时取和，根据分差数列定义，不存在或者，使得这三项成等差，故该假设错误； 当数列存在两项相同，即或者，其中不为0 此时取和，根据分差数列定义，不存在另一项为0，使得这三项成等差，故该假设错误； 综上，若使0，，，为“分差数列”，只能是， 故. （3）设该数列共有 项，且各项互不相同． 按定义必须有 ． 设最小项为 ，最大项为 ，作仿射变换． 变换后仍为“分差数列”，且最小项为0，最大项为1． 取0与1两项，第三项不可能落在区间 外，因此只能是二者的中点 ． 所以数列中必有． 若没有其他项，则 ，并且 ，， 确为“分差数列”，故 可行． 下面设还有其他项． 先研究区间 ． 若其中有一项 ，取0与 两项． 由于所有项都在 内，能与0， 组成等差数列的第三项只能是 ，所以 也在数列中． 再取 与1两项，同理第三项只能是，所以它也在数列中． 令，则所有 都是数列中的项，并且． 若 ，则 两两不同，与数列有限矛盾． 因此区间 内若有项，只能是． 对数列作变换 ，仍保持“分差数列”性质，因此区间 内若有项，只能是． 若 出现，取0与 两项，第三项只能是 ； 反之，若 出现，取 与1两项，第三项只能是 ． 因此额外项要么都不出现，要么 与 同时出现． 所以项数只能为3或5． 当 时，数列 是第（1）问中 经仿射变换得到的“分差数列”，故 也可行． 因此该数列项数的所有可能值为 和 ． 3．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）设数列（它指无穷数列，，，…）满足，，且，，使得． (1)直接写出，的取值范围； (2)（ⅰ）若数列的某一项（），求证：（）； （ⅱ）记（），（），求证（；）； (3)设（）是已知数，求的最小值． 【答案】(1)的取值范围是，的取值范围是. (2)（ⅰ）先证明对任意，都有． 当时，，结论成立． 假设． 由题意，是的算术平均数，其中． 这些数均不大于1，且其中，所以． 由数学归纳法，对任意，均有． 已知，故，于是时结论成立． 若存在使，取满足条件的最小，则． 而是前面连续若干项的算术平均数，参与平均的各项均不大于1，且其中，所以，与矛盾． 因此对任意非负整数，都有． （ⅱ）对作数学归纳法． 当时，，且，，所以. 假设时结论成立，其中． 记，． 由递推条件，存在，使． 由归纳假设得. 当时，. 由归纳假设和上式，. 又，所以． 另一方面，且, 所以． 当时，由上式可得； 当时，． 综上，.其中为正整数． (3) 【分析】（1）通过列出和时的所有值情况，直接计算出，的取值范围， （2）（ⅰ）采用反证法，由某项等于1的假设逆推得出与已知条件相矛盾的结论，从而证明该数列项的值必在内，（ⅱ）通过对参数进行分类讨论并结合作差法，即可求证双侧不等式成立， （3）利用第（2）问的结论构造出不等式求出最小值，随后通过给出具体的值取法来证明该最小值是可取的. 【详解】（1）由题意得当时，， 若，则， 若，则， 所以的取值范围是， 当时，， 当时， 若，则， 若，则， 若，则， 当时， 若，则， 若，则， 若，则， 所以的取值范围是. （2）略 （3）当时，由题意得，因此， 当时，由上知， 所以， 由上可得，所以， 由于数列中的任意项都有，所以前项的和， 因此， 下证取等: 对于前项，每次均取，此时， 可得且， 对于第项，取，此时， 此时，等号成立， 若，由（1）得， 因此， 综上，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.2 等差数列 课标要点 1. 通过实例理解等差数列的定义，掌握公差概念，能利用定义判断一个数列是否为等差数列。 2.掌握等差数列通项公式，理解公式推导的累加法，会运用通项完成求值、简单变形运算。 3.掌握等差数列前 n 项和公式，理解倒序相加的推导思想，能运用通项、求和公式解决基础习题，体会方程思想。 学习重难点 重点： 1. 等差数列定义，通项公式、前 n 项和公式，基本量法求首项与公差。 2.等差数列常用性质，灵活运用性质简化计算。 3.等差数列前 n 项和的函数特征，求解最值问题。 难点： 1. 灵活使用等差数列性质，在复杂条件下快速转化项，容易混淆下标关系。 2.等差数列前 n 项和的最值问题，结合二次函数分析，忽略 n 为正整数的限制。 3.证明数列为等差数列，规范书写定义法证明步骤，容易直接使用结论而缺少推理过程。 知识点 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 特别提醒 ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一． ②三个数，，成等差数列的充要条件是． 随学随练 1．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）设等差数列的前n项和为，且，（为常数），则的通项公式是_______． 2．（2026·山东日照·三模）已知数列，则“为等差数列”是“，（m为常数）”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·河北衡水·期末）（多选）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A． B． C． D． 知识点 等差数列的通项公式（重点） 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 根据等差数列定义可得：，所以， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 特别提醒 ①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 随学随练 1．（26-27高三上·安徽·开学考试）各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 2．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列满足，（），则__________． 知识点 等差数列的性质（重点） 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 特别提醒 等差数列通项公式为第 n 项等于首项加上 n 减 1 倍公差，也可写成第 n 项等于第 m 项加上 n 减 m 倍公差。核心性质：若两项下标之和等于另外两项下标之和，则对应两项相加相等；下标成等差数列，对应的项也构成等差数列。做题要记住项数 n 只能是正整数，不能当成实数计算。公差可以是正数、负数或者零，公差为零时就是常数列。解题优先观察下标关系，用性质简化计算，减少列方程。易错点：分清项和项数，不要混淆 n 与公差；两个等差数列相加减依旧是等差数列，但相乘不具备等差性质，结论不能直接套用，算出结果最好代回原式检验。 随学随练 1．（26-27高二上·全国·课堂例题）若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 2．（25-26高二下·广东茂名·期末）等差数列的前项和为，，则_____________． 3．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点 等差数列的前n项和公式（重点） 等差数列的前项和公式 等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 特别提醒 等差数列前 n 项和有两个常用公式，一个用首项末项与项数，一个用首项、公差与项数。前 n 项和可看作关于 n 的二次函数，不含常数项。使用时注意 n 是正整数，不能直接按全体实数求最值。利用性质求和时，优先用下标性质简化运算。易错提醒：不要记错项数，奇数项和偶数项分开计算时，分清项的个数；求最值要留意 n 必须取整数，算出结果后最好代入验算，避免直接套用二次函数顶点而忽略 n 的取值限制。 随学随练 1．（25-26高三上·山东威海·期中）（多选）已知数列的前项和，则（   ） A．不是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 2．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 3．（2027高三·全国·专题练习）等差数列中，已知公差，且，则（   ） A． B． C． D． 拓展 等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则： （，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则： （，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值 ②当时，有最大值 活学活用 1．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是(    ) A． B． C．与均为的最大值 D．满足的的最小值为14 2．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（   ） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则________. 拓展 等差数列前项和的最值 （1）在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 活学活用 1．（26-27高三上·广东肇庆·开学考试）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 2．（25-26高二下·陕西汉中·期中）（多选）设为数列的前n项和，已知，，则（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．当时，取得最大值 3．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 题型 等差数列的通项公式及其应用 解题贴士 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． ▌例1（26-27高二上·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． ▌例2（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知各项均不相同的数列满足，则（    ） A．2027 B．2028 C．2 D．1 ▌对点练1-1．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 ▌对点练1-3．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 题型 等差中项及应用 解题贴士 若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项． ▌例1．（25-26高二下·安徽·阶段检测）是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 ▌例2（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（26-27高三上·辽宁·开学考试）在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 ▌对点练1-2（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知集合，，任取，，，，都有，则集合中元素个数的最大值为______. ▌对点练1-3（25-26高二下·云南昆明·期末）已知等差数列的通项公式为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型 等差数列的实际应用 解题贴士 （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． （2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现． ▌例1（24-25高二下·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 ▌例2（24-25高二下·上海·期中）已知集合，，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为______. ▌对点练1-1（24-25高三下·广东惠州·阶段检测）一枚质地不均匀的正四面体骰子，各面分别标有1，2，3，4，掷出点数朝下为1，2，3，4点的概率依次成等差数列，独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为，若事件“”发生的概率为则事件“”发生的概率为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（2026高二·全国·专题练习）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为______. ▌对点练1-3（23-24高三上·上海·阶段检测）将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张. 第一组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第二组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5； 第三组的卡牌左上角都标 3，右下角分别标上3，4，5、6. 将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回地抽取3张，其中满足左上角数字依次不减小，且右下角数字依次构成等差数列的不同的抽取方式有_____种. 题型 等差数列性质的应用 解题贴士 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． ▌例1（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知等差数列满足，，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．2026 ▌例2（25-26高二下·江西上饶·期中）在等差数列中，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 ▌对点练1-1（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知等差数列中，，，则（   ） A．-1 B．0 C．4 D．8 ▌对点练1-2（25-26高二下·黑龙江·期中）已知等差数列中，，则__________． ▌对点练1-3（25-26高二下·宁夏吴忠·期中）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 题型 等差数列前项和的有关计算 解题贴士 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用 ▌例1（2027高三·全国·专题练习）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与前12项中奇数项的和之比为，则公差________． ▌例2（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B． C． D．8 ▌对点练1-1（26-27高三上·重庆·阶段检测）记为等差数列的前项和，，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 ▌对点练1-2（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，，则__________. ▌对点练1-3（2026·湖南永州·一模）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 题型 等差数列前项和的比值问题 解题贴士 设，的前项和为，，则 ▌例1（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二下·江西赣州·期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． ▌对点练1-3（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 题型7 等差数列前项和的最值问题 解题贴士 （1）等差数列前项和最大（小）值的情形 ①若，，则存在最大值，即所有非负项之和． ②若，，则存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前项和最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 或来寻找．②运用二次函数求最值． ▌例1（25-26高二下·山东淄博·期末）记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等差数列 C．不是等差数列 D．当且仅当时，取到最小值 ▌例2（2026·广东肇庆·模拟预测）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 ▌对点练1-1 （25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 ▌对点练1-2 （25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． ▌对点练1-3 （2026·内蒙古赤峰·三模）（多选）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．是公差为2的等差数列 D．的最小值是-4 题型8 求数列的前项和 解题贴士 已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”． ▌例1（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. ▌例2（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前99项和为99 D．若数列满足，则的前50项和为2132 ▌对点练1-1 （26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）（多选）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递增数列 B．当时，取得最小值 C．若，则的最小值为11 D．数列的前10项和为50 ▌对点练1-2 （2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． ▌对点练1-3 （2026·河北邢台·三模）（多选）已知 为等差数列{an}的前n项和， 则下列结论正确的是（    ） A．{an}是递增数列 B．使 成立的n的最大值为9 C．取最小值时，n=11 D． 题型9 等差数列片段和的性质 解题贴士 连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ▌例1（26-27高三上·广西河池·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 ▌例2（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（     ） A．35 B．45 C．55 D．60 ▌对点练1-1 （25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 ▌对点练1-2 （25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （25-26高二下·云南玉溪·期中）（多选）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为32 题型10 等差数列的奇数项与偶数项和 解题贴士 （1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， ▌例1（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． ▌例2（24-25高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 ▌对点练1-1（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 ▌对点练1-2（25-26高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 基础通关 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）若一个等差数列的前5项和为25，前10项和为100，则该数列的公差为________． 2．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测），则数列的前项和为（    ） A．112 B．48 C．80 D．64 3．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）（多选）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．为递减数列 C． D．当时，最小 4．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．对任意， B． C．若，则 D．当数列是等差数列时， 5．（2026·广东广州·模拟预测）（多选）某果园有若干棵树苗，按地势排成行，将第行树苗棵数记为，其中，，，是一个首项为的等差数列，且，，；记．将，，，分为组，每组个数，使得每组的个数之和可构成一个项数为且公差为的等差数列，则（    ） A． B． C． D．或 6．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 7．（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”从上向下数，第一层有1个球，第二层比第一层多2个球，第三层比第二层多3个球，第四层比第三层多4个球，以此类推，设各层球数为，则下列说法正确的是（    ） A．若该“三角垛”共5层，则小球总数为35个 B． C．设，则的前项之和为 D．若该“三角垛”的每个小球半径都为，则当层数为层时，该“三角垛”的高度为 8．（25-26高二下·广东深圳·期中）（多选）已知是等差数列的前项和，为公差，且，则下列说法正确的是（     ） A． B．当时，取最小值 C． D． 9．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）（多选）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．是递增数列 B．，，成等差数列 C．的最小值为9 D．若（），则 10．（25-26高二下·重庆·期末）（多选）随着国产新能源汽车的发展，我国新能源汽车销量逐月攀高，2026年5月全品类乘用车销量排行榜前15名都是新能源汽车．某新能源汽车企业在2018年的年产量为万辆，由于技术升级和市场需求增长，该企业每年的产量构成一个等差数列，年产量逐年增加且每年增加固定的万辆．已知该企业在2018年、2020年、2022年这三年的年产量之积等于其2018年至2026年这九年总产量的三分之一．记该企业前年的累计产量为万辆．则下列结论正确的有（   ） A．若2018年的年产量为1万辆，则每年增加1万辆 B．若2018年的年产量大于每年增加的固定产量，则每年增加固定产量小于1万辆 C．2018年与2019年的年产量之和的最小值为2万辆 D．2018年的年产量的取值范围是万辆 素养提升 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式，并证明为等差数列； (2)若，求． 2．（26-27高三上·广东·阶段检测）某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（    ） A．81本 B．84本 C．87本 D．90本 3．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则______． 4．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知等差数列满足，记数列的前n项和为. (1)求； (2)若数列的前n项和，求数列的通项公式. 5．（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 迁移创新 1．（26-27高二上·上海徐汇·开学考试）给定有穷数列 ，定义数列 的绝对差分数列 ，其中 . 已知各项均为整数的数列 满足 ，且其绝对差分数列为等差数列，若 ，则 的所有可能值共有_____个. 2．（24-25高三上·湖南·阶段检测）若有限数列满足：对任意两项，（），总存在第三项（，），使得，，的某种排列为等差数列，则称为“分差数列”． (1)判断以下数列是否为“分差数列”，无需说明理由； ①1，2，3； ②1，2，3，4； ③0，2，3，4，6 (2)若为“分差数列”，求的值； (3)若是各项各不相同的“分差数列”，求该数列项数的所有可能值． 3．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）设数列（它指无穷数列，，，…）满足，，且，，使得． (1)直接写出，的取值范围； (2)（ⅰ）若数列的某一项（），求证：（）； （ⅱ）记（），（），求证（；）； (3)设（）是已知数，求的最小值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $