第4章 §4.2 4.2.1 等差数列的概念（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学中等差数列的概念这一核心知识点，在数列概念及递推关系的基础上，通过实例抽象出等差数列定义，梳理公差的意义（d>0递增、d=0常数列、d<0递减）及等差中项概念，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以生肖年龄差、哈雷彗星周期等生活实例引入，引导学生用数学眼光观察现实世界的数量关系。通过问题链让学生归纳数列共同特征，培养数学思维，结合例题与训练题帮助学生用数学语言规范表达。课中助力教师引导学生主动建构概念，课后分层练习可帮助学生巩固应用、查漏补缺。

4.2.1　等差数列的概念 [学习目标]　1.理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算.2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列． 导语 同学们，前面我们学习了数列的概念，以及根据数列的递推关系求数列的通项公式．实际上，生活中有一种特别的数列，比如，和生肖有关的问题，大家属鼠的居多一些，同样是属鼠的，年龄要么相同，要么就相差12的整数倍，今天我们就研究此类数列． 一、等差数列的概念 问题　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，…. ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 提示　对于①，我们发现1 758－1 682＝76,1 834－1 758＝76,1 910－1 834＝76,1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②，有270－275＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律． 知识梳理 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 注意点：(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定义中强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d>0时，{an}是递增数列，当d＝0时，{an}是常数列，当d<0时，{an}是递减数列． 例1　判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d. ①1,3,5,7,9，…； ②9,6,3,0，－3，…； ③1,3,4,5,6，…； ④7,7,7,7,7，…； ⑤1，，，，，…. 解　①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是． 反思感悟　利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是，则该数列是等差数列，否则该数列不是等差数列． 跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16 C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2 答案　ABC 解析　由等差数列的定义得， A项公差d＝0，故是等差数列； B项公差d＝3，故是等差数列； C项公差d＝，故是等差数列； D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列． 二、等差数列中的基本计算 例2　(1)若，a，成等差数列，则a＝________. 答案　 解析　由等差数列的定义可知a－＝－a，解得a＝. (2)若－1，a，b，c,7成等差数列，求a，b，c的值． 解　由等差数列的定义可知 解得 反思感悟　若干个数成等差数列求其中的未知元素时，要严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知元素． 跟踪训练2　若m,4,2n成等差数列，2m,5，n也成等差数列，试求m，n的值． 解　由等差数列的定义可知 解得 三、等差中项及应用 知识梳理 如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝.我们把A＝叫作a和b的等差中项． 例3　实数4＋2与4－2的等差中项为________． 答案　4 解析　设m为4＋2与4－2的等差中项， 则4＋2＋4－2＝2m， 所以m＝4. 反思感悟　若b是a与c的等差中项，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则b是a与c的等差中项． 跟踪训练3　设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是____________________． 答案　a＝－b或a＝3b 解析　由等差中项的定义知， x＝，x2＝， ∴＝2， 即a2－2ab－3b2＝0， ∴(a－3b)(a＋b)＝0， ∴a＝3b或a＝－b. 1．知识清单： (1)等差数列的概念． (2)等差数列中的基本运算． (3)等差中项及其应用． 2．方法归纳：定义法、列方程组法． 1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1,4,7,10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 答案　ABD 解析　A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列； C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列． 2．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　　) A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列 答案　B 解析　∵3an＋1＝3an＋1， ∴an＋1－an＝， ∴{an}为公差为的等差数列． 3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　) A．26 B．29 C．39 D．52 答案　C 解析　由等差数列的定义可知解得x＋y＋z＝39. 4．已知数列是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝_______. 答案　2 解析　由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2， 所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1．(多选)下列数列中，是等差数列的有(　　) A．4,5,6,7,8，… B．3,0，－3,0，－6，… C．0,0,0,0，… D.，，，，… 答案　ACD 解析　A是以4为首项，以1为公差的等差数列；B后一项减前一项的差不是同一个常数，所以不是等差数列；C是常数列，所以是等差数列；D是以为首项，以为公差的等差数列． 2．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为(　　) A．1 B．6 C．5 D．－3 答案　D 解析　设x1，x2为方程x2＋6x＋1＝0的两根， 则x1＋x2＝－6， 得x1，x2的等差中项为＝－3. 3．在等差数列{an}中，a2＝－1，a4＝－5，则它的公差d为(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案　C 解析　由等差数列的定义，得d＝a4－a3＝ a3－a2， 所以2a3＝a4＋a2＝－6， 故a3＝－3，公差d＝a3－a2＝－2. 4．已知在各项均不为零的等差数列中，满足a1＋a3＝a，则a2等于(　　) A．0 B．1 C．2 D. 4 答案　C 解析　∵{an}为等差数列，∴a2－a1＝a3－a2， ∴a1＋a3＝2a2， ∴2a2＝a，解得a2＝2(a2＝0舍去)． 5．(多选)已知an＋1－an＝0，则数列一定是(　　) A．等差数列 B．常数列 C．递增数列 D．递减数列 答案　AB 解析　因为an＋1－an＝0，所以由等差数列的定义得，数列是等差数列． 因为公差为0，所以数列{an}一定是常数列． 6．(多选)已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是(　　) A．an＝1－3n B．an＝2n－3 C．an＝2n D．an＝3 答案　ABD 解析　当n≥2时， 对于A，an－an－1＝1－3n－[1－3(n－1)]＝－3，是等差数列；对于B，an－an－1＝2n－3－[2(n－1)－3]＝2，是等差数列；对于C，an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1，不是常数，不是等差数列；对于D，an－an－1＝3－3＝0，是等差数列． 7．(5分)在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________． 答案　3 解析　由等差数列的定义可知解得所以d＝3. 8．(5分)已知数列满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则a3＝__________. 答案　3 解析　由等差数列的定义可知a－a＝4，故是以4为公差的等差数列，所以a＝a＋4＝5，a＝a＋4＝9，所以a3＝3. 9．(9分)已知数列是等差数列． (1)如果a1＝0，a3＝8，求公差d和a2；(3分) (2)如果a2＝3，a3＝6，求公差d和a1；(3分) (3)如果a1＝1，a2＝3，求公差d和a7.(3分) 解　(1)由等差数列的定义可知 a2－a1＝a3－a2＝d， 所以a2＝4，d＝4. (2)由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2＝d， 所以d＝3，a1＝0. (3)由等差数列的定义可知a2－a1＝d＝2，所以a7＝13. 10．(11分)已知数列中，a3＝9，a5＝5，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，试判断数列是否为等差数列，若是，求数列的首项和公差，若不是，请说明理由． 解　因为an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)，说明这个数列从第2项起，后一项减前一项所得的差始终相等，所以数列是等差数列． 由a3＝9，a5＝5，可知a4＝7，所以d＝－2，所以a1＝13. 11．已知数列是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　若“数列为等差数列”成立，必有“2a2＝a1＋a3”，而仅有“2a2＝a1＋a3”成立，不能断定“数列为等差数列”成立，必须满足对任何的n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，故“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的必要不充分条件． 12．给出下列数列：(1)0,0,0,0,0，…；(2)1,11,111，1 111，…；(3)2,22,23,24，…；(4)－5，－3，－1,1,3，…；(5)1,2,3,5,8，…其中是等差数列的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　B 解析　(1)该数列是公差为0的等差数列；(2)因为11－1≠111－11，所以该数列不是等差数列；(3)因为22－2≠23－22，所以该数列不是等差数列；(4)该数列是公差为－2的等差数列；(5)因为5－3≠3－2，所以该数列不是等差数列；所以数列(1)，(4)是等差数列． 13．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x(b≠0，x≠0)，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵b是x,2x的等差中项， ∴b＝＝， 又x是a，b的等差中项， ∴2x＝a＋b， ∴a＝，∴＝. 14．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是_________________． 答案　a＝－b或a＝3b 解析　由等差中项的定义知， x＝，x2＝， ∴＝2， 即a2－2ab－3b2＝0， ∴(a－3b)(a＋b)＝0， ∴a＝3b或a＝－b. 15．在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有____个． 答案　45 解析　先考虑不存在0的情况， 由题意可知，公差最大为4，公差为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6个，公差为±4有2个； 当三位数有0时，有4个， 综上所述，构成等差数列的共有45个． 16．(12分)数列中，a1＝－1，an＋1＝，证明：是等差数列． 证明　∵an＋1＝， ∴＝＝＝－1， 即－＝－1， 又a1＝－1，则＝－， ∴是首项为－，公差为－1的等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $