专题4.4 等比数列的概念与通项公式（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题4.4 等比数列的概念与通项公式（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 等比中项】 1 【题型2 等比数列通项公式的基本量计算】 2 【题型3 等比数列的通项公式】 2 【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】 3 【题型5 等比数列的判定与证明】 4 【题型6 等比数列性质的应用】 5 【题型7 等比数列的单调性】 6 【题型8 求等比数列中的最大（小）项】 6 【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 7 知识点1 等比数列的概念 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 【题型1 等比中项】 【例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）4与9的等比中项为（   ） A．6 B． C． D．6.5 【变式1-1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 【变式1-2】（2025·河南·一模）若、、、成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知实数，，，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 知识点2 等比数列的通项公式 1．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 2．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【题型2 等比数列通项公式的基本量计算】 【例2】（24-25高二上·浙江金华·期末）在等比数列中，，则公比 （    ） A． B． C．3 D．13 【变式2-1】（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·河北石家庄·期末）若等比数列满足，，则公比（    ） A． B． C．2 D． 【变式2-3】（24-25高二上·甘肃武威·阶段练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【题型3 等比数列的通项公式】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·江西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【变式3-3】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】 【例4】（24-25高二上·山东临沂·期末）已知数列为等比数列，若，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式4-1】（24-25高二上·广东·期末）等比数列中，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．32 D．64 【变式4-3】（24-25高二上·云南·阶段练习）在等比数列中，，则等于（    ） A．或 B． C． D．或 【题型5 等比数列的判定与证明】 【例5】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】（24-25高二上·河南·阶段练习）设数列满足，且，则（    ） A．{}为等比数列 B．{}为等比数列 C．{}为等比数列 D．{}为等比数列 【变式5-2】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【变式5-3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，证明：. 知识点3 等比数列的性质 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 3．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 4．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【题型6 等比数列性质的应用】 【例6】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【变式6-1】（24-25高二上·广东·期末）在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D．1 【变式6-2】（24-25高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【变式6-3】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 【题型7 等比数列的单调性】 【例7】（24-25高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-1】（24-25高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-2】（2025高二·全国·专题练习）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 【变式7-3】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【题型8 求等比数列中的最大（小）项】 【例8】（2025·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【变式8-1】（2025·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式8-2】（2025·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 【变式8-3】（24-25高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 【例9】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）设等比数列满足，则 . 【变式9-1】（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）数列的首项为，且，，则 ． 【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 【变式9-3】（24-25高二下·湖南长沙·期中）在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 等比数列的概念与通项公式（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 等比中项】 1 【题型2 等比数列通项公式的基本量计算】 3 【题型3 等比数列的通项公式】 4 【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】 6 【题型5 等比数列的判定与证明】 7 【题型6 等比数列性质的应用】 11 【题型7 等比数列的单调性】 12 【题型8 求等比数列中的最大（小）项】 15 【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 17 知识点1 等比数列的概念 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 【题型1 等比中项】 【例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）4与9的等比中项为（   ） A．6 B． C． D．6.5 【答案】C 【解题思路】根据等比中项的概念计算即可. 【解答过程】设4与9的等比中项为，则，所以或. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接由等比中项的性质计算即可. 【解答过程】与的等比中项，即48与12的等比中项， 则与的等比中项为 ． 故选：C． 【变式1-2】（2025·河南·一模）若、、、成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比中项的概念可得结果． 【解答过程】因为、、、成等比数列，根据等比中项的概念可得，． 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知实数，，，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意结合等比数列的性质分析求解，注意各值的符号判断. 【解答过程】因为实数，，，，成等比数列， 由等比数列的性质可得，解得，或， 又因为，即，可得， 所以. 故选：A. 知识点2 等比数列的通项公式 1．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 2．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【题型2 等比数列通项公式的基本量计算】 【例2】（24-25高二上·浙江金华·期末）在等比数列中，，则公比 （    ） A． B． C．3 D．13 【答案】C 【解题思路】由等比数列的项之间的关系得到关于公比的等式，求出. 【解答过程】， ∴， 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由等比数列通项公式即可求解. 【解答过程】由题意得，由，得. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·河北石家庄·期末）若等比数列满足，，则公比（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用题中条件列方程计算公比即可. 【解答过程】因为等比数列满足，， 两式相减，得， 又 所以. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·甘肃武威·阶段练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【解题思路】根据等比数列的通项公式和等比中项的应用，结合题意建立方程组，解之即可求解. 【解答过程】设递增的等比数列的首项为，公比为， 由前3项的和为13，得， 由前3项的积为27，得，即，则， 代入，得， 即，解得或， 因为为递增的等比数列，所以，则. 故选：A. 【题型3 等比数列的通项公式】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先证明数列为等比数列，再根据首项和公比求数列的通项公式. 【解答过程】因为，所以，即， 则数列是等比数列，公比为． 又因为，所以或（舍去）， 则数列的通项公式为． 故选：A. 【变式3-1】（2025·江西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意求出等比数列的公比的值，再由已知条件求出的值，结合等比数列的通项公式可求得数列的通项公式. 【解答过程】设等比数列的公比为，则，则，即，解得， 因为、、成等差数列，即，可得，解得， 因此，. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【答案】(1)，； (2)证明见解析，. 【解题思路】（1）根据给定的递推公式，取求解. （2）利用，结合等比数列定义推理并求出通项. 【解答过程】（1）数列的前n项和为，由得，解得， ，解得， 所以，. （2）当时，，则当时，， 两式相减得，整理得，而， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式. 【变式3-3】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）通过等比数列的基本量列方程求解，求数列的通项公式. （2）通过仿写，两方程作差，求出的通项公式，然后通过作差判断其单调性，求出数列的最大项的值. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为q， 则由题 ， 故数列的通项公式为. （2）令有， 当时有： ①， ②， 由①②得， ， 又满足上式，， ， 时，，时， 的最大项为 【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】 【例4】（24-25高二上·山东临沂·期末）已知数列为等比数列，若，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出. 【解答过程】设等比数列公比为，，而，，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高二上·广东·期末）等比数列中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出等比数列的公比，进而求出首项即可得解. 【解答过程】依题意，等比数列的公比，则，解得， 因此，所以. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出等比数列公比的平方，再结合项间关系求出. 【解答过程】由，得，则， 设等比数列公比为，则，解得， 所以. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高二上·云南·阶段练习）在等比数列中，，则等于（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】根据题设知和为方程的两个根，即可求得或，结合等比数列通项公式求目标式的值. 【解答过程】因为是等比数列，所以，又， 所以和为方程的两个根，解得或. 若等比数列的公比为，则，所以或. 故选：A. 【题型5 等比数列的判定与证明】 【例5】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】取，可判断；取 ，可判断；利用等比数列的定义可判断，. 【解答过程】对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但对任意的，，故数列不是等比数列； 对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但当时，，故数列不是等比数列； 设等比数列、的公比分别为，其中， 对任意的，， 对于，，即数列为等比数列； 对于，，故为等比数列， 故，一定是等比数列. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·河南·阶段练习）设数列满足，且，则（    ） A．{}为等比数列 B．{}为等比数列 C．{}为等比数列 D．{}为等比数列 【答案】A 【解题思路】由，化简得的，结合等比数列的定义，即可求解. 【解答过程】由，可得，所以， 又由，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2)证明见详解； 【解题思路】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值. （2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 又满足上式，∴， 则代入①得：， 则 ∴，且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴. 【变式5-3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【解题思路】（1）根据数列递推式，可得，结合等比数列定义，即可证明结论； （2）利用（1）的结论求出，可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得，继而证明结论. 【解答过程】（1）证明：由题意知数列的首项，且满足， 故， 由于，故，故， 故数列是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）可得，故， 故， 故 ， 由于，故. 知识点3 等比数列的性质 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 3．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 4．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【题型6 等比数列性质的应用】 【例6】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【解答过程】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二上·广东·期末）在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】根据等比数列项的性质计算求解即可. 【解答过程】因为等比数列中，若，则. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】A 【解题思路】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案. 【解答过程】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的性质可得，即可结合对数的运算性质求解． 【解答过程】由是等比数列可得， 因为，所以可得， 所以 故， 故选：B. 【题型7 等比数列的单调性】 【例7】（24-25高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解. 【解答过程】因为正项数列是等比数列，所以， 当时，，解得， 所以数列为递增数列，满足充分性； 当数列为递增数列时，，满足必要性， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的单调性和必要不充分条件的判断即可得到答案. 【解答过程】若等比数列满足“”， 比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立， 若数列为递减数列， ，或，. 则①“，”可以推出; ②“，”也可以推出，则必要性成立； 则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式7-2】（2025高二·全国·专题练习）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 【答案】C 【解题思路】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故. 【解答过程】A选项，由题意可知，， 且公比，故为递增数列，A正确； B选项，，， 则为递增数列，故B正确； C选项，当时，取得最小值，故C错误； D选项，， 当时，， 当时，， 故，故D正确． 故选：C． 【变式7-3】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据等比数列的通项公式，建立关于q得方程，求出即可求解； （2）根据等比数列的单调性，由（1）得，进而不等式转化为恒成立，结合数列的单调性即可求解； （3）根据等比数列的单调性可知或，分类讨论为偶数和奇数时的情况，求出对应的即可求解. 【解答过程】（1）设的公比为，则， 若，则．若，则． 所以的公比为，，4， 所以的通项公式为：，，． （2）若是递增数列，则，则有，， 等价于，恒成立，令，即． 而． 时，，时，，时，， ，，， 实数的取值范围为． （3）若不是单调数列，则，或． （i）当时，， ①当为偶数时，；②当为奇数时，． 所以此时的最小值为． （ii）当时，． ①当为偶数时，，且为递增数列，； ②当为奇数时，，不可能为最小值． 所以此时的最小值为． 【题型8 求等比数列中的最大（小）项】 【例8】（2025·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【答案】D 【解题思路】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 【解答过程】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 【变式8-1】（2025·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为，有， 由函数单调递增，且，可得. 有，由数列单调递减， 所以取得最大值时的值为9， 故选：B. 【变式8-2】（2025·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 【答案】6 【解题思路】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解 【解答过程】在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6. 【变式8-3】（24-25高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 【答案】6或7 【解题思路】首先求数列的通项公式，再根据数列的单调性，由前项积最大时满足的不等式，即可列式求解. 【解答过程】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7. 故答案为：或. 【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 【例9】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）设等比数列满足，则 . 【答案】 【解题思路】由已知求出通项公式，再结合对数化简式和等差数列前n项和公式即可求解. 【解答过程】因为等比数列满足，所以， 又，解得，故，，所以. 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）数列的首项为，且，，则 ． 【答案】 【解题思路】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式，再利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【解答过程】因为，所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 因为，所以数列为等差数列， 故． 故答案为：. 【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 【答案】(1)440 (2)205 【解题思路】（1）利用等差数列的求和公式和下标和性质即可得到答案； （2）根据正项等比数列的性质即可得为等差数列，再利用等差数列的求和公式和等比中项的性质即可得到答案. 【解答过程】（1）由等差数列求和公式知． （2）∵为正项等比数列，∴为等差数列，从而 ． 【变式9-3】（24-25高二下·湖南长沙·期中）在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) ； (2) 【解题思路】（1）利用递推公式求出，根据等比数列的定义判断出数列是等比数列，根据首项和公比写出通项公式； （2）由，得到，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求和即可． 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式 （2）由（1）可知，则 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $